16.1 二次根式及其性质（题型专练，6基础题型+5提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

16.1 二次根式及其性质 题型一 二次根式的识别 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，二次根式是指形如的代数式，据此逐项判断即可求解． 【详解】解： A. 是二次根式，不合题意； B. 不是二次根式，符合题意； C. 是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，不合题意． 故选：B 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 题型二 二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需使被开方数非负，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ， ∴ 选项中只有满足条件． 故选：A． 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 3．要使二次根式有意义，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， 故的值可以是2， 故答案为：2． 4．在实数范围内，当 时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 3．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键． 4．当时，二次根式的值为 ． 【答案】1 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 5．计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0 【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算； （3）根据二次根式的性质直接计算即可； （4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 题型四 求二次根式的绝对值或相反数 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，进行解答即可． 【详解】解：∵正数的绝对值是它本身， ∴的绝对值是， 故选：D． 2．的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，二次根式．熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的相反数为， 故选：C． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 2．化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 3．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握（为任意实数）． 先计算被开方数的值，再根据二次根式的性质求算术平方根． 【详解】解：． 故答案为：5． 4．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 5．化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型六 化简求代数式的值 1．若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算．利用平方差公式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 2．若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【详解】解：， 当，原式． 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 3．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 4．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式，完全平分公式的知识，解题的关键是根据，然后把，的值，代入，即可． 【详解】∵， ∴当，时，． 5．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 【答案】(1)16 (2)． 【分析】（1）根据完全平方公式写成，把x、y的值代入计算即可； （2）根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解：，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键． 6．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可． 【详解】（1）根据二次根式的性质，判断出小亮的计算是错误的， 故答案为：小亮； （2）二次根式的性质为：（或）， 故答案为：（或）； （3）解：原式， ， ， 原式 ． 题型一 复合二次根式的化简 1．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 2．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 3．化简＝ 【答案】 【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5．已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． 【答案】-2018 【分析】先对式子4x2+4x-2020进行化简变为完全平方式，然后代入求值即可解答本题． 【详解】解：∵x＝， ∴4x2+4x-2020 =（2x+1）2-2021 =（2×+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（+1）2-2021 =（−1+1）2-2021 =3-2021 =-2018． 故答案为：-2018． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是巧妙的对原式进行变形，然后进行求值即可． 题型二 根据二次根式的有意义的条件求参数的取值范围 1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，根据代数式有意义，则，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故选：． 2．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分数有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．函数分母为平方根，需满足被开方数非负且分母不为零，可以求出的范围． 【详解】解：分母要求且， ，即， 故选：B． 题型三 利用二次根式的非负性求代数式的值 1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出，根据，得到的值，再代入计算． 【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得 或或 解得或或 当时，； 当时，； 当时，． 的值为或或． 故选：D． 2．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，且， 解得且． 故选：A． 3．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为，二次根式被开方数为非负数是解答本题的关键．根据分式中分母不等于，二次根式中被开方数为非负数解答即可． 【详解】解：根据题意， 解得：． 故选：C． 4．若x，y为实数，且，则xy的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式的被开方数非负性是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负性，确定x的取值范围，进而求出x的值，代入原方程求出y的值，最后计算xy的值． 【详解】解：由题意，得， 解得． 将代入，得 解得：． ∴ 故选：C． 5．若实数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的条件求出进而求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 6．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的非负性；根据根号下的表达式必须非负，从而确定，代入原方程求出，最后计算的值． 【详解】解：∵和在实数范围内有定义， ∴且， ∴且， ∴． 代入原方程： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 7．已知x，y是实数，且满足，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识，正确确定x，y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可知，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，可知， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的运算、实数的性质、二次根式有意义的条件，根二次根式有意义的条件求得a的值成为解题的关键． 根据实数的性质可得，解得：，进而求得，然后代入据此可得求解即可． 【详解】解：由题意得，，解得：， ∴， ∴． 故选；B． 9．已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求出的范围，对原式进行化简是解决本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得的值． 【详解】解：， ， 则原式可化简为：， 即：， ， ； 故选：C 10．若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式求值． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性求出a和b的值，再计算代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：C． 题型四 二次根式中的最值问题 1．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查二次根式．由是整数，可设（为非负整数），则，且，故，枚举值进而求出的可能值，即可得出答案． 【详解】解：∵是整数， ∴设，其中为整数且， 则， ∴． 又∵是自然数， ∴，即， ∴， ∴可取0，1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴的可能值为13，12，9，4，最小值为4． 故选：D． 2．要使有意义，能取的最小整数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，不等式的解法，根据二次根式有意义的条件可得，进一步求解即可. 【详解】解：根据题意可知，当时，二次根式有意义，即． 能取的最小整数值为． 故选A． 3．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 4．若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先将化简，再根据其为整数的条件，确定正整数的最小值． 【详解】解：． 因为是整数， 所以必须是整数．则为完全平方数，正整数的最小值为． 故答案为：． 49．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，理解是整数的条件是解决本题的关键． 根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的值即可． 【详解】解：∵是整数， ∴一定是一个完全平方数，最小是， 此时的值为． 故答案为：． 题型五 二次根式与三角形问题 1．等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键． 根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可； 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a，b是等腰三角形的两边， ∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系， 此时三角形的周长； 当为腰时，三边为3，3，7，由于，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17． 故选：A． 2．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 3．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件和等腰三角形的定义与周长．先根据二次根式有意义的条件求出，，再分情况求出三角形的周长即可． 【详解】解：∵，根据二次根式有意义的条件得到， ， 若腰长为3，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 若腰长为4，三边为，∵∴能构成三角形，则周长为， 三角形的周长为10或11． 4．若，是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长． 【答案】等腰三角形的周长为11或13 【分析】根据二次根式有意义的条件，得出不等式组，解得，则．对于知道两条边长的等腰三角形，要分类讨论，并要验证是否成立． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 则， 当为腰时，等腰三角形的三边长分别为3，3，5， ∴此时等腰三角形的周长为； 当为腰时，等腰三角形的三边长分别为5，5，3， ∴此时等腰三角形的周长为； 综上分析可知，等腰三角形的周长为11或13． 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 2．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 3．若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式和=|a|,先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】解：原式=-=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0， ∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0， ∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x＜0， ∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4 故选B． 4．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 5．已知，若整数满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围． 【详解】解： 为整数 为 故答案为：5． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出的取值范围是解此题的关键． 6．已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是 ． 【答案】11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：，解得：，把代入求出a的值，然后再分类分析，计算三角形的周长即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 把代入，得 当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：， 综上所述，此三角形的周长为11或 故答案为：11或 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、不等式、解方程等知识点，题目较为新颖，理解题“整数区间”的定义是解题的关键． （1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是． 故答案为：，． （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． ∴的值为2或． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∴、， 两式相减，得，即， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“整数区间”是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1 二次根式及其性质 题型一 二次根式的识别 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列代数式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件 1．若在实数范围内有意义，则可以为（    ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．要使二次根式有意义，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 4．在实数范围内，当 时，有意义． 题型三 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算： ． 3．当时，二次根式的值为 ． 4．当时，二次根式的值为 ． 5．计算： （1） （2） （3） （4） 题型四 求二次根式的绝对值或相反数 1．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 2．的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 2．化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 3．计算： ． 4．化简： ． 5．化简 ． 题型六 化简求代数式的值 1．若，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．7 2．若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．若，，求的值． 5．已知，，求下列各式的值： (1) (2)． 6．先化简，再求值：，其中． 如图是小亮和小芳的解答过程． (1)_____________的解答过程是错误的； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________； (3)先化简，再求值： ，其中． 题型一 复合二次根式的化简 1．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 2．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 3．化简＝ 4．化简： ． 5．已知x＝，则4x2+4x﹣2020＝ ． 题型二 根据二次根式的有意义的条件求参数的取值范围 1．若代数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D．且 题型三 利用二次根式的非负性求代数式的值 1．已知是实数，且满足，则相应的的值为(        ) A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3 2．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 3．函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若x，y为实数，且，则xy的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．不能确定 5．若实数满足，则（   ） A． B． C．1 D．2 6．若，则的值为（） A．1 B．2 C．3 D．5 7．已知x，y是实数，且满足，则的值是（   ） A．1 B． C．0 D． 8．已知a，b为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．已知满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 10．若，为实数，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 题型四 二次根式中的最值问题 1．已知是整数，则自然数的最小值是（    ） A．12 B．9 C．1 D．4 2．要使有意义，能取的最小整数值为（   ） A． B． C． D． 3．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是 ． 4．若是整数，则正整数的最小值是 ． 49．若是整数，则正整数n的最小值为 ． 题型五 二次根式与三角形问题 1．等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 2．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为 ． 3．已知，分别为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 4．若，是一等腰三角形的两边的长，且满足等式，求等腰三角形的周长． 1．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 2．如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 3．若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 4．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 5．已知，若整数满足，则 ． 6．已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是 ． 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是 ；的“整数区间”是 ； (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“整数区间”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $