阶段检测验收卷 三角形（综合训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵为钝角，∴，，故选项C、D不符合题意； 如图，延长n交与点D；∵，∴，， ∴，与互余，故选项A符合题意，选项B不符合题意，故选A． 2．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：，∴，∴中间小正方形的面积为，故选：． 3.如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点．则的周长为(    ) A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：是的平分线，， ，，同理可得， 的周长即为．故选：C． 4．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴，∴．故选：B． 5．某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于点Q，则， 过点B作，则， ∵地面、桌面均为水平面，，∴，∴， 则 故选：C 6．下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线；④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，，即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，故选：C 7．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：在中，，，， 由作图可知，，是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分，， ，，，， ，， 又，垂直平分线段，故②正确； 设，则， ，，即，解得：， ，故③正确；， 在中，，故④错误；故选：A． 8．如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作，过点C作，交于点F，在上截取，使，连接，， ∵，∴．∴四边形是矩形．∴，，． ∵，∴．∴，． ∵，∴．∴． ∴是等腰直角三角形．∴． ∵，∴．∵，∴． ∵，，∴．∴． ∵，∴．故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是 ． 【答案】10 【详解】解：作．则． ．故答案为：10． 10．如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作 的垂线，过点作的垂线，两线交于点 由题意可得 (提示∶反射角等于入射角)， 故答案为：． 11．如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴∴ ∵，，∴ ∴ 故答案为：． 12．在中，比较与的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点为圆心，为半径作圆弧，分别交，于点，，若，，，则的长为 ．    【答案】/ 【详解】解：连接，由题意得：，，，，    是等边三角形，，， ，故答案为：． 13．如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵四边形为矩形，∴， ∵为中点，∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵，∴当三点共线时，最大为，如图，故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，14题12分，15题8分，16题8分，17题10分，18题10分，共48分） 14．受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 【答案】(1)，的长为；(2)①，理由见解析；②的面积为． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴此时的长为；（4分） （2）①，理由如下： ∵， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴；（9分） ②设的面积为，由①知：，且的面积为， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴的面积为．故答案为：．（12分） 15．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．(1)求证：；(2)若，，求的长 【答案】(1)详见解析(2)7 【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴；（4分） （2）解：∵，，∴， ∵，∴，，∴．（8分） 16．如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)1或3 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∵点O为中点，∴， 在和中，，∴，∴；（3分） （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点，∴， ∴为等腰直角三角形，∴ ∴，∴，（5分） ∵，∴，分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中，，∴， ∴，∴； ②点F在线段上时，同理可证：， ∴，∴；综上所述，的长为1或3．（8分） 17．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴；故答案为：；（2分） （2）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴；故答案为：；（6分） （3）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴；（10分） 18．如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，． (1)如图1，当，时． ①求证：；②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析(2)成立，理由见解析 【详解】（1）①证明：，， 是线段的垂直平分线，，， ，， ，， ，，， ，， ，，，；（3分） ②解：，理由如下：，， ，， 是线段的垂直平分线，，， ，是等边三角形，， ，是等腰三角形，， 是的外角，，， ，，，是等边三角形， ，是的垂直平分线，， ，四边形是菱形，；（6分） （2）解：成立，理由如下，如图，在的延长线上取点使， ，， ，，是线段的垂直平分线， ，是等腰三角形，， ，， ，， ，，， ，，， ，， 是的外角，， ，， ，， ，，是等腰三角形，， ，， ，．（10分） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则 °． 【答案】 【详解】解：延长交于点H，射线与射线于点I，射线 与射线交于点G， ∵，，∴， ∵在中，，，∴， ∴，∴， ∴，故答案为：． 20．已知线段的两端分别在轴和轴上，，取的中点，在轴负半轴上取点，连接，过点作交轴于点，记的面积为，的面积为，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ，，，， 为的中点，，，， ，，，即， 在和中，，， ，， ，，故答案为：． 21．如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 【答案】或或 【详解】解：①当与的夹角为时，即,如图： ，,, ,; ②当与的夹角为时，即,如图： ，,, ,;或，如图： ，,, ,; 综上，的度数可以是或或．故答案为：或或． 22．如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵与均为等边三角形，且等边的边长为8， ∴，，，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∴点的运动轨迹在经过点，且与夹角为的射线上， ∵垂线段最短，∴当时，取最小值，如图，∵点是边的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 23．已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图①，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H，由旋转可得，，，， ∴，∵，∴， 在中，∵，，∴，∴，∵，∴ ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，∵为的中点，，∴， 如图②，当点在之间时，延长到点G，使，连接，过点A作于点H， 由旋转可得，，，，∴， ∵，∴， 在中，∵，，∴，∴，∵，∴ ∵，∴，∵，∴， 在和中，， ∴，∴，∵为的中点，，∴， 综上可知，为或，故答案为： 或． 二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．    任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分；(2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____． (3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，求点到其他三边的距离之和．    【答案】(1)(2)；(3) 【详解】（1）证明：∵，∴，∴，∴；（2分） （2）解：如图3所示，设等边的边长为b，连接， ∴，， ，； ∵，∴， ∴，∴；（3分） 如图4所示，设等边的边长为c，连接， ∴，，，；∵，∴， ∴，∴；（4分） （3）解：如图5所示，过点E作于T，过点D作于R， ∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴，； 在中，，在中，， ∴，∴，同理； 如图5所示，连接，∵，， ∴， ∴，∴； ∵，∴， ∴，∴点到其他三边的距离之和为．（8分） 25．【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由；(3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 【答案】(1)(2)仍然具有的数量关系，理由见详解(3)的长为 【详解】（1）解：和均为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，，．（3分） （2）解：和均为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，，．（6分） （3）解：以为边作等边，连接，，， ，，是等边三角形，，， ，即， 在和中，，，． ，，，是直角三角形， 在中，根据勾股定理，，．（10分） 26．在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)证明见详解(3) 【详解】（1）解：∵，，∴， ∵，，∴， ∵点为中点，∴，∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到， ∴，，∴；（4分） （2）证明：如图，过点作交于点， ∵，，∴，， ∵，∴，， ∴，，∴， ∵将绕着点逆时针方向旋转得到，∴，， ∴，∴， ∴，，∴， 又∵，，∴， ∴，∴，∴．（8分） （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴当点，点，点三点共线，且时，有最小值，如图： ∵，，∴，由折叠的性质得，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 又∵，∴点，点，点三点共线，由折叠的性质得，， ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴．（12分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点．则的周长为(    ) A．9 B．11 C．12 D．13 4．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．某班新购进了一批课桌便携式挂钩，某数学小组利用课余时间完成了如下实践探究，形成了实验报告： 调查方式 测量，查看说明书 测量图示 已知地面、桌面均为水平面， 调查问题：的度数为（ ） A． B． C． D． 6．下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线；④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 7．如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．如图，已知，点A是射线上的一个定点，点B是射线ON上的一个动点，且满足．点C在线段的延长线上，且．点D在线段上，且，连接，．则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达点位置，根据图中的数据，点A和点的直线距离是 ． 10．如图是两块平面镜，由点 发射出的光线经平面镜 反射后恰好经过点．若，则的度数为 ． 11．如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 12．在中，比较与的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的方案，以点为圆心，为半径作圆弧，分别交，于点，，若，，，则的长为 ．    13．如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 三、解答题（本大题共5个小题，14题12分，15题8分，16题8分，17题10分，18题10分，共48分） 14．受物理课上发声物体的振动实验启发，兴趣小组做了如下操作：选取一个支架，在横杆点处悬挂小球，它可以自由摆动，如图，小球静止时的位置用表示．用发声物体靠近小球，小球从摆动到位置，如图，过点作于点；当小球摆到位置时，（图中点共面），过点作，垂足为点． (1)若测得，．请判断的数量关系并直接写出的长． (2)如图，在中，，直线经过点，且． ①请判断之间的数量关系，并说明理由． ②若，的面积为，请你直接写出的面积______． 15．如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，．(1)求证：；(2)若，，求的长 16．如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 17．【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 18．如图：四边形中，，，垂足为，点在线段的延长线上，且，连接，．(1)如图1，当，时．①求证：；②猜想与的位置关系，并说明理由；(2)如图2，当，不垂直时，②中与的位置关系是否仍然成立，若成立写出证明过程，若不成立，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．某款手机支架的左视图如图所示，已知，，，，则 °． 20．已知线段的两端分别在轴和轴上，，取的中点，在轴负半轴上取点，连接，过点作交轴于点，记的面积为，的面积为，则的值是 ． 21．如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 22．如图，已知等边的边长为8，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是 ． 23．已知等腰直角三角形和等腰直角三角形的直角顶点重合，．连接，将绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是的中点，当三点共线时，线段的长为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 维维亚尼（）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高． 如图1，是等边内任意一点，过点分别作，，，垂足分别为，，，过点作于点，则． 证明：如图2，设等边的边长为，连接，，， ，，，．⋯． 思考：如图3，图4，当是平面上任意一点时，点到，，三边的距离分别为，，．若等边三角形的高为，则点到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．    任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分；(2)请直接写出思考部分，，与的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____． (3)如图5，在四边形中，，，，，是边上一点，求点到其他三边的距离之和．    25．【课本再现】分别以，为边作等边和等边，连接和，则与之间具有一定的数量关系． (1)如图1，当B，C，E三点在同一直线上时，与的数量关系是_________； (2)如图2，当B，C，E三点不在同一直线上时，与还具有上述数量关系吗？请说明理由；(3)如图3，四边形中，，，，，，连接，求的长． 26．在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点恰好为中点，与交于点，若，求的长度； (2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：； (3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $