2.4.2圆的一般方程 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程 一．选择题 1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为(　　) A.2 B. C.1 D. 2.已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点坐标为(-1,1),则直线AB的方程为(　　) A.x+2y-1=0 B.x+y=0 C.2x-y+3=0 D.y=1 3.(多选题)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),则下列说法正确的是(　　) A.圆心C的坐标为(2,7) B.点Q在圆C外 C.若点P(m,m+1)在圆C上,则直线PQ的斜率为 D.若M是圆C上任一点,则|MQ|的取值范围为[2,6] 4.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的一般方程为(　　) A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 5.已知圆C过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y=x-2上,则圆C的方程为(　　) A.x2+y2-6x-2y+6=0 B.x2+y2+6x-2y+6=0 C.x2+y2+6x+2y+6=0 D.x2+y2-2x-6y+6=0 6.若方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是一个圆,则该圆的圆心在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.当点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　) A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1 8.(多选题)关于方程x2+y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示的圆,下列说法正确的是(　　) A.圆心在直线y=-x上 B.圆心在x轴上 C.过原点 D.半径为a 9.已知A(1,0),B(0,),C(2,)三点,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A. B. C. D. 10.要使圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧,则有(　　) A.D=0,F=0 B.F>0 C.D≠0,F≠0 D.F<0 11.已知A(-2,0),B(1,0)两定点,如果动点P满足|PA|=2|PB|,那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A.π B.4π C.8π D.9π 二．填空题 12.如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,那么当圆的面积最大时,圆心坐标为　　　　　.  13.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　.  14.过圆x2+y2=4上一点P作x轴的垂线,垂足为H,则线段PH的中点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  15.若x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值是　　　　　.  三．解答题 16.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程. 17.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹. 18.求经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程. 19.已知圆x2+y2=4上的一点A(2,0),点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点M的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程. 2.4.2　圆的一般方程 一．选择题 1.答案:D 解析:圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为(1,-2),由点到直线的距离公式得圆心到直线x-y=1的距离d=. 2.答案:B 解析:圆x2+y2+4x-5=0的圆心为C(-2,0),设弦AB的中点为P(-1,1),由垂径定理可知PC⊥AB,所以直线PC的斜率为kPC==1,所以直线AB的斜率为kAB=- =-1,所以直线AB的方程为y-1=-(x+1),即x+y=0,故选B. 3.答案:ABD 解析:将x2+y2-4x-14y+45=0化为(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),A正确; 因为C(2,7),Q(-2,3)两点之间的距离|CQ|==4>2,所以点Q在圆C外,B正确; 因为点P(m,m+1)在圆C上,所以m2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解得m=4,即点P(4,5),所以直线PQ的斜率为,C错误; 因为圆心C(2,7),半径r=2,|CQ|=4, 所以|CQ|-r≤|MQ|≤|CQ|+r,即2≤|MQ|≤6,D正确.故选ABD. 4.答案:C 解析:直线(a-1)x-y+a+1=0可化为(-x-y+1)+a(1+x)=0, 由得C(-1,2). 故圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5, 即x2+y2+2x-4y=0. 5.答案:A 解析:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则解得 所以圆C的方程为x2+y2-6x-2y+6=0. 6.答案:D 解析:因为方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的图形是圆, 又方程可化为+(y-a)2=-a2-3a, 故圆心坐标为,r2=-a2-3a. 由r2>0,即-a2-3a>0,解得-4<a<0, 所以->0,a<0,故该圆的圆心在第四象限. 7.答案:C 解析:设P(x1,y1),线段PQ的中点M的坐标为(x,y), ∵Q(3,0),∴∴x1=2x-3,y1=2y. 又点P在圆x2+y2=1上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1. 故选C. 8.答案:AC 解析:将圆的方程化为标准方程可知圆心为(-a,a),半径为|a|,故AC正确. 9.答案:B 解析:设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意得 解得D=-2,E=-,F=1. 即△ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-y+1=0.则圆心坐标为, 故圆心到原点的距离为. 10.答案:D 解析:令方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的y=0,得x2+Dx+F=0. 由题意知,方程x2+Dx+F=0有两个异号实根,即两根之积小于0,即F<0.此时D2+E2-4F>0,Δ=D2-4F>0,符合题意. 11.答案:B 解析:设动点P的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得=2,化简得(x-2)2+y2=4,故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,该圆的面积为4π. 二．填空题 12.答案:(0,-1) 解析:因为圆的半径r=, 所以当k=0时,r最大,圆的面积最大, 此时圆的方程为x2+y2+2y=0, 即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1). 13.答案:4 解析:由题意得 解得D=-4,E=8,F=4. 14.答案:x2+4y2=4 解析:设M(x,y),P(x0,y0). 则由题意可得x0=x,y0=2y. ∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上, ∴=4,即x2+4y2=4. ∴点M的轨迹方程为x2+4y2=4. 15.答案:30-10 解析:x2+y2-2x+4y-20=0可化为(x-1)2+(y+2)2=25,表示以点C(1,-2)为圆心,以r=5为半径的圆.设原点O(0,0),|OC|=,则x2+y2表示圆上的点与原点之间距离的平方,所以x2+y2的最小值是(5-|OC|)2=(5-)2=30-10. 三．解答题 16.解:圆心C的坐标为, 因为圆心在直线x+y-1=0上, 所以--1=0,即D+E=-2.① 又,所以D2+E2=20.② 由①②可得 又圆心在第二象限,所以-<0,->0,即D>0,E<0,所以 所以圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 17. 解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为. 由于平行四边形的对角线互相平分,故从而 又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=. 因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点和点. 18.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0.∴圆在x轴上的截距之和为-D. 令x=0,得y2+Ey+F=0, ∴圆在y轴上的截距之和为-E. 由题知-(D+E)=2,∴D+E=-2.① 又点A(4,2),B(-1,3)在圆上, ∴16+4+4D+2E+F=0,② 1+9-D+3E+F=0.③ 由①②③解得D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. 19.解:(1)设线段AP的中点为M(x,y),P(x0,y0), 则x0=2x-2,y0=2y, 因为点P在圆x2+y2=4上,所以=4,即(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2). (2)设线段PQ的中点为N(x,y), 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|. 设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ, 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 即x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4, 故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0. 学科网（北京）股份有限公司 $