学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（广西专用，测试范围：人教版九上全部内容）

三 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 选择题填涂样例： 正确填涂 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×][√][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共36分） 1.AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9AIIBIICIIDI 2.IAIIBIICJIDI 6.1AJIBIICIIDI 10.IAIIBIICIID] 3.1AlIBIICIIDI 7.AIIBIICI[DI 11.AB[C1[D 4.A1[B1[CI[D] 81A]IB]ICI[D] 12.[AJ[B]ICJID] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14. 15. 16. 和脑口h体晒一上华山切：么k忙山阳宀从体声干效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本天逖共/个小邀，共儿分.胼合应与出义子况明，址明心罹叱演异步探） 17.(8分) 18.(10分) 请椿车题馆趣酸城辔等，超超黑形限定敌術馆等家效！ 19.(10分) (1)】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) D 0 Q P B E B E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) V B 图1 A B衣 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共36分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B1[CJ[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][BJ[C1[D1 10.[A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[CI[D1 11.[A1[B1[CJ[D] 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C1[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. 14. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(8分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) (1)】 20.(10分) D O A B 30° 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) y B E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) B 图1 YA B N D F 图2 B 州 A M D 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列事件为随机事件的是（    ） A．负数大于正数 B．三角形内角和等于180° C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖 3．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 4．已知点与点关于原点对称，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 5．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　）    A．65° B．75° C．85° D．130° 8．如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数是（    ） A．35° B．30° C．25° D．20° 9．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 10．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 11．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（    ） A．B．C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 14．把二次函数的图象向下平移3个单位，所得的图象函数表达式是 ． 15．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： 18．（10分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 19．（10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 20．（10分）如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且． （1）求证：BC是的切线； （2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π） 21．（10分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率． (2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．（12分）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接． (1)如图，①若时，求线段的长； ②当点在线段上运动时，求证：． (2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值． 23．（12分）如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； (3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m  ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 2．下列事件为随机事件的是（    ） A．负数大于正数 B．三角形内角和等于180° C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖 3．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 4．已知点与点关于原点对称，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 5．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　）    A．65° B．75° C．85° D．130° 8．如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数是（    ） A．35° B．30° C．25° D．20° 9．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 10．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 11．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（    ） A．B．C． D． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 14．把二次函数的图象向下平移3个单位，所得的图象函数表达式是 ． 15．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 16．如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为 ． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： 18．（10分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 19．（10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 20．（10分）如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且． （1）求证：BC是的切线； （2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π） 21．（10分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率． (2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 22．（12分）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接． (1)如图，①若时，求线段的长； ②当点在线段上运动时，求证：． (2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值． 23．（12分）如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； (3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m  ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级上册。 第一部分（选择题 共36分） 1、 选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一分析即可得到答案. 【详解】解：选项A中的图形是中心对称图形，符合题意， 选项B中的图形不是中心对称图形，不符合题意， 选项C中的图形不是中心对称图形，不符合题意， 选项D中的图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选A 【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键. 2．下列事件为随机事件的是（    ） A．负数大于正数 B．三角形内角和等于180° C．明天太阳从东方升起 D．购买一张彩票，中奖 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合必然事件、随机事件、随机事件的定义，即可求解． 【详解】解：A．负数大于正数是不可能事件，故本选项不符合题意； B．三角形内角和等于180°是必然事件，故本选项不符合题意； C．明天太阳从东方升起是必然事件，故本选项不符合题意； D．购买一张彩票，中奖是随机事件，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查必然事件、随机事件、随机事件的定义，属于基础题，理解相关概念是关键． 3．已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ， 点P与的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 4．已知点与点关于原点对称，则的值为（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了原点的对称，熟练掌握原点对称的坐标特点是两个坐标分别互为相反数，列式计算即可． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， 故选A． 5．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 6．方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程没有实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 7．如图，在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0α180°）得到△ADE，若DEAB，则α的值为（　　）    A．65° B．75° C．85° D．130° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质及题意易得∠EAB的度数，然后直接进行求解即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝20°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C═180°﹣55°﹣20°＝105°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC＝105°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE+∠DAB＝180°， ∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝75° ∴旋转角α的度数是75°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解． 8．如图，是的直径，点C、D在上，若，则的度数是（    ） A．35° B．30° C．25° D．20° 【答案】C 【分析】先根据平角的定义求出，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 9．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 10．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 11．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵，分别切于C，B， ∴，直径， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长． 12．如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，同时点Q从点C出发；以每秒1个单位长度的速度向点D匀速运动．当点Q运动到点D时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒，的面积为S，则S随t变化的函数关系图像大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意当时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，， ，图象为直线的一部分， ∵，点运动时间为秒 当时，点在上，如图所示， ∴，，，， ∴ 函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象、二次函数图象的性质，根据题意求得解析式是解题的关键． 第二部分（非选择题 共84分） 2、 填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心与直线的距离为，则圆心与直线的距离等于的半径，所以与相切，于是得到问题的答案． 【详解】解：的直径为，， 的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于的半径， 与相切， 故答案为：相切． 14．把二次函数的图象向下平移3个单位，所得的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向下平移3个单位，那么新抛物线的顶点为； 所以新抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 15．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 16．如图，在矩形ABCD中，，动点P在矩形ABCD内且，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接，分析得到当点P与点重合时，最小，再求解即可． 【详解】解：以为底边向下作等腰三角形，使得，以点O为圆心，以为半径作圆，则点P在劣弧上，连接交劣弧于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点重合时，最小， 过点分别作交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ， ∵, ∴在中，， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题考查了垂径定理、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆的基础知识等，添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算： 【答案】 15 . 【分析】本题主要考查的是有理数的计算法则．明确计算法则是解决这个问题的关键．首先进行幂和绝对值的计算，然后计算乘除法，最后进行加法计算即可得出答案． 【详解】原式 ． 18．（10分）解方程：x2﹣4x+4＝0． 【答案】 【分析】直接利用配方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 19．（10分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，中国人工智能行业可按照应用领域分为四大类别：决策类人工智能，人工智能机器人，语音及语义人工智能，视觉类人工智能，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为_______； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后不放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片中不含D卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了概率公式计算，画树状图法计算，正确选择方法是解题的关键． (1)利用公式计算即可． (2) 不放回型的概率计算，利用画树状图法计算即可． 【详解】（1）一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为， 故答案为：． （2）根据题意，画树状图如下： 一共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种． 故两张卡片中不含D卡片的概率是． 20．（10分）如图，已知AB是的直径，CD与相切于点D，且． （1）求证：BC是的切线； （2）延长CO交于点 E．若，⊙O的半径为2，求的长．（结果保留π） 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)根据切线的性质和平行线的性质从而证得，得到，即可证得结论； (2)根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】(1)连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 是的切线； (2)， ， ， ， 的长：． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理以及三角形全等的判定和性质，正确添加辅助线，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 21．（10分）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率． (2)“二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是9 元 【分析】（1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元，列出二次函数求最值解题． 【详解】（1）每天销售量的平均增长率为，根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， ∴ ∵ ∴当时，                                                          ∴将钥匙扣的销售价定为每件元时，每天可获得最大利润，最在利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的实际问题，分析题意列出等量关系是解题的关键． 22．（12分）在正方形中，边长为点是线段上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，其中交于点，交于点，连接． (1)如图，①若时，求线段的长； ②当点在线段上运动时，求证：． (2)如图，过点作交于点，过点作所在的直线于点，求的最小值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①由可证≌，可得，，即可求解； 由可证≌，可得，，由可证≌，可得，由余角的性质可求解； （2）先求的长，由可证≌，可得，则点在以点A为圆心，长为半径的圆上，当点在线段上时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：①过点作直线于， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ∴， ，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； 证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ∴， ，， ， ， ， 又， ∴， ， ， ； （2）解：如图，连接，，，， 由（1）可知，， 四边形是正方形， ，，， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， 又， ∴， ， 点在以点A为圆心，长为半径的圆上， 点在线段上时，有最小值， 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．（12分）如图1，抛物线（）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线上的动点，当A、C两点到直线的距离相等时，求直线的解析式； (3)已知点D、F在抛物线上，点D的横坐标为m  ，点F的横坐标为．过点D作x轴的垂线交直线于点M，过点F作x轴的垂线交直线于点N． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗？若是，请求出来；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)①最大为2，点D坐标为；②是，2 【分析】（1）由题意知，，将，代入，计算求解的值，进而可得解析式； （2）由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等，①当时，，待定系数法求直线的解析式为，则直线的解析式为，待定系数法求解即可；②当过中点时，由题意知，中点坐标为，设直线的解析式为，待定系数法求解即可； （3）①由题意知，，，，，则，，则，根据二次函数的性质求最值，然后求点坐标即可；②由题意知 ， ，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，当时，当过中点时，A、C两点到直线的距离相等， ①当时， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； ②当过中点时， 由题意知，中点坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或； （3）①解：由题意知，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为2， ∴； ②解：由题意知 ， ， ∴与的面积之和是定值，且定值为2． 【点睛】本题考查了待定系数法解二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，平行线的距离，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，二次函数与面积综合是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共36分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 4 8 9 10 11 12 D A B C A D C A 第二部分（非选择题共84分) 二、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。 13.相切. 14y=2x2-3 15.y=2x2-3 16.57-25 3 三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】原式=(-27)÷(-9+4×3(4分) =3+12(6分) =15.(8分) 18.(10分) 【详解】解：“x2-4x十4=0， .(x-2)2=0,(5分) .X1=x2=2.(10分) 19.(10分) 【详解】(1)一共有4种等可能性，抽到决策类人工智能的卡片有1种等可能性， 故抽到决策类人工智能的卡片的概率为疗， 故答案为：寺.(3分) (2)根据题意，画树状图如下：(7分) 1/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 开始 B B CD -共有12种等可能性，其中，两张卡片中不含D卡片等可能性有6种. 故两张卡片中不含D卡片的概率是品=专.(10分) 20.(10分) 【详解】(1)连接OD, :CD与⊙0相切于点D, :∠0DC=90°， :0D=0A, ·∠0AD=∠0DA, AD IIOC, :∠C0B=∠0AD,∠COD=∠0DA, ·∠COB=∠COD, 在△C0D和ACOB中 OD=OB ∠COD=∠COB 0C=0C :△COD兰△COB(SAS, :∠0DC=∠0BC=90, ÷BC是⊙0的切线；(5分) (2):∠CEB=30°， ÷∠C0B=60°， :∠COB=∠COD, ÷∠B0D=120°， ·D的长：=青π.10分) 2/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 309 21.(10分) 【详解】(1)每天销售量的平均增长率为x,根据题意得： 25(1+x)2=36 解得：x1=0.2,2=-22(不合题意，舍去) .每天销售量的平均增长率为20%(5分) (2)设将钥匙扣每件降价y元销售，利润为W元， .W=(60-35-y36+2y) =-2y2+14y+900 =-2y-3.5)2+924.5 :0=-2<0 “当y=3.5时，W最大=924.5 .将钥匙扣的销售价定为每件56.5元时，每天可获得最大利润，最在利润是924.5元.(10分) 22.(12分) 【详解】(I)解：①过点F作FN⊥直线BC于N, y D 0 E 图1 :△AEF是等腰直角三角形， :AE=EF,∠EAF=45°，∠AEF=∠ABE=∠FNE=90°， :∠AEB+∠BAE=90°=∠AEB+∠FEN, 3/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠BAE=∠FEN, :.△ABE≌△ENFAAS, BE=FN=支，AB=EN, BC=EN=AB, :CN=BE= 又：∠N=90°， ·△CFN是等腰直角三角形， aCP=2CN=号，(4分) ②证明：如图，延长CB至K,使BK=DQ,连接AK, ⊙ E 图1 :BK=DQ,∠ABK=∠D=90°，AB=AD, .△ABK≌△ADQ(SAS, .∠BAK=∠DAQ,AK=AQ, :∠EAF=45°， ÷∠BAE+∠DAQ=45°， :∠BAE+∠BAK=45°=∠EAK=∠EAD, 又：AE=AE, :△AEK兰△AEQ(SAS, :∠AEK=∠AEQ, '∠AEF=90·, .LFEQ=∠FEC;(8分) (2)解：如图，连接AG,GH,AH,AC, 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 : A 小 图2 由(1)可知∠DCH=45°，∠AEB=AEG, :四边形ABCD是正方形， ·AB=AD=CD=2,AC=V2AD=2V2,∠ACD=45°， :ACH=90°， :DH⊥CH,∠DCH=45°， :△DCH是等腰直角三角形， DC=V2CH=2, CH=V2, :AH=VAC2+CH2=8+2=V10, :BG⊥AE,∠AEB=∠AEG, ÷∠EBG=∠EGB, BE=EG, 又：AE=AE, :△ABE≌△AGESAS, :AB=AG, ·点G在以点A为圆心，AB长为半径的圆上， ·点G在线段AH上时，GH有最小值， :GH的最小值为V10-2.(12分) 23.(12分) 5/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)解：由题意知，OC=30B=3, C(0,-3), (1+b+c=0 将B(1,0),C(0,-3)代入y=x2+x+c得， c=-3’ b=2 解得，{c=-3' ∴y=x2+2x-3;(3分) (2)解：由题意知，当BM‖AC时，当BM过A、C中点时，A、C两点到直线BM的距离相等， ①当BM‖AC时， 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得，x=-3或x=1, A(-3,0), 设直线AC的解析式为y=kx十b (-3k+b=0 将A(-3,0),C(0,-3)代入得， 1b=-3 k=-1 解得， b=-3· :直线AC的解析式为y=-x-3, 设直线BM的解析式为y=一x+d, 将B(1,0)代入得，-1+d=0, 解得，d=1, ·.直线BM的解析式为y=-x+1;(6分) ②当BM过A、C中点时， 由题意知，A、C中点坐标为(-，一)， 设直线BM的解析式为y=ex+f, 将(-，-)，B(1,0)代入得， -e+f=- e+f=0 e=骨 解得， f=-是 :直线BM的解析式为y=x-寻， 综上所述，直线BM的解析式为y=-x+1或y=x-寻；(9分) (3)①解：由题意知，D(m,m2+2m-3),M(m,-m-3), 6/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 F(m+1,(m+1)2+2(m+1)-3),N(m+1,-(m+1)-3), :DM=-m2-3m,FN=-(m+1)2-3(m+1), SI0w=OM4w2P型-3m23型--m2-4m-2=-（m+2)2+2. 2 2 -1<0, :当m=-2时，四边形DFNM的面积最大，最大值为2， .D(-2,-3); ②解：由题意知，Sa4DN+SACEN=-Dmt的+-m- 2 2 =-m2-3my++m+1-3m+1k0-m- 2 =2, ∴.△ADM与△CFN的面积之和是定值，且定值为2.(12分) 7/7