第十九章 二次函数和反比例函数（知识清单）数学北京版九年级上册

第十九章 二次函数和反比例函数 知识点一、二次函数的相关概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的函数是二次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的一般式. 2.在一般式中，只有a≠0时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证自变量的取值范围使实际问题有意义. 知识点二、二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的顶点，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小 x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有最小值c 当x＝0时，y有最大值c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 知识点三、二次函数图像的平移规律 平移规律：上加下减，左加右减. 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 知识点四、二次函数解析式的三种形式 1.一般式：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2.顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3.交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 知识点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点； ③当方程组无解时两函数图象没有交点． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1）作图：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2）找点：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步估值：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入估值：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 知识点六、二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用配方法把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 知识点七、反比例函数 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2 .双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点八、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 2. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 知识点九、反比例函数的k值意义 1. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点十、反比例函数与一次函数 1.一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点十一、反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 一、二次函数的相关概念 1.二次函数的概念 错误：二次函数的概念混淆，忽略二次项的系数不能为0； 注意：做题时要考虑二次函数的二次项系数不等于0； （24-25九年级上·北京东城·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义解答即可 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 2.二次函数的一般式 错误：二次函数的一般形式出错 注意：二次函数的一般式为y=ax2+bx+c（a≠0） （24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 【答案】 3 -5 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数，一次项系数， 故答案为：3；-5． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 二、二次函数的图象与性质 1.二次函数的几种常见的图象 错误：几种二次函数的图象混淆，分不清楚 注意：先将二次函数转为顶点式，再将顶点式进行平移得到要求的解析式； （24-25九年级上·北京门头沟·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 2.二次函数的性质 错误：不知道二次函数的单调性、不会求二次函数的最值、顶点坐标等 注意：将二次函数转为顶点式，通过画出图象研究对称轴、顶点坐标和单调性 （24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 3.二次函数的平移 错误：上下平移理解，但是左右平移容易混淆 注意：记住口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x后面） （24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求得二次函数解析式是解题的关键． （1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解答； （2）先将化为顶点式，再根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 三、二次函数的实际应用 1.销售问题 错误：找不到销售问题的数量关系 注意：记住公式单利×数量=总利润 某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当这批水果的销售单价为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的应用，正确利用总利润 销量每件的利润得出函数关系式是解题关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为z，列出z与x之间的关系式，利用二次函数增减性，结合x的范围即可求出z的最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵图象过，， ∴， 解得． 与x之间的函数关系式为． （2）解：设利润为z，由题意得， ． ， 故当时，z随x的增大而增大， 由题意得， ∴当时，z有最大值， 此时， 故销售单价定为20元时，该商家获得的利润最大，最大利润为360元． 2.喷水、拱桥等问题 错误：建立错误的坐标系，导致计算量大，题意理解混淆 注意：一般让y轴成为函数的对称轴即可 7．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及其应用、一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）利用顶点坐标设抛物线解析式为，求出，将代入抛物线解析式求解即可； （2）对于抛物线，令，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 则， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 则设抛物线解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为； （2）解：对于抛物线， 令，得：， 整理可得：， 解得：，（舍去）， ∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离米． 3.二次函数的几何应用 错误：和其他几何知识无法串联 注意：多刷几何题型，掌握各种题型的解法 8．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了二次函数的应用，三角形面积的求法，正确的理解题意是解题的关键． （1）由题意得到，把代入即可得到结论； （2）根据函数解析式得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）由题意知， 把代入，得， （2）由（1）知， 当时，， ， 作于D，则， ． 四、反比例函数 1.反比例函数的图象与性质 错误：不理解反比例函数的图象与性质，不会根据反比例函数的增减性求参 注意：根据反比例函数k值的正负性，掌握反比例函数的单调性 9．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求这两个函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式； （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标即长，再根据代入数据计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． ， 解得，， 反比例函数解析式为， 将代入得 解得： 一次函数解析式为． （2）由函数图象可知：不等式的解集为：或． （3）如图，连接、，一次函数交轴于点， 对于，当时，， ∴，即， ∴． 2.反比例函数的k值意义 错误：不会求k值 注意：理解k值与图形面积的相等关系，同时解题时要着重注意图中标出的反比例函数图象上的点，要学会用字母表示出来 10．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键．依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积可得，从而可得，即可判断得解． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线，轴． 设点，则， ， ． ， 直线：． ， 直线：． ，． 的面积． ． ． ． 故答案为：． 3.反比例函数的实际应用 错误：没有根据实际意义理解反比例函数的实际要求 注意：要联合实际情况，具体情况要具体分析 11．（2025八年级下·北京·专题练习）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 【答案】(1) (2)3分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设此过程中y与x的函数关系式为y，将点代入，解方程即可得到结论； （2）将代入，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设此过程中y与x的函数关系式为y， 将点代入， 解得， ∴此过程中y与x函数关系式为； （2）解：将代入， 解得， ∴， 答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作． 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格数据可得抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，进而根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】∵时，；时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵时，随的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴和时，函数值相等， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 2．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象可得，，，即得，即可判断①；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断②；由对称轴可判断③；由有两个实数根，可知抛物线与直线相交，结合图象可判断④；由顶点坐标可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵对称轴， ∴，故③正确； 若有两个实数根，则抛物线与直线相交， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，故④正确； ∵抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴当时，取最大值， ∴， 即，故⑤正确； 综上，说法正确的是②③④⑤， 故选：． 3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向和顶点坐标判断A，根据对称轴和图像经过求得B，由，可得当时，，判断C，根据关于对称轴的对称点为：，判断D． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，抛物线的顶点坐标为，过点， ∴，，故A错误； ∴对称轴为， ∴； ∵经过点，， ∴ ∴，故B错误， ∵， ∴ 当时，，故C错误 ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵点在此抛物线上， ∴在此抛物线上，即， ∴即是关于x的一元二次方程的一个根，故D正确， 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，令，得，根据抛物线的顶点在x轴上知方程有两个相等的实数根，根据列式求解即可． 【详解】解：令，得， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ∴ 解得，， 故答案为：． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：在中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点离直线的距离最远，在直线上， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④（答对一个给1分，多选或错选不得分） 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键． ①分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； ②分情况讨论和时方程的根即可； ③已知条件中限定且或，分情况讨论或的函数值即可； ④分情况讨论和时函数的最大值是否小于等于0即可． 【详解】解：对于①：当时，函数变为，与只有一个交点， 当时，， ∴， 故图像与轴只有一个交点时，或，①错误； 对于②：当时，方程变为，有一个整数根为， 当时，方程因式分解得到：， 其中有一个根为， 故此时方程至少有一个整数根，故②正确； 对于③：由已知条件得到，且或， 当时，开口向上，对称轴为， ∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大， ∵ ， ∴离对称轴的距离一样，将代入得到，此时函数最大值小于0； 当时，开口向下，自变量离对称轴越远， ∴其对应的函数值越小， ∴时，函数取得最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值，故③错误； 对于④：时，原不等式变形为：对任意实数不一定成立，故不符合； 时，对于函数， 当时开口向上，总有对应的函数值，此时不存在a对对任意实数都成立； 当时开口向下，此时函数的最大值为， ∵， ∴最大值，即有一部分实数，其对应的函数值， 此时不存在a对对任意实数都成立；故④正确； 综上所述，②④正确， 故答案为：②④． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 9．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． (1)当，时，比较m与n的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求b的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）由题意可知，抛物线解析式，将，代入，即可求出m和n得值，再比较即可； （2）由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 当，时，抛物线解析式为，点，， 将，代入抛物线解析式得， ，， （2）该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，， 点B在点A左侧， 对于，都有， ， 当时，，即， ， 对于，都有， ， 两边平方得，， 整理得，， ， 综上可知：． 10．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可得点，再把代入，即可求解； （2）分别求出当时，函数图象与一次函数的图象与函数的图象的交点，可求出对应的n的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ∴，解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为． 11．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)m的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式即可求得； （2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵， ∴这种情况不存在． 综上，m的取值范围是． 12．（2025·北京·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①23，2.4；②10或28 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据温度每增加，导电性能增加求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）①先求出与x，与x之间的函数解析式，由可求解； ②分两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：温度每增加，导电性能增加， ∴， 故答案为：； （2）如图， （3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系， 设， 由题意，得， 解得， ∴． 设， 由题意，得， 解得， ∴， ①由题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 把代入，得． ∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为， 故答案为：23，2.4； ②当室内导电性比室外导电性高时， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为， 故答案为：10或28． 13．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标：______； (2)不等式的解是______； (3)随的增大而减小的自变量的取值范围是______； (4)求出抛物线的解析式及顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)，顶点坐标为 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． （1）根据函数图象及对称轴即可求解； （2）结合函数图象及（1）中交点即可得出结果； （3）根据函数图象即可得出结果； （4）设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解：依题意得抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； （2）抛物线与轴的两个交点坐标为， 不等式的解是； 故答案为：； （3）抛物线的对称轴为， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为：； （4）依题意得抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，，， 设抛物线的解析式为， 把三个点的坐标代入其中得， 解之得， ， 顶点坐标为． 14．（2025·北京·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 15．（24-25九年级上·北京·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车去上班，见解析 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． （1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； （2）解：由得， 当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为10小时， ， 第二天早上能驾车去上班． 16．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线与轴交点的坐标； (2)若对于任意的，总有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）当时，抛物线为．令，解方程即可求出答案； （2）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为． 令，则． 解得． 抛物线与轴交点的坐标为． （2）由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴交点的坐 标为． ． ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （i）当时，令，则，不符合题意． （ii）当时，则． ． ． ， ，符合题意． （iii）当时，则． ． 由可知． ，符合题意． （iiii）当时，． 令，则，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ， ． ． ， ，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 二次函数和反比例函数 知识点一、二次函数的相关概念 一般地，形如 （a≠0，a、b、 c为常数）的函数是 ，其中x是自变量，y是x的函数. 1.任何一个二次函数的表达式都可以化为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的形式；因此我们将y=ax2+bx+c（a≠0，）叫做二次函数的 . 2.在一般式中，只有 时，函数y=ax2+bx+c才是二次函数. 3.二次函数的几种特殊形式：若b=0，则 ； 若c=0，则 ； 若b=c=0，则 . 实际问题中的二次函数及自变量的取值范围 一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、 c为常数）的自变量x可以取任意实数，但在实际问题中，要保证 使实际问题有意义. 知识点二、二次函数的图象与性质 函数y＝ax2（a≠0）的图像 1.画二次函数图像的三个步骤： 、 、 . 2.列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 3.由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 4.一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像和性质 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是关于y轴对称的一条抛物线，抛物线与对称轴的交点叫做二次函数的 ，它的性质如下： 函数 y＝ax2 a的符号 a＞0 a＜0 图像 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） 函数的增减性 x＞0时， ；x＜0时， x＞0时， ；x＜0 时， 最值 当x＝0时，函数图像有最低点，有最小值0 当x＝0时，函数图像有最高点，有最大值0 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同，│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴. 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质 函数 y=ax2+c(a≠0) a的符号 a＞0 a＜0 图像 c＞0 c＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，c） （0，c） 函数的增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y有 c 当x＝0时，y有 c 对于二次函数y=ax2+c(a≠0)来说，当c＞0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向上平移|c|个单位长度得到的；当c＜0时，可看成是将y=ax2的函数图像沿着y轴向下平移|c|个单位长度得到的. 二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 1.二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图像和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质与a、b、c及b2－4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 c＞0 与y轴 相交 c＜0 与y轴 相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有 交点 b2-4ac＞0 与x轴有 交点 b2-4ac＜0 与x轴 交点 知识点三、二次函数图像的平移规律 平移规律： . 1.上下平移（上加下减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向上平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k＋m；抛物线y＝a（x－h）2＋k向下平移m（m＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h）2＋k－m. 2.左右平移（左加右减）：抛物线y＝a（x－h）2＋k向左平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h＋n）2＋k；抛物线y＝a（x－h）2＋k向右平移n（n＞0）个单位长度，所得到的抛物线方程为y＝a（x－h－n）2＋k. 知识点四、二次函数解析式的三种形式 1. ：y＝ax2＋bx＋c（a、b、c为常数，且a≠0）； 2. ：y＝a（x－h）2＋k（a、h、k为常数，且a≠0）； 3. ：y＝a（x－x1）（x－x2）（x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0）. 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程（组），解出这些待定系数，从而得到函数表达式. 1.二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解；若有两个待定系数，就需要已知两个条件得到两个方程，联立得到二元一次方程组求解；若有三个待定系数，就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为y＝a（x－h）2＋k. 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标. 知识点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求ax2＋bx＋c＝0中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 2.抛物线与直线的交点问题 抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与y轴的交点是(0，c)． 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定． ①当方程组有两组不同的解时两函数图象有 ； ②当方程组有两组相同的解时两函数图象只有 ； ③当方程组无解时两函数图象 ． 总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根 1.利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的步骤如下： （1） ：通过列表、描点、连线作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像； （2） ：确定二次函数图像与x轴的交点； （3）初步 ：根据二次函数图像与x轴的交点的位置，初步估算交点横坐标在整数值之间的大致范围； （4）深入 ：借助计算器，逐步缩小取值范围求值. 2.由于作图会存在一定的误差，所以通过图像求得的一元二次方程的根一般是近似值. 3.在估值时，x的值一定要连续，在连续的前提下，x的近似值在y值首次出现负数与正数时对应的两个x值之间. 二次函数与不等式的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)与一元二次不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)及ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)之间的关系如下（x1＜x2）： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＞0(a≠0)的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c ＜0(a≠0)的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号. 知识点六、二次函数的实际应用 建立二次函数模型求生活中的最值问题 在日常生活中，经常会遇到求最大面积或最大利润类问题，我们可以利用二次函数的图像和性质解决此类问题，步骤如下： 1.找：找等量，分析题目中的数量关系； 2.列：列出函数表达式； 3.求：利用 把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a（x－h）2＋k的形式或利用公式法明确确定最值. 建立二次函数模型解决生活中的抛物线型问题 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题. 知识点七、反比例函数 1. 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为 . 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 2 .双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为 ，它有两个分支，这两个分支分别位于 、 或第二、四象限，它们关于 对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 知识点八、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 2. 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是 ，也是 ，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为 . 知识点九、反比例函数的k值意义 1. 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 知识点十、反比例函数与一次函数 1.一次函数与反比例函数的交点问题 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由 的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2）【热考】从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 知识点十一、反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 2. 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 一、二次函数的相关概念 1.二次函数的概念 错误：二次函数的概念混淆，忽略二次项的系数不能为0； 注意：做题时要考虑二次函数的二次项系数不等于0； （24-25九年级上·北京东城·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 2.二次函数的一般式 错误：二次函数的一般形式出错 注意：二次函数的一般式为y=ax2+bx+c（a≠0） （24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）已知二次函数，则二次项系数 ，一次项系数 ． 二、二次函数的图象与性质 1.二次函数的几种常见的图象 错误：几种二次函数的图象混淆，分不清楚 注意：先将二次函数转为顶点式，再将顶点式进行平移得到要求的解析式； （24-25九年级上·北京门头沟·阶段练习）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2.二次函数的性质 错误：不知道二次函数的单调性、不会求二次函数的最值、顶点坐标等 注意：将二次函数转为顶点式，通过画出图象研究对称轴、顶点坐标和单调性 （24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.二次函数的平移 错误：上下平移理解，但是左右平移容易混淆 注意：记住口诀：上加下减在末尾，左加右减在中间（x后面） （24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 三、二次函数的实际应用 1.销售问题 错误：找不到销售问题的数量关系 注意：记住公式单利×数量=总利润 某商店销售一批水果，已知成本为10元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍，在销售过程中发现，每天的销售量与销售单价（元）之间满足的一次函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当这批水果的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润为多少？ 2.喷水、拱桥等问题 错误：建立错误的坐标系，导致计算量大，题意理解混淆 注意：一般让y轴成为函数的对称轴即可 7．（24-25九年级上·北京西城·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离． 3.二次函数的几何应用 错误：和其他几何知识无法串联 注意：多刷几何题型，掌握各种题型的解法 8．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为（单位：米），现以所在直线为x轴．以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O．已知米，设抛物线解析式为．   (1)求a的值； (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为，连接，求的面积． 四、反比例函数 1.反比例函数的图象与性质 错误：不理解反比例函数的图象与性质，不会根据反比例函数的增减性求参 注意：根据反比例函数k值的正负性，掌握反比例函数的单调性 9．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求这两个函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 2.反比例函数的k值意义 错误：不会求k值 注意：理解k值与图形面积的相等关系，同时解题时要着重注意图中标出的反比例函数图象上的点，要学会用字母表示出来 10．（24-25九年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为，则的值为 ． 3.反比例函数的实际应用 错误：没有根据实际意义理解反比例函数的实际要求 注意：要联合实际情况，具体情况要具体分析 11．（2025八年级下·北京·专题练习）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度与退火时间之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分． (1)已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式； (2)当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？ 1．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示：则当时，的取值范围是 … … … A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京·期中）二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③；④若有两个实数根，则；⑤． A．②③④⑤ B．①②③④ C．③④⑤ D．①②④⑤ 3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时， D．是关于x的一元二次方程的一个根 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）若抛物线的顶点在x轴上，则k的值为 ． 6．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接） 7．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知函数，下列结论：①若该函数图象与x轴只有一个交点，则； ②方程至少有一个整数根；③若，则的函数值都是负数；④不存在实数a，使得对任意实数x都成立．所有正确结论的序号是 ． 8．（24-25九年级上·北京·期中）已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为 ． 9．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． (1)当，时，比较m与n的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求b的取值范围． 10．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 11．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 12．（2025·北京·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 13．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)抛物线与轴的另一个交点坐标：______； (2)不等式的解是______； (3)随的增大而减小的自变量的取值范围是______； (4)求出抛物线的解析式及顶点坐标． 14．（2025·北京·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（24-25九年级上·北京·期末）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾去上班？请说明理由． 16．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线与轴交点的坐标； (2)若对于任意的，总有，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$