九年级数学上学期期末（一模）模拟卷02（沪教版九上全册：相似三角形+锐角的三角比+二次函数）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） LAJ[BJIC][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 4A][B]IC][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 07. 08. 09 10. 11. 12 13. 14 15 17 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是（） A． B． C． D． 2．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，既在直线右侧是下降的，又在直线左侧是上升的可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．已知α为锐角，且，则 度． 8．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 9．将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 10．如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 11．如图，，，，那么 ． 12．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 ． 13．已知是线段的中点，设，那么 （用向量表示） 14．如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 15．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 16．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是 ． 17．如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么 ． 18．如图，是正方形边上的点，交对角线分别于点，如果，那么的值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）如图，在中，，，的平分线交边于点，点在边上，且，与相交于点． (1)求的值； (2)设，，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 21．（本题10分）已知二次函数． (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积． 22．（本题10分）已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．    (1)求证： (2)过点C作交AE于点F，求证：． 23．（本题12分）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 24．（本题12分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 25．（本题14分）（）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点……，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （）如图，菱形的边长为，，连接，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值； （）如图，在四边形中，，点为边上一点，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用矩形对边平行的性质证明四边形ABCD是平行四边形，再结合矩形纸条宽度相等的条件证明其为菱形；接着根据菱形面积公式求出边长，最后在直角三角形中通过勾股定理和正切的定义求出的正切值． 【详解】解：过点作于，作于． ∵纸条是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形纸条宽度为， ∴． ∵平行四边形面积， ∴， ∴四边形是菱形． ∵菱形的面积为，， ∴，解得，即． 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 2．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及相似三角形的判定与性质，由题意可知，根据得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：A．若，无法判定，故该选项不符合题意， B．若，无法判定，故该选项不符合题意， C．若，无法判定，故该选项不符合题意， D．∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意， 故选：D． 3．下列抛物线中，既在直线右侧是下降的，又在直线左侧是上升的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及对称性，通过分析抛物线的开口方向和对称轴位置，判断其在指定区间的增减性．开口向下时，对称轴左侧递增、右侧递减；开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增． 【详解】解：要求抛物线在直线右侧下降（即时y随x的增大而减小)且在直线左侧上升（即时y随x的增大而增大)． 因此，必须满足，并且对称轴需同时满足：在时y随x的增大而增大，即的部分全部在对称轴左侧，所以；在时y随x的增大而减小，即的部分全部在对称轴右侧，所以． 综上，需且． A． ，不满足，排除． B． ，对称轴， 满足，符合条件． C． ，不满足，排除． D． ，对称轴， 不满足，排除． 故选：B． 4．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，准确分析判断是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的性质对作图判断即可； 【详解】根据平行线分线段成比例作图： 第一步：任意做； 第二步：在边上依次取，，在上取； 第三步：连接，过点作，交于点； 则线段即为所求作线段． 故选． 5．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了向量的性质,长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A、是与同向的单位向量，但题干中的单位向量方向不确定，不一定与同向，故错误； B、符合向量的长度及方向，正确； C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误； D、等式左边是与同向的单位向量，右边是与同向的单位向量，由于和的方向不一定相同，故等式不一定成立，故错误． 故选：B． 6．下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的判定；用相似图形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 两个矩形的对应边不一定成比例，则两个矩形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； B.两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似，故两个等腰直角三角形相似，故该选项正确，符合题意； C. 两个菱形的对应角不一定相等，则两个菱形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； D. 没有明确这个角是顶角还是底角，故有一对角相等的两个等腰三角形不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．已知α为锐角，且，则 度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了根据特殊级三角函数值求角的度数，熟知60度角的余弦值为是解题的关键． 【详解】解：∵α为锐角，且， ∴， 故答案为：． 8．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 【答案】8 【分析】把原点坐标代入二次函数解析式，计算即可． 【详解】解：把原点代入解析式，得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的点的坐标满足解析式． 9．将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；根据抛物线平移规则，向左平移2个单位，将原函数中的替换为，然后问题可求解． 【详解】解：原抛物线为，向左平移2个单位后，新抛物线表达式为，化简得． 故答案为． 10．如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点的定义，正确理解黄金分割点是解题的关键． 根据黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，比值为可得到，，将代入计算即可． 【详解】解：根据已知条件，画图分析： 点是线段的黄金分割点，且， 即 ． 故答案为：． 11．如图，，，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据，得出，结合，，可知，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：4 ． 12．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系． 证明，根据相似三角形的性质得出和的关系，再求周长即可． 【详解】解：如图，设与交于点E， ∵矩形内接于中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 矩形的周长为． 故答案为：26． 13．已知是线段的中点，设，那么 （用向量表示） 【答案】 【分析】本题考查向量方向、向量加法法则及线段中点性质，解题关键是正确判断向量之间的方向和长度关系． 由C是中点，与同向且得，再结合向量加法可得结果． 【详解】解：∵C是中点， ∴  ，   又． ∴． 故答案为：． 14．如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 证明，可得，，即可得答案． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的运用，理解铅球落到地面时运行的水平距离为10米的意义，代入求值是解题的关键． 根据题意把点代入计算得二次函数解析式，再根据二次函数与y轴交点的计算方法即可求解． 【详解】解：铅球落到地面时运行的水平距离为10米时，即，代入计算得， ， 解得，， ∴函数解析式为， 当时，， ∴铅球刚出手时离地面的高度是米， 故答案为： ． 16．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理及斜边中线定理，熟练掌握正方形的性质及斜边中线定理是解题的关键；连接，则根据正方形的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形和是正方形，， ∴， ∴，， ∴， ∵H是的中点， ∴； 故答案为． 17．如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点． 假设，根据黄金分割点列出方程求解即可． 【详解】解：假设， ∵四边形为正方形， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 解得， 故答案为：2． 18．如图，是正方形边上的点，交对角线分别于点，如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，由，设，，，通过正方形性质可得，，，所以，，由相似三角形性质可得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 根据特殊角的三角函数值和实数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式                                      ． 20．（本题10分）如图，在中，，，的平分线交边于点，点在边上，且，与相交于点． (1)求的值； (2)设，，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【答案】(1)的值为； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作平行线，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量的线性计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，所以，，又，则，得，根据等腰三角形性质可得，则，然后证明，则有，从而求解； （）作，，根据平行四边形法则，得出向量，为向量在、方向上的分向量． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的值为； （2）解：如图，作，，根据平行四边形法则，得出向量，为向量在、方向上的分向量． 21．（本题10分）已知二次函数． (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积． 【答案】(1)，开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为 (2) 【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可； （2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出坐标即可求解． 【详解】（1）解： ∴该二次函数的顶点式为，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线，顶点的坐标为； （2）解：平移后的新抛物线的解析式为，得到顶点， 当时，由得：，， 即点，即， 当时，由 即点， ∴四边形的面积 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． 22．（本题10分）已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．    (1)求证： (2)过点C作交AE于点F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据角平分线的定义得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； (2)根据得到，再得到，由证得，再根据得到，即可得到，整理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（本题12分）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 【答案】(1) 的长为；(2) 的长为 【分析】本题考查解直角三角形，三角函数，矩形的判定与性质，坡度，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作于点F，先推导出，，，求出，则，即可解答． （2）过点A作于点C，于点M，推导出四边形为矩形，得到，继而推导出，求出，，再由，求出，则，即可解答． 【详解】解：过点P作于点F，如图 由题意及图，得 ， ， ， ∴， ∴． 答：的长为． （2）过点A作于点C，于点M，如图， 有， ∴四边形为矩形， ∴， ∵小山坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：的长为． 24．（本题12分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 【答案】(1) (2)； (3)m的值为3或5． 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式； （2）对称轴为直线，过点P作轴，垂足为G，证明，即，可得P的坐标，根据，代入数据即可求解； （3）新抛物线的表达式为，由题意可得，过点F作轴，垂足为H，由得到，那么，则，然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴对称轴为直线，设对称轴交轴于点，过点P作轴，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ； （3）解：设新抛物线的表达式为， 则， ∵对称轴为直线，， ∴，， 过点F作轴，垂足为H， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， ∴将代入得：， 当点D在轴正半轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当点D在y轴负半轴上，则， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述：m的值为3或5． 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度较大，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质等知识点． 25．（本题14分）（）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点……，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （）如图，菱形的边长为，，连接，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值； （）如图，在四边形中，，点为边上一点，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，，求的长． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用勾股定理可得，由旋转的性质得，进而由得到，即得，即得到，即得，再代入计算即可求解； （）过点作交于，作于，同理（）解答即可求解； （）如图所示，过点作交于，作于点，的延长线交延长线于点，可得，进而得到，又由可得，即得，设，则，，，，，，，证明， 得到，再求得，最后代入比例式求出的值即可求解． 【详解】解：（）∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作交于，作于， ∵四边形是边长为的菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）如图所示，过点作交于，作于点，的延长线交延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴，，， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵，， ∴四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， 如图所示，过点作，过点作，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰梯形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 1.如图，将两个宽度为3cm的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD,如果四边形ABCD的面积为15cm, 那么直线AD、CD所夹锐角A的正切值是() A·4 D. 2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列比例式中，能判定DE∥BC的是() D C AD EC A. DB AE B.器怨 C. DE AF D.DB_EC BC EC AB AC 3.下列抛物线中，既在直线x=2右侧是下降的，又在直线x=0左侧是上升的可能是() 118 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y=2x2+3x-4 B.y=-4x2+3x-2 C.y=3x2-4x+2 D.y=-4x2-3x+2 4。已知，线段a么c,求作线段d,使得分行那么下列作法中正确的是（) d B D. d 5.已知一个单位向量è，设、i是非零向量，下列等式中，正确的是() 1 B.em=m C.=i D. 6.下列命题正确的是() A.两个矩形相似 B.两个等腰直角三角形相似 C.两个菱形相似 D.有一对角相等的两个等腰三角形相似 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分) 7.已知a为锐角，且cosa-号则a=度， 8.已知二次函数y=-2(x-2)2+m的图像经过原点，那么m的值为 9.将抛物线y=x2+x向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 10.如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,AB=4,则AP= 1.如图，71,4B-号4C,DP=10,那么D8-一 、A D1 /E F 12.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD=BC=13,如果矩形PQN内接于△ABC中，点P、N分 2/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 别在边AB、AC上，点O、M在BC上，那么矩形POMN的周长为 D B DM 13.已知C是线段AB的中点，设AB=ā，那么AB+BC=·(用向量表示) 14.如图，点D、B在A4BC的边BC上，BAD=∠C,∠B=∠BAC,如果BD=4,BC=3,那么 AC 的 值是一 B 15.一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为 2 y- 】x+x+c,如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是一 123 米. 16.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,EF=3,H是AF的中点，连接CH, 那么CH的长是 G F H O B E 17.如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形 (AB<AD),点E、F分别在边BC、AD上，四边形ABEF为正方形，己知DF=√5-1，那么AB= D B E 18.如图，E、F是正方形ABCD边BC、CD上的点，AE、AF交对角线BD分别于点M、N,如果 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B迟的值是 BM:MN:ND=4:3:2,那么DF D F M B 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） sin60° 19.(本题10分)计算： -c0t230°+ 4c0s45° tan60° 2sin45°+tan45° 20.(本题10分)如图，在△ABC中，AB=4C=5,tamC=3 4 ,∠BAC的平分线AD交边BC于点D,点 E在边AC上，且EC-2AE,BE与AD相交于点F. B D (I)求EF:BF的值： (2)设BA=a,BC=6,求作BF在a、b方向上的分向量，（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作 图中表示结论的分向量) 4/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 21.（本题10分)已知二次函数y=-3x2+6.x+9. (1)用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9化为y=α(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对 称轴和项点的坐标： (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B左侧)，与y 轴交于点C,顶点为D,求四边形DACB的面积. 22.(本题10分)已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,点E在AD的延长线上，BE=BD A E (1)求证：△ABE∽△ACD (2)过点C作CF∥BE交AE于点F,求证：AD2=AE:AF. 5/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.（本题12分)某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量项目式学习，形成了如下报告. 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴 与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云 活动背景 得路“文光射斗”等门额题刻)体现了古人对自然与人文和谐统一的追 求 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 1.小山坡AB的坡比为i=1:2; 2.从点B到点A上升的高度为3米； 3.A处测得塔顶D的仰角为31°； 测量数据 4.无人机从地面沿竖直方向飞行15m到达点P处： 5.在P处测得塔角E的俯角为60°，测得坡底B处的俯角为30°.（点B, E在同一水平线上) 测量示意图 309> 609 431 任务1 (1)求BE的距离；（结果精确到1米） 任务2 (2)求文峰塔DE的高度.（结果精确到0.1米） 参考数据 sim31≈0.52，cos31≈0.86，tan31°≈0.6，√2≈1.414，√5≈1.732 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(本题12分)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A2,0),点B(0,4). 2 B (1)求这条抛物线的表达式： (2)P是抛物线对称轴上的点，连接AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求点P的坐标，并求三角形ABP的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D,过点D作DE∥x轴交新抛物线于点 E,射线EO交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求m的值. 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(本题14分)(1)如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，连接AE,将△ABE绕点A 顺时针旋转90°至△ADF,连接EF交AD于点G,爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点E作EH∥CF, 交AD于点H, 请沿若小王同学的思路思考下去，则二的值为 (2)如图2，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，连接BD,点E为边BD上一点，连接AE,将AABE 绕点A顺时针旋转60至△4DF,连接E即交AD于点G,若B5=2,求始的值； (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=AD=4,∠ABC=120°，点E为边BC上一点，将 △ABE绕点A顺时针旋转120°至△ADF,连接EF交AD于点G,∠AEG=2∠BAE,求BE的长， 图1 图2 图3 8/82025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分) 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共48分） 07. 08. 09 10 11. 12 13. 15 16 17. 18 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共7小题，满分8分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(10分) 20.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：填空题和解答题必 ! 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共24分) 1[A][B][C[D] 3[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 2[][B][C[D 4[][B][C][D] 6[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题4分，共48分） 07. 08. 09 10. 11. 12. 13. 14 15. 16. 17. 18. 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，将两个宽度为的矩形纸条叠放在一起，得到四边形，如果四边形的面积为，那么直线、所夹锐角的正切值是（） A． B． C． D． 2．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，既在直线右侧是下降的，又在直线左侧是上升的可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知，线段，求作线段，使得，那么下列作法中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知一个单位向量，设、是非零向量，下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（   ） A．两个矩形相似 B．两个等腰直角三角形相似 C．两个菱形相似 D．有一对角相等的两个等腰三角形相似 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．已知α为锐角，且，则 度． 8．已知二次函数的图像经过原点，那么m的值为 ． 9．将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ． 10．如果点是线段的黄金分割点，且，，则___________． 11．如图，，，，那么 ． 12．如图，在中，是上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在上，那么矩形的周长为 ． 13．已知是线段的中点，设，那么 （用向量表示） 14．如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 15．一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米． 16．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，连接，那么的长是 ． 17．如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形为黄金矩形，点分别在边上，四边形为正方形，已知，那么 ． 18．如图，是正方形边上的点，交对角线分别于点，如果，那么的值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题10分）计算：． 20．（本题10分）如图，在中，，，的平分线交边于点，点在边上，且，与相交于点． (1)求的值； (2)设，，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 21．（本题10分）已知二次函数． (1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，求四边形的面积． 22．（本题10分）已知：如图，在中，平分交于，点在的延长线上，．    (1)求证： (2)过点C作交AE于点F，求证：． 23．（本题12分）某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告． 活动背景 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青云得路”“文光射斗”等门额题刻）体现了古人对自然与人文和谐统一的追求． 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪，计算器等 测量数据 1．小山坡的坡比为； 2．从点到点上升的高度为3米； 3．处测得塔顶的仰角为； 4．无人机从地面沿竖直方向飞行到达点处； 5．在处测得塔角的俯角为，测得坡底处的俯角为．（点，在同一水平线上） 测量示意图 任务1 （1）求的距离；（结果精确到1米） 任务2 （2）求文峰塔的高度．（结果精确到0.1米） 参考数据 ，，，， 24．（本题12分）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 25．（本题14分）（）如图1，正方形的边长为，点为边的中点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点……，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为__________； （）如图，菱形的边长为，，连接，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，若，求的值； （）如图，在四边形中，，点为边上一点，将绕点顺时针旋转至，连接交于点，，求的长． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期末模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共48分） 07.__________ 08.___________ 09.___________ 10.__________ 11.___________ 12.___________ 13.__________ 14.___________ 15.___________ 16.__________ 17.___________ 18.___________ 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 5 A D B B B B 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7.60 8.8 9.y=x2+5x+6 10.25-2/-2+2V5 11.4. 12.26 8女 14.25 3 5 3 16.5 17.2 18.4 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(本题10分) 5 + 解原式(+ 2 21 1 2 -3+4-22 =3-22. .10分 2 1/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 20.(本题10分) (1)解：如图，过点E作EH∥BC, A B O .△AEH∽△ACD, EH AE CD AC' EC=2AE, .AC=3AE, EH AE 1 CD AC3' :AB=AC,∠BAC的平分线AD交边BC于点D, .BD=CD, EH 1 BD3' EH∥BC, .△EHF∽△BDF, EF EH I BF BD 3 :EP:BF的值为 1 5分 (2)解：如图，作MF∥BA,NF∥BC,根据平行四边形法则，得出向量BM,BN为向量BF在G、b方 向上的分向量. 10分 21.(本题10分) (1)解：y=-3x2+6x+9=-3x2-2x+9=-3x2-2x+1+12=-3(x-12+12 “该二次函数的顶点式为y=-3x2+6x+9=-3x-1)2+12,函数图像的开口方向向下，对称轴为直线x=1, 顶点的坐标为1,12)； 5分 2/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：平移后的新抛物线的解析式为y=-3x-3)2+12,得到顶点D(3,12), 当y=0时，由-3(x-3)2+12=0得：x=1,x2=5, 即点A1,0)、B(5,0),即AB=4, 当x=0时，由y=-15 即点C(0,-15), :四边形D4C8的面积S.mS版专412号41524305410分 22.(本题10分) (1)证明：：BE=BD, ∴∠E=∠BDE, ZBDE ZADC .∠E=∠ADC, :AD平分∠BAC, ∠BAE=∠CAD, .△ABE∽△ACD;5分 (2)证明：：CF∥BE, ∠E=∠CFD, :∠E=∠ADC, .∠CFD=LADC, :∠BAD=∠CAD, ∠ABD=∠ACF, ,∠BAD=∠CAD, .△ABD∽△ACF, :AD、AB AF AC ,△ABE∽△ACD, :E、AB AD AC :AD、AE AF AD AD2=AE,AF.10分 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 23.(本题12分) 解：过点P作PF⊥BE于点F,如图 30VY60 431 B E 由题意及图，得 ∠PFB=∠PFE=90°， ∠BPF=90°-30°=60°，∠EPF=90°-60°=30°， PF =15m, BF=PF,tan∠BPF=l5xtan60°=l5V5, EF=PF.tan∠EPF=15xtan30°=5V3, .BE BF+EF =20335(m). 答：BE的长为35m,6分 (2)过点A作AC⊥BE于点C,AM⊥PE于点M,如图， D 30 K60 431 M B E 有AC=3,∠DAM=31°，∠ACE=∠AME=∠AMD=∠DEC=90°， :.四边形ACEM为矩形， ∴.ME=AC=3,AM=CE, :小山坡AB的坡比为i=I:2, itan ZABC=AC1 .BC=2AC=6, .CE=BC+BE=6+35=41m, .AM=41m, 4/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 'tan∠DAM=DM AM' .DM=AM·tan∠DAM=41×tan31°≈24.6m. .DE DM ME 27.6m. 答：DE的长为27.6m.12分 24.(本题12分) D解：抛物线y=+hx+c经过点4-2,0，点80,4 [-2-2b+c=0 ，解得 b=1 c=4 c=4' .抛物线解析式为y=-。x2+x+4; 4分 2》解：y=式+4=-+号 2 :对称轴为直线x=1,设对称轴交x轴于点H,过点P作PG⊥y轴，垂足为G, B ∠PB0=∠BAO,∠PGB=∠BOA, ∴.△PGB∽△BOA, PG BO BG AO 14 BG2 1 .BG= 2 w- :∠PG0=∠G0H=LPH0=90°， .四边形PGOH是矩形， 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PH=0G=2' 7 :SAPAB=SA0AB+S梯形PBOH-S△PHH +4x1 =x2x4+2 1 2+1)x7=5 8分 22 22 (3》解：设新抛物线的表达式为y=- x2+x+4-m, 2 则D(0,4-m, :对称轴为直线x=1,DE∥FH, .E2,4-m,DE=2, 过点F作FH⊥y轴，垂足为H, B .DE∥FH,而EO=2OF, .△DE0△FH0, DE EO DO 2 FH OF OH 1' 7=1,OH=D 将1代入y=+4-m得m。 当点D在箱正率上时、F(小， :FH⊥y轴， :.OH=m-2' 5 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D0-4-m=2 :OH 51, m-2 .m=3, 当点D在y辅负半错上，则F号m :0H=m-2' 9 D0m-42 :.OH 91, m-2 m=5, 综上所述：m的值为3或5,12分 25.(本题14分) 解：(1)：四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴∠B=∠ADC=∠C=90°，AB=BC=CD=2, :点E是BC的中点， BE-CE-BC=1. AE=AB +BE=2+1=5 由旋转的性质得，∠ADF=∠B=90°，DF=BE=1, ∠ADF+∠ADC=180°， ·C、D、F三点共线， :EH∥CF, .∠EHD=180°-∠HDC=90°， 四边形CDHE是矩形， ∴.DH=CE=1,HE=CD=2, :EH∥CF, △EHG∽△FDG, ,HG_HE_2=2, DG DF1 .HG =2DG, 1 .DG=-DH= 3 3 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AG-AD-DG-2-3-3 15 :AG 3 5 AE 5 3 故答案为： 5 4分 3 (2)如图，过点E作EM∥AB交AD于M,作EN⊥AB于N, N B M E D :四边形ABCD是边长为6的菱形， AB=AD=6,AB∥CD, :∠BAD=60°， △ABD是等边三角形，∠ADC=120°， ∠ABD=60°，BD=AB=6, BE=2, DE=6-2=4, 在Rt△BEN中，∠BEN=90°-60°=30°， :BN=-BE=1, 2 AN=6-1=5,NE=√BE2-BN2=V22-12=√5， AE=VAN2+NE=S2+(5=27, :EM∥AB, ∠DME=∠DAB=60°，∠DEM=∠DBA=60°， ·△DME是等边三角形， ∴.ME=DE=DM=4, :将△ABE绕点A顺时针旋转60°至△ADF, ∠ADF=LABE=60°，DF=BE=2, :∠ADF+∠ADC=60°+120°=180°， 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C、D、F三点共线， :EM∥AB,AB∥CD, ∴.EM∥CD, ∴.△FDGn△EMG, :MG=ME=4=2, DG DF2 .MG=2DG, :DG=-DM 4 3, AG=AD-DG=6-4-14 33’ 14 .AG3V7片9分 AE2√73 (3)如图3-1所示，过点E作EK∥AB交AD于K,作EQ⊥AB于点Q,QE的延长线交AB延长线于点 R, B R 图3-1 :AB∥CD, .AB∥CD∥EK, ∠BAE=∠AEK,∠EFC=∠FEK, :∠AEG=2∠BAE, ∴.∠BAE=∠AEK=∠FEK=∠EFC, .∠ABC=120°， .∠C=∠EBR=60°， .∠CEQ=∠BER=30°， 设BE=2x,则BR=x,ER=V3x,EC=4-2x, .EQ=V3(2-x),0C=2-x,AR=4+x, :将△ABE绕点A顺时针旋转120°至△ADF, .DF=BE=2x,∠ADF=∠ABE=120°， 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=AD=AC,AB∥CD, .四边形ABCD是等腰梯形， .∠ADC=∠C=60°，∠BAD=∠ABC=120°， ∴.∠ADF+∠ADC=120°+60°=180°， C、D、F三点共线， :∠BAE=∠EFC,∠ARE=∠FQE=90°， .△ARE∽△FQE, ERAR EO OF 如图3-2所示，过点B作BP⊥CD,过点A作A0⊥CD,则LAOP=∠AOD=∠BP0=∠BPC=90°， B 图3-2 :AB∥OP, ∴.∠0AB=∠A0D=90°， :四边形OABP是矩形， 0P=AB=4,∠ABP=90°， .∠PBC=∠DA0=30°， 8PCBC=2,0D=24D2 CF=2+4+2+2x=8+2x, QF=8+2x-2-x=6+3x, 3x 4+x 52-x6+3x 解得x=V5-1,x,=-5-1(不合，舍去)， BE=2x=2V5-2.14分 10/10: 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 (考试时间：100分钟试卷满分：150分) 注意事项： : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 斯 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 .: 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：沪教版九年级上册相似三角形、锐角的三角比、二次函数。 : 第一部分（选择题共24分） : 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 尽 目要求的) 1.如图，将两个宽度为3c的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD,如果四边形ABCD的面积为 .: 15cm2,那么直线AD、CD所夹锐角A的正切值是() O 0 斟 3 B. C. : A4 3 5 0. 5 2.如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列比例式中，能判定DE∥BC的是() : : AD EC A. DE-AF B. D8-4g BC AC C. DE AE BC-EC D.DBEC AB AC 3 ,下列抛物线中，既在直线x=2右侧是下降的，又在直线x=0左侧是上升的可能是（) .: A.y=2x2+3x-4 B.y=-4x2+3x-2 : 试题第1页（共6页） : 可学科网·上好课 C.y=3x2-4x+2 D.y=-4x2-3x+2 4.已知，线段a人，求作线段d,使得6，那么下列作法中正确的是（) B. 5.已知一个单位向量e,设m、是非零向量，下列等式中，正确的是() 1 A前m=E B.em=m c.l园e=n 6.下列命题正确的是() A.两个矩形相似 B.两个等腰直角三角形相似 C.两个菱形相似 D.有一对角相等的两个等腰三角形相似 第二部分（非选择题共126分) 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7.已知a为锐角，且cosa=2则a=度. 8.己知二次函数y=-2(x-2)2+的图像经过原点，那么m的值为 9.将抛物线y=x2+x向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是 10.如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,AB=4,则AP= 11.如图，4/h,∥%，AB=2AC,D=10,那么DB= 5 A D 12.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD=BC=13,如果矩形PON内接于△ABC中，点P、N分 别在边AB、AC上，点Q、M在BC上，那么矩形POMN的周长为 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 DM C Q 13.已知C是线段AB的中点，设AB=a,那么AB+BC=·(用向量a表示) 14.如图，点D、E在△ABC的边BC上，∠BAD=∠C,∠B=∠EAC,如果BD=4,EC=3,那么 AB 的 AC 值是一 B D E 15.一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为 1 2 y= 12+ x+C,如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米 16.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1,EF=3,H是AF的中点，连接CH, 那么CH的长是 G B E 17.如果一个矩形的宽与长的比值为黄金分割数，那么称其为黄金矩形，如图，矩形ABCD为黄金矩形 (AB<AD),点E、F分别在边BC、AD上，四边形ABEF为正方形，已知DF=√5-1，那么 AB= A F E 18.如图，E、F是正方形ABCD边BC、CD上的点，AE、AF交对角线BD分别于点M、N,如果 BM:MN:WD=43:2,那么DE 的值是一 试题第3页（共6页） D C E 三、解答题（本大题共7小题，满分78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.（本题10分)计算：im60 cot30°+ 4c0s45° tan60° 2sin45°+tan45° 张 20.（本题10分)如图，在△ABC中，AB=AC=5,tanC=3 加 ,∠BAC的平分线AD交边BC于点D,点 E在边AC上，且EC=2AE,BE与AD相交于点F. 数 游 S B D (1)求EF:BF的值： (2)设BA=a,BC=b,求作BF在a、b方向上的分向量.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作 图中表示结论的分向量) E肉 世 21.(本题10分)已知二次函数y=-3x2+6x+9. (1)用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9化为y=a(x+)+k的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对 称轴和项点的坐标； (2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y 轴交于点C,顶点为D,求四边形DACB的面积. 试题第4页（共6页） 22.(本题10分)己知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,点E在AD的延长线上， BE=BD. O B E (1)求证：△ABE∽△ACD (2)过点C作CF∥BE交AE于点F,求证：AD2=AE·AF. O % 23.(本题12分)某校九年级数学活动小组开展了“古塔高度的测量”项目式学习，形成了如下报告. 文峰塔（俗称镇龙塔）坐落于湖南省境内，承载着深厚的历史文化底 蕴与科学实践价值，其精湛的建造技艺与独特的风水文化象征（如“青 活动背景 云得路”“文光射斗”等门额题刻)体现了古人对自然与人文和谐统一的 追求 O 活动主题 测算文峰塔的高度 测量工具 无人机，测角仪， 计算器等 1. 小山坡AB的坡比为i=1:2; 2. 从点B到点A上升的高度为3米： 3. A处测得塔顶D的仰角为31°： 测量数据 4. 无人机从地面沿竖直方向飞行15m到达点P处： 5.在P处测得塔角E的俯角为60°，测得坡底B处的俯角为30°.（点 B,E在同一水平线上) K D 测量示意图 302Y60 431 B E : 试题第5页（共6页） 可学科网·上好课 任务1 (1)求BE的距离：（结果精确到1米） 任务2 (2)求文峰塔DE的高度.（结果精确到0.1米） 参考数据 sim31≈0.52，cos31≈0.86，tan31°≈0.6，√2≈1.414，√5≈1.732 24.(本湿12分)如图，抛物线y=式+s+e经过点4A〔-20)，点B(Q4到. B (1)求这条抛物线的表达式： (2)P是抛物线对称轴上的点，连接AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求点P的坐标，并求三角形ABP的面 积： (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D,过点D作DE∥x轴交新抛物线于点 E,射线EO交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求的值. 25.(本题14分)(1)如图1，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，连接AE,将△ABE绕点A 顺时针旋转90°至△ADF,连接EF交AD于点G,爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点E作 BH∥CP,交AD于点以，请沿若小王同学的思路思考下去，则始的值为一一： (2)如图2，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，连接BD,点E为边BD上一点，连接AE,将△ABE 绕点A顺时针旋转60至△4DF,述接ZP交AD于点G,若BB=2,求铝的值， (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=BC=AD=4,∠ABC=120°，点E为边BC上一点，将 △ABE绕点A顺时针旋转120°至△ADF,连接EF交AD于点G,∠AEG=2∠BAE,求BE的长. D 图1 图2 图3 试题第6页（共6页）