专题03 勾股定理（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学勾股定理复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将勾股定理及逆定理、常用勾股数等知识点分层呈现，构建“考点认知-知识解析-应用拓展”的递进知识脉络，清晰展现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导创新，如立体图形最短路径问题通过“化曲为直”转化为平面问题（体现空间观念与模型意识），网格坐标系中结合两点间距离公式判断直角三角形（培养运算能力与推理意识）。基础通关、重难突破、综合拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准分层教学，提升复习效率。

专题03 勾股定理（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理及其逆定理的直接应用 能利用勾股定理求直角三角形的任意一边长，并能用其逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。 期末必考基础题。常与网格、坐标系结合，考查对公式的熟练运用。易错点在于分不清何时用定理（已知直角），何时用逆定理（判断直角）。 利用勾股定理解决几何图形中的计算 能在等腰三角形、矩形、菱形、梯形等图形中，通过添加辅助线（通常是作高）构造出直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解。 期末解答题的常考题型，考查几何图形分解与转化的能力。难点在于在非直角三角形中“无中生有”（构造高线）找到隐藏的直角三角形。 勾股定理的实际应用（最短路径问题） 能将“立体表面上的最短路径”问题，通过展开图转化为平面内“两点之间线段最短”问题，并利用勾股定理计算最短距离。 期末应用题的经典压轴类型，综合性强，考查空间想象与数学建模能力。常见于圆柱、长方体、阶梯路径等场景。 勾股定理与特殊直角三角形（方程思想） 能熟记并灵活应用常见勾股数（如3,4,5；5,12,13）及其倍数，并会设未知数利用勾股定理建立方程解决较复杂的边长问题。 勾股数是快速解题工具。方程思想是解决未知边问题的核心方法，常与折叠、动点问题结合，形成小综合题。 知识点01 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理（形→数）：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a² + b² = c²。 （1）几何意义：以直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 （2）适用范围：该定理是直角三角形的性质定理，使用前提是已知（或已证）三角形为直角三角形。 2.勾股定理的逆定理（数→形）：如果三角形的三边长a， b， c满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。 核心作用：判定一个三角形是否为直角三角形。这是证明垂直关系的强力工具。 ·易错点：混淆定理与逆定理：已知直角三角形用a²+b²=c²求边长；已知三边关系用a²+b²=c²判断是否为直角三角形。 未明确斜边：使用公式时，必须先确定斜边（最长边）。若未说明，则默认c为斜边。若最长边不满足a²+b²=c²，则三角形不是直角三角形。 知识点02 常用勾股数与特殊直角三角形的性质 1.常见勾股数（组）：（1）基础组：3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 8， 15， 17…… （2）规律：它们的整数倍（如6, 8, 10）仍是勾股数。 2.特殊直角三角形的边角关系： （1）含30°角的直角三角形：30°角所对的直角边是斜边的一半。若设30°角对边为a，则三边比为 a : a : 2a。 （2）等腰直角三角形（含45°角）：两直角边相等。若直角边为a，则斜边为a。 3.应用价值：熟记这些比例关系，可以大幅提升几何计算题的解题速度，尤其在填空、选择题中。 题型一 利用勾股定理建立方程求几何图形中的长度 解｜题｜技｜巧 这在非直角三角形中求边长，关键是构造包含所求边的直角三角形。 1.“作高线”策略：这是最通用的方法。遇到等腰三角形、梯形等图形，常通过作底边上的高，将其分割为两个全等的直角三角形。 2.“设未知数x”：在直角三角形中，若两边已知求第三边，直接代入公式。若仅知一边及其他条件，则设所求边为x，用含x的代数式表示该直角三角形的其他边，再根据勾股定理列出方程。 3.“折叠（对称）问题”：图形折叠前后对应边相等、对应角相等。折叠后通常会形成新的直角三角形（折痕常起到高线或角平分线作用），将已知和未知量集中到这个新三角形中，用勾股定理解方程。 易｜错｜点｜拨 作高线时，要明确高线在形内还是形外（尤其在钝角三角形中），这会影响线段长度的加减关系。列方程前，务必确认所构造的是否为真正的直角三角形。 【典例1】 折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm， 求：（1）求CF的长； （2）求EC的长． 【解答】解：（1）设CE＝xcm，EF＝（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，BF6cm， CF＝10﹣6＝4cm． 故CF的长为4cm； （2）在Rt△ECF中，EF2＝CE2+CF2，即（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 故EC的长为3cm． 【典例2】 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求： （1）BC边上的高AD的长度； （2）△ABC的面积． 【解答】解：（1）设BD＝x， ∵BC＝14， 则DC＝14﹣x， ∵AD是BC边上的高，AB＝13，AC＝15， ∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣DC2， ∴132﹣x2＝AD2＝152﹣（14﹣x）2， 解得x＝5， ∴AD2＝132﹣52＝144， ∴AD＝12（负值已舍去）． （2）由（1）得AD＝12，AD是BC边上的高， ∵BC＝14， ∴． 【变式1】△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则线段BC的长为　 　 ． 【解答】解：Rt△ACD中，AC＝17，AD＝8， 由勾股定理得：CD15； Rt△ABD中，AB＝10，AD＝8，由勾股定理得：BD6； ①点D在线段BC上时，BC＝BD+CD＝21， ②点D在CB的延长线上时，BC＝CD﹣BD＝9， 故BC的长为9或21． 故答案为：9或21． 题型二 立体图形中的最短路径问题 答｜题｜模｜板 1.“化曲为直”：将立体图形（圆柱、长方体等）的侧面展开成一个平面矩形。 2.“定点连线”：在展开图中，标出原来立体图形上两个点的准确位置。此时，连接这两点的线段就是理论上在表面行走的最短路径。 3.“构造直角三角形”：这条线段通常会与展开图的边构成一个直角三角形。 4.“勾股求值”：在这个直角三角形中，利用勾股定理计算出这条线段的长度，即为最短路径。 【典型情境】： 圆柱：沿一条母线剪开展开，路径为长方形的对角线。 长方体：需比较将不同的面展开后，路径的长度。通常需要将含有关键点的两个相邻面展开到同一平面讨论。 台阶/楼梯：将其侧面“拉直”成一个长方形，路径为长方形的对角线。 【典例1】为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系， （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置． （3）在圆柱的侧面展开图中确定A、B两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： （1）圆柱的侧面展开图是　 　 ； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； （3）求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【解答】解：（1）圆柱的侧面展开图是长方形， 故答案为：长方形； （2）如图，点B和A、B两点之间的最短路线如图所示； （3）∵∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm， ∴， 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程15cm． 【典例2】综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的高AB为2cm．底面直径BC为8cm． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是　 　 ； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）； 拓展迁移： 如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM＝8，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【解答】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，AB＝2cm，， ∴， ∴最短路线AC的长为； （3）∵圆锥的底面周长为2π×2＝4π， 设侧面展开图的圆心角度数为n°， ∴，解得n＝90， ∴如图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形， 线段PP′的长为蚂蚁爬行的最短距离， ∴在Rt△MOM′中，， ∵点P为OM的中点， ∴PP′是△OMM′的中位线， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 【变式1】课本再现： 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究： （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 　 　 cm． 方法应用： （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【解答】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段AB的长， 由题意得：AC＝9cm，BC＝12cm． 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后AC＝3cm×8＝24（cm），BC＝10cm， 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是26cm． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，作BC⊥A′A于点C，则 BC＝15，A′M＝AM＝2，CM＝35﹣1＝34，CA′＝CM+A′M＝36． 在Rt△A′BC中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为39cm． 【变式2】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′ ∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上， ∴PB＝ 　 ，P′B＝ 　 ，（依据 　 　 ） ∴AP+PB＝AP+PB′＝ 　 ． 在△AP′B′中，∵AB′＜AP′+P′B′，（依据 　 　 ） ∴AP+PB＜AP+P′B′，即AP﹣BP最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同到两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 　 　 cm． 【解答】理由：如图③，在直线l上另取任一点P'，连接 AP'，BP'，B'P'， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上， ∴PB＝PB'，P'B＝P'B'，（依据轴对称的性质）， ∴AP+PB＝AP+PB'＝AB'． 在△AP'B'中，∵AB'＜AP'+P'B'，（依据三角形三边关系）， ∴AP+PB＜AP+P'B'， 即AP+PB最小； 故答案为：PB'，P'B'，轴对称的性质，AB'，三角形三边关系； 【模型应用】解：把图④的半个侧面展开为矩形EFGH，如图，作点A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，作 CD⊥EF于D， ∴A′P＝AP，A′E＝AE＝4cm，DF＝CG＝3cm． 由【归纳总结】可知蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为AP+PC＝A'P+PC＝A'C． ∵EF＝14cm， ∴DE＝EF﹣DF＝11cm， ∴A′D＝A′E+DE＝15cm． 又∵圆柱形玻璃杯底面周长为16cm， ∴CD＝8cm， ∴， ∴蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为17cm． 故答案为：17 【变式3】【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【解答】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段SF就是蜘蛛走的最短路， ∵∠SNF＝90°，FN＝18﹣2＝16cm，SN60＝30（cm）， ∴SF（cm）， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm； （2）如图2，设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F， 设爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，∵长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝CC1＝14cm ∴AF＝1•x＝xcm，CF＝1•x＝xcm，CF＝（14﹣x）cm，AC＝12cm， ∴x2＝122+（14﹣x）2， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 题型三 勾股定理逆定理的应用与网格、坐标系中的几何问题（跨章节题型） 答｜题｜模｜板 1.判断直角三角形（网格/坐标系）： （1）给定三点坐标，先利用两点间距离公式（本质是勾股定理）计算三角形三边长。 （2）再验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 2.判断特殊角（如直角、45°角）： （1）若要证明某角为直角，可证其所在三角形满足勾股定理逆定理。 （2）若要证45°角，常需先证该角为直角，再证其所在的三角形是等腰直角三角形（邻边相等）。 3.综合应用：在坐标系中，求点的坐标、判断图形的形状（如是否为等腰三角形、直角三角形、正方形），往往需要综合运用勾股定理及其逆定理、两点间距离公式等。 易｜错｜点｜拨 在网格中计算线段长度时，若线段非水平或竖直，应将其作为直角三角形的斜边，通过数格子确定两条直角边的长度，再算斜边。切忌直接“数斜着的格子”。 【典例1】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上． （1）点A，B，C的坐标分别为 　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）（﹣4，3），（﹣1，2），（﹣3，﹣4）． 故答案为：（﹣4，3），（﹣1，2），（﹣3，﹣4）． （2）△ABC 是直角三角形，理由如下： 因为，点A，B，C的坐标分别为 （﹣4，3），（﹣1，2），（﹣3，﹣4）， 所以，， ， ， 所以，AB2+BC2＝AC2， 所以，△ABC是直角三角形． （3）如图，△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1． 由图可知：． ∴△A1B1C1 的面积为10． 【典例2】先阅读理解下面的问题，再按要求解答问题：如图，在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2之间的距离．若x1≠x2，y1≠y2，过点P1，P2分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点A1（x1，0），A2（x2，0），B1（0，y1），B2（0，y2），Q（x2，y1）． 因为QP1＝A2A1＝|x2﹣x1|，P2Q＝B2B1＝|y2﹣y1|， 所以在 Rt△P1P2Q 中，|P1P2|2＝|QP1|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2， 所以|P1P2|． 因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式：|P1P2|． 根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知平面上两点A（﹣2，3），B（4，11），求A，B之间的距离； （2）若平面上三点A（﹣2，1），B（4，3），C（﹣3，4），试判定△ABC的形状，说明理由． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（4，11）， ∴AB10； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵A（﹣2，1），B（4，3），C（﹣3，4）， ∴AB2＝[4﹣（﹣2）]2+（3﹣1）2＝40，BC2＝（﹣3﹣4）2+（4﹣3）2＝50，AC2＝[﹣3﹣（﹣2）]2+（4﹣1）2＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， 故△ABC是直角三角形． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣1，4）． （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C的对应点C1的坐标为（4，1），则点B的对应点B1的坐标为　 　 ，点A的对应点A1的坐标为　 　 ； （2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2； （3）以原点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的△A3B3C3． 【解答】解：（1）∵C（﹣1，4）且平移后其对应点C1的坐标为（4，1）， ∴△ABC向右平移5个单位，再向下平移3个单位后得到△A1B1C1 ∴点B的对应点B1的坐标为B1（1，0），点A的对应点A1的坐标为A1（3，﹣2）， 故答案为：（1，0），（3，﹣2）； （2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2，如图1即为所求； （3）以原点O为对称中心，△ABC成中心对称的△A3B3C3，如图2即为所求． 【变式2】阅读理解，在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2的距离？ 如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，，所以．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为． 根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知平面上两点A（﹣3，4），B（5，10），求AB的距离； （2）若平面上有三个点A（﹣2，1），B（1，2），C（﹣1，3），试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如图2，在正方形AOBC中，点A（﹣4，3），点D在OA边上，且，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE+EA的最小值． 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，4），B（5，10）， ∴AB10； （2）△ABC是直角三角形；理由如下： ∵A（﹣2，1），B（1，2），C（﹣1，3）， ∴AB2＝[1﹣（﹣2）]2+（2﹣1）2＝10，BC2＝（﹣1﹣1）2+（3﹣2）2＝5，AC2＝（﹣1﹣（﹣2））2+（3﹣1）2＝5， ∴AC2+BC2＝AB2，且BC＝AC， 故△ABC是等腰直角三角形； （3）∵A（﹣4，3），D（﹣1，）， ∴OD，OA5， ∵四边形AOBC是正方形， ∴AO＝BO＝5， ∵点A关于直线OC的对称点是B， ∴EA+ED的最小值为BD， ∴BD， 故DE+EA的最小值为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各组数据中，是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 【解答】解：A、0.6，0.8不是整数，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、42+52≠72，不能构成直角三角形，不符合题意； D、32+42＝52，符合勾股数的定义，符合题意， 故选：D． 2.下列各级数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，6 B．6，8，10 C．7，24，25 D．9，12，15 【解答】解：A、32+42≠62，不能作为直角三角形的三边，符合题意； B、62+82＝102，能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、72+242＝252，能作为直角三角形的三边，不符合题意； D、92+122＝152，能作为直角三角形的三边，不符合题意， 故选：A． 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 【解答】解：由勾股定理结合正方形的面积可得，S1+S2＝S3， 又∵S1+S3﹣S2＝32， ∴2S1＝32， ∴S1＝16， ∴阴影部分面积为8， 故选：A． 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线，则CD＝ 　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm， ∴AB＝10cm， 过点D作DE⊥AB， ∴∠BED＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD，CD＝DE， ∴△BCD≌△BED（AAS）， ∴BC＝BE＝6cm， ∴AE＝4cm， 在Rt△ADE中，DE2+AE2＝AD2， 即CD2+42＝（8﹣CD）2， 解得CD＝3． 故答案为：3cm． 5.如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形ABC全等，则这样的格点三角形最多可以画出　 　 个． 【解答】解：以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形ABC全等，如图即为所求； 由图可知，共4个． 故答案为：4． 6.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD和AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ABD＝30°，AD＝3，求BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接AE、CE， 在Rt△BAD中，E是斜边BD的中点， 则AEBD， 同理可得：CEBD， ∴AE＝CE， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）解：在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝3， 则BD＝2AD＝2×3＝6． 7.如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成（即AB⊥BC），若BC段长度为8cm，A、C两点之间的距离比AB段长2cm，求AB段的长度． 【解答】解：设AB＝xcm，则AC＝（x+2）cm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB2+BC2＝AC2， 即x2+82＝（x+2）2， 解得x＝15， 即AB的长为15cm． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝（　　） A．24 B． C．48 D． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°， ∵BC＝10，BD＝8， ∴， 设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣6， 在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2， ∴（x﹣6）2+82＝x2， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2.如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从A→B→C，则它所走的路程是（　　） A．3m B． C． D． 【解答】解：由图片可知：AB、BC均为长1宽0.5的矩形的对角线， ∴，， ∴， 故选：B． 3.今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（　　） A．尺 B．尺 C．29尺 D．21尺 【解答】解：把大树看作圆柱，其侧面展开图为矩形，则矩形的长为3尺， 缠木七周，则长为21尺，∵大树高为2丈＝20尺， ∴这条腾条长度为：29（尺）； 故选：C． 4.如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则S1+S2的面积为　 　 ． 【解答】解：由勾股定理得，， 由图形可知，阴影部分面积S1+S2＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB ＝24， 故答案为：24． 5.定义：已知△ABC是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称△ABC为“等直关联三角形”，这条线段称为“等直分割线”． 如图，在等直关联△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在BC边上（不与顶点重合），连结AD，AD为“等直分割线”． （1）求AB的长． （2）求△ABD的面积． 【解答】解：（1）在等直关联△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， 由勾股定理得：； （2）∵在等直关联△ABC中，AD为“等直分割线”， ∴AD＝BD， 设BD＝AD＝x，则CD＝BC﹣BD＝8﹣x， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝CD2+AC2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， 解得：， ∴， ∴△ABD的面积为． 6.【探究活动】 活动任务：利用如图1的长方形卡纸（长为5，宽为4），要求通过裁剪，重新拼接成一个正方形． 【步骤一】设计裁剪方案 【步骤二】实施方案 方案一：妙妙按照图2的方式，沿虚线BE，CF裁剪，恰好将该纸片剪成①，②，③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 方案二：多多说：“将图1的纸片沿着AB，CD的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．″ （1）根据妙妙的拼接过程，完成下列问题： ①如图3，所拼成的正方形的面积为　 　 ； ②求线段CE的长； （2）请根据多多的说法设计一种方案．在图4上画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长． 【解答】解：（1）①∵拼接后正方形面积与原长方形面积相等， ∴所拼成的正方形的面积为4×5＝20； ②∵拼成的正方形的面积为20， ∴拼成的正方形边长为， ∴， 由拼接过程可知，BE＝MQ，∠BEC＝∠Q＝90°， ∴BE， 在Rt△BEC中，BC＝5， ∴， ∴线段CE的长为． （2）裁剪线如图所示： 在AD、BC上截取BF＝DE＝1，连接EH、EG、GF， ∵长方形纸片的长为5，宽为4， ∴AE＝5﹣1＝4，AG＝BG＝DH＝2， ∴，． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，在正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则∠CAD﹣∠BAC的度数为（　　） A．42° B．30° C．38° D．45° 【解答】解：如图，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，取格点E，使CE∥AB，连接DE，AC， ∴∠BAC＝∠ACE， 由勾股定理得：， ∴∠CAD＝∠ACD， ∴∠CAD﹣∠BAC＝∠ACD﹣∠ACE＝∠DCE， ∵， ∴CE2+DE2＝CD2， ∴△DCE为等腰直角三角形， ∴∠DCE＝45°， 即∠CAD﹣∠BAC＝45°． 故选：D． 2.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜7时，则代数式的最小值是　 　 ． 【解答】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的Rt△ACP的斜边长，，可以可看作两直角边分别是7﹣x和3的Rt△BDP的斜边长， 故问题转化为求AP+BP的最小值，连接AB，则AP+BP的最小值为AB的长， ∴AC＝1，DB＝3，CD＝7，CP＝x，PD＝7﹣x， ∴AE＝1+3＝4，BE＝7， ∴AB， ∴的最小值是， 故答案为：． 3.已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 【解答】解：（1）由题可知t＝1k+1k＝1+1＝2， 故答案为：2； （2）①当k＝2，t＝1时， 则，即a2+b2＝c2， ∴三角形为直角三角形， 故①正确，符合题意； ②当k＝1，，c＝1时， 则， 1°当a＞b时，a﹣b＜c，即， 解得：b＞2； 2°当a＜b时，b﹣a＜c，即， 解得：b＜6． 综上，2＜b＜6． 当b＝2时，， 当b＝6时，； ∴5＜t＜11， 故②正确，符合题意； ③， ∴， 又a+b＞c， ∴， 不妨设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2， ∴， 解得：1＜n≤7， ∴n可取2，3，4，5，6，7， 对应的t值分别为：，共6个， 故③错误，不符合题意． 故答案为：①②． 4.综合与实践 数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形．围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． 初步探究： （1）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝6，CD＝5，DA＝4．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； 拓展探究： （2）创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 【解答】解：（1）正确，理由如下： 连接DB，过D点作DE⊥BC于E点， 在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2， ∴， ∵BD＝DC＝5， ∴三角形BCD为等腰三角形． 又∵DE⊥BC， ∴， ∴在Rt△DBE中，DE2＝BD2﹣BE2， ∴， ∴， ∴四边形ABCD四边为整数，面积为整数，是整数四边形； （2）①如图，面积为72． 面积求解如下： 连接BD，过点B作BG⊥CD于点G， 易证：BD＝10，BG＝8， ； ②如图，面积为54． 面积求解如下： 连接BD，过B点作BG⊥CD于G， 设CG＝x，DG＝15﹣x， CB2﹣CG2＝BD2﹣DG2， 42﹣x2＝132﹣（15﹣x）2， 30x＝72， ， ∵， ∴， ； 综上所述：四边形的面积为72或54． 5.阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2． （1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　 ； （2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　 ； （3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． （4）【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　 ． （5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 【解答】解：（1）∵，b＝2a， ∴ca， ∴小正方形面积：大正方形面积＝（a）2：（3a）2＝5：9， 故答案为：5：9； （2）根据题意可求， ∴空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28． 故答案为：28； （3）根据题意可知AB+AC＝24÷4＝6，OB＝OC＝3． 设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6﹣x． 在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，即（x+3）2+32＝（6﹣x）2， 解得x＝1， ∴OA＝4， ∴该风车状图案的面积； （4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y． ∵S1+S2+S3＝40，S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y， ∴S2＝x+4y． 故答案为：； （5）结论：a2+b2﹣ab＝c2． 由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得： ， ∴（a+b）2＝3ab+c2， ∴a2+b2﹣ab＝c2． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 勾股定理及其逆定理的直接应用 能利用勾股定理求直角三角形的任意一边长，并能用其逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。 期末必考基础题。常与网格、坐标系结合，考查对公式的熟练运用。易错点在于分不清何时用定理（已知直角），何时用逆定理（判断直角）。 利用勾股定理解决几何图形中的计算 能在等腰三角形、矩形、菱形、梯形等图形中，通过添加辅助线（通常是作高）构造出直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解。 期末解答题的常考题型，考查几何图形分解与转化的能力。难点在于在非直角三角形中“无中生有”（构造高线）找到隐藏的直角三角形。 勾股定理的实际应用（最短路径问题） 能将“立体表面上的最短路径”问题，通过展开图转化为平面内“两点之间线段最短”问题，并利用勾股定理计算最短距离。 期末应用题的经典压轴类型，综合性强，考查空间想象与数学建模能力。常见于圆柱、长方体、阶梯路径等场景。 勾股定理与特殊直角三角形（方程思想） 能熟记并灵活应用常见勾股数（如3,4,5；5,12,13）及其倍数，并会设未知数利用勾股定理建立方程解决较复杂的边长问题。 勾股数是快速解题工具。方程思想是解决未知边问题的核心方法，常与折叠、动点问题结合，形成小综合题。 知识点01 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理（形→数）：如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为c，那么 a² + b² = c²。 （1）几何意义：以直角边为边长的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 （2）适用范围：该定理是直角三角形的性质定理，使用前提是已知（或已证）三角形为直角三角形。 2.勾股定理的逆定理（数→形）：如果三角形的三边长a， b， c满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。 核心作用：判定一个三角形是否为直角三角形。这是证明垂直关系的强力工具。 ·易错点：混淆定理与逆定理：已知直角三角形用a²+b²=c²求边长；已知三边关系用a²+b²=c²判断是否为直角三角形。 未明确斜边：使用公式时，必须先确定斜边（最长边）。若未说明，则默认c为斜边。若最长边不满足a²+b²=c²，则三角形不是直角三角形。 知识点02 常用勾股数与特殊直角三角形的性质 1.常见勾股数（组）：（1）基础组：3， 4， 5； 5， 12， 13； 7， 24， 25； 8， 15， 17…… （2）规律：它们的整数倍（如6, 8, 10）仍是勾股数。 2.特殊直角三角形的边角关系： （1）含30°角的直角三角形：30°角所对的直角边是斜边的一半。若设30°角对边为a，则三边比为 a : a : 2a。 （2）等腰直角三角形（含45°角）：两直角边相等。若直角边为a，则斜边为a。 3.应用价值：熟记这些比例关系，可以大幅提升几何计算题的解题速度，尤其在填空、选择题中。 题型一 利用勾股定理建立方程求几何图形中的长度 解｜题｜技｜巧 这在非直角三角形中求边长，关键是构造包含所求边的直角三角形。 1.“作高线”策略：这是最通用的方法。遇到等腰三角形、梯形等图形，常通过作底边上的高，将其分割为两个全等的直角三角形。 2.“设未知数x”：在直角三角形中，若两边已知求第三边，直接代入公式。若仅知一边及其他条件，则设所求边为x，用含x的代数式表示该直角三角形的其他边，再根据勾股定理列出方程。 3.“折叠（对称）问题”：图形折叠前后对应边相等、对应角相等。折叠后通常会形成新的直角三角形（折痕常起到高线或角平分线作用），将已知和未知量集中到这个新三角形中，用勾股定理解方程。 易｜错｜点｜拨 作高线时，要明确高线在形内还是形外（尤其在钝角三角形中），这会影响线段长度的加减关系。列方程前，务必确认所构造的是否为真正的直角三角形。 【典例1】 折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm， 求：（1）求CF的长； （2）求EC的长． 【典例2】在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，求： （1）BC边上的高AD的长度； （2）△ABC的面积． 【变式1】△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高AD＝8，则线段BC的长为　 　 ． 题型二 立体图形中的最短路径问题 答｜题｜模｜板 1.“化曲为直”：将立体图形（圆柱、长方体等）的侧面展开成一个平面矩形。 2.“定点连线”：在展开图中，标出原来立体图形上两个点的准确位置。此时，连接这两点的线段就是理论上在表面行走的最短路径。 3.“构造直角三角形”：这条线段通常会与展开图的边构成一个直角三角形。 4.“勾股求值”：在这个直角三角形中，利用勾股定理计算出这条线段的长度，即为最短路径。 【典型情境】： 圆柱：沿一条母线剪开展开，路径为长方形的对角线。 长方体：需比较将不同的面展开后，路径的长度。通常需要将含有关键点的两个相邻面展开到同一平面讨论。 台阶/楼梯：将其侧面“拉直”成一个长方形，路径为长方形的对角线。 【典例1】为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系， （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置． （3）在圆柱的侧面展开图中确定A、B两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： （1）圆柱的侧面展开图是　 　 ； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； （3）求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【典例2】综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段AC，若圆柱的高AB为2cm．底面直径BC为8cm． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是　 　 ； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和π）； 拓展迁移： 如图2，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是OM的中点，母线OM＝8，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【变式1】课本再现： 如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 方法探究： （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是 　 　 cm． 方法应用： （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为3cm，高为10cm．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为30cm，高为35cm，杯底厚1cm．在玻璃杯外壁距杯口2cm的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【变式2】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P，连接PB，则AP+BP的和最小． 请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答． 理由：如图③，在直线l上另取任一点P′，连接AP′，BP′，B′P′ ∵直线l是点B，B′的对称轴，点P，P′在l上， ∴PB＝ 　 ，P′B＝ 　 ，（依据 　 　 ） ∴AP+PB＝AP+PB′＝ 　 ． 在△AP′B′中，∵AB′＜AP′+P′B′，（依据 　 　 ） ∴AP+PB＜AP+P′B′，即AP﹣BP最小． 【归纳总结】 在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P为AB′与l的交点，即A，P，B′三点共线）． 由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同到两定点的距离和的最小值”问题的数学模型． 【模型应用】 如图④，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为 　 　 cm． 【变式3】【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为12cm，底面圆的周长为18cm．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段AB的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm假设昆虫甲从盒内顶点C1开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 题型三 勾股定理逆定理的应用与网格、坐标系中的几何问题（跨章节题型） 答｜题｜模｜板 1.判断直角三角形（网格/坐标系）： （1）给定三点坐标，先利用两点间距离公式（本质是勾股定理）计算三角形三边长。 （2）再验证最长边的平方是否等于另两边的平方和。 2.判断特殊角（如直角、45°角）： （1）若要证明某角为直角，可证其所在三角形满足勾股定理逆定理。 （2）若要证45°角，常需先证该角为直角，再证其所在的三角形是等腰直角三角形（邻边相等）。 3.综合应用：在坐标系中，求点的坐标、判断图形的形状（如是否为等腰三角形、直角三角形、正方形），往往需要综合运用勾股定理及其逆定理、两点间距离公式等。 易｜错｜点｜拨 在网格中计算线段长度时，若线段非水平或竖直，应将其作为直角三角形的斜边，通过数格子确定两条直角边的长度，再算斜边。切忌直接“数斜着的格子”。 【典例1】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，原点O及△ABC的顶点都在格点上． （1）点A，B，C的坐标分别为 　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，求△A1B1C1的面积． 【典例2】先阅读理解下面的问题，再按要求解答问题：如图，在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2之间的距离．若x1≠x2，y1≠y2，过点P1，P2分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点A1（x1，0），A2（x2，0），B1（0，y1），B2（0，y2），Q（x2，y1）． 因为QP1＝A2A1＝|x2﹣x1|，P2Q＝B2B1＝|y2﹣y1|， 所以在 Rt△P1P2Q 中，|P1P2|2＝|QP1|2+|P2Q|2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2， 所以|P1P2|． 因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式：|P1P2|． 根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知平面上两点A（﹣2，3），B（4，11），求A，B之间的距离； （2）若平面上三点A（﹣2，1），B（4，3），C（﹣3，4），试判定△ABC的形状，说明理由． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，3），C（﹣1，4）． （1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C的对应点C1的坐标为（4，1），则点B的对应点B1的坐标为　 　 ，点A的对应点A1的坐标为　 　 ； （2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB2C2，画出△AB2C2； （3）以原点O为对称中心，画出与△ABC成中心对称的△A3B3C3． 【变式2】阅读理解，在平面直角坐标系中，P1（x1，y1），P2（x2，y2），如何求P1，P2的距离？ 如图1，作Rt△P1P2Q，在Rt△P1P2Q中，，所以．因此，我们得到平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离公式为． 根据上面得到的公式，解决下列问题： （1）已知平面上两点A（﹣3，4），B（5，10），求AB的距离； （2）若平面上有三个点A（﹣2，1），B（1，2），C（﹣1，3），试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如图2，在正方形AOBC中，点A（﹣4，3），点D在OA边上，且，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE+EA的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.下列各组数据中，是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，2， C．4，5，7 D．3，4，5 2.下列各级数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．3，4，6 B．6，8，10 C．7，24，25 D．9，12，15 3.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S1+S3﹣S2＝32，则阴影部分面积为（　　） A．8 B．14 C．16 D．18 4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线，则CD＝ 　 ． 5.如图，在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与格点三角形ABC全等，则这样的格点三角形最多可以画出　 　 个． 6.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD和AC的中点． （1）求证：EF⊥AC； （2）若∠ABD＝30°，AD＝3，求BD的长． 7.如图，某地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖直方向的AB，BC两段构成（即AB⊥BC），若BC段长度为8cm，A、C两点之间的距离比AB段长2cm，求AB段的长度． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝10，BD⊥AC于D，且BD＝8，则S△ABC＝（　　） A．24 B． C．48 D． 2.如图是由边长为0.5m的正方形地砖铺设的地面的一部分，一个扫地机器人沿图中所示的折线从A→B→C，则它所走的路程是（　　） A．3m B． C． D． 3.今有木长二丈，围之三尺、葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，有一棵树（将树看作一个圆柱）高2丈，底面周长是3尺，一条生长在树底下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平．这条藤的长度为（　　） A．尺 B．尺 C．29尺 D．21尺 4.如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC＝6，BC＝8，则S1+S2的面积为　 　 ． 5.定义：已知△ABC是直角三角形，若存在一条线段将其分割成两个三角形，且这两个三角形中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，则称△ABC为“等直关联三角形”，这条线段称为“等直分割线”． 如图，在等直关联△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在BC边上（不与顶点重合），连结AD，AD为“等直分割线”． （1）求AB的长． （2）求△ABD的面积． 6.【探究活动】 活动任务：利用如图1的长方形卡纸（长为5，宽为4），要求通过裁剪，重新拼接成一个正方形． 【步骤一】设计裁剪方案 【步骤二】实施方案 方案一：妙妙按照图2的方式，沿虚线BE，CF裁剪，恰好将该纸片剪成①，②，③三块，并按图3拼成与原纸片面积相等的正方形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）． 方案二：多多说：“将图1的纸片沿着AB，CD的中点G，H剪成四块，也可以拼成正方形．″ （1）根据妙妙的拼接过程，完成下列问题： ①如图3，所拼成的正方形的面积为　 　 ； ②求线段CE的长； （2） 请根据多多的说法设计一种方案．在图4上画出裁剪线，并直接写出各裁剪线的长． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，在正方形网格，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，则∠CAD﹣∠BAC的度数为（　　） A．42° B．30° C．38° D．45° 2.数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当0＜x＜12时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12﹣x和3的Rt△BDP的斜边长．于是将问题转化为求AP+BP的最小值，如图所示，当AP与BP共线时，AP+BP为最小．请你解决问题：当0＜x＜7时，则代数式的最小值是　 　 ． 3.已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数． （1）若三角形为等边三角形，则t＝　 　 ； （2）下列结论正确的是　 　 ．（写出所有正确的结论） ①若k＝2，t＝1，则△ABC为直角三角形； ②若，则5＜t＜11； ③若，a，b，c为三个连续整数，且a＜b＜c，则满足条件的△ABC的个数为7． 4.综合与实践 数学课上，老师给出一个新图形“整数四边形”的定义：若一个凸四边形的边长和面积均为整数，则称这样的凸四边形为整数四边形．例如，边长为整数的正方形和边长为整数的长方形都是整数四边形．一般四边形中也存在大量的整数四边形．围绕整数四边形的定义，同学们展开数学探究． 初步探究： （1）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝6，CD＝5，DA＝4．博学小组认为这个四边形是一个整数四边形，请你判断这个结论是否正确，并说明理由； 拓展探究： （2）创新小组受博学小组的启发，认为存在周长为36的整数四边形，请你画出周长为36，且只含有一个直角的两个不同的整数四边形，在所画图形中标注出各边的长度及直角，并直接写出四边形的面积． 5.阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2． （1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　 ； （2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　 ； （3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积． （4）【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　 ． （5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $