专题01 整式的加减（5重点+21题型+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

专题01 整式的加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：单项式相关概念 ◆1、单项式定义：由数或字母的乘积叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、单项式的系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. ◆3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 知识点二 ：整式及相关概念 ◆1、整式的定义：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式。例如，3t﹣t﹣4是由 3t、﹣t 和﹣4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式. ◆2、单项式和整式的关系 单项式也是整式 ◆3、单项式、整式的辨别 (1) 单项式不含有加减运算； (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式； (3)单项式和整式都可以有除法运算,但要写成分数形式且分母中不能含有字母. ◆4、整式的相关概念 （1）整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式. （2）整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. 【注意】 (1) 在确定整式的各项时,不要忘记它前面的符号,尤其注意项的符号为负号的情况； (2) 整式中次数最高的项不一定只有一项,有可能是多项,甚至每一项的次数都一样,都是最高项； (3)单项式的次数是所有字母指数的和,而整式的次数是整式中次数最高项的次数二者不要混淆。 知识点三 ：合并同类项 ◆1、同类项：对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这个两个单项式为同类项. ◆2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. ◆3、合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. ◆4、合并同类项的一般步骤： (1)找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记. (2)换：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合. (3)合：利用分配律，合并同类项. (4)写：写出合并后的结果并按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 知识点四 ：整式的升幂(降幂)排列 ◆1、把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列. ◆2、将整式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动,因为常数项的次数为 0，所以将整式按某个字母降幂排列时，一般将其放在整式的最后，反之，则放在最前面. 知识点五 ：整式的加减 ◆1、整式加减计算的一般步骤：如果有括号的先去括号，再合并同类项. ◆2、求整式的值的一般步骤：先将式子化简，再代入数值进行计算. 【题型1 单项式的相关概念】 高妙技法 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式是指由数字与字母的乘积组成的代数式，或单独的数字或字母，根据单项式的定义逐项判断即可；本题主要考查了单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、含有加法运算，是多项式，不符合题意； B、分母含有字母，不是单项式，不符合题意； C、分子含有加法运算，不是单项式，不符合题意； D、是数字与字母的乘积，符合单项式定义； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义，根据单项式的定义求解即可． 【详解】解：单项式有：0，，，， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．3，3 B．，3 C．3，2 D．，2 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数（包含符号），单项式中所有字母的指数之和为该单项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是，， 故选：B． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义和性质．多项式的含义，单项式是数字与字母的乘积，或单独的数或字母；系数是数字部分（包括常数和符号）；次数是所有字母指数之和，常数项次数为0．再逐一判断即可． 【详解】解：∵ 单项式是数字与字母的乘积，或单独的数字或字母， ∴ a是单项式，故A错误； ∵ 单项式 的系数是 ，而不是 ，故B错误； ∵ 中含有加法运算，不是单项式，而是多项式，故C错误； ∵ 5是常数单项式，其次数为0，故D正确． 故选：D 【题型2 利用单项式的相关概念求值】 高妙技法 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【分析】根据单项式的次数与系数的定义解决此题． 【详解】解：由题意得：m，n＝4． ∴m+n4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的系数与次数的定义是解决本题的关键． 【变式1】已知（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对 【答案】A． 【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出a的值，注意系数不能为零． 【详解】解：∵（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式， ∴2+|a|+1＝6，且a+3≠0， 解得：a＝3． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了单项式以及绝对值，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键． 【变式2】若是关于x、y的10次单项式，且系数是8，则 ． 【答案】1或/或1 【分析】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数的定义是解题关键．利用单项式的定义得出m的值，进而利用单项式次数的定义得出n的值，进而得出答案． 【详解】∵是关于x、y的10次单项式，且系数是8， ∴， ∴， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为1或， 故答案为：1或． 【题型3写出满足条件的单项式】 高妙技法 写出满足条件的单项式，关键在于准确理解“系数、次数、字母种类与数量”三大要素，并根据题目限制条件进行构造。只要掌握结构特征和分类讨论方法，就能快速写出符合条件的单项式. 【典例1】系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了单项式，根据单项式的系数、次数，可得答案． 【详解】解：系数为，只含字母的三次单项式有2个， 它们是，， 故答案为：，． 【变式1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·月考）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的概念，单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和．理解单项式的系数、次数的意义是正确解答的关键． 根据单项式的系数、次数的意义进行解答即可． 【详解】解：符合条件的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4 整式的有关概念】 高妙技法 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式。合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。 【典例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列式子中，多项式有（    ） ，，，，4，，， A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫作多项式． 根据多项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在、、、、4、、、中，多项式有：、、共3个． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的项数和次数，先合并整式中的同类项，再统计项数和确定最高次数． 【详解】解：整式为：． ∵常数项2和是同类项，合并为1； x、和无其他同类项． ∴合并后整式为：，项数为4． 各项次数：1的次数为0，x的次数为1，的次数为3，的次数为． ∴最高次数为6． 故项数和次数分别为4和6， 对选A． 【变式2】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式、多项式、整式的概念，掌握单项式、多项式、整式的概念是解题的关键． 根据单项式、多项式、整式的概念逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 单项式的系数是，次数是，故该选项不符合题意； B. 单项式的次数是，系数是，故该选项不符合题意； C. 多项式是三次多项式，故该选项符合题意； D. 在，，，，中，整式有个，故该选项不符合题意； 故选：C ． 【题型5 利用整式的相关概念求值】 高妙技法 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式定义，熟记多项式定义是解决问题的关键． 根据二次三项式的定义，整式需包含三项且最高次项的次数为2，从而列出式子求解即可得到答案． 【详解】解：关于和的整式是一个二次三项式， ，且， 解得，且， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的项定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式次数和项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的五次三项式 ∴ 且 解得：且 ∴ 故答案为：. 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）若多项式是关于的三次二项式，则 ． 【答案】5. 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 根据多项式为三次二项式，则最高次项次数为3，且项数为2，因此需使一次项系数为零，据此得到m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，且， ∴， ∴． 故答案为：5． 【题型6 判断是否为同类项】 高妙技法 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，解题的关键是熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可． 【详解】解：A：和的字母不同（前者只有x，后者有x和y）， ∴不是同类项，不符合题意； B：和的字母相同（a、b、c），但相同字母指数不同（a指数，c指数）， ∴不是同类项，不符合题意； C：是单项式，但是多项式，不是单项式， ∴不能是同类项，不符合题意； D：和的字母相同（u和v），且相同字母指数相同（u指数均为3，v指数均为1）， ∴是同类项，符合题意． 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，两个常数也是同类项，据此求解即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知，A、C、D三个选项中的两个式子都是同类项，B选项中的两个式子所含的字母不相同，故不是同类项， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此可得答案． 【详解】解：根据同类项的定义可知，四个式子中只有式子与是同类项， 故选：A． 【题型7由同类项的定义求值】 高妙技法 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【典例1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项定义求出、的值． 根据同类项的定义，可得，，求出、后计算． 【详解】解：与是同类项， ∴的指数相等：， 解得； 的指数相等：， 解得； ∴． 故选：C． 【变式1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 解得，， ∴． 故选：A． 【变式2】若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义． 根据同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，据此列出方程，求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 【题型8 由合并同类项的法则求值】 高妙技法 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【典例1】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 【答案】1． 【分析】首先可判断两单项式是同类项，再由同类项所含相同字母的指数相同，可得m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：因为﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项， 所以﹣2amb4与5ab2m+n是同类项， 所以m＝1，2m+n＝4， 解得m＝1，n＝2， 所以mn＝12＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，解答本题的关键是掌握同类项中的两个相同． 【变式1】若7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式，则式子12m﹣16的值是（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣5 【答案】C． 【分析】根据同类项的定义求出m的值，再代入进行计算即可． 【详解】解：∵7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式， ∴7x2y2和﹣11x3my2是单项式， 即3m＝2， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）如果单项式与相加以后结果仍是单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，根据题意可得单项式与是同类项，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵单项式与相加以后结果仍是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型9直接合并同类项的计算】 高妙技法 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了合并同类项，通过合并同类项法则进行化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数都保持不变，据此求解即可． 【详解】解： 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，直接合并同类项即可． 【详解】解： 【题型10 去括号后合并同类项的计算】 高妙技法 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【典例1】（25-26六年级上·上海·月考）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先利用去括号法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是关键；先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，掌握运算的步骤是解题的关键．先计算单项式乘多项式、然后合并同类项进行化简． 【详解】解： ． 【题型11将多项式按某个字母的升幂（降幂）排列】 高妙技法 把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列. 【典例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）将多项式按的升幂排列，从左到右第二项是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的排列．按字母的升幂排列，即按照的指数从小到大排列多项式各项． 【详解】解：多项式中，各项关于的指数分别为：的指数是2，的指数是3，的指数是1，的指数是0． 按的升幂排列为：， 故从左到右第二项是． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键． 按字母y降幂排列，即按照y的指数从高到低排序即可． 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的排列问题，把原多项式按照y的指数从高到低重新排列即可得到答案． 【详解】解：将整式按y降幂排列为， 故答案为：． 【题型12 数与式类的规律探究】 高妙技法 掌握“观察—分析—归纳—验证”四步法是解决数与式变化规律问题的关键，重点在于找出“变”与“不变”的部分，并建立与序号n的代数关系 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，观察给定式子的变化规律，每个式子由的幂次方减去一个常数项构成，分析幂次和常数项的变化规律，确定第个式子的形式． 【详解】解：第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， 第个式子为， ， 第个式子为． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化规律，据图形中的规律即可求出的展开式中从左起第五项的系数． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为1； 的第五项系数为； 的第五项系数为； 的第五项系数为； ∴第五项系数为． 故选：D． 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，余1，因此有507个完整周期，余数对应的个位数字为7．总和的个位数字为． 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 故答案为：7． 【题型13 图形类的规律探究】 高妙技法 掌握常见的图形变化规律是解决此类题目的关键，通常可通过观察元素的数量、位置、形状、叠加方式等特征来归纳出模式. 【典例1】（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第22种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，总结规律即可解决问题． 【详解】解：第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， ， 第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：， 当时，． 故答案为： ． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·月考）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1张图包含6个小圆，第2张图包含10个小圆，以此类推，第个图形有 个小圆．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题是一道整式规律的题目，找到规律是解题的关键． 观察图形可知：每个图形的四个角有四个小圆；中间由个小圆组成，由此可知第个图形中小圆的个数为． 【详解】解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； 第5个图形有小圆个； 故第6个图形有小圆个． ∴第个图形有小圆个， 故答案为：． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与图形有关的规律题型，结合图形表面积的计算是解题的关键． 结合图形，发现每一个图形的表面积得出规律计算即可； 【详解】解：结合图形，发现：（1）中个平方单位， （2）中个平方单位， （3）中个平方单位， （4）中个平方单位， 以此类推，可得第15个图形的表面积是个平方单位． 故答案为：． 【题型14 整式加减的计算】 高妙技法 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据整式的加减运算，整式等于和减去已知整式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵整式M与整式的和为， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知，． (1)求． (2)如果，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将，代入中，去括号，合并同类项即可． （2）将，代入中，化简即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，，， ∴ ． 【题型15 整式的化简求值】 高妙技法 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接(或整体)代入字母的值进行计算即可. 【典例1（25-26六年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，整式的加减中的化简求值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先去括号，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·月考）先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式运算的相关运算法则进行化简并能准确求值是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后代入已知数值即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，首先根据去括号法则、合并同类项法则把整式化简，再把字母的值代入化简后的代数式计算求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先由非负数的性质求出x、y的值，再根据知识的加减计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【题型16 整式加减中不含某项问题】 高妙技法 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【典例1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，根据题意先计算，再根据题意令的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵整式，整式， ∴ ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【答案】11 【分析】本题主要考查了整式的无关项问题，先根据整式的混合运算计算出的值，再根据无关项计算出的值，代入计算即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与字母取值无关， ∴， ∴， ∴． 【变式2】已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减、整式的无关问题，关键是灵活运用知识点解决问题； （1）将整式代入计算即可； （2）将整式代入计算化简，然后令项和项的系数分别为零即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴       ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵上式与的取值无关， ∴， 即：， ∴． 【题型17 整式加减中的错看问题】 高妙技法 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，准确理解题意是解题的关键． 先根据求出，代入计算即可． 【详解】 ，， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知 ． (1)求 ； (2)小欣在计算时，误当成 结果得到 ，求 的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）先根据求出C，再列出正确的算式计算． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴ ， ∴ ． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是，将看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为，据此得出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， 则原式 ， ∵标准答案的结果是常数， ∴， 解得：． 原题中的“■”是． 【题型18 整式加减与数轴、绝对值的结合】 高妙技法 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【典例1】如图，已知a、b、c在数轴上的位置． (1) 0， 0， 0．（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的化简计算，正确得到是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置得到，据此逐一判断符号即可； （2）根据（1）所求，先去绝对值，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴ ． 【变式1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1)，，，， (2) 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴，整式的加减，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键． （1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）由图可知，，，且， 所以，，； （2）原式 ． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可； （3）判断有理数的正负进行化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 【题型19 利用整式加减解决数字问题】 高妙技法 1.核心：先整式表多位数，再列等式加减化简. 2.关键：两位数 10b+a，三位数 100c+10b+a（首位≠0）. 3.四步：设未知数→表各数→找和差倍关系列等式→整式加减求解验证. 【典例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见详解 【分析】本题考查了整式的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，即可作答． （2）根据题意列式，然后去括号再合并同类项，得，最后结合为正整数，则为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ； （2）解：能，理由如下： 依题意， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴能被6整除， 即当和为正整数时，减去的差能被6整除． 【变式1】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． （1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 　 　． （2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 　 　． （3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？ 【分析】（1）根据百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c表示出M即可； （2）同（1）可表示出N； （3）列出整式相加减的式子，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）M为：100a+10b+c； 故答案为：100a+10b+c； （2）N为：100c+10b+a； 故答案为：100c+10b+a； （3）∵N﹣M＝（100c+10b+a）﹣（100a+10b+c） ＝99c﹣99a ＝99（c﹣a）． ∴N﹣M能被11整除． 【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·月考）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【答案】(1)原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式进行总结即可； （2）由（1）规律表示新的两位数，再利用整式加减法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ， …， ∴把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； 故答案为：原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍； （2）解：∵原来两位数的十位数字为，个位数字为， ∴由（1）中规律得新两位数可表示为：； ． 【题型20 利用整式加减进行新定义运算】 高妙技法 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号． 【典例1】（24-25六年级上·上海·月考）定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减无关型问题，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键．先化简，然后根据的值与x的取值无关，可以得到k的值，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ； 的值与x的取值无关， ， 解得：． ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有 个“孤立数” 【答案】50 【分析】本题主要考查数字类的规律探索，解此题的关键在于准确找到题中所给规律，再根据规律进行归纳总结． 根据孤立数的定义，整数a不能表示为两个不同整数的平方之差，通过分析，整数a是孤立数当且仅当（为整数），绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 【详解】根据题意，“孤立数”可以为：2，6，10，14，18，， 因此，a为孤立数当且仅当（为整数） 绝对值小于100的整数中，要满足（为整数），最小可取，最大可取， 故绝对值小于100的整数中共有50个孤立数． 故答案为：50． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对” (3) 【分析】本题考查了整式的加减及解一元一次方程，解决本题的关键是熟练掌握整式的加减及解一元一次方程的步骤． （1）由是“哪吒数对”，可得再解方程即可； （2）由，可得，即，再回答即可； （3）由是“哪吒数对”，可得出，即．再化简与并作差，再求解即可． 【详解】（1）解：因为是“哪吒数对”， 所以将t代入可得 ， 即， 解得； （2）解：， 等式两边同时乘以18得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 即． 所以当两个非零有理数满足时，数对就是“哪吒数对”； （3）解：因为是“哪吒数对”， 所以， 即， 所以． ， ， 作差得： 把代入上式得：． 所以差是定值． 【题型21 利用整式加减解决实际问题】 高妙技法 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【典例1】（25-26七年级上·上海松江·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 金额低于200元 金额低于500元但不低于200元 金额大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款__________元；当大于或等于500时，他实际付款__________元．（用含的式子表示） (2)若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)1650 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的实际应用，代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）当x低于500但不低于200时，根据九折优惠计算即可；当x大于或等于500时，根据其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠计算即可； （2）根据（1）中代数式，将代入对应代数式中求值即可． 【详解】（1）解：当低于500但不低于200时，获得九折优惠，他实际付款为元； 当大于或等于500时，其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，他实际付款为（元）． 故答案为：；． （2）解：， 当时， ， 他实际付款1650元． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【答案】(1)； (2)他实际付款850元 【分析】本题考查列代数式、整式加减的实际应用、代数式求值，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）当x低于500但不低于200时，根据九折优惠计算即可；当x大于或等于500时，根据其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠计算即可； （2）根据（1）中代数式，将代入对应代数式中求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，若一名顾客在该超市一次性购物标价x元， 当x低于500元但不低于200元时，他实际付款元； 当x大于或等于500元时，他实际付款元． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴当时，， 答：实际付款850元． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·月考）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)； (2)，，当时，；当时，；当时， (3)方案一 【分析】本题考查比差法及应用，涉及整式的加减，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决． （1）用减即可得到答案； （2）由长方形的周长公式得，，再作差讨论比较即可； （3）方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：，再作差比较即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴； ∴； 故答案为：； （2）解：图1长方形的周长，图2长方形的周长， ， 当时，， 当时，； 当时，， 故答案为：，； （3）解：根据题意，方案一所用钢板面积为：，方案二所用钢板面积为：， ，且， ， 从省料角度考虑，应选方案一． 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海·月考）在代数式3，，，，中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的定义，解题的关键是明确单项式的概念，即由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 根据单项式的定义，逐一分析所给代数式，判断哪些是单项式． 【详解】解：代数式3：是单独的一个数，属于单项式； 代数式：是由4和相加组成，属于多项式，不是单项式； 代数式：是由和相加组成，属于多项式，不是单项式； 代数式：是数与字母、的积，属于单项式； 代数式：是由和相加组成，属于多项式，不是单项式； 综上，单项式有3和，共2个， 故选：A． 2．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 【答案】D 【分析】本题考查了代数式，单项式，多项式，单项式的次数等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据代数式，单项式，多项式，单项式的次数的概念分别判断即可． 【详解】解：A、不是整式，故不是多项式，故本选项错误，不符合题意； B、是四次单项式，系数是，故本选项错误，不符合题意； C、是多项式，故本选项错误，不符合题意； D、是代数式，正确，符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级上·上海闵行·月考）下列说法正确的是（　　） A．的项是，，5 B．与都是多项式 C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5 【答案】B 【分析】一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数． 【详解】解：A：的项是，，5，故A错误； B：与都是由几个单项式的和组成，都是多项式，故B正确； C：多项式的次数是，故C错误； D：若一个多项式的次数是5，则这个多项式中每一项的次数都可以是5，故D错误； 故选：B 【点睛】本题考查多项式的相关知识点．熟记相关结论是解题关键． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）代数式，，，，，中，整式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的概念求解即可，解题的关键是要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 【详解】解：式子，，，，符合整式的定义，是整式； 式子，，分母中含有字母，不是整式， 故整式有个． 故选：． 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 【答案】C 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、与不是同类项，故该选项不符合题意； B、与，相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意； C、与是同类项，故该选项符合题意； D、与7不是同类项，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项的原则是解题的关键． 根据合并同类项的原则逐个选项进行计算判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D 7．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了数字的变化规律，解此题的关键是明确题意，发现常数项和字母指数的变化特点及规律． 观察代数式的常数项和x的指数部分各自的规律，分别推导出第n项的表达式，再结合选项判断． 【详解】解：当时，第一个代数式为：， 当时，第二个代数式为：， 当时，第三个代数式为：， 当时，第四个代数式为：， ∴第n个代数式是． 故选：A． 8．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，找出等式的规律是解题的关键．依据题意，得出规律为，将，代入，得出，先根据的整数次幂找到个位数字的规律，得出的个位数字是，即可求解． 【详解】解：由上面的规律可知：， 当，时，， ∴； ∵，，，，，，...， ∵， ∴的个位数字是， ∴的个位数字是． 故选：C． 2、 填空题 9．（23-24七年级上·上海静安·月考）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ． 【答案】 ， ， 【分析】根据单项式和多项式的定义来求解． 【详解】解：，，，，，0中： ，是单项式； ，是多项式； ，即不是单项式，也不是多项式． 故答案为：，；，． 【点睛】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）将整式按字母y升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的升幂排列，按y的升幂排列，即根据y的指数从小到大排列各项，并保持各项原有符号． 【详解】解：整式按字母y升幂排列为： 故答案为：. 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式减去另一个整式的差等于，那么这个整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，关键是熟练应用知识点进行计算； 设所求整式为，根据题意列出方程，通过移项和合并同类项求解. 【详解】解：设所求整式为， 由题意得： ， ， ， ， . 故答案为：. 12．（25-26六年级上·上海·月考）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求式子 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，再逐个化简绝对值，然后进行整式的加减运算，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，计算出两个多项式的差，令所得结果中项的系数为零，解方程得到的值即可得到答案． 【详解】解： ． ∵多项式与的差中不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减的求值，分别将和代入，再整理相加即可得出答案． 【详解】当时，①． 当时，， 即②， 变形可得，再整体代入②得， 得， 解得． 故答案为：． 3、 解答题 15．先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 【分析】（1）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； （2）根据括号前是正号去括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号，可去掉括号，根据合并同类项，可得答案； 【详解】解：（1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b）＝4b﹣6a+6a﹣9b＝﹣5b； （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1）＝4a2+6ab﹣4a2﹣7ab+1＝﹣ab+1． 【点睛】本题考查了去括号与添括号，合并同类项，括号前是正号去掉括号不变号，括号前是负号去掉括号要变号． 16．（25-26七年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中，是最大的负整数，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值．先去括号，合并同类项，然后代入数值求值． 【详解】解： ， ∵是最大的负整数， ∴， 当，时，原式． 17．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，利用整式的加减计算法则求出的结果，再根据的结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵的结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 19．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知整式、、满足，其中，． (1)求整式； (2)当时，，求当时，整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减的化简求值问题和绝对值的非负性，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先推出，再整体代入化简即可； （2）首先由时，得到，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵时，， ∴ ∴ 当时， ． 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，． (1)关于，的式子不存在字母的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先化简，然后根据其取值与字母x的取值无关列出m、n的方程，求出m、n的值，再代入求值即可； （2）首先根据恒成立列出m、n的方程，求出m、n的值即可. 【详解】（1）解： ∵关于，的式子不存在字母的一次项和二次项 ∴或， ∴，， ∴将，代入得 原式 ， （2）∵ 若恒成立 ∴ ∵ 且 ∴， ∴ ， 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 整式的加减 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：单项式相关概念 ◆1、单项式定义：由数或字母的乘积叫作单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. ◆2、单项式的系数：一个含字母的单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. ◆3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 知识点二 ：整式及相关概念 ◆1、整式的定义：有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式。例如，3t﹣t﹣4是由 3t、﹣t 和﹣4这三个单项式求和得到的整式.单项式也是整式. ◆2、单项式和整式的关系 单项式也是整式 ◆3、单项式、整式的辨别 (1) 单项式不含有加减运算； (2)整式是有限个单项式的和，单项式也是整式； (3)单项式和整式都可以有除法运算,但要写成分数形式且分母中不能含有字母. ◆4、整式的相关概念 （1）整式的项： 合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。合并同类项后，整式有几项，就称为几项式。特别地，只含有一项就是单项式. （2）整式的次数： 各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数. 【注意】 (1) 在确定整式的各项时,不要忘记它前面的符号,尤其注意项的符号为负号的情况； (2) 整式中次数最高的项不一定只有一项,有可能是多项,甚至每一项的次数都一样,都是最高项； (3)单项式的次数是所有字母指数的和,而整式的次数是整式中次数最高项的次数二者不要混淆。 知识点三 ：合并同类项 ◆1、同类项：对于两个单项式，如果它们所含字母相同，且相同字母的指数也相同，那么称这个两个单项式为同类项. ◆2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项. ◆3、合并同类项法则： 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. ◆4、合并同类项的一般步骤： (1)找：找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面做相同的标记. (2)换：运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合. (3)合：利用分配律，合并同类项. (4)写：写出合并后的结果并按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 知识点四 ：整式的升幂(降幂)排列 ◆1、把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列. ◆2、将整式按某个字母降幂(升幂)排列时，要注意各项移动时要连同它们前面的符号一起移动,因为常数项的次数为 0，所以将整式按某个字母降幂排列时，一般将其放在整式的最后，反之，则放在最前面. 知识点五 ：整式的加减 ◆1、整式加减计算的一般步骤：如果有括号的先去括号，再合并同类项. ◆2、求整式的值的一般步骤：先将式子化简，再代入数值进行计算. 【题型1 单项式的相关概念】 高妙技法 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列各式属于单项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）代数式0，，，，，中，单项式个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）单项式的系数和次数分别是（   ） A．3，3 B．，3 C．3，2 D．，2 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）下列说法中，正确的是（　　） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 【题型2 利用单项式的相关概念求值】 高妙技法 根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方 程，求出方程的解即可. 【典例1】若单项式的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知（a+3）x2y|a|+1是关于x，y的六次单项式，则a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．以上都不对 【变式2】若是关于x、y的10次单项式，且系数是8，则 ． 【题型3写出满足条件的单项式】 高妙技法 写出满足条件的单项式，关键在于准确理解“系数、次数、字母种类与数量”三大要素，并根据题目限制条件进行构造。只要掌握结构特征和分类讨论方法，就能快速写出符合条件的单项式. 【典例1】系数为，只含字母的所有三次单项式是 ． 【变式1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·月考）写出一个同时满足以下三个条件的单项式： 系数是负数； 次数是； 至少含有个字母； 这个单项式可以是： ． 【题型4 整式的有关概念】 高妙技法 有限个单项式求和得到的代数式叫作整式，整式也叫作多项式。合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不含字母的项叫作常数项。 【典例1】（24-25七年级上·上海·期中）下列式子中，多项式有（    ） ，，，，4，，， A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）整式的项数和次数分别是（　　） A．4，6 B．4，10 C．5，6 D．5，10 【变式2】下列结论中正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．多项式是三次多项式 D．在，，，，中，整式有个 【题型5 利用整式的相关概念求值】 高妙技法 根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知关于和的整式是一个二次三项式，则 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）若是关于x、y的五次三项式，则 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）若多项式是关于的三次二项式，则 ． 【题型6 判断是否为同类项】 高妙技法 ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）下列各组单项式是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】（25-26七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）下列单项式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【题型7由同类项的定义求值】 高妙技法 主要利用的是同类项的概念，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，根据题意得到关于某个字母的方程求解即可． 【典例1】若与是同类项，那么（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－2 【变式1】如果单项式与是同类项，那么（   ） A．1 B． C．0 D．无法确定 【变式2】若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2025 【题型8 由合并同类项的法则求值】 高妙技法 根据合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.利用合并的系数特点来解决问题. 【典例1】若﹣2amb4与5ab2m+n可以合并成一项，则mn的值是 ． 【变式1】若7x2y2和﹣11x3my2的和是单项式，则式子12m﹣16的值是（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣8 D．﹣5 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）如果单项式与相加以后结果仍是单项式，那么 ． 【题型9直接合并同类项的计算】 高妙技法 “合并同类项”的步骤： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三合，将同一括号内的同类项相加即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）化简： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【题型10 去括号后合并同类项的计算】 高妙技法 先对式子进行去括号，再合并同类项，有时还要用到添括号.在计算时要注意： 1、当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘． 2、出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错． 【典例1】（25-26六年级上·上海·月考）合并同类项： (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【变式3】（24-25七年级上·上海·期中）计算：． 【题型11将多项式按某个字母的升幂（降幂）排列】 高妙技法 把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列. 【典例1】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）将多项式按的升幂排列，从左到右第二项是 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·期中）将整式按字母y降幂排列得到 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期中）将整式按y降幂排列： ． 【题型12 数与式类的规律探究】 高妙技法 掌握“观察—分析—归纳—验证”四步法是解决数与式变化规律问题的关键，重点在于找出“变”与“不变”的部分，并建立与序号n的代数关系 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）一组按规律排列的式子：，，，，，它的第个式子是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海徐汇·期中）我国北宋数学家宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第行有个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竟然与（是正整数）展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【变式2】（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【题型13 图形类的规律探究】 高妙技法 掌握常见的图形变化规律是解决此类题目的关键，通常可通过观察元素的数量、位置、形状、叠加方式等特征来归纳出模式. 【典例1】（24-25六年级上·上海金山·期末）如图，烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，第22种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·月考）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1张图包含6个小圆，第2张图包含10个小圆，以此类推，第个图形有 个小圆．（用含的代数式表示） 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）如图所示的几何体都是由棱长为1的正方体叠放而成．图（1）几何体为1个正方体，其表面积为6；图（2）几何体由4个正方体组成，其表面积为18；图（3）几何体由10个正方体组成，其表面积为36；……，按照这样的规律，第15个几何体的表面积为 ． 【题型14 整式加减的计算】 高妙技法 用A、B表示的多项式分别是一个整体，先化简再代入求值时要把A、B加上括号后，然后去括号再进行化简. 【典例1】（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【变式2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知，． (1)求． (2)如果，求． 【题型15 整式的化简求值】 高妙技法 进行整式的加减时先去括号然后合并同类项进行化简后，直接(或整体)代入字母的值进行计算即可. 【典例1（25-26六年级上·上海·月考）先化简再求值：，其中，． 【变式1】（25-26六年级上·上海宝山·月考）先化简，再求值：，其中， 【变式2】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，求代数式的值． 【题型16 整式加减中不含某项问题】 高妙技法 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法：在整式的加减运算的过程中，若涉及“不含某项”或“与某项无关”，其实质是指合并同类项后“不含项”或“无关项”的系数为0. 【典例1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知：，，的值与字母取值无关，求的值． 【变式2】已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简所表示的代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求出的值． 【题型17 整式加减中的错看问题】 高妙技法 看错符号问题，先根据错误的运算方法求出原来的某个多项式，然后再按照正确的运算方法计算结果即可. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）小吴做一道题：已知两个整式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知，求正确的答案． 【变式1】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知 ． (1)求 ； (2)小欣在计算时，误当成 结果得到 ，求 的正确结果． 【变式2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【题型18 整式加减与数轴、绝对值的结合】 高妙技法 先由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【典例1】如图，已知a、b、c在数轴上的位置． (1) 0， 0， 0．（填“”或“”） (2)化简：． 【变式1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：a______0，b______0，c______0，______0，______0； (2)化简：． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【题型19 利用整式加减解决数字问题】 高妙技法 1.核心：先整式表多位数，再列等式加减化简. 2.关键：两位数 10b+a，三位数 100c+10b+a（首位≠0）. 3.四步：设未知数→表各数→找和差倍关系列等式→整式加减求解验证. 【典例1】（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知两个一次式分别是和． (1)求与的和； (2)当和为正整数时，减去的差能否被6整除？请说明理由． 【变式1】一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c． （1）用含a、b、c的式子表示这个数M为 　 　． （2）现在交换百位数字和个位数字，得到一个新的三位数N，请用含a、b、c的式子表示这个数N为 　 　． （3）请用含a、b、c的式子表示N﹣M，并回答N﹣M能被11整除吗？ 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·月考）观察下列各式： ； ； ； ；；；； (1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________； (2)你能用所学知识解释这个规律吗？ 解：设原来两位数的十位数字为，个位数字为，原来两位数可表示为，则新的两位数的十位数字为，个位数字为，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继续完成解释该规律的理由) 【题型20 利用整式加减进行新定义运算】 高妙技法 将多项式作为整体代入新定义的运算中，切记将多项式要用括号括起来，再去括号． 【典例1】（24-25六年级上·上海·月考）定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）若整数不可以表示成两个不同的整数的平方之差，我们称这样的数为“孤立数”，例如：2不可以表示为两个不同整数的平方之差，则2为“孤立数”；16可以表示为，则16不为“孤立数”．那么绝对值小于100的整数中共有 个“孤立数” 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）将两个非零有理数a、b记作数对，若数对满足，则称数对为“哪吒数对”． (1)若是“哪吒数对”，求t的值； (2)苗苗同学很爱思考，她发现了一种快速判断“哪吒数对”的方法，例如、、均是“哪吒数对”．你能破解苗苗同学快速判断的奥秘吗？ (3)若是“哪吒数对”，试说明与的差是定值，并求出该定值． 【题型21 利用整式加减解决实际问题】 高妙技法 有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法 则计算出最后的结果. 【典例1】（25-26七年级上·上海松江·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 金额低于200元 金额低于500元但不低于200元 金额大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中金额500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物的总金额和为元，当低于500但不低于200时，他实际付款__________元；当大于或等于500时，他实际付款__________元．（用含的式子表示） (2)若一名顾客一次性购物的金额合计2000元，他实际付款多少元？ 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）某超市在国庆期间对顾客实行优惠政策，规定如下： 一次性购物 标价低于200元 标价低于500元但不低于200元 标价大于或等于500元 优惠方法 不予优惠 九折优惠 其中标价500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)若一名顾客在该超市一次性购物标价x元，当x低于500元但不低于200元时，他实际付款_______元；当x大于或等于500元时，他实际付款_________元．（用含x的式子表示） (2)若一名顾客一次购物标价合计1000元，他实际付款多少元？ 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·月考）阅读下面材料并解决问题： 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么，当时，有；当时，有；当时，有；反过来也对，即当时，有；当时，有；当时，有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小，像这样判断两数大小关系的方法叫做求差法，请你用求差的方法解决以下问题： (1)若， ，则______0，P______Q（填>，=或<）； (2)如图，图1长方形Ⅰ的周长______，图2长方形Ⅱ的周长______，请用求差法比较M、N的大小； (3)制作某产品有两种用料方案，方案一：用2块A型钢板，用6块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，用5块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板的面积大．设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y从省料角度考虑，应选哪种方案？ 1、 选择题 1．（25-26七年级上·上海·月考）在代数式3，，，，中，单项式的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．是多项式 B．是四次单项式，系数是 C．是二次单项式 D．是代数式 3．（23-24七年级上·上海闵行·月考）下列说法正确的是（　　） A．的项是，，5 B．与都是多项式 C．多项式的次数是3 D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5 4．（2024七年级上·上海·专题练习）代数式，，，，，中，整式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列各组单项式是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与7 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·云南昆明·三模）按一定规律排列的代数式：，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·浙江温州·期中）观察：， ， ， ，… 据此规律，求的个位数字是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 9．（23-24七年级上·上海静安·月考）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式： ；多项式： ． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）将整式按字母y升幂排列为 ． 11．（25-26七年级上·上海金山·期中）若整式减去另一个整式的差等于，那么这个整式是 ． 12．（25-26六年级上·上海·月考）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求式子 ． 13．（25-26七年级上·上海奉贤·期中）如果多项式与的差中不含项，则a的值为 ． 14．（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知多项式（其中是常数），当时的值分别是23和，那么 ． 3、 解答题 15．先去括号，再合并同类项 （1）2（2b﹣3a）+3（2a﹣3b） （2）4a2+2（3ab﹣2a2）﹣（7ab﹣1） 16．（25-26七年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中，是最大的负整数，． 17． （25-26七年级上·上海金山·期中）已知整式，整式，且的结果中不含x的一次项，求k的值． 18．（2024七年级上·上海·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 19．（24-25七年级上·上海虹口·期中）已知整式、、满足，其中，． (1)求整式； (2)当时，，求当时，整式的值． 20．（25-26七年级上·上海·期中）已知，． (1)关于，的式子不存在字母的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求、的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $