专题01 三角形（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学三角形期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，将三角形边角关系、全等判定与性质、特殊三角形性质等知识点按逻辑分层呈现，用框架图式结构突出重难点内在联系，如全等三角形与等腰三角形性质的综合应用。 讲义亮点在于“辅助线构造”“分类讨论”等题型的方法创新指导，例如“倍长中线法”构造全等培养推理意识，“等腰三角形腰底不明分类”发展几何直观。练习分基础通关、重难突破、综合拓展三层，适配不同学生，教师可精准教学，助力学生系统提升自主复习效率。

专题01 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的判定与性质 能根据已知条件（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）选择恰当方法判定三角形全等，并能利用全等性质进行边、角转化和证明。 期末几何压轴题的绝对核心。难点在于：①在复杂图形中寻找或构造全等三角形；②避免使用“SSA”等错误判定方法。 三角形中的重要线段及应用 能理解并应用三角形的中线、高线、角平分线、中位线的定义及性质，特别是中线倍长、高与面积关联等常用辅助线思路。 常作为综合题的中间步骤或关键条件。考查由“形”到“数”（计算）和由“数”到“形”（推理）的双向转化能力。 等腰三角形与直角三角形的性质与判定 能熟练运用“等边对等角”、“三线合一”及勾股定理、斜边中线定理等特殊性质，解决边角计算和证明问题。 等腰、直角三角形是特殊的“工具三角形”，期末常考其性质与全等判定的结合，以及分类讨论（如腰与底不明）。 几何作图与尺规作图原理 能叙述五种基本尺规作图的步骤，并能理解其作图依据（如SSS， SAS， 垂直平分线性质等）。 常以小题形式考查作图原理（为何这样画就能得到目标），而非单纯的操作步骤。 知识点01 三角形的边角关系与重要线段 1.边的关系（构成条件）：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否构成三角形以及求边长范围的根本依据。 2.内角与外角：内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3.重要线段：中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点（重心）。重要推论：中线将三角形面积等分。 高线：从顶点向对边所在直线作垂线，垂足与顶点间的线段。三条高线交于一点（垂心）。 角平分线：平分三角形内角的射线。三条角平分线交于一点（内心）。 ·易错点：应用“两边之和大于第三边”时，必须检验任意两边的组合，不能只检验一组。钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时容易遗漏。 知识点02 全等三角形的判定与性质 1.判定定理（5种）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边直角边，仅用于直角三角形）。 2.核心性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3.黄金法则：判定时，必须寻找“对应”关系。书写证明格式必须规范：在“△XXX与△XXX中”，所列条件必须按对应顺序排列，且必须是判定定理所需的三个条件（HL为两个）。 ·易错点：SAS定理中的“夹角”：必须是两条对应边的夹角。不能错误使用“SSA”（边边角）进行判定。 在寻找全等条件时，常忽略“公共边”、“公共角”、“对顶角”这些隐含条件。 知识点03 特殊三角形的性质与判定 1.等腰三角形： 性质：等边对等角；三线合一（底边上的中线、高线、顶角平分线重合）。 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 2.等边三角形：三边相等，三角均为60°。是特殊的等腰三角形。 3.直角三角形： 性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半（重要推论）；勾股定理（a² + b² = c²）。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）。 ·易错点：应用“三线合一”定理时，必须明确其前提是“在等腰三角形中”，且必须是底边上的中线、高、顶角平分线，不能随意推广。 题型一 全等三角形证明中的辅助线构造 解｜题｜技｜巧 当题目条件无法直接满足全等判定时，需要“创造”全等条件。 1.“截长补短”法：适用于证明线段的和差关系（如AB+CD=EF）。通常在线段较长的线段上“截取”一段等于较短线段，或“延长”较短线段使其等于较长线段，从而构造全等三角形。 2.“倍长中线”法：当图形中出现中线时，可以延长中线一倍，构造“8字型”全等三角形。这是将中线条件转化为边角关系的强有力工具。 3.“作平行线或垂线”法：通过作平行线构造内错角、同位角相等，作垂线构造直角，为使用AAS、ASA、HL等判定定理创造条件。 易｜错｜点｜拨 添加辅助线时，需在证明开头说明“如图，连接XX”或“延长XX至点Y，使XY=XX”，并在图形中清晰画出。辅助线的目的是为了“搭建桥梁”，而不是把图形变得更复杂。 【典例1】 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB+CD． 【解答】证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图所示： ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD， ∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE， 在△ABE和△FBE中， ， ∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴∠A＝∠BFE． ∵AB∥CD， ∴∠A+∠D＝180°， ∴∠BFE+∠D＝180， ∵∠BFE+∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝∠D， 在△CDE和△CFE中， ， ∴△CDE≌△CFE（AAS）， ∴CF＝CD． ∵BC＝BF+CF， ∴BC＝AB+CD， 【典例2】 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出AD的取值范围是 　 　 ． （2）如图2：已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，求证：AB＝AC． 【解答】（1）解：由题意知，△BDE≌△CDA， ∴BE＝AC＝5，DE＝AD， ∴AE＝2AD， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴7﹣5＜2AD＜5+7，即2＜AD＜12， 故答案为：1＜AD＜6； （2）证明：如图，延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE， ∵CD＝BD，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝EB，∠CAD＝∠BED， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BED， ∴EB＝AB， ∵AC＝EB， ∴AB＝AC． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE；（提示：分别延长BA、CE交于点F） （2）点D为AC的中点，AE⊥BD交BD于点F，求∠EAB﹣∠CBD的度数； （3）点D，E分别是BC，AB上的动点，且AE＝CD，当AD+CE的值最小时，∠ADC的度数是 　 　 ．（直接写结果） 【解答】解：（1）延长BA、CE交于点F，如图1， 则∠CAF＝180°﹣∠BAC＝90°＝∠BAD， ∵BE⊥CE， ∴∠BAD＝∠CAF＝90°， ∵∠ABD＝90°﹣∠F＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， ∴BD＝CF， ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBE＝∠CBE， ∵BE⊥CE， ∴∠BEF＝∠BEC＝90°， ∵BE＝BE， ∴△BEF≌△BEC（ASA）， ∴， ∴BD＝2CE； （2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠C＝∠ABC＝45°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF+∠EAB＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠DAF+∠ADF＝90°， ∴∠ADF＝∠EAB， ∵∠ADF是△DBC的一个外角， ∴∠ADF＝∠C+∠CBD， ∴∠ADF﹣∠CBD＝∠C＝45°， ∴∠EAB﹣∠CBD＝45°； （3）如图，过点B作BF⊥BC，使BF＝AC， ∵BF＝AC，∠FBD＝∠ACE＝90°，BD＝AE， ∴△FBD≌△CAE（SAS）， ∴FD＝CE， 当点A、D、F共线时，AD+FD最短，即AD+CE取最小值， ∵AC＝AB＝BF， ∴△BAF是等腰三角形， ∴∠ABF＝∠ABC+∠FBC＝135°， ∴， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°﹣∠F＝67.5°， 故答案为：67.5°． 【变式2】（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：延长CB到H，使BH＝DF，连接AH，如图1所示： ∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC+∠D＝180°， ∴∠ABH＝∠D， 在△ABH和△ADF中， ， ∴△ABH≌△ADF（SAS）， ∴∠BAH＝∠DAF，AH＝AF， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF∠BAD， 即∠BAE+∠BAH＝∠EAF， ∴∠HAE＝∠EAF， 在△AHE和△AEF中， ， ∴△AHE≌△AEF（SAS）， ∴HE＝EF， ∵HE＝BH+BE＝DF+BE， ∴EF＝BE+FD； （2）解：（1）中的结论不成立，它们之间的数量关系是：EF＝BE﹣DF，证明如下： 在BE上截取BT＝DF，连接AT，如图2所示： ∵∠ADC+∠ADF＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABT和△ADF中， ， ∴△ABT≌△ADF（SAS）， ∴∠BAT＝∠DAF，AT＝AF， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠DAE+∠EAD∠BAD， 即∠BAT+∠EAD∠BAD， ∴∠EAT＝∠BAD﹣（∠BAT+∠EAD）＝∠BAD∠BAD∠BAD， ∴∠EAT＝∠EAF， 在△EAT和△EAF中， ， ∴△EAT≌△EAF（SAS）， ∴ET＝EF， ∵ET＝BE﹣BT＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF 题型二 三角形中的多解问题（分类讨论） 答｜题｜模｜板 当题目条件（如边、角、高的关系）不明确，或图形可能为钝角/锐角三角形时，必须讨论。 1.触发分类的信号：出现“等腰三角形但未指明腰和底”、“高在三角形内部或外部”、“两边及一边的对角（SSA情境）”、“动点问题”等。 2.分类的标准： 等腰三角形：分别以已知边为“腰”或“底”进行讨论，并需用三角形构成条件检验。 三角形的高：特别关注钝角三角形，高可能在形外，此时相关线段长度计算涉及加减。 3.画图验证：对每一种情况，独立画出精确草图，分别计算或推理，最后汇总答案（用“综上所述”连接）。 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别为3、6，则这个三角形的周长是 　 　 ． 【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长， 由于3+3＝6，则三角形不存在； （2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为6+6+3＝15． 故答案为：15． 【典例2】在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，且∠ABD＝30°，则△ABC是 　 　 三角形． 【解答】解：如图1，当△ABC的高BD在三角形内部时， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形； 如图2，当△ABC的高BD在三角形外部时， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是顶角是120°的等腰三角形． ∴△ABC是等边三角形或顶角是120°的等腰三角形． 故答案为：△ABC是等边三角形或顶角是120°的等腰三角形． 【变式1】已知在△ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边长． 【解答】解：如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差， （1）若AB＞BC，则AB﹣BC＝2， 又因为2AB+BC＝16， 联立方程组并求解得：AB＝6，BC＝4， 6cm、6cm、4cm三边能够组成三角形； （2）若AB＜BC，则BC﹣AB＝2， 又因为2AB+BC＝16， 联立方程组并求解得：AB＝4，BC＝6， 4cm、4cm、6cm三边能够组成三角形； 因此三角形的各边长为6cm、6cm、4cm或4cm、4cm、6cm． 题型三 三角形性质与全等的综合应用（线段或角度关系证明） 答｜题｜模｜板 1.分析目标，逆向溯源：看清要证明的结论（如AB=CD， ∠1=∠2）。思考：要证明它们，通常可以转化为证明哪两个三角形全等？或者利用哪个特殊三角形的性质（如等腰、直角）？ 2.梳理条件，顺向推理：从已知条件出发，能直接推出哪些中间结论？（如等边对等角、对顶角相等、平行得内错角相等）。将这些结论标注在图上。 3.寻找桥梁，构建全等：在全等证明中，常常需要证明一组边或角相等作为“中间量”。这个“中间量”往往通过“公共边”、“直角”、“已知等边/等角”或“前面已证结论”得到。 4.规范书写，逻辑链完整：严格按照“条件->结论”的格式书写，确保每一步都有据可依（注明定理或定义）。 【典例1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，在DE的延长线上取一点F使DE＝EF，连接FC、FB． （1）求∠BFD的大小； （2）求证：AD⊥CF； 【解答】（1）解：∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∵DE＝EF，BE⊥DF， ∴BD＝BF， ∴∠BFD＝∠BDF＝45°． （2）证明：由（1）可知：BE＝BF，∠BDE＝∠BFE＝45°， ∴∠CBF＝∠ACD＝90°， ∵AC＝CB，CD＝BD＝BF， ∴△ACD≌△CBF（SAS）， ∴∠CAD＝∠BCF， ∵∠CAD+∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠BCF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴AD⊥CF． 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由． （2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由． （3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果） 【解答】解：（1）结论：DE+DF＝BG． 理由：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， 即AB•DEAC•DFAC•BG， ∵AB＝AC， ∴DE+DF＝BG， （2）证明：如图2，连接AD． 则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积， 即 AB•DEAC•DFAC•BG， ∵AB＝AC， ∴DE+DF＝BG； （3）DE﹣DF＝BG， 证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积＝△ABD的面积﹣△ACD的面积， 即 AB•DEAC•DFAC•BG， ∵AB＝AC， ∴DE﹣DF＝BG． 【变式1】如图，AB∥CD，点O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝3，则AB与CD两平行线之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于F，FO的延长线交CD于G， ∵AB∥CF， ∴OG⊥CD， ∵AO平分∠BAC，OE⊥AC，OF⊥AB， ∴OF＝OE＝3， 同理可得：OG＝OE＝3， ∴FG＝OF+OG＝3+3＝6， 故选：C． 【变式2】在几何题目中，当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）如图1，在△ABC中，AB＝14，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　 ； （2）如图2，AB∥CE，点D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB＝∠F，若AB＝12，CE＝3，求EF的长； （3）如图3，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，BE＝AC，AE＝BD，若∠CAD＝α，则∠DBE的大小是　 　 （请用含α的式子填空）． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝14，AC＝8，BC边上的中线AD，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，如图1， ∴BD＝CD， ∵∠BDE＝∠CDA， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC， ∵AB＝14，AC＝8， ∴BE＝8， 在三角形ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴14﹣8＜AE＜14+8， ∴6＜AE＜22， ∵ADAE， ∴3＜AD＜11， 故答案为：3＜AD＜11； （2）延长CE，交AD的延长线于点G，如图2， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， ∵AB∥CE， ∴∠B＝∠DCG， ∵∠ADB＝∠GDC， 在△ADB和△GDC中， ， ∴△ADB≌△GDC（ASA）， ∴∠DAB＝∠G，CG＝AB＝12， ∵CE＝3， ∴GE＝CG﹣CE＝12﹣3＝9， ∵∠DAB＝∠F， ∴∠G＝∠F， ∴EF＝GE＝9； （3）如图3，延长AD至点F，使得DF＝AD，在DF上取点H，使得FH＝DE，连接BF，BH， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵∠BDF＝∠ADC， 在△BDF和△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴BF＝AC，∠F＝∠CAD＝α， ∵BE＝AC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠F＝α， 在△BDE和△BHF中， ， ∴△BDE≌△BHF（SAS）， ∴BD＝BH， ∵AD＝DF，DE＝FH， ∴AD﹣DE＝DF﹣FH，即AE＝DH， ∵AE＝BD， ∴BD＝DH＝BH， ∴△BHD是等边三角形， ∴∠BDH＝60°， ∴∠DBE＝∠BDH﹣∠BED＝60°﹣α， 故答案为：60°﹣α． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“ASA”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　） A．AB＝DE B．BF＝CF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∵BC＝BF+FC，EF＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）， 添加∠B＝∠E，可根据ASA得出△ABC≌△DEF，故C选项符合题意， 故选：C． 2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若BC＝24，则△EAF的周长为（　　） A．16 B．24 C．28 D．30 【解答】解：由垂直平分线的性质定理可得：AE＝BE，AF＝FC， ∴AE+EF+FA＝BE+EF+FC＝BC＝24， ∴△EAF的周长为24． 故选：B． 3.如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，∠OBA＝40°．当BC∥OA时，∠BAC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠O＝∠D＝90°，∠OBA＝40°， ∴∠OAB＝90°﹣40°＝50°， ∵BC∥OA， ∴∠ABC＝∠OAB＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故选：C． 4.如图所示，∠AOB＝30°，P为∠AOB平分线上一点，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC的长为　 　 ． 【解答】解：过点P作PE⊥OB于E， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PE＝PD＝1， ∵PC∥OA， ∴∠PCE＝∠AOB＝30°， ∵∠PCE＝30°，∠PEC＝90°，PE＝1， ∴PC＝2PE＝2． 故答案为：2． 5.如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， ∴AC＝DF， ∵AB∥DE， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为40cm，AC＝16cm，求DC的长． 【解答】（1）证明：由线段垂直平分线的性质可知，AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝40cm， ∴AB+BC＝40﹣16＝24cm， ∵BD＝DE，AB＝EC， ∴AB+BD+DE+EC＝24cm， ∴2DE+2EC＝24cm， ∴DE+EC＝12cm， ∵DE+EC＝DC， ∴DC＝12cm． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝90°，AC＝2，BC＝4．设△ACD和△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．2：3 【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图， ∵∠A＝90°，CD是角平分线， ∴DE＝DA， ∵AC＝2，BC＝4． ∴S1：S2， 故选：A． 2.如图，在△ABC中，点P在边BC上，且点P在AC的垂直平分线上，则下列式子一定成立的是（　　） A．AP＝BP B．BP＝PC C．AP+BP＝BC D．AB+PC＝BC 【解答】解：∵点P在AC的垂直平分线上， ∴PA＝PC， ∴AP+BP＝PC+BP＝BC， 故选项C符合题意． 故选：C． 3.如图，直线a∥b，M，N分别为直线a和直线b上的点，连接MN，∠DMN＝70°，P是线段MN上的一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E．当△NPE是等腰三角形时，∠NPE的度数为　 　 ． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠PNE＝∠DMN， ∵∠DMN＝70°， ∴∠PNE＝70°， ①当PN＝PE时，∠PNE＝∠PEN＝70°， ∴∠NPE＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣2×70°＝40°， ②当PE＝NE时，∠NPE＝∠PNE＝70°， ③当PN＝NE时，， 综上所述，∠NPE的值是40°或70°或55°． 故答案为：40°或70°或55°． 4.已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c， ∴a+b﹣c＞0，﹣a﹣b+c＜0， ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c| ＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣[﹣（﹣a﹣b+c）] ＝a+b+c﹣a﹣b+c﹣a﹣b+c ＝﹣a﹣b+3c． （2）∵|b﹣c|+（a﹣c）2＝0， ∴b﹣c＝0，a﹣c＝0， ∴b＝c，a＝c， ∴△ABC是等边三角形． 5.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为20． （Ⅰ）求BC的长； （Ⅱ）试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由； （Ⅲ）若∠BAC＝115°，则∠DOE﹣∠DAE＝　 　 °． 【解答】解：（Ⅰ）∵l1垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∵l2垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵△ADE的周长为20， ∴AD+DE+AE＝20， ∴BD+DE+EC＝20， 即BC＝20； （Ⅱ）点O在边BC的垂直平分线上， 理由：连接OA，OB，OC， ∵l1垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∵l2垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在边BC的垂直平分线上； （Ⅲ）∵∠BAC＝115°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝65°， ∵DB＝DA，EA＝EC， ∴∠ABC＝∠BAD，∠ACB＝∠EAC， ∴∠BAD+∠EAC＝65°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）＝50°， ∵l1垂直平分AB，l2垂直平分AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣115°＝65°， ∴∠DOE﹣∠DAE＝15°， 故答案为：15． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　） A．OA＝OB B．OP为△AOB的角平分线 C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线 【解答】解：A、若OA ＝ OB，△AOB是等腰三角形，若改变OA、OB的长度，面积会发生变化，且不一定是最小，故A不合题意． B、当OP为△AOB的角平分线时，OP与面积最小没有直接的关联，通过改变A、B的位置，面积会发生变化，故B不合题意． C、若OP为△AOB的高，只能确定OP⊥AB，若改变A、B的位置，△AOB的底AB长度会改变，面积也会改变，故C不合题意． D、当点P是AB的中点时， 如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G， 在△APG和△BPD中， ， ∴△APG≌△BPD（ASA）， S四边形AODG＝S△AOB． ∵S四边形AODG＜S△COD， ∴S△AOB＜S△COD， ∴当点P是AB的中点时S△AOB最小； 故选：D． 2.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，则BP的长为　 　 ． 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4． ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则AD＝　 　 ． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABP与△CBP是积等三角形， ∴S△ABP＝S△ACP， ∴， ∴BP＝CP， ∵BP+CP＝BC， ∴BP＝CP＝2． 故答案为：2； （2）①如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN， ∵△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD＝CD， 在△ADB和△NDC中， ， ∴△ADB≌△NDC（SAS）， ∴AB＝NC＝2， 在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN， ∵AC＝4， ∴4﹣2＜AN＜4+2， ∴2＜AN＜6， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3； ②∵1＜AD＜3， ∴当AD的长度为正整数时，则AD＝2； 故答案为：2； （3）是积等三角形； 证明：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， ∵MN⊥AC， ∴∠ACD＝∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH， ∴∠EAH＝∠DAC， 在△HAE和△CAD中， ， ∴△HAE≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AH，EH＝CD， ∵S△BAE，S△ACD， ∵AB＝AC， ∴S△ACD， ∴S△BAE＝S△ACD， ∴△ABE与△ACD为积等三角形． 3.如图，在等边△ABC中，D为边AC上一点，延长BD至F使得AF＝AC，过A作AH⊥BF于H，AH与FC的延长线交于点G． （1）若∠CAF为α，直接写出∠AFC的度数；（用含α的代数式表示） （2）求∠GFH的度数； （3）已知C为GF的中点，且CD＝1.5，求AD的长． 【解答】解：（1）∵AC＝AF， ∴∠ACF＝∠AFC， 又∵∠CAF＝α， ∴； （2）由条件可知∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝AF， ∴∠AFB＝∠ABF ， ∵， ∴∠GFH＝∠AFC﹣∠AFB ＝90°（60°） ＝30°； （3）如图所示，连接BG，CH，过点C作CM⊥BF于M， 由条件可知，∠FGH＝60°， ∵C为GF的中点， ∴， ∵∠FGH＝60°， ∴△CGH为等边三角形， ∴CH＝CG，∠GCH＝∠ACB＝60°， ∴∠GCH﹣∠BCH＝∠ACB﹣∠BCH，即∠GCB＝∠HCA， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， 在△GCB和△HCA中， ， ∴△GCB≌△HCA（SAS）， ∴AH＝BG， 设GH＝CG＝CH＝CF＝a，则FG＝2a， ∵AB＝AF，AH⊥BF， ∴AG垂直平分BF， ∴BG＝GF＝2a， ∴AH＝BG＝2a， 由条件可知， ∵，， ∴， ∵CD＝1.5， ∴AD＝6． 4.已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD＝CE． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF＝BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN＝120°，∠ACF＝2∠CBG．求证：CN＝2AG； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC＝DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和． 【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC， 在△CBD和△ACE 中， ， ∴△CBD≌△ACE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CAE， 又∵∠BCD+∠ACF＝60°， ∴∠CAE+∠ACF＝60°， ∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°； （2）证明：延长AE到H，使FH＝AF，连接BH，如图， 又∵MF＝BF，∠BFH＝∠MFA， ∴△AFM≌△HFB（SAS）， ∴∠FAM＝∠H， 又∵∠NAM＝∠FAM+∠NAF＝120°，∠AFD＝60°， ∴∠NAF+∠ANC＝120°， ∴∠FAM＝∠ANC， ∴∠H＝∠ANC， ∵∠ACF＝2∠CBG， ∴设∠CBG＝α，则∠ACN＝2α， ∴∠BCD＝60°﹣2α，由（1）知∠BCD＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣（60°﹣2α）＝2α＝∠ACN， 又∵AB＝AC， ∴△ANC≌△BHA（AAS）， ∴CN＝AH＝2AF， ∵∠CBG＝α，∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠CFG＝∠CBG+∠BCD＝60°﹣α， ∴∠AGF＝∠CFG+∠ACN＝60°+α，∠CAE＝∠BCD＝60°﹣2α， ∴∠AFG＝180°﹣∠CAE﹣∠AGF＝60°+α＝∠AGF， ∴AF＝AG， ∴CN＝AH＝2AF＝2AG； （3）解：过点N作NH⊥AB交AB于点H，过点A作AH1⊥BC交BC于点H1， 过点C作CH2⊥AB交AB于点H2，如图， 设NH＝h，AH1＝h1和CH2＝h2， ∵△ABC为等边三角形， ∴AH1＝CH2，即h1＝h2， 由△AFM≌△HFB，得S△ABM＝S△HAB， ∵△ABM的面积为2， ∴S△ABM＝S△HAB＝2， ∵△ANC≌△BHA， ∴S△ANC＝S△BHA＝2， ∵∠CBG＝α， ∴∠ABG＝60°﹣α， ∵∠AFD＝60°，∠AFG＝60°+α， ∴∠BFD＝∠CFG＝180°﹣∠DFA﹣∠AFG＝60°﹣α． ∴∠ABG＝∠BFD，则DF＝DB， 由（2）AF＝AG， ∵AF+GC＝DF+1， ∴AG+GC＝DF+1，即AC＝DF+1， ∵AC＝AB， ∴AB＝DB+1＝AD+DB， ∴AD＝1，S△ANC＝S△AND+S△ADC， ∴h+h2＝4， ∴h+h1＝4， 则点A到BC的距离与点N到AB的距离之和4． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等三角形的判定与性质 能根据已知条件（SSS, SAS, ASA, AAS, HL）选择恰当方法判定三角形全等，并能利用全等性质进行边、角转化和证明。 期末几何压轴题的绝对核心。难点在于：①在复杂图形中寻找或构造全等三角形；②避免使用“SSA”等错误判定方法。 三角形中的重要线段及应用 能理解并应用三角形的中线、高线、角平分线、中位线的定义及性质，特别是中线倍长、高与面积关联等常用辅助线思路。 常作为综合题的中间步骤或关键条件。考查由“形”到“数”（计算）和由“数”到“形”（推理）的双向转化能力。 等腰三角形与直角三角形的性质与判定 能熟练运用“等边对等角”、“三线合一”及勾股定理、斜边中线定理等特殊性质，解决边角计算和证明问题。 等腰、直角三角形是特殊的“工具三角形”，期末常考其性质与全等判定的结合，以及分类讨论（如腰与底不明）。 几何作图与尺规作图原理 能叙述五种基本尺规作图的步骤，并能理解其作图依据（如SSS， SAS， 垂直平分线性质等）。 常以小题形式考查作图原理（为何这样画就能得到目标），而非单纯的操作步骤。 知识点01 三角形的边角关系与重要线段 1.边的关系（构成条件）：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这是判断三条线段能否构成三角形以及求边长范围的根本依据。 2.内角与外角：内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 外角定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3.重要线段：中线：连接顶点与对边中点的线段。三条中线交于一点（重心）。重要推论：中线将三角形面积等分。 高线：从顶点向对边所在直线作垂线，垂足与顶点间的线段。三条高线交于一点（垂心）。 角平分线：平分三角形内角的射线。三条角平分线交于一点（内心）。 ·易错点：应用“两边之和大于第三边”时，必须检验任意两边的组合，不能只检验一组。钝角三角形有两条高在三角形外部，画图时容易遗漏。 知识点02 全等三角形的判定与性质 1.判定定理（5种）：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（斜边直角边，仅用于直角三角形）。 2.核心性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 3.黄金法则：判定时，必须寻找“对应”关系。书写证明格式必须规范：在“△XXX与△XXX中”，所列条件必须按对应顺序排列，且必须是判定定理所需的三个条件（HL为两个）。 ·易错点：SAS定理中的“夹角”：必须是两条对应边的夹角。不能错误使用“SSA”（边边角）进行判定。 在寻找全等条件时，常忽略“公共边”、“公共角”、“对顶角”这些隐含条件。 知识点03 特殊三角形的性质与判定 1.等腰三角形： 性质：等边对等角；三线合一（底边上的中线、高线、顶角平分线重合）。 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。 2.等边三角形：三边相等，三角均为60°。是特殊的等腰三角形。 3.直角三角形： 性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半（重要推论）；勾股定理（a² + b² = c²）。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）。 ·易错点：应用“三线合一”定理时，必须明确其前提是“在等腰三角形中”，且必须是底边上的中线、高、顶角平分线，不能随意推广。 题型一 全等三角形证明中的辅助线构造 解｜题｜技｜巧 当题目条件无法直接满足全等判定时，需要“创造”全等条件。 1.“截长补短”法：适用于证明线段的和差关系（如AB+CD=EF）。通常在线段较长的线段上“截取”一段等于较短线段，或“延长”较短线段使其等于较长线段，从而构造全等三角形。 2.“倍长中线”法：当图形中出现中线时，可以延长中线一倍，构造“8字型”全等三角形。这是将中线条件转化为边角关系的强有力工具。 3.“作平行线或垂线”法：通过作平行线构造内错角、同位角相等，作垂线构造直角，为使用AAS、ASA、HL等判定定理创造条件。 易｜错｜点｜拨 添加辅助线时，需在证明开头说明“如图，连接XX”或“延长XX至点Y，使XY=XX”，并在图形中清晰画出。辅助线的目的是为了“搭建桥梁”，而不是把图形变得更复杂。 【典例1】 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB+CD． 【典例2】 【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②连接BE，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB﹣BE＜AE＜AB+BE，从而得到AD的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出AD的取值范围是 　 　 ． （2）如图2：已知△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，求证：AB＝AC． 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°． （1）BD平分∠ABC，交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD＝2CE；（提示：分别延长BA、CE交于点F） （2）点D为AC的中点，AE⊥BD交BD于点F，求∠EAB﹣∠CBD的度数； （3）点D，E分别是BC，AB上的动点，且AE＝CD，当AD+CE的值最小时，∠ADC的度数是 　 　 ．（直接写结果） 【变式2】（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD．求证：EF＝BE+FD； （2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 题型二 三角形中的多解问题（分类讨论） 答｜题｜模｜板 当题目条件（如边、角、高的关系）不明确，或图形可能为钝角/锐角三角形时，必须讨论。 1.触发分类的信号：出现“等腰三角形但未指明腰和底”、“高在三角形内部或外部”、“两边及一边的对角（SSA情境）”、“动点问题”等。 2.分类的标准： 等腰三角形：分别以已知边为“腰”或“底”进行讨论，并需用三角形构成条件检验。 三角形的高：特别关注钝角三角形，高可能在形外，此时相关线段长度计算涉及加减。 3.画图验证：对每一种情况，独立画出精确草图，分别计算或推理，最后汇总答案（用“综上所述”连接）。 【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别为3、6，则这个三角形的周长是 　 　 ． 【典例2】在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，且∠ABD＝30°，则△ABC是 　 　 三角形． 【变式1】已知在△ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形，求△ABC各边长． 题型三 三角形性质与全等的综合应用（线段或角度关系证明） 答｜题｜模｜板 1.分析目标，逆向溯源：看清要证明的结论（如AB=CD， ∠1=∠2）。思考：要证明它们，通常可以转化为证明哪两个三角形全等？或者利用哪个特殊三角形的性质（如等腰、直角）？ 2.梳理条件，顺向推理：从已知条件出发，能直接推出哪些中间结论？（如等边对等角、对顶角相等、平行得内错角相等）。将这些结论标注在图上。 3.寻找桥梁，构建全等：在全等证明中，常常需要证明一组边或角相等作为“中间量”。这个“中间量”往往通过“公共边”、“直角”、“已知等边/等角”或“前面已证结论”得到。 4.规范书写，逻辑链完整：严格按照“条件->结论”的格式书写，确保每一步都有据可依（注明定理或定义）。 【典例1】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，在DE的延长线上取一点F使DE＝EF，连接FC、FB． （1）求∠BFD的大小； （2）求证：AD⊥CF； 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）在图（1）中，D是BC边上的中点，判断DE+DF和BG的关系，并说明理由． （2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF和BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由． （3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明，直接写出结果） 【变式1】如图，AB∥CD，点O为∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE＝3，则AB与CD两平行线之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】在几何题目中，当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题． （1）如图1，在△ABC中，AB＝14，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　 ； （2）如图2，AB∥CE，点D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB＝∠F，若AB＝12，CE＝3，求EF的长； （3）如图3，在△ABC中，AD是中线，点E是AD上一点，BE＝AC，AE＝BD，若∠CAD＝α，则∠DBE的大小是　 　 （请用含α的式子填空）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“ASA”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　） A．AB＝DE B．BF＝CF C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE 2.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若BC＝24，则△EAF的周长为（　　） A．16 B．24 C．28 D．30 3.如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，∠OBA＝40°．当BC∥OA时，∠BAC的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 4.如图所示，∠AOB＝30°，P为∠AOB平分线上一点，PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA于点D，若PD＝1，则PC的长为　 　 ． 5.如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，求证：△ABC≌△DEF． 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为40cm，AC＝16cm，求DC的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝90°，AC＝2，BC＝4．设△ACD和△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　） A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．2：3 2.如图，在△ABC中，点P在边BC上，且点P在AC的垂直平分线上，则下列式子一定成立的是（　　） A．AP＝BP B．BP＝PC C．AP+BP＝BC D．AB+PC＝BC 3.如图，直线a∥b，M，N分别为直线a和直线b上的点，连接MN，∠DMN＝70°，P是线段MN上的一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E．当△NPE是等腰三角形时，∠NPE的度数为　 　 ． 4.已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　） A．OA＝OB B．OP为△AOB的角平分线 C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线 2.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，则BP的长为　 　 ． 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4． ①求AD的取值范围； ②当AD的长度为正整数时，则AD＝　 　 ． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 3.如图，在等边△ABC中，D为边AC上一点，延长BD至F使得AF＝AC，过A作AH⊥BF于H，AH与FC的延长线交于点G． （1）若∠CAF为α，直接写出∠AFC的度数；（用含α的代数式表示） （2）求∠GFH的度数； （3）已知C为GF的中点，且CD＝1.5，求AD的长． 4.已知：△ABC为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F，BD＝CE． （1）如图1，求∠AFD的度数； （2）如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，MF＝BF，点N为CD延长线上一点，∠MAN＝120°，∠ACF＝2∠CBG．求证：CN＝2AG； （3）在（2）的条件下（可使用备用图），若△ABM的面积为2，AF+GC＝DF+1，直接写出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $