专题02 实数的初步认识（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学期末复习讲义以“核心考点-复习目标-考情规律”表格为框架，系统梳理实数初步认识知识体系，涵盖平方根、算术平方根、立方根的概念与计算，实数的分类、性质及运算，无理数估值与数轴表示等重难点，通过知识点分点解析与易错点标注，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“平方根与立方根双重概念题”通过方程建模将问题转化为a=b²等简单方程，培养运算能力与推理意识，“无理数估值”结合勾股定理在数轴表示，发展几何直观。基础通关、重难突破、综合拓展三层练习满足不同学生需求，解题技巧与易错点拨助力自主复习，教师可依此实施精准分层教学。

专题02 实数的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 能准确说出平方根与算术平方根的区别与联系，能根据定义求一个数的平方根、算术平方根和立方根。 期末必考基础题。核心易错点在于：①混淆“平方根”与“算术平方根”；②忽略平方根的双值性（±）；③对立方根符号理解错误。 实数的概念、分类与性质 能判断一个数是否是无理数，会对实数进行分类；理解实数与数轴上的点一一对应，并会求实数的相反数、绝对值。 常以选择题考查无理数的识别（π、带根号且开不尽、构造的无限不循环小数）。实数的绝对值、相反数与有理数范围内定义一致。 实数的运算与大小比较 能在实数范围内进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及简单的开方运算，会比较两个实数的大小。 考查运算的融会贯通，常将有理数运算律、绝对值化简与根式运算结合。比较大小常用方法有：平方法、倒数法、估算找中间数法。 无理数的估值与数轴表示 能用有理数对一个无理数（如, ）进行近似估算（确定其整数部分和小数部分），并能在数轴上通过几何作图近似表示它。 期末填空选择的典型拉分题。考查估算能力（如在哪两个连续整数之间）和数形结合思想（利用勾股定理构造无理数长度）。 知识点01 平方根、算术平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根是0。 3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），记作。任何数都有立方根，且只有一个（正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数）。 ·示例：9的平方根是±3，算术平方根是3。 ＝ 4， ＝ ＝ 2。 ＝ 2， ＝ －2。 ·易错点：符号混淆：仅表示算术平方根（非负），而求“平方根”必须写±。 理解错误：认为＝ a。正确的是＝ |a|。如 ＝ 3，而不是 －3。 知识点02 无理数与实数的概念、分类与性质 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见类型：①圆周率π及含π的式子；②开方开不尽的数（如，）；③某些有规律但不循环的无限小数（如0.1010010001…）。 2.实数：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点是一一对应的。 3.实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数范围内相同。运算律（交换、结合、分配律）仍然适用。 ·示例：在实数集合中，|－π| ＝ π， 的相反数是 3。 ·易错点：误认为“带根号的数”都是无理数。如＝2， ＝－2，它们是有理数。无理数的本质是“无限不循环”，而非形式。 题型一 平方根与立方根的双重概念题（逆向、含参） 解｜题｜技｜巧 1.概念先行：严格区分题目问的是“平方根”、“算术平方根”还是“立方根”。看到“平方根”要有±的意识。 2.方程建模：若已知一个数的平方根或立方根，求原数。可将问题转化为简单的方程： （1）若数a的平方根是±b，则 a ＝ b²。 （2）若数a的算术平方根是b（b≥0），则 a ＝ b²。 （3）若数a的立方根是c，则 a ＝ c³。 3.分类讨论：当涉及“一个数的平方根是它本身/相反数”时，要考虑0、正数、负数的情况；当已知平方根的和、差时，注意双值性带来的符号讨论。 易｜错｜点｜拨 若已知“一个正数的两个平方根互为相反数”，据此可列等式，且常隐含这两根之和为0的条件。计算后务必带回检验，确保被开方数非负。 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．±3是9的平方根 B．﹣2是4的算术平方根 C．（﹣2）2的平方根是﹣2 D．﹣9的算术平方根是3 【典例2】 已知一个正数的两个平方根分别是a+1和2a﹣10． （1）求这个正数． （2）求（1﹣a）2的算术平方根． 【典例3】 （1）若a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2，求ba的值； （2）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 【变式1】已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+3c的平方根． 【变式2】已知：16的算术平方根是3a﹣5，b是的整数部分． （1）求a，b的值； （2）求2a2+3b3﹣5a的立方根． 题型二 实数的混合运算与化简 答｜题｜模｜板 1.观察结构：识别运算类型，明确运算顺序（先乘方开方，再乘除，后加减；有括号先算括号内）。 2.化简先行： （1）化简绝对值：先判断内部正负。 （2）化简根式：将能开方的数先开出来（如 ＝ 2）。 （3）分母有理化：若分母含无理数，通常利用平方差公式，分子分母同乘分母的“有理化因式”。 3.合并同类项：将同类项（含相同无理数因式的项）进行合并，就像合并同类字母一样。 4.近似计算：若题目要求取近似值，则最后一步再进行四舍五入，过程中尽量保留根号或高精度值。 【典例1】计算：． 【典例2】求下列各式中x的值： （1）（3x+1）2﹣4＝0； （2）8x3+125＝0． 【变式1】数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式：． 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 ＝a+a﹣1 ＝2a﹣1 解：原式 ＝a+1﹣a ＝1 （1）填空：　 　 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 题型三 实数的估值、大小比较与数轴表示 答｜题｜模｜板 1.精确估值（夹逼法）： （1）找到被估算无理数前后两个连续的完全平方数或立方数。 （2）如估算：找到 a² < n < b²，则 a < < b。 （3）确定其整数部分a和小数部分（ － a）。 2.灵活比较大小： （1）平方法：适用于比较两个正无理数的大小（如与2.2）。 （2）作差/作商法：通用方法。 （3）寻找中间数法：找一个介于两者之间的有理数作为桥梁。 3.数轴表示无理数： 核心依据：勾股定理。利用单位长度，构造直角边长为整数的直角三角形，其斜长即为所求无理数（如, ）。 操作：以数轴上原点或某整数点为圆心，以该无理数为半径画弧，与数轴的交点即为所求。 易｜错｜点｜拨 比较负实数的大小时，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大，这是比较一切实数大小的根本法则。 【典例1】任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，，是因为，由此可以求无理数的整数部分与小数部分：根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ； （2）若，则的整数部分是　 　 ；小数部分可以表示为　 　 ； （3）在（2）的基础上，则的小数部分可以表示为　 　 ． 【典例2】阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a，b都是正数时，①若，则a＞b；②若，则a＝b；③，则a＜b． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． （1）请用上述方法比较与的大小； （2）写出与（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【变式1】根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①∵3﹣2＝1＞0，∴3＞2；②∵（﹣2）﹣1＝﹣3＜0，∴﹣2＜1；③∵（﹣2）﹣（﹣2）＝0，∴﹣2＝﹣2． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若a﹣b＞0，则a　　 b；若a﹣b＝0，则a　　 b；若a﹣b＜0，则a　　 b； （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒ ① 　 　 ；②当x＞y时，3x+5y　 　 2x+6y； 【变式2】我们知道：是一个无理数，它是无限不循环小数，且12，则我们把1叫做的整数部分，1叫做的小数部分．如果的整数部分为a，小数部分为b，求代数式（a+b）3的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.在下列选项中，无理数是（　　） A． B． C．π D． 2．估算的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 3．用四舍五入法按要求对0.06029分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到十分位） B．0.06（精确到0.01） C．0.06（精确到千分位） D．0.0603（精确到0.0001） 4.如果一个正数的两个平方根分别为3a﹣1与a﹣7，则这个正数是　 　 ． 5.已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求ab的平方根． 6.计算． 7．解方程： （1）4（2x﹣1）2＝36； （2）8x3＝﹣27； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.在如图所示的数轴上表示的点在（　　） A．线段AB之间 B．线段BC之间 C．线段CD之间 D．线段DE之间 2.下列说法中正确的有（　　） ①，，都是无理数； ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类； ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1； ⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.若n为正整数，且满足，求n的值为　 　 ． 4.如图，正方形ABCD的面积为5，顶点D在数轴上表示的数为﹣2．若点E在数轴上（点E在点D的右侧），且DC＝DE，则点E所表示的数为　 　 ． 5.已知点数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． （1）点C表示的数是　 　 ； （2）对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为　 　 ； （3）若点C所表示的数的整数部分为x，小数部分为y，求y3﹣6y2+x+8y﹣2025的值． 6.已知，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求的平方根． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续． （1）点B1表示的数是　 　 ． （2）A7B7＝　 　 ． 2．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图）．若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”．当b﹣a＝2时，m﹣n＝　 　 ． 3.阅读下列材料，解决问题： 材料一：设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[4]＝4． 材料二：求的值： ∵22＜2×3＜32，∴， ∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）2＝2025； 13+23+33+43+53+63+73+83+93＝2025． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1）[﹣2.1]＝ 　 　 ； 　 　 ； 　 　 ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）． （3）已知，，令，求． 4.已知长方形ABCD的长为3，宽为2，将其按如图所示的方式放置在数轴上，点B恰好与表示﹣1的点重合，P是数轴上一点，规定：AB表示A，B两点之间的距离，S△ABC表示三角形ABC的面积． （1）点C表示的数为　 　 ． （2）若点P表示的数为﹣3，求S△CDP． （3）若S△CDP＝3S△ABC，则点P表示的数为多少？ 5.如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为﹣1． （1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值； （3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的初步认识（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 能准确说出平方根与算术平方根的区别与联系，能根据定义求一个数的平方根、算术平方根和立方根。 期末必考基础题。核心易错点在于：①混淆“平方根”与“算术平方根”；②忽略平方根的双值性（±）；③对立方根符号理解错误。 实数的概念、分类与性质 能判断一个数是否是无理数，会对实数进行分类；理解实数与数轴上的点一一对应，并会求实数的相反数、绝对值。 常以选择题考查无理数的识别（π、带根号且开不尽、构造的无限不循环小数）。实数的绝对值、相反数与有理数范围内定义一致。 实数的运算与大小比较 能在实数范围内进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及简单的开方运算，会比较两个实数的大小。 考查运算的融会贯通，常将有理数运算律、绝对值化简与根式运算结合。比较大小常用方法有：平方法、倒数法、估算找中间数法。 无理数的估值与数轴表示 能用有理数对一个无理数（如, ）进行近似估算（确定其整数部分和小数部分），并能在数轴上通过几何作图近似表示它。 期末填空选择的典型拉分题。考查估算能力（如在哪两个连续整数之间）和数形结合思想（利用勾股定理构造无理数长度）。 知识点01 平方根、算术平方根与立方根 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±；0的平方根是0；负数没有平方根。 2.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根是0。 3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），记作。任何数都有立方根，且只有一个（正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数）。 ·示例：9的平方根是±3，算术平方根是3。 ＝ 4， ＝ ＝ 2。 ＝ 2， ＝ －2。 ·易错点：符号混淆：仅表示算术平方根（非负），而求“平方根”必须写±。 理解错误：认为＝ a。正确的是＝ |a|。如 ＝ 3，而不是 －3。 知识点02 无理数与实数的概念、分类与性质 1.无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见类型：①圆周率π及含π的式子；②开方开不尽的数（如，）；③某些有规律但不循环的无限小数（如0.1010010001…）。 2.实数：有理数和无理数统称为实数。实数与数轴上的点是一一对应的。 3.实数的性质：在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的定义与有理数范围内相同。运算律（交换、结合、分配律）仍然适用。 ·示例：在实数集合中，|－π| ＝ π， 的相反数是 3。 ·易错点：误认为“带根号的数”都是无理数。如＝2， ＝－2，它们是有理数。无理数的本质是“无限不循环”，而非形式。 题型一 平方根与立方根的双重概念题（逆向、含参） 解｜题｜技｜巧 1.概念先行：严格区分题目问的是“平方根”、“算术平方根”还是“立方根”。看到“平方根”要有±的意识。 2.方程建模：若已知一个数的平方根或立方根，求原数。可将问题转化为简单的方程： （1）若数a的平方根是±b，则 a ＝ b²。 （2）若数a的算术平方根是b（b≥0），则 a ＝ b²。 （3）若数a的立方根是c，则 a ＝ c³。 3.分类讨论：当涉及“一个数的平方根是它本身/相反数”时，要考虑0、正数、负数的情况；当已知平方根的和、差时，注意双值性带来的符号讨论。 易｜错｜点｜拨 若已知“一个正数的两个平方根互为相反数”，据此可列等式，且常隐含这两根之和为0的条件。计算后务必带回检验，确保被开方数非负。 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．±3是9的平方根 B．﹣2是4的算术平方根 C．（﹣2）2的平方根是﹣2 D．﹣9的算术平方根是3 【解答】解：A、±3是9的平方根，原说法正确，故此选项符合题意； B、2是4的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意； C、（﹣2）2的平方根是±2，原说法错误，故此选项符合题意； D、﹣9没有算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 【典例2】 已知一个正数的两个平方根分别是a+1和2a﹣10． （1）求这个正数． （2）求（1﹣a）2的算术平方根． 【解答】解：（1）由题意可得a+1+2a﹣10＝0， 解得a＝3， ∴这个正数是（a+1）2＝（3+1）2＝16； （2）由（1）知a＝3， ∴． 【典例3】 （1）若a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2，求ba的值； （2）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根． 【解答】解：（1）∵a+7的算术平方根是3，2b+2的立方根是﹣2， ∴a+7＝9，2b+2＝﹣8， 解得a＝2，b＝﹣5， ∴ba＝（﹣5）2＝25； （2）∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， ∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27， 解得x＝6，y＝8， ∴x2+y2的算术平方根：10． 【变式1】已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求3a﹣b+3c的平方根． 【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3， ∴5a+2＝27， ∴a＝5， ∵3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴3a+b﹣1＝16， ∴3×5+b﹣1＝16， ∴b＝2， ∵， ∴， ∴的整数部分是1， ∵c是的整数部分， ∴c＝1； （2）由（1）知a＝5，b＝2，c＝1， ∴3a﹣b+3c＝3×5﹣2+3×1＝16， ∵16的平方根是±4， ∴3a﹣b+3c的平方根是±4． 【变式2】已知：16的算术平方根是3a﹣5，b是的整数部分． （1）求a，b的值； （2）求2a2+3b3﹣5a的立方根． 【解答】解：（1）∵16的算术平方根是3a﹣5， ∴3a﹣5＝4， 3a＝9， a＝3， ∵， ∴的整数部分b＝2； （2）∵a＝3，b＝2， ∴2a2+3b3﹣5a ＝2×32+3×23﹣5×3 ＝2×9+3×8﹣5×3 ＝18+24﹣15 ＝27， ∴2a2+3b3﹣5a的立方根是3． 题型二 实数的混合运算与化简 答｜题｜模｜板 1.观察结构：识别运算类型，明确运算顺序（先乘方开方，再乘除，后加减；有括号先算括号内）。 2.化简先行： （1）化简绝对值：先判断内部正负。 （2）化简根式：将能开方的数先开出来（如 ＝ 2）。 （3）分母有理化：若分母含无理数，通常利用平方差公式，分子分母同乘分母的“有理化因式”。 3.合并同类项：将同类项（含相同无理数因式的项）进行合并，就像合并同类字母一样。 4.近似计算：若题目要求取近似值，则最后一步再进行四舍五入，过程中尽量保留根号或高精度值。 【典例1】计算：． 【解答】解： ＝﹣1+31﹣2 1． 【典例2】求下列各式中x的值： （1）（3x+1）2﹣4＝0； （2）8x3+125＝0． 【解答】解：（1）（3x+1）2﹣4＝0， （3x+1）2＝4， 3x+1＝±2， x或x＝﹣1； （2）8x3+125＝0， 8x3＝﹣125， 2x＝﹣5， x＝﹣2.5． 【变式1】数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式：． 下面是小明和小颖的解答过程： 解：原式 ＝a+a﹣1 ＝2a﹣1 解：原式 ＝a+1﹣a ＝1 （1）填空：　 　 的解法是正确的． （2）先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【解答】解：（1）∵a＞1，则a﹣1＞0， ∴ ＝a+|a﹣1| ＝a+a﹣1 ＝2a﹣1， ∴小明正确． 故答案为：小明； （2）， ＝|m﹣3|+2|m﹣2|， ∵m是5的算术平方根， ∴4＜m2＜9， ∴2＜m＜3， ∴m﹣3＜0，m﹣2＞0， ∴|m﹣3|+2|m﹣2|＝3﹣m+2（m﹣2）＝3﹣m+2m﹣4＝m﹣1， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 题型三 实数的估值、大小比较与数轴表示 答｜题｜模｜板 1.精确估值（夹逼法）： （1）找到被估算无理数前后两个连续的完全平方数或立方数。 （2）如估算：找到 a² < n < b²，则 a < < b。 （3）确定其整数部分a和小数部分（ － a）。 2.灵活比较大小： （1）平方法：适用于比较两个正无理数的大小（如与2.2）。 （2）作差/作商法：通用方法。 （3）寻找中间数法：找一个介于两者之间的有理数作为桥梁。 3.数轴表示无理数： 核心依据：勾股定理。利用单位长度，构造直角边长为整数的直角三角形，其斜长即为所求无理数（如, ）。 操作：以数轴上原点或某整数点为圆心，以该无理数为半径画弧，与数轴的交点即为所求。 易｜错｜点｜拨 比较负实数的大小时，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大，这是比较一切实数大小的根本法则。 【典例1】任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间，，是因为，由此可以求无理数的整数部分与小数部分：根据上述信息，回答下列问题： （1）的整数部分是　 　 ，小数部分是　 　 ； （2）若，则的整数部分是　 　 ；小数部分可以表示为　 　 ； （3）在（2）的基础上，则的小数部分可以表示为　 　 ． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）∵， ∴的整数部分是2，小数部分为． 故答案为：2，． （3）∵， ∴4＜a＜9， ∴9＜10＜a+6＜15＜16， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为． 故答案为：． 【典例2】阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当a，b都是正数时，①若，则a＞b；②若，则a＝b；③，则a＜b． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． （1）请用上述方法比较与的大小； （2）写出与（a为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ； ∵， ∴， ∴． 【变式1】根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法： ①∵3﹣2＝1＞0，∴3＞2；②∵（﹣2）﹣1＝﹣3＜0，∴﹣2＜1；③∵（﹣2）﹣（﹣2）＝0，∴﹣2＝﹣2． 像上面这样，根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小． （1）请将上述比较大小的方法用字母表示出来： 若a﹣b＞0，则a　　 b；若a﹣b＝0，则a　　 b；若a﹣b＜0，则a　　 b； （2）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）﹒ ① 　 　 ；②当x＞y时，3x+5y　 　 2x+6y； 【解答】解：（1）∵a﹣b＞0， ∴a＞b， ∵a﹣b＝0， ∴a＝b， ∵a﹣b＜0， ∴a＜b， 故答案为：＞，＝，＜； （2）①∵32（2） ＝322 0， ∴322， 故答案为：＜； ②∵x＞y， ∴3x+5y﹣（2x+6y） ＝3x+5y﹣2x﹣6y ＝x﹣y＞0， ∴3x+5y＞2x+6y， 故答案为：＞； （3）2（3x2+x+1）＞5x2+2x﹣3， 理由是：2（3x2+x+1）﹣（5x2+2x﹣3） ＝6x2+2x+2﹣5x2﹣2x+3 ＝x2+5， ∵不论x为何值，x2≥0， ∴x2+5＞0， ∴2（3x2+x+1）﹣（5x2+2x﹣3）＞0， 即2（3x2+x+1）＞5x2+2x﹣3． 【变式2】我们知道：是一个无理数，它是无限不循环小数，且12，则我们把1叫做的整数部分，1叫做的小数部分．如果的整数部分为a，小数部分为b，求代数式（a+b）3的值． 【解答】解：∵27＜50＜64， ∴34， ∴的整数部分a＝3，小数部分b3． ∴（a+b）3＝（33）3＝（）3＝50． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.在下列选项中，无理数是（　　） A． B． C．π D． 【解答】解：A、 是分数，不是无理数，不符合题意； B、，是整数，不是无理数，不符合题意； C、π 是无限不循环小数，是无理数，符合题意； D、，是整数，不是无理数，不符合题意， 故选：C． 2．估算的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【解答】解：∵， ∴， 故选：C． 3．用四舍五入法按要求对0.06029分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.1（精确到十分位） B．0.06（精确到0.01） C．0.06（精确到千分位） D．0.0603（精确到0.0001） 【解答】解：0.06029≈0.1（精确到十分位），故选项A正确，不符合题意； 0.06029≈0.06（精确到0.01），故选项B正确，不符合题意 0.06029≈0.060（精确到千分位），故选项C错误，符合题意； 0.06029≈0.0603（精确到0.0001），故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 4.如果一个正数的两个平方根分别为3a﹣1与a﹣7，则这个正数是　 　 ． 【解答】解：一个正数的两个平方根分别为3a﹣1与a﹣7， 由题意，3a﹣1+a﹣7＝0， 解得a＝2， ∴3a﹣1＝3×2﹣1＝5， ∴这个正数是52＝25； 故答案为：25． 5.已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求ab的平方根． 【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴5a+2＝33，3a+b﹣1＝42， 解得：a＝5，b＝2， ∴ab＝52＝25， 而25的平方根为±5． 即ab的平方根为±5． 6.计算． 【解答】解：原式＝1﹣21 2． 7．解方程： （1）4（2x﹣1）2＝36； （2）8x3＝﹣27； 【解答】解：（1）∵4（2x﹣1）2＝36， ∴（2x﹣1）2＝9， ∵2x﹣1＝±3， ∴x＝2或x＝﹣1． （2）∵8x3＝﹣27， ∴x3， ∴x． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.在如图所示的数轴上表示的点在（　　） A．线段AB之间 B．线段BC之间 C．线段CD之间 D．线段DE之间 【解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∴数轴上表示的点在线段CD上， 故选：C． 2.下列说法中正确的有（　　） ①，，都是无理数； ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类； ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1； ⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①是有理数，原说法错误，不符合题意； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误，不符合题意； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误，不符合题意； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确，符合题意； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误，不符合题意； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 3.若n为正整数，且满足，求n的值为　 　 ． 【解答】解：因为25＜28＜36， 所以56， 根据不等式的性质一，可得： 5﹣33＜6﹣3， 即：23＜3， 因为n为正整数，所以n＝2． 故答案为：2． 4.如图，正方形ABCD的面积为5，顶点D在数轴上表示的数为﹣2．若点E在数轴上（点E在点D的右侧），且DC＝DE，则点E所表示的数为　 　 ． 【解答】解：由条件可知， ∴， ∵点D在数轴上表示的数为﹣2，点E在点D的右侧， ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 5.已知点数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． （1）点C表示的数是　 　 ； （2）对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为　 　 ； （3）若点C所表示的数的整数部分为x，小数部分为y，求y3﹣6y2+x+8y﹣2025的值． 【解答】解：（1）∵点A所表示的数是1，点C向左移动4个单位后与点A重合， ∴点C所表示的数为14＝5， 故答案为：5； （2）设点D在数轴上所表示的数为x， 当点D在点A的左侧时，由于点A、B、D有“优美关系”，所以有， 1x＝1（1）， 解得x＝1﹣3； 当点D在点A、点B之间时，由于点A、B、D有“优美关系”，所以有， x﹣（1）＝1x， 解得x＝1； 当点D在点B的右侧时，由于点A、B、D有“优美关系”，所以有， x﹣（1）＝1（1）， 解得x＝1+3， 综上所述，点D所表示的数为1﹣3或1或1+3； （3）点C所表示的数为5， ∵12， ∴﹣21， ∴3＜54， ∴5的整数部分x＝3，小数部分y＝53＝2， ∴y3﹣6y2+x+8y﹣2025 ＝y（y2﹣6y+8）+x﹣2025 ＝y（y﹣4）（y﹣2）+x﹣2025 ＝（2）（24）（22）+3﹣2025 2022． 6.已知，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求的平方根． 【解答】解：已知，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分， 由题意得，， 5a+2＝33＝27， 5a＝25， 解得：a＝5， 3a+b﹣1＝（±4）2＝16， 当a＝5时，3×5+b﹣1＝16， 14+b＝16， 解得：b＝2， ∵22＝4，32＝9， ∴， ∴， ∴的整数部分为c＝3， ∴当a＝5，b＝2，c＝3时， ， ∴2的平方根为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点A1处，记A1右侧最近的整数点为B1，以点B1为圆心，A1B1为半径画半圆，交数轴于点A2，记A2右侧最近的整数点为B2，以点B2为圆心，A2B2为半径画半圆，交数轴于点A3，如此继续． （1）点B1表示的数是　 　 ． （2）A7B7＝　 　 ． 【解答】解：（1）根据题意得：OA1，点B1表示的数为2； 故答案为：2． （2）根据题意得：点B2表示的数为3， 即A1表示的数为，B1B2＝1， ∴A2B1＝A1B1＝2， ∴A2B2＝B1B2﹣A2B1＝1﹣（2）1， 同理得A3B3＝2，A4B41，A5B5＝2， 以此类推可得，当n为奇数时，AnBn＝2； 当n为偶数时，AnBn1； ∴A7B7＝2； 故答案为：2． 2．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图）．若AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”．当b﹣a＝2时，m﹣n＝　 　 ． 【解答】解：∵b﹣a＝2， ∴AB＝2， ∵AM2＝BM•AB，BN2＝AN•AB， ∴AM＝BNAB1， ∴m﹣n＝MN＝AM+BN﹣AB＝22﹣2＝24． 故答案为：24． 3.阅读下列材料，解决问题： 材料一：设[x]表示不大于x的最大整数，如[3.15]＝3，[4]＝4． 材料二：求的值： ∵22＜2×3＜32，∴， ∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：（1+2+3+4+5+6+7+8+9）2＝2025； 13+23+33+43+53+63+73+83+93＝2025． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1）[﹣2.1]＝ 　 　 ； 　 　 ； 　 　 ． （2）已知n为正整数，化简（结果用含n的代数式表示）． （3）已知，，令，求． 【解答】解：（1）由新定义[x]的定义可知，[﹣2.1]＝﹣3； ∵63＝216，73＝343，而216＜300＜343， ∴， ∴； ∵，而23， ∴． 故答案为：﹣3，6，2； （2）∵n为正整数，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， a＝1+2+•••+2023 ＝2023×1012， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 4.已知长方形ABCD的长为3，宽为2，将其按如图所示的方式放置在数轴上，点B恰好与表示﹣1的点重合，P是数轴上一点，规定：AB表示A，B两点之间的距离，S△ABC表示三角形ABC的面积． （1）点C表示的数为　 　 ． （2）若点P表示的数为﹣3，求S△CDP． （3）若S△CDP＝3S△ABC，则点P表示的数为多少？ 【解答】解：（1）∵BC＝3，点B表示的数为﹣1， ∴点C表示的数为：3+（﹣1）＝2， 故答案为：2； （2）依题意，连接PD，如图所示： 由条件可知BC＝3，DC＝2， ∵C与2表示的点重合，点P表示的数为﹣3， ∴PC＝2﹣（﹣3）＝5， 此时； （3）连接AC，如图所示： 由条件可知BC＝3，AB＝2， ∴， ∵S△CDP＝3S△ABC， ∴S△CDP＝3×3＝9， 则， ∴， ∴PC＝9， 由（1）得C与2表示的点重合， ∴2+9＝11或2﹣9＝﹣7， ∴点P表示的数为11或﹣7． 5.如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为﹣1． （1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ （2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求的值； （3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2025重合？ 【解答】解：（1）S正方形ABCD， ∴正方形的边长为， ∵， ∴这个值在3与4之间； （2）∵， ∴x＝3，， ∴； （3）①由条件可知点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n，则， ∴， ， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上式等式不成立．即不存在正整数n． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $