专题04 走进几何世界（期末复习讲义）七年级数学上学期新教材苏科版

该初中数学期末复习讲义以“观察-抽象-运动-转化-综合”为主线构建几何知识体系，通过核心考点表格梳理几何体识别、图形运动等四大模块，结合框架图呈现柱锥分类、运动本质等知识脉络，突出展开图等高频重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，如“运动想象三步走”技巧破解骰子变换问题，“化曲为直”原则解决立体路径最短问题，融入环保纸盒制作等跨学科应用，培养空间观念与几何直观，基础题夯实核心素养，压轴题提升思维灵活性，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题04 走进几何世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何体的抽象识别与特征分析 能从实际物体中抽象出柱、锥、球等几何体，并能准确说出其顶点、棱、面的数量特征。 基础题，常结合图片考查。易错点在于混淆棱柱与圆柱（侧面是平面还是曲面），以及对组合体元素的漏数。 图形运动的识别与性质应用 能判断图形的平移、旋转、翻折运动，并能描述运动前后图形的对应关系，理解“运动不改变形状大小”的全等本质。 常以网格作图或选择题形式出现。难点在于想象连续运动后的图形位置，以及旋转中心可在图形外部的情况。 立体与平面的相互转化 能判断正方体等常见几何体的展开图，反之也能根据展开图想象立体形状。 期末绝对高频核心考点，也是主要失分区。展开图考查“对面”与“邻面”关系。 多维度信息的综合推理 能结合运动想象视图变化，或利用视图计算表面积等，实现图形识别、运动、表达的融合应用。 期末小压轴题方向，通常作为填空或解答最后一问，考查几何思维的灵活性与严谨性。 知识点01 观察与抽象：从生活到几何 1.抽象过程：忽略物体的材质、颜色等非几何属性，只关注其形状、大小和位置关系，用标准的几何图形（体）来描绘。 2.几何体分类与要素： （1）柱体（棱柱、圆柱）：有两个平行且全等的底面。棱柱侧面是平行四边形，命名与底面边数相关（如三棱柱）。 （2）锥体（棱锥、圆锥）：有一个底面和一个顶点。棱锥侧面是三角形。 （3）球体。 （4）要素关系：点动成线，线动成面，面动成体。n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面。 ·示例：铅笔盒抽象为长方体（四棱柱），冰激凌蛋筒抽象为圆锥。 ·易错点：将圆柱的侧面误认为是“长方形”，它本是曲面，展开后才是矩形。数组合体面数时，需注意接触面是否“消失”。 知识点02 运动与想象：图形的变换 1.三大运动本质：（1）平移：图形上所有点沿同一方向移动相同距离。⇒ 形状、大小、方向均不变，仅位置改变。（2）旋转：图形绕一个定点（旋转中心）转动一个角度。⇒ 形状、大小不变，位置和方向改变。 （3）翻折（轴对称）：图形沿一条直线（对称轴）对折后重合。⇒ 形状、大小不变，位置和方向改变（镜像）。 2.核心思想：这三种变换都是“保形保距”的全等变换。想象运动时，关键是抓住“每个点”如何运动。 ·易错点：混淆旋转与翻折。旋转是“绕点转”，像旋转门；翻折是“沿线折”，像照镜子。旋转中心可以在图形内部、边上或外部。 知识点03 转化与表达：展开与折叠 1.正方体11种标准展开图：口诀“中间四连方，两侧各一个（1-4-1型）；三连方，两侧各一、二个（1-3-2型）；两排各三个（2-2-2型、3-3型）”。 2.关键判断：相邻面在展开图中必有公共边；相对面（如“Z”字两端）在展开图中必不相邻。 ·易错点：判断展开图时，最怕“田”字格和“凹”字型，它们不能折成正方体。 题型一 图形的运动与展开图的综合 解｜题｜技｜巧 1.运动想象“三步走”： 步骤1（定基准）：明确运动类型（平移/旋转/翻折）及其关键要素（方向距离/中心与角度/对称轴）。 步骤2（抓特殊）：选取图形的关键点（如顶点、中心点），想象它们在运动后的准确位置。 步骤3（连成型）：将运动后的关键点按原图形顺序连接，形成新图形。 2.转化分析“两对应”： 若问展开图能否复原：先尝试在脑中“折叠”，重点检查相邻面关系是否矛盾。 【典例1】 将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚90°；然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（　　） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式1】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 【变式2】若一个直棱柱有十六个顶点，它的底面边长都是4cm，且所有侧棱长的和为120cm，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是　 　 cm2． 题型二 立体图形中的路径与表面展开问题（跨学科/生活应用） 答｜题｜模｜板 1.化曲为直”原则：在立体表面（如圆柱、正方体）上求最短路径，基本思路是将其侧面展开成平面，将立体问题转化为平面上的“两点之间线段最短”问题。 2.“分类展开”策略： （1）对于正方体，由于两点可能在不同面上，需要尝试将这两个点所在的不同平面组合展开到同一平面内，画出多种展开图方案。 （2）对于圆柱，通常沿一条母线剪开，侧面展开为矩形。 3.计算比较：在每种展开图上连接两点，利用勾股定理（八年级将学）或线段和计算路径长度，再比较得出最短路径。 易｜错｜点｜拨 正方体展开图有多种可能，必须考虑所有可能使两点共面的展开方式，避免漏解。连接两点时，要确保线段在展开图的图形内部（即沿表面可走）。 【典例1】如图，一只蚂蚁在棱长为10的正方体的表面A处，它想从A处爬往顶点C，请回答如下问题： （1）蚂蚁爬行的路径有多少条？ （2）蚂蚁爬行路径中有没有最短的？如果有，有多少条？若没有，请说明理由． 【典例2】如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的直径，M是SA的中点．在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（　　） A．x2﹣4 B．x2﹣4x﹣2 C．x2﹣x﹣1 D．x﹣1 【变式2】如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有_________ ． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 2.如图，一个正方体的六个面上各有一个字，连起来就是“中国梦，我的梦”，其中“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，则它的平面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 3.下列图形中，能折成棱柱的有 　 　 个． 4.观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变化的规律，根据这个规律，用含字母n的式子表示第n个圆柱的体积为 　 （π取3.14）． 5.如图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是　 　 （填序号）． ①点动成线； ②线动成面； ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积.，，结果保留π） 6.用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B（ 　 　 ）；C（ 　 　 ）；D（ 　 　 ）；E（ 　 　 ）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 2.用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状不可能是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3.下列几何体中，属于棱柱的有 　 　 ．（填序号） 4.2025年6月5日的世界环境日主题为“终结塑料污染”，呼吁减少塑料污染，保护生态环境，推动可持续发展．七（1）班综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 　 　 （填序号）经过折叠不能围成一个无盖正方体纸盒； 【实践操作】 （2）如图2，有一张边长为50cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图2中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，求这个纸盒的容积．（纸张的厚度忽略不计） 5.【问题情境】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是n时，所用的磁力棒的根数是　 　 （用含n的代数式表示）； （2）是否存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形？若不存在，请说明理由； 探究二：立体图形 创新小组的小梦同学想到七年级学的三棱锥有4个面，想到通过磁力棒搭立体图形来组成等边三角形． （3）如图所示是小梦同学用磁力棒搭成的三棱锥，小梦搭成的三棱锥用了　 　 根磁力棒，组成了　 个等边三角形； （4）结合小梦同学的方法，用9根磁力棒最多可以组成　 　 个等边三角形？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为b（b＜a）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙，那么这三者的大小关系是 ________________ （请用“＜”连接）． 2.【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是　 　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为30cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为5cm的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为5cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少cm3？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 3.如图，把一长方形在直线m上翻滚，请在图中作出A点所经过的路径． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 走进几何世界（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 几何体的抽象识别与特征分析 能从实际物体中抽象出柱、锥、球等几何体，并能准确说出其顶点、棱、面的数量特征。 基础题，常结合图片考查。易错点在于混淆棱柱与圆柱（侧面是平面还是曲面），以及对组合体元素的漏数。 图形运动的识别与性质应用 能判断图形的平移、旋转、翻折运动，并能描述运动前后图形的对应关系，理解“运动不改变形状大小”的全等本质。 常以网格作图或选择题形式出现。难点在于想象连续运动后的图形位置，以及旋转中心可在图形外部的情况。 立体与平面的相互转化 能判断正方体等常见几何体的展开图，反之也能根据展开图想象立体形状。 期末绝对高频核心考点，也是主要失分区。展开图考查“对面”与“邻面”关系。 多维度信息的综合推理 能结合运动想象视图变化，或利用视图计算表面积等，实现图形识别、运动、表达的融合应用。 期末小压轴题方向，通常作为填空或解答最后一问，考查几何思维的灵活性与严谨性。 知识点01 观察与抽象：从生活到几何 1.抽象过程：忽略物体的材质、颜色等非几何属性，只关注其形状、大小和位置关系，用标准的几何图形（体）来描绘。 2.几何体分类与要素： （1）柱体（棱柱、圆柱）：有两个平行且全等的底面。棱柱侧面是平行四边形，命名与底面边数相关（如三棱柱）。 （2）锥体（棱锥、圆锥）：有一个底面和一个顶点。棱锥侧面是三角形。 （3）球体。 （4）要素关系：点动成线，线动成面，面动成体。n棱柱有2n个顶点，3n条棱，(n+2)个面。 ·示例：铅笔盒抽象为长方体（四棱柱），冰激凌蛋筒抽象为圆锥。 ·易错点：将圆柱的侧面误认为是“长方形”，它本是曲面，展开后才是矩形。数组合体面数时，需注意接触面是否“消失”。 知识点02 运动与想象：图形的变换 1.三大运动本质：（1）平移：图形上所有点沿同一方向移动相同距离。⇒ 形状、大小、方向均不变，仅位置改变。（2）旋转：图形绕一个定点（旋转中心）转动一个角度。⇒ 形状、大小不变，位置和方向改变。 （3）翻折（轴对称）：图形沿一条直线（对称轴）对折后重合。⇒ 形状、大小不变，位置和方向改变（镜像）。 2.核心思想：这三种变换都是“保形保距”的全等变换。想象运动时，关键是抓住“每个点”如何运动。 ·易错点：混淆旋转与翻折。旋转是“绕点转”，像旋转门；翻折是“沿线折”，像照镜子。旋转中心可以在图形内部、边上或外部。 知识点03 转化与表达：展开与折叠 1.正方体11种标准展开图：口诀“中间四连方，两侧各一个（1-4-1型）；三连方，两侧各一、二个（1-3-2型）；两排各三个（2-2-2型、3-3型）”。 2.关键判断：相邻面在展开图中必有公共边；相对面（如“Z”字两端）在展开图中必不相邻。 ·易错点：判断展开图时，最怕“田”字格和“凹”字型，它们不能折成正方体。 题型一 图形的运动与展开图的综合 解｜题｜技｜巧 1.运动想象“三步走”： 步骤1（定基准）：明确运动类型（平移/旋转/翻折）及其关键要素（方向距离/中心与角度/对称轴）。 步骤2（抓特殊）：选取图形的关键点（如顶点、中心点），想象它们在运动后的准确位置。 步骤3（连成型）：将运动后的关键点按原图形顺序连接，形成新图形。 2.转化分析“两对应”： 若问展开图能否复原：先尝试在脑中“折叠”，重点检查相邻面关系是否矛盾。 【典例1】 将正方体骰子放置于水平桌面上，在图②中，将骰子向右翻滚90°；然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则视作完成一次变换，若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是（　　） A．1 B．3 C．5 D．6 【解答】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． 所以2024÷3＝674…2， 所以按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上面的点数是6， 故选：D． 【变式1】如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（　　） A．七边形 B．五边形 C．正方形 D．三角形 【解答】解：正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状不可能出现七边形，可能是三角形、四边形、五边形和六边形， 故选：A． 【变式2】若一个直棱柱有十六个顶点，它的底面边长都是4cm，且所有侧棱长的和为120cm，则这个棱柱的所有侧面的面积之和是　 　 cm2． 【解答】解：∵一个直棱柱有十六个顶点， ∴该棱柱上下有8个顶点，是八棱柱， ∵它的底面边长都是4cm， ∴它的底面周长＝8×4＝32（cm2）， ∵所有侧棱长的和是120cm， ∴侧棱长＝120÷8＝15（cm）， ∴所有侧面面积之和＝32×15＝480（cm2）． 故答案为：480． 题型二 立体图形中的路径与表面展开问题（跨学科/生活应用） 答｜题｜模｜板 1.化曲为直”原则：在立体表面（如圆柱、正方体）上求最短路径，基本思路是将其侧面展开成平面，将立体问题转化为平面上的“两点之间线段最短”问题。 2.“分类展开”策略： （1）对于正方体，由于两点可能在不同面上，需要尝试将这两个点所在的不同平面组合展开到同一平面内，画出多种展开图方案。 （2）对于圆柱，通常沿一条母线剪开，侧面展开为矩形。 3.计算比较：在每种展开图上连接两点，利用勾股定理（八年级将学）或线段和计算路径长度，再比较得出最短路径。 易｜错｜点｜拨 正方体展开图有多种可能，必须考虑所有可能使两点共面的展开方式，避免漏解。连接两点时，要确保线段在展开图的图形内部（即沿表面可走）。 【典例1】如图，一只蚂蚁在棱长为10的正方体的表面A处，它想从A处爬往顶点C，请回答如下问题： （1）蚂蚁爬行的路径有多少条？ （2）蚂蚁爬行路径中有没有最短的？如果有，有多少条？若没有，请说明理由． 【解答】解：依据展开方式的不同，共6条最短路径，标记各顶点如图所示：（1）爬行路径有无数条；（2）有最短路径，共6条． 【典例2】如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的直径，M是SA的中点．在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：利用圆锥侧面展开图是扇形，再利用M是SA的中点，在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝， 现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是选项B． 故选：B． 【变式1】如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（　　） A．x2﹣4 B．x2﹣4x﹣2 C．x2﹣x﹣1 D．x﹣1 【解答】解：根据相对面上的多项式的和相等可得： A＝x2+1+（﹣x﹣2）﹣（3x+1） ＝x2+1﹣x﹣2﹣3x﹣1 ＝x2﹣4x﹣2． 故选：B． 【变式2】如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有_________ ． 【解答】解：∵每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．AD涂成红色，BF涂成黄色，GH涂成蓝色． ∴涂成红色的铅丝只能有EF、FG、CG， 而FG不合题意，则涂成红色的铅丝有EF、CG； 同理涂成黄色的铅丝有EH、CD；涂成蓝色的铅丝有AE、BC． 则涂成白色的铅丝有：AB、DH、FG． 故答案为：AB、DH、FG． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.图中花瓶的表面可以大致看成由以下哪个平面图形绕虚线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图可知，只有C选项图形绕虚线旋转一周得到花瓶． 故选：C． 2.如图，一个正方体的六个面上各有一个字，连起来就是“中国梦，我的梦”，其中“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，则它的平面展开图可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“中”与“我”相对，因此选项A不符合题意； B．由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“中”的对面是“梦”，“的”对面也是“梦”，但“国”是前面，“中”是上面，“我”是左面，与题意矛盾，因此选项B不符合题意； C．由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”以及“中”，“国”，“的”的位置可得选项C符合题意； D．由正方体表面展开图“田凹应弃之”可得选项D的图形不是正方体的表面展开图，因此选项D不符合题意． 故选：C． 3.下列图形中，能折成棱柱的有 　 　 个． 【解答】解：第1个图能折成圆柱，第2个图能折成四棱柱，第3个图能折成五棱柱，第4个图能折成圆锥，第5个图能折成三棱柱，第6个图不能折成立体图形． 故打啊为：3． 4.观察下面的圆柱，分析它们的底面直径和高的变化引起体积变化的规律，根据这个规律，用含字母n的式子表示第n个圆柱的体积为 　 （π取3.14）． 【解答】解：第①个圆柱的体积为：π×（2÷2）2×1＝π×13； 第②个圆柱的体积为：π×（4÷2）2×2＝π×23； 第③个圆柱的体积为：π×（6÷2）2×3＝π×33； 第④个圆柱的体积为：π×（8÷2）2×4＝π×43； ……， 第n个圆柱的体积为πn3＝3.14n3． 故答案为：3.14n3． 5.如图所示的是由直角三角形和长方形拼成的四边形． （1）将这个四边形绕虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是　 　 （填序号）． ①点动成线； ②线动成面； ③面动成体． （2）求得到的立体图形的体积.，，结果保留π） 【解答】解：（1）四边形绕虚线旋转一周得到立体图形，说明面动成体． 故答案为：③． （2），，结果保留π）， 设圆柱的体积为V1，圆锥的体积为V2， V1＝π×32×5＝45π（cm3）， ， 得到的立体图形的体积为45π+6π＝51π（cm3）． 答：得到的立体图形的体积为51πcm3． 6.用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B（ 　 　 ）；C（ 　 　 ）；D（ 　 　 ）；E（ 　 　 ）． 【解答】解：B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形 C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形 D球体，截面只可能是圆 E圆柱体，截面有可能是椭圆梯形，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：根据题意正方体展开图的特征可得：添上①～④中的④号面可以使其折成一个完整的正方体． 故选：D． 2.用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状不可能是（　　） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【解答】解：一个平面去截正方体，截面的形状不可能是正五边形， 故选：C． 3.下列几何体中，属于棱柱的有 　 　 ．（填序号） 【解答】解：①为圆柱体，不属于棱柱； ②为圆锥体，不属于棱柱； ③为长方体，属于棱柱； ④为正方体，属于棱柱； ⑤为长方体，属于棱柱； ⑥为六棱柱，属于棱柱； ⑦为球体，不属于棱柱． 故答案为：③④⑤⑥． 4.2025年6月5日的世界环境日主题为“终结塑料污染”，呼吁减少塑料污染，保护生态环境，推动可持续发展．七（1）班综合实践小组开展废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾用的无盖纸盒． 【空间想象】 （1）若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 　 　 （填序号）经过折叠不能围成一个无盖正方体纸盒； 【实践操作】 （2）如图2，有一张边长为50cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成一个无盖长方体纸盒． ①请你在图2中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕； ②若四角各剪去了一个边长为5cm的小正方形，求这个纸盒的容积．（纸张的厚度忽略不计） 【解答】解：（1）由于正方体表面展开图“田凹应弃之”，而图②含有“凹”字， 所以图②不是正方体的表面展开图， 故答案为：②； （2）①所画的图形如下： ②由题意得，折叠成无盖长方体的纸盒的底面是边长为50﹣5﹣5＝40cm的正方形，高为5cm， 所以容积为40×40×5＝8000（cm3）， 答：这个纸盒的容积为8000cm3． 5.【问题情境】在数学活动课上，老师准备了一些等长的磁力棒，组织大家用磁力棒搭等边三角形．老师提出了一个问题：用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？ 探究一：平面图形 追梦小组的同学们想到了下面用磁力棒搭等边三角形的方法： （1）当三角形的个数是n时，所用的磁力棒的根数是　 　 （用含n的代数式表示）； （2）是否存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形？若不存在，请说明理由； 探究二：立体图形 创新小组的小梦同学想到七年级学的三棱锥有4个面，想到通过磁力棒搭立体图形来组成等边三角形． （3）如图所示是小梦同学用磁力棒搭成的三棱锥，小梦搭成的三棱锥用了　 　 根磁力棒，组成了　 个等边三角形； （4）结合小梦同学的方法，用9根磁力棒最多可以组成　 　 个等边三角形？ 【解答】解：（1）由题知， 搭1个三角形所需磁力棒的根数为：3＝1×2+1； 搭2个三角形所需磁力棒的根数为：5＝2×2+1； 搭3个三角形所需磁力棒的根数为：7＝3×2+1； …， ∴搭n个三角形所需磁力棒的根数为（2n+1）根； 故答案为：（2n+1）根； （2）不存在，理由如下： 当n＝4时，2n+1＝2×4+1＝9（根）； ∴搭n个三角形所需磁力棒的根数为9， ∴不存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形； （3）根据题意得，小梦搭成的三棱锥用了6根磁力棒，组成了4个等边三角形； 故答案为：6，4； （4）由题意可得：9﹣6＝3， ∴在小梦搭成的三棱锥的基础上，在一等边三角形外用3根磁力棒搭成一个三棱锥，如图所示， ∴在小梦搭成的三棱锥的基础上，又增加了3个等边三角形， ∴4+3＝7， ∴最多可以组成7个等边三角形． 故答案为：7． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.某玩具厂生产配件，需要分别从棱长为a的正方体木块中，挖去一个棱长为b（b＜a）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙，那么这三者的大小关系是 ________________ （请用“＜”连接）． 【解答】解：将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙， 由题意得6a2+2b2， 6a2， 6a2+4b2， ∵6a2＜6a2+2b2＜6a2+4b2， ∴S乙＜S甲＜S丙， 故答案为：S乙＜S甲＜S丙． 2.【问题情境】《制作无盖的长方体纸盒》是北师大版七上的课题学习，某综合实践小组在学习了这一课后，开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【问题解决】 （1）如图所示图形中，是无盖正方体的表面展开图的是　 　 ．（填序号） （2）综合实践小组利用边长为30cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．回答下列问题： ①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为5cm的小正方形，再沿虚线折叠起来．则长方体纸盒的底面周长为多少cm？ ②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为5cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．则该长方体纸盒的体积为多少cm3？ 【问题进阶】 （3）若一个无盖长方体的长，宽，高分别为8，5，3，它缺一个长为8，宽为3的长方体底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，求长方体表面展开图的最大外围周长． 【解答】解：（1）②折叠后有2个面重合，只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故答案为：①③④； （2）①长方体纸盒的底面周长为：（30﹣2×5）×4＝80（cm）； ②长方体纸盒的长：30﹣5﹣5＝20（cm）， ∵正方形纸板的边长由空白的两个小长方形的宽和空白的两个大长方形的宽组成， ∴宽＝（30﹣2×5）÷2＝10（cm）， ∴该长方体纸盒的体积为：20×10×5＝1000（cm3）； （3）如图所示， ∴6×8+5×4+3×2＝74（cm）， ∴该长方体表面展开图的最大外围周长为74cm． 3.如图，把一长方形在直线m上翻滚，请在图中作出A点所经过的路径． 【解答】解：如图所示． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $