专题10 （优质好题速递）数列必刷题型（13大题型84题）（压轴题专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

专题10 数列必刷题型 （13大题型84题） 题型01 累加、累乘法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 4．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 5．已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 6．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 题型02 构造、递推法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即，， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故， 故选：C. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上，. 故答案为： 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 7．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 题型03 等差数列基本量的计算、Sn的性质与最值 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 【答案】C 【分析】通过通项公式将条件转化为关于首项和公差的等式，化简得到中间项的值，再利用等差数列前项和的性质计算. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， ，，，即. 等差数列前项和，而， 故. 故选：C 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式及条件得，然后由等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，因此，解得. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【详解】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D 4．设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 5．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知等差数列，其前项和为，若，则 . 【答案】9 【分析】利用等差数列的性质求出的值，再结合等差数列前项和公式计算. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：9 6．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 7．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】/ 【分析】设，其中，则，可得出，，即可得出的值. 【详解】因为是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若， 可设，其中，则， 所以， ， 故. 故答案为：. 题型04 等比数列基本量的计算、Sn的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 2．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再由得出即可. 【详解】，， 又，. 故选：B． 3．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为 ， 两个式子相比，得， 又由于同号，且相加小于0，所以， 故选：C 4．记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由化简得，再根据等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，所以． 故选：C 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 6．（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列， 则有， 设，则，所以，故. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则 ． 【答案】 【分析】根据等差中项的性质，可得，根据为等比数列，可求得q值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，即， 因为为等比数列，且各项都是正数，设公比为， 所以，即， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 8．（25-26高二上·四川达州·月考）若数列是等比数列，，则公比 . 【答案】1或 【分析】根据等比数列的项与前项和的基本量运算列方程求解即得. 【详解】由，可得， 两式相除，可得，即， 解得或. 故答案为：1或. 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【分析】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【详解】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9 题型05 等差、等比数列的证明 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）由得到即可由等差数列定义求证； 【详解】（1）证明：由得， 所以，又. 所以是首项为，公差为的等差数列； 2．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据题意两式相加、相减，即可得出，相邻两项递推关系，根据定义可以证明； 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 将两式相减，可得， 即，又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用递推关系证明等差数列即可； （2）利用等差数列通项公式求解即可； 【详解】（1）由，两边同时除以： 得，所以 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）可知：，故； 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. 5．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等差数列的定义证明为常数即可； （2）根据（1）的证明结果，结合题干和等差数列通项公式求解即可. 【详解】（1）∵数列满足， ∴， ∴数列是公差为的等差数列. （2）由（1）已知数列是公差为的等差数列， 又∵，∴数列的首项为， ∴， ∴. 6．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 【答案】(1)证明见解析； 【分析】（1）结合已知得，，再根据等比数列的定义与通项公式求解即可； 【详解】（1）因为数列满足，即 所以， 又，，故,， 所以，， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以，即， 所以的通项公式为. 题型06 裂项求和 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． （2）因为， 所以． 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：. (1)求证：为等差数列； (2)设数列的前项和，证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由，两边同时取倒数化简得，即可证明； （2）由（1）可得，利用裂项相消可得，计算，即可证明. 【详解】（1）因为，两边同时取倒数可得， 所以， 因为， 所以是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）由（1）可知， 则，， 所以， 所以 ， 因为，得证. 3．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用与的关系求解，即当时，，将式子中的换成，计算出的值；当时，，将式子中的换成，计算得到，从而得到是等差数列，利用等差数列的通项公式求出，继而得到，将代入求出； （2）求出，设，求出，利用裂项相消法求和，放缩法得到证明. 【详解】（1）， 当时，，，，，， 当时，， ，， 是等差数列，公差，首项为， ， ，，， 验证时也成立，； （2），，， 设，，，， . 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解. （2）根据给定的递推公式，用消去，再利用等差数列定义推理得证. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在正项数列中，， 当时，，又，故， ，而，解得； 当时，，又，故， ，即，而，解得， 所以，. （2）在正项数列中，，当时，， 则，即， 所以是首项为4，公差为4的等差数列. （3）由（2）得，由是正项数列，得，则， 因此， ， 所以数列的前项的和. 5．（24-25高二下·吉林延边·月考）设数列的前项和为，已知，． (1)求通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)记，求数列的前项和，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，两式相减可得，可得是以为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式； （2）先求出，再由裂项相消求出数列的前项和； （3）先求出和，再由裂项相消求出，由可得，利用数列的增减性即可求出的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，，两式相减可得：， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以 . （3）因为，，令， ， 若，则，所以， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值. 题型07 错位相减求和 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列满足，数列的前项和满足. (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】由，构造新的等比数列求解即可；已知与的关系，分，检验求解即可； 利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由有：, 所以数列是以2为公比，首项为的等比数列， 所以，即 因为，当时，. 当时，由有：， 所以，，即 所以 所以 （2）由（1）知， 所以——①， ——②， 由①-②得： 所以 2．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）将条件变形可得，根据等差数列的定义，即可得证，将首项和公差代入通项公式，即可得答案. （2）求出，利用错位相减求和法，求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， 所以， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）由题意， 所以， 令，① 则，② ①②得： 故，所以． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得， 解得， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 5．已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）通过，取倒数得到，再通过配凑即可求证； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，，所以． 所以，则． 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列． 所以，所以． （2）由（1）得， 所以 ． 所以． （3）由（1）得，所以，所以． 所以 ． 设，则， 两式相减，得， 所以． 所以． 题型08 分组、并项、倒序相加求和 1．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义证明即可； （2）先求得，然后结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）可知，所以； 所以，所以 . 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)， (2)-1011 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出公差，进而得到和； （2）先求出的表达式，再分析数列的前2022项和的规律进行计算. 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 3．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用消去，得到等差数列，并通过求出其通项，进而得到的通项，并对时验证； （2）先求，将数列的前项和转化为数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得：， 即， ∴，∴， ∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列， ∴，∴. 当时，满足上式，∴. （2）由（1）知， ∴， ∴， 又 即数列是以为首项，为公差的等差数列. ∴. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 5．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 题型09 含绝对值、奇偶项求和 1．在数列中，，则数列的前32项和为（   ） A．625 B．646 C．674 D．992 【答案】C 【分析】由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可. 【详解】由，得， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 数列的前项和为， 当时，，当时，， 则数列的前32项和为 . 故选：C 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式； （2）化简的表达式，分、两种情况讨论，结合等差数列的求和公式可得出的表达式. 【详解】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 3．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据与的关系运用作差法和等差数列的定义即可判定等差数列，求得其通项公式； （2）根据数列的通项公式，对分奇偶两类分别求和，利用裂项相消法和公式法计算即得. 【详解】（1）因为，所以（）. 相减得，即. 所以. 因为是正项数列，所以， 所以，即. 故是等差数列. 令，得，解得， 所以. （2）（2）因为，则， 即. 所以， 所以. 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解； （2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解. 【详解】（1）等差数列的前项和为，， ，即， 又，， 则有，， （2）记数列的前项和为， 当为奇数时，； 当为偶数时，； 综上，. 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式并结合等差数列的定义即可证明求解； （2）分别讨论为奇偶数并利用分组并项求和，从而可求解. 【详解】（1）证明：若为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，即， 所以的奇数项是首项为，公差为3的等差数列． （2）当时， . 因为， 所以当时， . 综上所述，. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求． 【答案】 【分析】本题在于得到数列隔项成等差数列的递推关系式，从而分奇偶项来求通项． 【详解】因为，， 两式相减可得，因此数列隔项成等差数列． 当为奇数时，； 当为偶数时，． 故 7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由递推关系两式相除得到，则奇数项和偶数项分别成等差数列，分为奇数和为偶数得到通项公式. 【详解】因为，所以，两式相除可得． 由得， 当为奇数时，； 当为偶数时，． 所以 题型10 数列不等式 1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由关系取可求，当时，用替换，与原式相减化简可得，由此可求结论； （2）由（1）可求，由此可得，利用裂项相消法求，再证明结论. 【详解】（1）因为，① 所以当时，，且，所以. 当时，，② 由①②得，，整理得到， 所以，故， 故当时，，而也符合， 综上，当时，. （2）由（1）知，则，即， 所以. 又因为为递增数列，所以， 故. 2．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)99 【分析】（1）根据题设可得，进而求证即可； （2）由（1）得，再利用分组求和法求出，进而求解即可. 【详解】（1）证明：，， 可得，又， 数列为等比数列，首项为，公比为． （2）由（1）知，，， ， 由，则， 在定义域内单调递增， 且时，，时，， 所以． 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设公比为，依题列方程组，求解即得的值，即可写出通项公式； （2）由（1）求得，代入，化简裂项得，求和得，利用数列的增减性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意得：， 由，解得或，回代入方程组，可得或， 因数列是递增数列，故，则数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 则， 于是，， 因在上单调递增，故， 因不等式对任意的恒成立， 所以的最大值为. 4．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题设得到结合等比数列定义分析即可得证； （2）先由（1）求出，再由等比数列前n项和公式即可计算求解； （3）先求出，再由放缩公式结合裂项相消法计算分析即可求证. 【详解】（1）由题可得， 所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以； （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以，因为，所以，当时等号成立， 而，所以， 所以成立. 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 题型11 数列结合传统文化 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 2．（24-25高二上·天津河北·期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（   ） A．6 B．18 C．28 D．42 【答案】D 【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数． 【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列， ， 解得， 所以，此人后三天所走的里程数为． 故选：D． 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 4．（24-25高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 【答案】C 【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解. 【详解】当时，最底层小球的数量为，即，， 从而有， 整理得，由皆为正整数，得是不超过10的正偶数， 当时，，无解；当时，，无解； 当时，，无解；当时，，解得或，符合题意； 当时，，无正整数解， 所以该垛积的第一层小球个数. 故选：C 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递推关系可得，即可代入求解ACD,结合，相减即可判断B. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，…，第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，，，，A正确； 由于，则，两式相减可得，所以，B错误； 由于，C正确； ，D错误． 故选：AC 6．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，依此类推．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意及等差数列前n项和公式得，进而求出前几项及判断A、B、C；应用裂项相消法求和判断D. 【详解】由题意知，，，，，， 故， 所以， ，，故A错误; 故，故B正确； 因为，故C正确； 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：BCD 题型12 数列新定义 1．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】C 【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据题意分析可得：可判断；对C：根据第次“美好成长”与第次“美好成长”的关系分析运算；对D：由，利用构造法结合等比数列可求解. 【详解】对A选项，根据题意可得：，A选项正确； 对B选项，设每次插入项的个数构成数列，则， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前项和即为，，B选项正确； 对C选项， ，C选项错误； 对D选项，由B选项分析可得，又， ，又， 是以首项为，公比为3的等比数列， ，D选项正确． 故选：C． 2．（24-25高二下·广东广州·月考）在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【答案】C 【分析】根据新定义分周期为1，周期为2，周期为3，分类讨论计算结合周期性计算求和. 【详解】若数列的周期为1，则，但，矛盾，所以数列的周期不可能为1. 若数列的周期为2，则，，且，又，所以解得， 而当时，，矛盾，所以数列的周期不可能为2. 若数列的周期为3，则，，且，， 所以或，又，所以，且此时有， 所以或，又，所以，解得符合题意， 当时，数列为：1，1，0，1，1，0，…，满足题意， 此时， 所以该数列前2025项的和是. 故选：C. 3．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（   ） A．设数列的前项积为，则对任意，都有 B．设数列的前项积为，则既有最大值，也有最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，恒成立，则 【答案】B 【分析】先由数列递推公式求得，再由可求得，由的关系式可求得，即可判断A错误，再由数列的取值及其单调性，可得B正确，经判断可知数列中的最大项为，即C错误，结合C中结论可知解不等式得或，即D错误. 【详解】由， 可得； 两式相减可得， 当时，可得符合上式； 又数列的前项和为，且可得； 当时，可得， 当时，可得符合上式，可得； 所以可知当时，，当时，； 又， 对于A，显然当时，，即A错误； 对于B，易知， 当时，， 因此可得，且； 由可知当或时，取得最大值； 当时，有最小值，可得既有最大值，也有最小值，即B正确； 对于C，由可知， 易知且，即可得数列中的最大项为，即C错误； 对于D，若对任意，可知， 由恒成立，结合C中分析可得即可， 又可得，解得或，即D错误. 故选：B 4．（25-26高二上·河北承德·月考）若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． (1)当时，写出的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)，等差数列，等比数列 【分析】（1）根据数列递推公式，直接求出结果即可. （2）根据数列通项公式，直接求出数列的递推公式，进而根据等比数列的定义，证明新数列为等比数列. （3）根据数列的递推公式，和数列的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出数列的前项和，根据“等差等比混合数列”的概念，求出参数值和数列的通项公式. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，． （2）由，得， 则， 又因为．所以． 又，所以4．所以是以为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）可知． 又因为，所以． 所以． 因为为“等差等比混合数列”，又因为，所以． 从而只有，此时． 所以， 所以可拆分成一个等差数列，一个等比数列． 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“友好数列”以及错位相减求和法证得数列为“友好数列”. （2）利用退一作差法，结合等比数列的定义求得. （3）根据“友好数列”以及等差数列的定义证得数列为等差数列. 【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 6．（24-25高二下·北京海淀·期中）若项数为k（）的有穷数列满足如下两个性质，则称数列为Z数列： 性质①：； 性质②：对任意的i，j（），与至少有一个是数列中的项. (1)分别判断下面两个数列是否为Z数列，并说明理由； 数列：1，2，3； 数列：0，1，2. (2)若数列是Z数列，求证：； (3)若数列是Z数列，且不是等差数列，求k的值. 【答案】(1)数列不是Z数列，是Z数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】（1）由数列中，当时，与都不是数列中的项，而数列中，一定是数列中的项，即可求解； （2）根据Z数列的性质可得若，则，从而得，这个等式相加后可证； （3）根据Z数列的性质以及不是等差数列，对参数进行分类讨论即可. 【详解】（1）对于数列：1，2，3，当时，，， 此时与都不是数列中的项，所以数列：1，2，3不是Z数列； 对于数列：0，1，2，若对任意的i，j（），可得或1或2， 可得一定是数列中的项，所以数列：0，1，2是Z数列； （2）证明：记数列的各项组成的集合为，又， 由数列为Z数列，，所以，即，所以， 设，因为，所以， 又， 则，，…，，， 将上面的式子相加，得， 所以. （3）（i）当时，由②，，， 与数列不是等差数列矛盾，不合题意； （ii）当时，存在数列符合题意，例如数列0，2，6，8，故可为4. （iii）当时，由（2），① 当时，，所以，. 又， ， 所以，，…，. 所以， 因为，所以，，得，， 所以② 由①②两式相减得，. 与数列不是等差数列矛盾，不合题意. 综上所述，. 7．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. (1)记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； (2)若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 【答案】(1)，且数列是公比为二级等比数列. (2)存在，. 【分析】（1）根据题意，求得，得到，进而求得，化简得到，得到数列为等比数列，求得其通项公式，得到是公比为二级等比数列. （2）设，得到，根据题意，求得，得到，利用累加法，求得，得到，由，得到，求得，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：由为数列的前项的和，满足，且，， 当时，可得； 当时，可得， 解得，所以， 当时，由，可得， 两式相减，可得，即， 所以，又， 故， 又由，则，符合上式， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 设，可得，即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 即数列是公比为的二级等比数列. （2）解：因为数列是公比为3的二级等比数列，即是公比为3的等比数列， 设，则， 因为，可得， 则，解得，所以， 所以当， ， 所以当时，，又，也满足该式， 所以，故， 因为，即， 又因为，所以， 即，所以，代入可得， 即，即， 解不等式，可得， 因为函数为增函数， 经计算，满足该不等式，而，均不满足， 故， 所以，此时，即存在，使得成立. 8．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）对于项数为（，）的有穷正整数数列，记（），即为，，…，中的最大值，称数列为数列的“图新数列”.比如1，3，2，5，5的“图新数列”为1，3，3，5，5. (1)若数列的“图新数列”为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列 (2)设数列为数列的“图新数列”，满足（），求证:（） (3)设数列为数列的“图新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列. 【答案】(1)；，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由新数列的概念，利用枚举法，可得答案； （2）由新数列的概念，根据题干中的等式可得数列的单调性，即可得答案； （3）由题意明确数列的单调性，利用分类讨论，建立方程，研究方程两边的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由，且，则；由，且，则； 由，且，则；由，且，则； 由，且，则可能取值为. 所以的所有可能情况有；，，. （2）由题意可得，，其中，. 则， 由，则数列为单调不减数列，即， 所以，故（）. （3）由题意可得数列是严格递增的正整数列，即， 当时，由，则，解得，不符合题意. 当时，由，则当时，等式成立，符合题意； 整理等式可得， 当，时，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时，等号成立，故，不符合题意； 当，时，，，故，不符合题意. 当时，由，整理可得， 易知，， 即，不符合题意. 综上所述，符合题意的数列为，则数列为. 题型13 数列结构不良 1．（24-25高二下·北京·期中）已知在数列中，，，_____，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和； ②； ③且． 【答案】(1); (2)证明见解析; (3). 【分析】（1）若选择①，根据与的递推关系列式算出的通项公式； 若选择②，先证出构成公差为的等差数列，然后根据等差数列的通项公式算出答案； 若选择③，先证出构成等差数列，然后根据、求出公差，结合等差数列的通项公式算出答案． （2）根据的通项公式，可得，然后根据等比数列的定义证出所求结论； （3）根据等差数列与等比数列的前项和公式加以计算，化简即得的表达式． 【详解】（1）若选择①：前n项和， 则时，， 当时，，也适合上述式子， 综上所述，数列的通项公式为； 若选择②：，则（常数）， 可知数列构成公差为的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； 若选择③：且，则， 可知数列是等差数列， 设公差为，则由，得，解得． 所以数列的通项公式为． （2）证明：若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为，且公比的等比数列； （3）由（1）和（2）得， 所以 ＝． 即． 2．（24-25高二下·四川广安·月考）在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选①，利用与的关系即可求解；选②，由已知可得数列是等差数列，可得，根据与的关系即可求解；选③，由已知可得，当时可得，验证成立即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法求和，再求解即可. 【详解】（1）选①，当时，，解得， 当时，， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以， 所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以； 选②，因为，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以； 选③，因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以； （2）因为，所以，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以， 所以 ，即得证. 3．（24-25高二上·吉林·期末）在①，②，③…，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，满足_____，已知数列满足， (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)若数列满足，求数列的前n项和 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据数列前n项和与通项的转化关系，等差数列与等比数列的概念，即可求解； （2）根据等差数列与等比数列的求和公式，即可求解； （3）根据错位相减法，即可求解． 【详解】（1）若选①，则， 当时，，显然也满足该式， ； 若选②，则，， 时，， ， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， ； 若选③…，则； 当时，， ，，显然也满足该式， ； 故无论选①②③中哪一个都可得； 又数列满足，， ， 数列是以为首项，公差为3的等差数列， ，； （2）， 数列的前n项和为： …… ； （3）， 数列的前n项和为： …， …， … ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 数列必刷题型 （13大题型84题） 题型01 累加、累乘法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 5．已知为数列的前n项和，，，则 ． 6．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 题型02 构造、递推法求通项公式 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 3．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 6．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 7．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 题型03 等差数列基本量的计算、Sn的性质与最值 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知等差数列，其前项和为，若，则 . 6．（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和为，且，则 ． 7．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 题型04 等比数列基本量的计算、Sn的性质 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为等比数列，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．已知数列是等比数列，，则（    ） A． B． C． D． 4．记为等比数列的前项和，若，，则（    ）． A．10 B．13 C．9 D．27 5．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则 ． 8．（25-26高二上·四川达州·月考）若数列是等比数列，，则公比 . 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 题型05 等差、等比数列的证明 1．（25-26高二上·陕西宝鸡·月考）已知数列满足，，，若. (1)求证：是等差数列； 2．已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： 3．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式； 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； 5．（25-26高二上·重庆·期中）数列 满足 . (1)求证:数列 是等差数列； (2)求数列 的通项公式． 6．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知等差数列的通项公式，数列满足． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； 题型06 裂项求和 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（25-26高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列满足：. (1)求证：为等差数列； (2)设数列的前项和，证明：. 3．已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，证明：. 4．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和为. 5．（24-25高二下·吉林延边·月考）设数列的前项和为，已知，． (1)求通项公式； (2)若，求数列的前项和． (3)记，求数列的前项和，若，求的最小值． 题型07 错位相减求和 1．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知数列满足，数列的前项和满足. (1)求的通项公式： (2)设，求数列的前项和 2．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 5．已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 题型08 分组、并项、倒序相加求和 1．（25-26高二上·云南玉溪·月考）若数列的首项为1，且. (1)求证：是等比数列； (2)若，求数列的前n项和. 2．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 3．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 5．（24-25高二上·上海·月考）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 题型09 含绝对值、奇偶项求和 1．在数列中，，则数列的前32项和为（   ） A．625 B．646 C．674 D．992 2．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（25-26高二上·浙江宁波·月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足. (1)证明数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)若求数列的前项和. 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式： (2)求数列的前项和. 5．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知数列的首项是 (1)证明：的奇数项成等差数列； (2)求的前项和. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求． 7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 题型10 数列不等式 1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，若，. (1)求； (2)记，数列的前项和，证明：. 2．（25-26高二上·云南文山·月考）已知数列的首项，，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求最大正整数． 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 4．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 5．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 题型11 数列结合传统文化 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 2．（24-25高二上·天津河北·期末）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（   ） A．6 B．18 C．28 D．42 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 4．（24-25高二下·北京延庆·期中）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为.若由小球堆成的某个长方台形垛积有8层，小球总个数是460，则该垛积的第一层小球个数可以是（   ） A．5 B．8 C．12 D．19 5．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选题）唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，依此类推．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 题型12 数列新定义 1．（24-25高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”.将数列进行“美好成长”，第一次得到数列；第二次得到数列；，设第次“美好成长”后得到的数列为，记，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 2．（24-25高二下·广东广州·月考）在数列中，如果存在正整数T，使得，对于任意的正整数m均成立，那么称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期.已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2025项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 3．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（   ） A．设数列的前项积为，则对任意，都有 B．设数列的前项积为，则既有最大值，也有最小值 C．数列中没有最大项 D．若对任意，恒成立，则 4．（25-26高二上·河北承德·月考）若定义数列满足，其中是等差数列，是等比数列，则称数列为“等差等比混合数列”．已知“等差等比混合数列”满足，其中常数． (1)当时，写出的值； (2)证明：是等比数列； (3)设的前项和为，若是“等差等比混合数列”，求的值，并求拆分出来的等差数列与等比数列表达式． 5．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 6．（24-25高二下·北京海淀·期中）若项数为k（）的有穷数列满足如下两个性质，则称数列为Z数列： 性质①：； 性质②：对任意的i，j（），与至少有一个是数列中的项. (1)分别判断下面两个数列是否为Z数列，并说明理由； 数列：1，2，3； 数列：0，1，2. (2)若数列是Z数列，求证：； (3)若数列是Z数列，且不是等差数列，求k的值. 7．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若一个数列满足是公比为的等比数列，则称数列是公比为的二级等比数列.如数列：1，3，7，15，31，63…，此数列是公比为2的二级等比数列.已知数列中，，. (1)记为数列的前项的和，且.求数列的通项公式，并判断数列是否为二级等比数列，请说明理由； (2)若数列是公比为3的二级等比数列，是否存在实数，，使得？若存在，求出，；不存在，请说明理由. 8．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）对于项数为（，）的有穷正整数数列，记（），即为，，…，中的最大值，称数列为数列的“图新数列”.比如1，3，2，5，5的“图新数列”为1，3，3，5，5. (1)若数列的“图新数列”为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列 (2)设数列为数列的“图新数列”，满足（），求证:（） (3)设数列为数列的“图新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列. 题型13 数列结构不良 1．（24-25高二下·北京·期中）已知在数列中，，，_____，其中． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和． 从下列三个条件中，任意选择一个补充在上面的问题中并作答． ①数列的前项和； ②； ③且． 2．（24-25高二下·四川广安·月考）在①；②，；③，.这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有__________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 3．（24-25高二上·吉林·期末）在①，②，③…，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答. 已知数列的前n项和为，满足_____，已知数列满足， (1)求数列和数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)若数列满足，求数列的前n项和 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $