19.1二次根式及其性质（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

该初中数学教学设计聚焦二次根式的概念及有意义的条件，以广播电视塔信号传播实例导入，联系生活引出含根号式子，衔接整式、分式构建代数式知识体系，搭建新旧知识学习支架。 亮点在于从长方形围栏、自由落体等实际问题抽象概念，培养数学眼光（抽象能力），通过观察归纳自主发现特征发展推理意识，用二次根式表示数量关系体现模型意识，融入中考真题巩固提升应考能力，助力学生理解概念，方便教师教学。

19.1二次根式及其性质（第1课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课从实际问题出发，用含有根号的式子表示数量和数量关系，归纳得到二次根式的概念，并探索二次根式有意义的条件。 2. 内容分析 本节课是“数与代数”领域的重要内容，承接算术平方根的知识，是后续学习二次根式运算以及解无理方程的基础。从实际问题引入，通过用含根号的式子表示数量和数量关系，让学生经历“具体情境→数学抽象→概念形成”的过程，符合学生从具象到抽象的认知规律。二次根式的概念界定与有意义的条件探究，是本节课的核心，前者是对“形如 (a≥0)的式子”的本质概括，后者则是对二次根式中被开方数取值范围的精准把握，二者共同构成了本节课的知识框架，也为培养学生的数学抽象、逻辑推理素养搭建了载体。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解二次根式的概念，探索二次根式有意义的条件。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件，发展推理能力。 （2）能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，发展抽象能力和应用意识。 2. 目标解析 （1）让学生经历从特殊到一般的抽象过程，得到二次根式的概念；探索二次根式有意义的条件时，需结合算术平方根的非负性进行推理，培养学生严谨的逻辑思维能力。 （2）学生将实际问题中的几何量、物理量等抽象为二次根式的数学表达式，建立实际问题与数学符号之间的联系，体现“用数学的语言表达现实世界”的学科价值。这一过程也能提升学生分析问题、解决问题的能力，强化数学与生活的关联。 三、教学问题诊断分析 1. 有意义条件的易错点 学生易忽略被开方数非负的隐含条件，例如误将当作二次根式。 当被开方数为含字母的代数式时（例如），学生容易遗漏分母不为零的附加条件，或在解不等式时出现符号错误。 2. 认知衔接的断层点 本节课的知识基础是算术平方根，但部分学生对“非负数才有算术平方根”这一前提记忆模糊，导致在探索二次根式有意义的条件时，缺乏理论支撑，出现逻辑断层。同时，学生对“代数式”的概念缺乏系统梳理，容易将二次根式与整式、分式割裂看待。 应对策略：让学生明确被开方数非负的原因，设计对比练习，促进学生的反思总结。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索二次根式有意义的条件。 四、教学过程设计 （一）情境引入 引言 广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广. 实际上，广播电视塔高h与广播电视节目信号的传播半径r之间存在近似关系r=，其中R是地球半径，R≈6400 km. 整式，分式和含有根号的式子都可以表示数量和数量关系。 设计意图：联系实际，激发兴趣：用广播电视塔的高度与信号传播半径的实际例子，联系数学知识和生活实际，让抽象的式子变得有实际意义，吸引学生的注意力。 自然引出新内容：借助这个含根号的式子，顺势衔接之前学过的整式、分式，点明 “含根号的式子也能表示数量关系”，为后续学习二次根式等内容做铺垫。 构建知识体系：把整式、分式、含根号的式子归为一类（都能表示数量关系），帮学生梳理知识间的关联，形成更完整的代数式认知框架。 （二）合作探究 思考 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征： (1)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m²,则它的宽为 m. (2)一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为 . (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h (单位：m)的关系近似为h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为 . 观察归纳 （1）这些式子分别表示什么意义？ 答：分别表示65，a2+1，，2Rh的算术平方根． （2）这些式子有什么共同特征？ 答：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． 二次根式的概念 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式.二次根式也是代数式. 设计意图：通过实例具象化概念：借助长方形围栏、正方形面积、自由落体时间这 3 个不同场景的实际问题，让学生用含根号的式子表示数量关系，把抽象的 “二次根式” 和具体情境相关联，降低理解门槛。 引导自主归纳特征：通过 “观察归纳” ，让学生自主发现这些式子的共同特点（表示非负数的算术平方根），培养其观察、总结的能力，而非直接灌输概念。 自然导出核心概念：从实例和归纳的特征，顺理成章引出 “二次根式” 的定义，让概念的出现有依据、有铺垫，帮助学生建立 “从具体到抽象” 的认知逻辑。 （三）典例分析 例1 下列式子，哪些是二次根式？ ，，，，，. 答：，，是二次根式. 例2 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义? 解：由x−2≥0，得 x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义. 思考 当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？呢? 答：当x为任意实数时，x2≥0，在实数范围内有意义； 当x为非负实数时，x3≥0，在实数范围内有意义. 设计意图：巩固概念，明确判定标准：通过例 1 ，让学生运用刚学的二次根式定义进行判断，区分开三次根式、被开方数为负的式子等，强化对概念的理解。 聚焦核心条件，突破易错点：例 2 及后续思考，围绕 “被开方数非负” 这一关键条件展开，覆盖不同类型的被开方数，帮助学生掌握 “二次根式有意义的条件”，同时解决易混淆的情况。 （四）巩固练习 1．下列各式，，，中是二次根式的个数有（  B ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.要画一个面积为18 cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解： 设它的长为3x cm，宽为2x cm，根据题意得： 3x·2x=18， x2=3， ∵x为正数， ∴x=， ∴3x=3，2x=2. 答：它的长为3 cm，宽为2 cm. 3.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义? (1)； (2)； (3). 解：(1)由a−1≥0，得 a≥1. 当a≥1时，在实数范围内有意义. (2)由5−a≥0，得 a≤5. 当a≤5时，在实数范围内有意义. (3)由2a+1≥0，得 a≥. 当a≥时，在实数范围内有意义. 4.当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义? (1)； (2). 解：(1)a2−2a+1=(a−1)2， ∵(a−1)2≥0， ∴当a取任意实数时，在实数范围内有意义. (2)由−(a−1)2≥0，得 (a−1)2≤0， 又∵(a−1)2≥0， ∴(a−1)2=0，即a=1. 当a=1时，在实数范围内有意义. 5.当a=5时，的值是__. 6.已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值. 解： 根据题意得： πr2=π×22+π×32， r2=13， ∵r为正数，∴r=. 答：r的值是. 7.△ABC的面积为12，AB边上的高是AB边长的4倍.求AB的长. 解： 根据题意得： AB×4AB=12， AB2=6， ∵AB>0， ∴AB=. 答：AB的长为. 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025·江苏镇江）使二次根式有意义的的取值范围是（ A  ） A． B． C． D． 2．（2025·西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ D  ） A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（  B ） A． B． C． D． 4．（2025·河南）请写出一个使在实数范围内有意义的的值： 3（答案不唯一） ． 5．（2021·浙江衢州）若有意义，则x的值可以是 3 ．（写出一个即可） 6．（四川凉山）已知，则的值为（ A） A． B． C． D． 设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （七）小结梳理 设计意图：构建知识关联，降低学习难度：通过 “类比” 分式的知识框架（概念→性质→运算→应用），梳理二次根式的学习脉络，让学生借助已熟悉的分式知识，快速理解二次根式的学习逻辑，建立新旧知识的迁移联系。 形成结构化认知：将分式和二次根式的知识模块对应呈现，帮助学生把零散的知识点整合为 “概念 - 性质 - 运算 - 应用” 的结构化体系，强化知识的系统性记忆与理解。 引导后续学习方向：既呼应课堂进度，也暗示后续的学习重点，让学生明确接下来的学习脉络。 （八）布置作业 1.必做题：习题19.1 第1，3，7题. 2.探究性作业：习题19.1 第8，10题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $