甘肃省九师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择題每小題选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，三角函数，三角恒等变换，复数，立体几何（含空间向量）（约占 30%),函数，导数，平面向量，解三角形，数列（约占70%）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={-2,一1,0,1,2}，B={xx2-x-2≤0}，则A∩B= A[-1,2] B.(-∞，-2]U(3,+∞) C.{-1,0,1,2)} D.{0,1,2} 2.在复平面内，复数=牛对应的点位于 A第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 3.已知向量a=(一2，m十3)，b=(m,1),若a与b共线，则实数m= A.-1 B.2 C.-1或2 D.-1或-2 4已知力：是<1,9>1，则力是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.在等差数列(an}中，ag=8,a2十a6=18,则a226= A.2025 B.2027 C.2029 D.2031 6.已知0<a<受，且cos(e+晋)=号，则cosa= A.3+2 B23+1 5 C.33+4 10 10 7.已知△ABC的三边长分别为2,3,4，则△ABC的外接圆的面积为 A缙 B器 C.15π D.8 15r 15 【高三12月质量检测·数学第1页（共4页）】 GS 4-x2,x≤0， 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(f(x))一t恰有5个零点，则实数t的取值范 In x|+2,x>0, 围为 A.(2,e2] B.(ln2+2,4] C.(n2+2,2ln2+2] D.(2,4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=2sin(2x-号)，则 Af()的图象关于直线x-罗对称 Bf(x)的图象关于点（一，0）对称 C.f(x)在[一受，-否]上的值域为[-3w3] D.f(x)在[一受，一吾]上单调递增 10.已知函数f(x)=弓x3+ax十1(a∈R),则 A.f(x)的图象关于点(0,1)对称 B.3a<0,使得f(x)在(-1，十∞)上单调递增 C.若f(x)存在极值，则a<0 D.若f2)有三个零点，则a<-(侵)月 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BCD1中，E为棱CD的中点，P为侧 面BCCB1内一点（含边界），则 A,若P为棱CC,的中点，则平面AEP截正方体所得截面为梯形 B.若P为线段BC1上一点，则三棱锥D,-PAE的体积为定值 C.若P为BB1的中点，则A1P∥平面ACE D.若P为侧面BCCB,的中心，则过E且与DP垂直的平面截正方体所得截面面积为√6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(x)=2十aX2r为奇函数，则实数a= 13.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水 平的地面上选择三个点B,C,D,点B作为测量基点，设大厦主体的最高点为A (AB与水平面垂直)，在点C和点D处测得点A处的仰角分别为60°和45°，测得 ∠DBC=30°，CD=225米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）(w5≈1.73). 14.在数列(a}中，a1=26,a+1=an十2，则片的最小值为 【高三12月质量检测·数学第2页（共4页）】 GS 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8. （1若c0sB=-号求角A: (2)若△ABC的面积为5√I5,且C为锐角，求c的值. 16.(本小题满分15分) 在数列{an}中，a1=1,na+1=(n十1)a,十1. (1)求{an}的通项公式； (2)若6，-导，求数列{6，}的前n项和S 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD'为正方形，平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别为棱CD 和PA的中点 (1)证明：EF∥平面PBC; (2)若AD=2,PA=PD=√5，求平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值. 0. 【高三12月质量检测·数学第3页（共4页）】 GS 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=g+3: 9* (1)证明：f(x)十f(1一x)为定值 (2)若数列(a}的通项公式为am-f(积)(n≤m,m∈N),求数列(a,}的前m项和Sm (3若数列6.)的通项公式为6，=立+日，记工，=+十安+…+2若(2)中的S.满足Vn∈ N°，Sn≤Tn,求Tn及m的最大值. 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=lh(x+1)平a(e>0),. (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在[0，十∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)若f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围. 【高三12月质量检测·数学第4页（共4页）】 GS高三数学参考答案、提示及评分细则 1.C由x-x-20,得-1≤x≤2，所以B=[-1,2],A∩B={-1,0,1,2.故选C 2A:得+部年器-1结号+日，故在复平面内，复数：对应的点为（号号）：位于第一象限放法入 3.D因为a与b共线，所以m(m十3)-(-2)×1=0，即m2+3m十2=0，解得m=-1,或m=-2.故选D. 4.B由<1，得x<0,或x>1,所以由p推不出q,但由q可以推出p,所以p是9的必要不充分条件.故选B. 5.D设{a}的公差为d,由a2+a6=18,得a4=9,所以d=a4一a=9-8=1,所以a226=8+2023×1=2031.故选D. 6C因为0<a<受，所以吾<a十吾<等，又cos(a+吾)=是，所以sm(a+吾)=告，所以cosa=cos[(a+吾) 吾]=os(a+晋)os音+n(a+音)s如吾=是×+告×-3，故选C 2 5 2 10 A记长为4的边的对角为烟s-表器=子，所血厂（了-压，设△A议的外接圆半 径为则由正孩定理，得2击。希所以壳所以△A收外接圆的面积为X(亮)广=等放达入 8.C由g(x)=f(f(x))一t恰有5个零点，则关于x的方程f(f(x))=t恰有5个相异实根，令f(x)=m,问题转化 为清足《)的上恰有5个不同的解作出函数()的图象，如图所示，由图易得：当1<2时，关于m的方程 f(m)=t仅有一个实根o,且<0，此时f(x)=m仅有1个实根，不合题意；当1=2时，f(m)=1仅有两个相异实 根一√2,1，而f(x)=一√2，f(x)=1各仅有1个实根，不合题意；当2<1≤4时，f(m)=t仅有3个实根m,2,m,且 m1≤0<2<1<13≤e2,f(x)=m:(i=1,2)各仅有1个实根，且两实根均小于一√3，则f(x)=有三个实根，必有 2<s≤4，所以1n2+2=f(2)<t≤f(4)=2ln2+2.又2<t≤4，所以ln2+2<t2ln2+2,此时的5个实根互不相等， 即gx怡有5个零点：当>4时，f(m)=1仅有2个相异实根mm,且0<m<己m%>c2,此时f(x)=m仅有 1个实根，f(x)=5有2个实根，不合题意.所以实数t的取值范围为(ln2+2,21n2+2].故选C. √2m1O1m2 9.BC 因为/()=2simx=0,所以f(x)的图象关于点（等，0）对称，不关于直线=受对称，放A错误：(-吾) 2im(一x)=0,故f(x)的图象关于点(-吾，0)对称，放B正确：当x∈[-受，-吾]时，2x-吾∈[一弩，一]，此 时2sim(2x-吾)∈[-5w5],所以f(x)的值域为[-5w3],故C正确：当x∈[-受，号]时，2x-吾∈ [经，一元]，因为y=smx在[一经，-x]上单调递减，所以f()在[-受，一吾]上单调递减，故D错误.放选C 10.ACD由题意得f(-x)十f(x)=2,所以f(x)的图象关于点(0,1)对称，故A正确；f(x)=x2+a,当a≥0时， f(x)=x2+a≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，当a<0时，令∫(x)=x2+a=0,得x=士√一a,易 知f(x)在(-o∞，一√一a),(√一a,十∞)上单调递增，在(-√一a,√一a)上单调递减，所以不存在a<0,使f(x) 在(-1，十o∞)上单调递增，f(x)m=f(-厂a)=号（一a)+1>0,f(x)A=-号（一a)+1,要使 fx)有三个零点，必有f(x)=一号（一a)+1<0,解得a<-(号)广，放B错误，CD正确.放选ACD, 【高三12月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 GS 11.ABD连接AE并延长交BC于F,连接FP并延长，易得交BB,于B1,连接AB,得截面，易得四边形AEPB为梯形 (如图1)，故A正确：若P为BC1上一点，如图2，因为BC1∥AD,易证BC∥平面ADE,所以点P到平面AD1E的 距离不变，又△AD1E的面积固定不变，所以三棱锥P-AD1E,即三棱锥D1-PAE的体积为定值，故B正确；如图3， 取AB的中点M,连接MC,AM,则AE∥CM,显然平面ACE即为平面AECM,且AP与平面AECM相交，故C 错误；如图4，若P为BCC1B的中心，即为BC的中点，取CC的中点N,连接DN,AE,DE,AD,则DE⊥DN, PN∥BC.易证BC⊥D1E,所以PN⊥D1E,又DN∩PN=N,DN,PNC平面DPN,所以D1E⊥平面DPN,所以DP⊥ D1E,同理可证DP⊥AE,进而可证DP⊥平面ADE,所以过E且与DP垂直的平面截正方体所得截面为△ADE,易 求DE=AE=5,AD=2厄，所以△ADE的面积为号×2EX√(5)-(2了=5，故D正确.故选ABD, D 图1 图2 图3 图4 12.一1由题意知f(x)的定义域为R,f(-x)+f(x)=2x+a×22+2+a×22=(a+1)(2x+2x)=0,所以a+1 =0,所以a=-1.经检验，a=-1符合题意， 1品39设AB=,在△ABC中，an0-元，所以BC-号，同理在△ABD中，BD=不在△BCD中，由余弦定理，得 DC=BD+BC-2BD·BCc0s30°=r2+3x2-2=32,即2252=3x2,所以x=25/≈389.25≈389. 14.9由at1=a十2，得a1-a,=2,所以当≥2时，a.=(a-a-1)+(a-1-a-)++(a-a)+a= 2(m-1)+2(m-2)++2+26=-十26，当1=1时，上式成立，所以4，=心-n十26，所以4=+26-1.因为 函数f(x)=x+2-1在(0,2)上单调递减，在（√2丽，十∞）上单调递增，所以{号在n=12,,5时递减，在 x ≥6时递增，又号=5+9-1=兽号=6+碧-1=号号<号，所以号的最小值为号 15.解：1)因为c0sB=-号，所以B∈（受x),且sinB=V个-cosB=专， …2分 曲品品a得血A=曾B_5 b 8 2 4分 因为B∈（受x,所以A∈(o,受），所以A=晋 …6分 (2)因为△ABC的面积为5√5，所以2 absin C=-5V5, …7分 因为a=5,b=8,所以simC=厘 4 …9分 因为C为锐角，所以c0sC=个一smC=子， 11分 所以e-a2+6-2 alosC=25+64-2X5×8X4-69,所以c=6丽. …13分 16.解：(1)因为a+1=(n十1)an十1， =干m干1)=n十n+1即=，十1】 所以=a十 1 1 +1 …3分 所以数列十)为常教列，……5分 又4中=2，所以+1=2，所以a=2,-1. …7分 n (2)由(1)得b,=201 3 …8分 8司+++子 +21-3+2m=1 3-1 3 【高三12月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 GS 3见 3十1 9分 两式相碳，得=十导十导十 +…+22-1 33+ 11分 1 1+2×33mX3 2-1 2+2 3 3+1 13分 3 1 所以S=1-+1 3 15分 17.(1)证明：取棱PB的中点G,连接FG,CG, 1分 因为FG为△PAB的中位线，所以FG/AB,且FPG=AB, …2分 因为四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，所以EC∥AB,且EC-2AB, …… 3分 所以FG∥EC,FG=EC,所以四边形CEFG为平行四边形， …4分 所以EF∥CG. 又EF￠平面PBC,CGC平面PBC, 所以EF∥平面PBC… …6分 (2)解：分别取棱AD,BC的中点O,M,连接OP,OM,则OM⊥AD. 因为PA=PD,O为AD的中点，所以PO⊥AD,…7分 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD,因为OMC平面ABCD,所以PO⊥OM,…8分 所以直线PO,OD,OM两两垂直，以O为原点，直线OM,OD,OP分别为x轴，y轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,-1,0),C(2,1,0),E(1,1,0), A0,-10,P0,02).所以r(0,之1)，=1，-2.0萨=(-1，-号1)，A4 BC=(0,2,0),PB=(2,-1,-2).… …9分 M EF.m=0, 3 设平面BEF的一个法向量m=(x,y,之)，则 即 .7 E克·m=0, 一x-受叶=0令y=1,解得x=2,=乞’ x-2y=0, 所以m=(2,1) 11分 设平面PBC的一个法向量n=(a,b,c),则 p克n=0即 BC.n=0, a-b-2c=0令c=1,解得6=0，a=1, 2b=0, 所以n=(1,0,1).………13分 11 记平面BEF与平面PBC的夹角为0，则cos0=|cos〈m,n》|= m。n =11138 m·n 138 即平面BEF与平面PBC的夹角的余弦值为L …15分 181证明：由/0=3得f1-)=9千+3×g3 91-x 9 3 …2分 所议)+1-)g产，26= 3 即f(x)+f(1一x)为定值1.… …3分 (2)解：由1)知f(x)+f1-x)=1,所以f(合)+(1-杂)=11<≤m-1D, 即f(岛)+f(m）=11≤m-1), …5分 所以a+a=11≤m-1D,又f(只）=f1)=g是3=是， 7分 所以Sm=a1+a2十a十…十am-1十am, Sm=am-1十am-2十am-3+…+a1十amy …8分 两式相加，得2S。=(m一1)X1+号=m十7， 【高三12月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 GS 所以Sn=2m+1 4 10分 (3)解：因为么=2+日，所以6，=2n+2), 所u2-=6(十2 …11分 所以=+安+六+…+=6（片青）+（合-）+6（信号）+…6（片）6（日） =6(号)=9片 13分 因为b>0,所以数列{Tm》为递增数列， 所以工.的最小值为工=9一号号=4， 14分 因为S<工，恒成立期S=2<4,解得m<号 4 16分 所以正整数m的最大值为7.… 17分 19解：a由/)=lhcx+1)辛。=ncx+1)-2+0a 2a 1 2a 得f(x)=十中（x十@，… …2分 当a=3时/(0)=1-号=3f0=0 所以曲线y=fx)在点(0，f0)处的切线方程为y一0=号(x-0),即)=号 …4分 (2)因为f(x)在[0，十o∞)上单调递增，所以Hx∈[0，十∞)，f(x)≥0.… 5分 自陶rw)中产=a0, 2a …6分 因为x+1>0,(x+a)2>0,所以x2+a2-2a≥0，即a2-2a≥-x2在[0，+o∞)上恒成立， 所以a2-2a≥0，又a>0,所以a≥2， 即a的取值范围为[2，十∞).… …8分 (3)①当a≥2时，f(x)≥0在(-1，+∞)上恒成立，所以(x)在(-1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)不存在极值，不合题意；… …9分 x2-1 x-1 ②当a=1时，f()=x++=+,所以当-1<x<1时，fx)<0:当x>1时，f(x)>0,所以 f(x)在（一1,1）上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以∫(x)无极大值，不合题意；…10分 ③当1<a<2时，f(x)的定义域为(-1，+o∞)，2a-a∈(0,1)， 令f(x)=0,得m=-√2a-a,x2=√2a-a,当x∈（-1,0)U(x,+o∞)时，f(x)>0,当x∈(x2)时， f(x)<0,所以f(x)在（一1，），(x2,十∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(),极小值为f(x2),且f(x)>f(2),不合题意；…11分 ④当0<a<1时，f(x)的定义域为(-1，一a)U(-a,+o∞)，2a-a2∈(0,1)，且√2a-a>a,…12分 令f(x)=0,得0=-V/2a-a,x2=√2a-d,且-1<x1<-a, 当x∈(-1，x)时，f(x)>0:当x∈(m,-a)时，f(x)<0;当x∈(-a,xm)时，f(x)<0; 当x∈(2，十0∞)时，f(x)>0,… …13分 所以f(x)在（一1，x)上单调递增，在(，一a)上单调递减，在（一a,x2)上单调递减，在(x2,+o∞）上单调递增， 所以f(x)的极大值为f(),极小值为f(n),且f(m)=1n(a+1)-2+2a zi+a' f)=ln(m+1)-2+-2a x2十a …15分 f)f)-hc+D-hcs+1叶。。-h+a 2a(x2-x1) 因为<-a所以h号0,4。<0，所以f)-)0, 即f(x)<f(x2),符合题意. 综上所述，a的取值范围为(0,1).… 17分 【高三12月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 GS