4.3.2 等比数列的前n项和（第2课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时） 题型一：奇数项和与偶数项和性质的应用 1．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 2．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 3．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 4．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 5．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 6．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 7．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 8．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 9．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 11．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 题型二：已知Sn和an的等式关系求an 1．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知等比数列的前项和为，则 ． 5．已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 6．在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．数列是递增数列 8．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 题型一：分组求和法求数列前n项和 1．已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 3．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 4．已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 5．已知数列的前项和为，，则 . 6．记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 7．已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 8．设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 9．已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 10．已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型二：等比数列前n项和的实际应用 1．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 2．某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 3．小明每年末存入银行1000元，年利率为，按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为（    ）（参考数据：） A．5000元 B．5526元 C．5856元 D．6000元 4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 28．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 5．设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（    ） A． B． C． D． 6．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ． 7．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 1．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 3．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 4．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 5．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)记数列的前n项和为，求， 7．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的．    (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时） 题型一：奇数项和与偶数项和性质的应用 1．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 【答案】 【分析】由等比数列的通项公式与性质求解即可 【详解】∵等比数列{an}的公比为， 则. 故答案为： 2．已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 3．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 4．若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 5．已知等比数列共有2n项，其和为，且，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据题意可得，结合等比数列的性质运算求解. 【详解】设， 由题意可知：，解得， 所以． 故答案为：2. 6．已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 7．等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 8．已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,利用等比数列的求和公式表示出奇数项之和与偶数项之和，两式相除即可求解. 【详解】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知， 设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2. 故选:D. 9．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出等比数列的公比，结合等比中项的性质求出，即可求得的值. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍，所以，，故 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以，， 因为，可得，因此，. 故选：C. 10．已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据题意，设，由等比数列的前项和公式可得的值，进而求得结论． 【详解】根据题意，数列为等比数列，设， 又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则， 故； 故选： 【点评】本题考查等比数列的求和，关键是求出等比数列的公比，属于基础题． 11．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（    ）. A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据已知条件得出数列的奇数项和偶数项之间的关系，可求得公比，再由等比中项和前3项之积可求得，从而求得首项. 【详解】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴. 故选:B. 题型二：已知Sn和an的等式关系求an 1．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简表达式，求出首项和公比，即可求出. 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 2．（多选）记为数列的前项和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A令即可；利用降标作差求出，即可求出数列的通项公式，即可判断BC选项；D将通项公式代入即可. 【详解】当时，，解得，A正确. 当时，，所以，即， 则是以为首项，2为公比的等比数列，所以，C正确； 由上知，B错误； ，D正确. 故选：ACD 3．已知数列的前项和满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用，求出，进而得到，结合的表达式可得答案. 【详解】当时，，解得； 当时，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， 因为，所以. 故选：B 4．已知等比数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】解法一：根据与之间的关系，结合等比数列的定义运算求解；解法二：根据比数列的前项和，直接列式求解. 【详解】解法一：当时，， 显然不合题意，可得； 当时，； 若为等比数列，则，且，解答； 解法二：因为， 设等比数列的公比为，由题可知，1， 因为等比数列的前项和（为常数，且）， 所以，得． 故答案为：. 5．已知数列{}满足：则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据的关系可推导出为等比数列，进而可得. 【详解】由题意，，即，又， 故是以1为首项，2为公比的等比数列， 故，故. 故选：B 6．在等比数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为数列是等比数列，且已知前项和，所以可求通项，进而可求，仍然是等比数列，再利用求前项和公式解出结果. 【详解】解：因为数列是等比数列，且， 解得，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 那么，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以根据前项和公式得. 故选：. 7．已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】利用数列中与的关系得数列为等比数列，再逐一判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，由， 即，又，故数列是首项为，公比为的等比数列， ∴  ，， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，则，故数列是递增数列，故D正确. 故选：AD. 8．已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由的关系，求数列的通项公式； （2）根据等比数列的求和公式及分组求和得解. 【详解】（1）由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可知，，所以. 所以. 题型一：分组求和法求数列前n项和 1．已知等差数列的，公差，则数列的前2025项和为（    ） A． B． C．505 D．1013 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式求出，再将目标数列求出，利用并项求和法求和即可. 【详解】因为， ， 所以，此时令， 而其前项和为， ，故D正确. 故选：D 2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知满足：，，则（   ） A．4720 B．4722 C．4723 D．4725 【答案】D 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系可知数列是以3为周期的数列，结合周期性即可得结果. 【详解】由题意可得：, 可知数列是以3为周期的数列， 因为，所以， 故选：D. 3．已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【详解】因为， 则． 故选：B． 4．已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【详解】因为， 则． 故选：C 5．已知数列的前项和为，，则 . 【答案】30 【分析】根据已知通项公式写出，分组求和即可. 【详解】由题设. 故答案为：30 6．记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）可知，， . 7．已知数列的通项公式为，数列的前项和为. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入求解即可， （2）分奇数项以及偶数项，利用分组求解，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1） ； （2） . 8．设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 9．已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用来求解即可； （2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减． 【详解】（1）解：由于数列为等差数列 所以，解得， 所以． 由于数列为等比数列 所以，解得， 所以． （2） ． 10．已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列的公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. （2）记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 题型二：等比数列前n项和的实际应用 1．朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将每个音的频率看作等比数列，且数列共13项，且，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解. 【详解】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 2．某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】设每年应偿还的金额为万元，由分期付款模型建立等式求解即可． 【详解】解:设每年应偿还的金额为万元, 由题意，得 ， 所以 故选：B 3．小明每年末存入银行1000元，年利率为，按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为（    ）（参考数据：） A．5000元 B．5526元 C．5856元 D．6000元 【答案】B 【分析】由复利定义结合等比数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】由题可得按复利计算，第6年初他的总存款的本息和约为 元. 故选：B 4．我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 28．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ） A．3盏 B．5盏 C．7盏 D．9盏 【答案】A 【分析】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列求和公式计算可得. 【详解】设塔顶共有灯盏，根据题意，各层灯数构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得. 故选：A. 5．设某厂去年的产值为1，从今年起，该厂计划每年的产值比上年增长，则从今年起到第十年，该厂这十年的总产值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的求和公式求和即可. 【详解】依题意，这十年的总产值为： . 故选：C 6．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以，，，，，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①，，，…，所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格．现有，，，…，纸各一张．若纸的宽度为，则纸的面积为 ；这9张纸的面积之和等于 ． 【答案】 / 【分析】根据题设背景，分析纸张长宽、面积为等比数列，利用列举等比数列的项求对应长宽，进而求面积，再应用等比数列前n项和求面积和. 【详解】由题设，若的长宽分别为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为， 又纸宽度为 ，所以，则的面积为 ， 由上分析，面积为，面积为，面积为，，依次类推， 易知，这9张纸的面积是以为首项，为公比的等比数列， 所以，面积之和为. 故答案为：； 7．在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】(1)公司：（元）；公司：（元） (2)从公司得到的报酬较多 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【详解】（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 1．已知数列的前项和，则数列的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由和等比数列的前n项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前10项分别为， 所以数列的前10项中，，所以， 故选：C． 2．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（    ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【解析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为 则， 又，则，解得， 故数列的所有项之和是. 故选：D 3．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系. 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 4．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 5．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，通过作差即可求解； （2）由等比数列求和公式得到，再通过分组求和即可. 【详解】（1）因为，故，两式相减 所以即，故等比数列的公比为， 当时，，故， 故 （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 6．已知数列的前n项和为且满足；等差数列满足，且，，成等比数列． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的最大项； (3)记数列的前n项和为，求， 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由前项和与通项的关系得出数列的通项公式，再结合等比性质得出的通项公式； （2）由作差法得出单调性，进而得出最值； （3）由错位相减法求解即可. 【详解】（1），且，， ， ， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则. 设等差数列的公差为， 则由，得， 解得： (舍)，或，所以. （2）由 (1) 可知， 当时，， 所以， 当时，，所以. 经分析可知当时，最大，且最大值为. （3）由（1）可知，，设， 则， 两式相减得 故. 7．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的．    (1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为？ 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设从第次落地到第n次落地时经过的路程为，得到当时，，利用等比数列的性质求出通项公式，并求和； （2）设小球第n次落地时，经过的路程为，由于，从而得到方程，求出答案. 【详解】（1）设小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为， 则，，，…． 而且，当时，我们可以得到递推关系，． 这是一个首项为，公比为的等比数列． 因此，且． 所以小球第10次落地时，经过的路程为 ． （2）设小球第n次落地时，经过的路程为， 由于， 因此，解得． 所以当小球第4次落地时，经过的路程为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $