重难点突破04 三角函数中ω，φ的取值及范围问题（寒假预习讲义，串知识+10大题型精讲+过关）高一数学沪教版

重难点突破04 三角函数中的取值及范围问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备知识 1.核心三角函数形式 常见解析式：、、（，），其中决定函数的周期与频率，核心关联： 正弦/余弦型周期：；正切型周期： ω的符号影响：时，函数单调性与基本三角函数一致；时，单调性与基本三角函数相反（需利用诱导公式转化：，） 2.各性质核心判定条件（含ω关联） 值域：正弦/余弦型值域为，与ω无关；若含定义域限制（如），值域由的范围及单调性决定，ω影响范围缩放 单调性：正弦函数增区间，减区间（），余弦函数增区间，减区间（），令，结合ω符号求原函数单调区间 奇偶性：①奇函数：，正弦型需满足（），且定义域关于原点对称；②偶函数：，余弦型需满足（），且定义域关于原点对称；ω不直接决定奇偶性，但影响定义域对称性（含参数定义域时） 最值：正弦/余弦型最值为，最值点对应（正弦）、（余弦）（），ω影响最值点的横坐标分布 对称性：①对称轴：正弦型，余弦型（）；②对称中心：正弦型，余弦型，正切型（） 3.关键前提结论 复合函数单调性：“同增异减”（内层与外层三角函数单调性一致则增，相反则减） 定义域优先原则：所有性质讨论均需在定义域内进行，含ω的定义域限制（如）会直接约束的范围，进而影响ω取值 k的整数性：求ω范围时，需结合取整数解，确保范围精准 知识点2：必备解法（按题型分类） 1.值域与ω取值范围问题 解法步骤：①确定函数解析式形式（正弦/余弦/正切）及定义域；②令，根据及符号，求出的取值范围（）或（）；③根据外层三角函数在上的值域要求，列不等式求解ω；④验证ω符号对值域的影响，整合取值范围 核心技巧：当ω正负未知时，需分和讨论，避免漏解 2.单调性与ω最值/取值范围问题 解法步骤：①明确原函数的单调区间要求（如“在上单调递增”）；②令，求内层函数的单调性（时增，时减）；③根据“同增异减”原则，匹配外层三角函数的单调区间，列出不等式组：（，需结合ω符号调整不等号方向）；④解不等式组，结合确定ω的初步范围；⑤若求最值，根据题目约束（如）筛选最优k值，得出ω最值 核心技巧：优先假设（多数题目隐含），若未说明需分情况；单调区间的“包含关系”是关键（如函数在单调，则的范围需完全包含在外层函数的某一单调区间内） 3.奇偶性与ω最值/取值范围问题 解法步骤：①根据奇偶性定义，列出（奇函数）或（偶函数）的等式；②利用诱导公式化简等式，得出与k的关系（如奇函数需）；③结合定义域关于原点对称的要求，分析含ω的定义域限制（若有），列出关于ω的不等式；④解不等式，结合及题目约束（如）确定ω范围；⑤若求最值，筛选符合条件的k值，得出ω的最大/最小值 核心技巧：无定义域限制时，ω仅受奇偶性推导的约束（间接影响）；有定义域限制时，需确保对所有x成立，进而约束ω 4.最值与ω取值范围问题 解法步骤：①明确最值类型（最大值/最小值）及对应的最值条件（如正弦型最大值需）；②根据定义域，求出的范围；③确保最值条件对应的值在内，列出不等式：（最大值）或（最小值）（）；④将的边界代入不等式，解出ω的范围；⑤结合等约束，整合最终范围 核心技巧：若要求“在上取得最值”，则最值对应的值需落在内；若要求“仅在某点取得最值”，需结合单调性判断与最值点的唯一对应关系 5.对称性与ω取值范围问题 解法步骤：①明确对称性类型（对称轴/对称中心），写出对应的核心等式（如对称轴需，对称中心需）；②将对称轴或对称中心横坐标代入解析式，得（）；③若有定义域限制，需确保在定义域内，列出关于ω的不等式；④解等式与不等式，结合及等约束，确定ω的取值范围 核心技巧：对称轴和对称中心的等式是“存在性”条件（存在k使等式成立），需通过k的整数性筛选ω的有效范围 6.综合条件下与ω取值范围问题 解法步骤：①梳理题目中的所有条件（如同时涉及单调性、对称性、最值）；②对每个条件单独应用对应解法，得出ω的初步范围；③求所有初步范围的交集；④结合、等约束，最终确定ω的取值范围 核心技巧：优先处理约束性强的条件（如最值条件通常比单调性条件更严格），减少讨论范围；每一步范围推导后标注约束条件，避免遗漏 知识点3：常见误区 1.忽略ω的符号影响 误区：默认，未考虑的情况，导致漏解；或在单调性、值域问题中，未根据ω符号调整不等号方向/范围顺序；示例：求的增区间时，未转化为，直接套用正弦函数增区间，得出错误结果；规避：若题目未明确，必须分和讨论；处理的范围时，严格根据ω符号确定区间端点的大小关系 2.单调区间的包含关系理解错误 误区：将“函数在上单调”等同于“是单调区间的子集”，错误列出不等式（如将写成）；或未考虑的多解性，仅取k=0导致范围过窄；示例：求时在上单调递增的ω范围，错误列出（未加）；规避：明确“单调区间包含”要求，严格套用“区间端点≥外层单调区间左端点+2kπ，区间端点≤外层单调区间右端点+2kπ”的不等式组；结合k的整数性，筛选符合ω约束（如）的所有可能k值 3.忽略定义域优先原则 误区：讨论奇偶性、值域时，未先判断定义域是否关于原点对称/是否有范围限制，直接套用性质公式；示例：求在上为奇函数的ω范围，未发现定义域不关于原点对称，仍盲目推导；规避：所有性质讨论前，先明确定义域，若定义域含参数ω，需先确保定义域满足性质的前提（如奇偶性需关于原点对称，单调性需在定义域内） 4.混淆“存在性”与“恒成立”条件 误区：将“存在x使函数取得最值”（存在性）与“对任意x函数单调”（恒成立）的条件混淆，列出错误不等式；示例：求在上存在最大值的ω范围，错误套用单调区间的恒成立不等式；规避：明确条件类型：①恒成立（如单调、全程值域）：需的范围完全包含在外层函数的对应区间内；②存在性（如存在最值、存在对称轴）：只需的范围与外层函数的对应条件区间有交集 5.未结合k的整数性筛选范围 误区：解出含k的ω范围后，未根据及题目约束（如）筛选有效k值，导致范围包含无效解；示例：求ω>0时的对称轴过点的ω范围，解出后，未筛选k为正整数的情况；规避：解出含k的ω表达式后，结合、ω为整数（若题目要求）等约束，确定k的取值集合，再代入得出ω的具体范围 6.正切函数的周期与定义域错误 误区：将正切函数的周期错记为，或忽略正切函数定义域（）；示例：求在上单调递增的ω范围，未排除在内的情况；规避：牢记正切函数周期，讨论单调性、值域时，需确保的范围不包含（） 【题型1 单调性奇偶性周期性对称性综合性质求的值】 例1．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ． 例2．已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 变式1．已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则 ． 变式2．已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且，恒成立．若存在，使得成立，则 ；的取值范围为 ． 【题型2 由区间值域/最值求或参数的范围】 例1．已知函数在上的最小值为-1，那么实数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 例2．已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 变式1．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足 ，则的取值范围是 ． 变式2．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【题型3 由单调性求的范围】 例1．设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 例2．若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 变式1．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 变式2．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【题型4 由奇偶性求的范围】 例1．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 例2．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 变式1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数为奇函数，求的最小值. 变式2．已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型5 由对称性求的范围】 例1．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 例2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式1．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 变式2．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【题型6 由最值个数求的范围】 例1．已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 变式1．已知函数的图象过点，且在区间上有三个最值点，则的最大值为 变式2．若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 【题型7 由综合性质求范围】 例1．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 变式1．已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 变式2．设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【题型8 由零点问题/根的问题求的范围】 例1．已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 . 例2．设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 变式1．已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是 ． 变式2．已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 . 【题型9 由图像的变换综合性质求的范围】 例1．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 例2．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 变式1．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 变式2．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为 . 【题型10 由三角函数的综合性质求其他参数的范围】 例1．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 例2．已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 变式1． 已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 变式2．如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 一、核心基础（必记核心） 1.核心形式 三角函数的标准解析式： （其中，） 2.ω的核心作用 决定周期： 正弦/余弦型周期：；正切型周期： 影响单调性： 时，与基本三角函数“同增同减”；时，单调性与基本三角函数相反 3.必备性质关联 值域/最值：与的取值范围直接相关 奇偶性：需满足“定义域关于原点对称”+的约束（如奇函数需） 对称性：对应或（） 二、核心题型 1.值域与ω的取值范围 2.单调性与ω的最值/取值范围 3.奇偶性与ω的最值/取值范围 4.最值与ω的取值范围 5.对称性与ω的取值范围 6.综合条件（多性质叠加）与ω的取值范围 三、方法精髓（通用解题逻辑） 1.换元转化：令，将问题转化为“外层三角函数在的范围上的性质问题” 2.符号讨论：正负未知时，分、两类讨论，避免漏解 3.条件匹配：根据性质要求（单调/对称/最值），列出的范围不等式，反解ω 4.k值筛选：结合、等约束，筛选出ω的有效范围 四、记忆要点（易错+速记） 1.易错警示 勿忽略的符号对单调性、范围的影响 勿遗漏“定义域优先”原则（如奇偶性需定义域对称） 勿混淆“恒成立（范围包含）”与“存在性（范围交集）”条件 2.速记口诀 换元转化→符号讨论→条件匹配→k值筛选 一、单选题 1．已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 8．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 9．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 10．已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 12．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．设函数（且）满足以下条件：①；②，使得，且．则关于的不等式的最小正整数解为 ． 14．已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 15．已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为 . 16．已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若，当时，，则实数的最大值为 . 17．已知函数为的一个零点，为图像的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为 ． 18．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 . 19．已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 ． 20．已知，，为函数的3个相邻零点，若，则 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破04 三角函数中的取值及范围问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备知识 1.核心三角函数形式 常见解析式：、、（，），其中决定函数的周期与频率，核心关联： 正弦/余弦型周期：；正切型周期： ω的符号影响：时，函数单调性与基本三角函数一致；时，单调性与基本三角函数相反（需利用诱导公式转化：，） 2.各性质核心判定条件（含ω关联） 值域：正弦/余弦型值域为，与ω无关；若含定义域限制（如），值域由的范围及单调性决定，ω影响范围缩放 单调性：正弦函数增区间，减区间（），余弦函数增区间，减区间（），令，结合ω符号求原函数单调区间 奇偶性：①奇函数：，正弦型需满足（），且定义域关于原点对称；②偶函数：，余弦型需满足（），且定义域关于原点对称；ω不直接决定奇偶性，但影响定义域对称性（含参数定义域时） 最值：正弦/余弦型最值为，最值点对应（正弦）、（余弦）（），ω影响最值点的横坐标分布 对称性：①对称轴：正弦型，余弦型（）；②对称中心：正弦型，余弦型，正切型（） 3.关键前提结论 复合函数单调性：“同增异减”（内层与外层三角函数单调性一致则增，相反则减） 定义域优先原则：所有性质讨论均需在定义域内进行，含ω的定义域限制（如）会直接约束的范围，进而影响ω取值 k的整数性：求ω范围时，需结合取整数解，确保范围精准 知识点2：必备解法（按题型分类） 1.值域与ω取值范围问题 解法步骤：①确定函数解析式形式（正弦/余弦/正切）及定义域；②令，根据及符号，求出的取值范围（）或（）；③根据外层三角函数在上的值域要求，列不等式求解ω；④验证ω符号对值域的影响，整合取值范围 核心技巧：当ω正负未知时，需分和讨论，避免漏解 2.单调性与ω最值/取值范围问题 解法步骤：①明确原函数的单调区间要求（如“在上单调递增”）；②令，求内层函数的单调性（时增，时减）；③根据“同增异减”原则，匹配外层三角函数的单调区间，列出不等式组：（，需结合ω符号调整不等号方向）；④解不等式组，结合确定ω的初步范围；⑤若求最值，根据题目约束（如）筛选最优k值，得出ω最值 核心技巧：优先假设（多数题目隐含），若未说明需分情况；单调区间的“包含关系”是关键（如函数在单调，则的范围需完全包含在外层函数的某一单调区间内） 3.奇偶性与ω最值/取值范围问题 解法步骤：①根据奇偶性定义，列出（奇函数）或（偶函数）的等式；②利用诱导公式化简等式，得出与k的关系（如奇函数需）；③结合定义域关于原点对称的要求，分析含ω的定义域限制（若有），列出关于ω的不等式；④解不等式，结合及题目约束（如）确定ω范围；⑤若求最值，筛选符合条件的k值，得出ω的最大/最小值 核心技巧：无定义域限制时，ω仅受奇偶性推导的约束（间接影响）；有定义域限制时，需确保对所有x成立，进而约束ω 4.最值与ω取值范围问题 解法步骤：①明确最值类型（最大值/最小值）及对应的最值条件（如正弦型最大值需）；②根据定义域，求出的范围；③确保最值条件对应的值在内，列出不等式：（最大值）或（最小值）（）；④将的边界代入不等式，解出ω的范围；⑤结合等约束，整合最终范围 核心技巧：若要求“在上取得最值”，则最值对应的值需落在内；若要求“仅在某点取得最值”，需结合单调性判断与最值点的唯一对应关系 5.对称性与ω取值范围问题 解法步骤：①明确对称性类型（对称轴/对称中心），写出对应的核心等式（如对称轴需，对称中心需）；②将对称轴或对称中心横坐标代入解析式，得（）；③若有定义域限制，需确保在定义域内，列出关于ω的不等式；④解等式与不等式，结合及等约束，确定ω的取值范围 核心技巧：对称轴和对称中心的等式是“存在性”条件（存在k使等式成立），需通过k的整数性筛选ω的有效范围 6.综合条件下与ω取值范围问题 解法步骤：①梳理题目中的所有条件（如同时涉及单调性、对称性、最值）；②对每个条件单独应用对应解法，得出ω的初步范围；③求所有初步范围的交集；④结合、等约束，最终确定ω的取值范围 核心技巧：优先处理约束性强的条件（如最值条件通常比单调性条件更严格），减少讨论范围；每一步范围推导后标注约束条件，避免遗漏 知识点3：常见误区 1.忽略ω的符号影响 误区：默认，未考虑的情况，导致漏解；或在单调性、值域问题中，未根据ω符号调整不等号方向/范围顺序；示例：求的增区间时，未转化为，直接套用正弦函数增区间，得出错误结果；规避：若题目未明确，必须分和讨论；处理的范围时，严格根据ω符号确定区间端点的大小关系 2.单调区间的包含关系理解错误 误区：将“函数在上单调”等同于“是单调区间的子集”，错误列出不等式（如将写成）；或未考虑的多解性，仅取k=0导致范围过窄；示例：求时在上单调递增的ω范围，错误列出（未加）；规避：明确“单调区间包含”要求，严格套用“区间端点≥外层单调区间左端点+2kπ，区间端点≤外层单调区间右端点+2kπ”的不等式组；结合k的整数性，筛选符合ω约束（如）的所有可能k值 3.忽略定义域优先原则 误区：讨论奇偶性、值域时，未先判断定义域是否关于原点对称/是否有范围限制，直接套用性质公式；示例：求在上为奇函数的ω范围，未发现定义域不关于原点对称，仍盲目推导；规避：所有性质讨论前，先明确定义域，若定义域含参数ω，需先确保定义域满足性质的前提（如奇偶性需关于原点对称，单调性需在定义域内） 4.混淆“存在性”与“恒成立”条件 误区：将“存在x使函数取得最值”（存在性）与“对任意x函数单调”（恒成立）的条件混淆，列出错误不等式；示例：求在上存在最大值的ω范围，错误套用单调区间的恒成立不等式；规避：明确条件类型：①恒成立（如单调、全程值域）：需的范围完全包含在外层函数的对应区间内；②存在性（如存在最值、存在对称轴）：只需的范围与外层函数的对应条件区间有交集 5.未结合k的整数性筛选范围 误区：解出含k的ω范围后，未根据及题目约束（如）筛选有效k值，导致范围包含无效解；示例：求ω>0时的对称轴过点的ω范围，解出后，未筛选k为正整数的情况；规避：解出含k的ω表达式后，结合、ω为整数（若题目要求）等约束，确定k的取值集合，再代入得出ω的具体范围 6.正切函数的周期与定义域错误 误区：将正切函数的周期错记为，或忽略正切函数定义域（）；示例：求在上单调递增的ω范围，未排除在内的情况；规避：牢记正切函数周期，讨论单调性、值域时，需确保的范围不包含（） 【题型1 单调性奇偶性周期性对称性综合性质求的值】 例1．已知函数（）的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为 ． 【答案】 【分析】由正弦函数的最小正周期公式确定，再代入点，结合正弦函数的性质可得答案. 【详解】根据题意，，因为，所以， 所以． 又函数的图象关于点中心对称， 所以，所以，， 所以，． 因为，所以，解得， 又，所以，故． 故答案为：. 例2．已知函数，且.若两个不等的实数满足且，则 ， . 【答案】 2 /0.6 【分析】利用辅助角公式化简的解析式，再由题意可得函数关于对称，且最小正周期，即可求出的值；进而得到，再由二倍角公式计算即得. 【详解】依题意，函数，其中锐角由确定， 且函数的最小值为，最大值为， 由，得函数的图象关于对称， 又两个不等的实数满足且， 则函数在处同取最大值或同取最小值，且函数的最小正周期， ，又，则，解得， 于是，则，即， 所以 故答案为：2； 变式1．已知函数的最小正周期满足，且的图象关于点对称，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数最小正周期的范围确定，根据的图象关于点中心对称确定b，求出，结合求，即得函数解析式，即可得. 【详解】函数的最小正周期为T，则， 由 ，得, 则， 的图象关于点中心对称，则， 且，则，所以， 由，得，而， ，得， 所以 ， 故. 故答案为：1. 变式2．已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且，恒成立．若存在，使得成立，则 ；的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得解析式，根据题意，求得周期，可得值，根据，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得的范围，可得的最值，结合题意，分析即可得b的范围. 【详解】由题设，，， 由相邻两个对称轴之间的距离为，故， 又，即， 故，解得． ， 当时，，此时的最大值为，最小值为， 若存在，使成立， 则只需， ，故的取值范围为. 故答案为：2；. 【题型2 由区间值域/最值求或参数的范围】 例1．已知函数在上的最小值为-1，那么实数的最小值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由，得.根据函数在区间上的最小值是-1，可知能取到，由此求得实数的取值范围，求出实数的最小值. 【详解】函数在区间上的最小值是-1， 令， 因为，所以只需，或解得，或. 所以实数的取值范围是，实数的最小值为2. 故选：C. 例2．已知，若，，且. (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后根据正弦函数的对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）由题意得函数的最小正周期. 所以，所以. 令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 变式1．已知（，，），其图象经过点，若存在，使得为函数的最大值，为函数的最小值，且同时满足 ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，可求得，利用函数图像经过，可求得，结合单调性可得，进而可求得的取值范围. 【详解】∵为函数的最大值，为函数的最小值，所以，， 又，所以必有，解得， 又函数图像经过，因此，结合，得出， 则，因为，当时，， 所以，得，，所以，解得． 当时，； 当时，令，因时，， 故从开始，各区间相互重叠，其并集为， 因此的取值范围是. 故答案为：. 变式2．已知函数，若对于，都有恒成立，则的取值不可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，同时由，得到，代入各个选项判断是否存在，即可得到结论. 【详解】因为函数，且， 所以，则， 因为，所以， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，， ∵，∴，，∴， 即存在，使得，不符合题意； 当时，， ∵， ，∴且， 即，符合题意； 所以的取值不可能是， 故选：C 【题型3 由单调性求的范围】 例1．设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出的范围，结合正弦函数的图象与性质可得. 【详解】因为，所以， 又函数在区间上单调递增， 结合正弦函数的图象与性质可知，得， 则的最大值为. 故选：C. 例2．若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数周期求得的取值范围，讨论的不同取值范围，由取值范围求得取值范围，由题意得到集合的包含关系，建立不等式组，结合题意求得的范围. 【详解】由题意可知，即，∴. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则，且，则， 取则，. 当，为常数函数，不合题意. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则， ∴ 故答案为： 变式1．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 变式2．若函数（），在 上单调递减，则a的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，再利用函数单调性求得辅助角的范围，进一步根据三角函数的性质列不等式组求解. 【详解】利用辅助角公式得： （）， 其中， 因为 ，所以， 又因为，所以. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以为了使得函数在 上单调递减，必须且只需， 所以， 所以,解得. 当时,在 上单调递减，符合题意. 故a的最小值为1. 故选：B 【题型4 由奇偶性求的范围】 例1．将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据图象变换可得，结合函数奇偶性可得，运算求解即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 例2．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若函数为偶函数，其中，求的最小值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）化简得到，从而求出最小正周期； （2）求出，根据函数的奇偶性得到方程，求出，结合，得到答案. 【详解】（1）由， 得的最小正周期为； （2）， 因为函数为偶函数，所以， 解得， 又因为，所以当时，取到最小值. 变式1．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值； (3)若函数为奇函数，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用周期公式求解； （2）由，求出，利用余弦函数的单调性求解； （3）由为奇函数，得，进而求得答案. 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期. （2）当时，则， 所以当，即时，， 当，即时，. （3）， 若为奇函数，则，， 解得， 当时，，当时，， 所以的最小值为. 变式2．已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【详解】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 【题型5 由对称性求的范围】 例1．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 例2．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.若与的图象关于点对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式化简，进而得到，由与的图象关于点对称可得，进而得到，进而求解即可. 【详解】由， 则， 因为与的图象关于点对称，所以， 而， 则， 即对于任意恒成立， 所以，或（舍去）， 则，又，则的最小值为. 故选：D 变式1．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称，则最小时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先进行图象变换，再由函数的对称性求解． 【详解】解析：平移后，， 所以. 所以，因为，所以最小值为. 所以. 故选：B 变式2．已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 【题型6 由最值个数求的范围】 例1．已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数的图象可得答案. 【详解】由，设； 在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， 即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点. 作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①； 又在区间上有且仅有个最大值点，得②； 依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：A 例2．若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示，    因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 变式1．已知函数的图象过点，且在区间上有三个最值点，则的最大值为 【答案】 【分析】利用图象上的点求出，再由正弦型函数的性质求函数的最值点，讨论在区间上有三个最值点，即可得解. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 又，∴，； 由，解得， 又，即，整理得， 当，，对应； 当，，对应； 当，，对应； 要使在区间上有三个最值点，则当时对应的最值点应在区间内， 当时对应的最值点应在区间外或在区间端点处， 故有，解得，所以的最大值为. 故答案为： 变式2．若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用换元法转化为在上有且仅有一个最大值，结合正弦函数的图象性质可得结果. 【详解】令，当时，， 由函数在上有且仅有一个最大值，可转化为在上有且仅有一个最大值， 只需满足，所以的取值范围为. 故答案为： . 【题型7 由综合性质求范围】 例1．已知函数在区间上单调递增，且在区间内至少有一个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的性质列式计算即可求解. 【详解】当时，，且时，， 由函数在区间上单调递增， 故，解得，即. 当时，， 由函数在区间内至少有一个零点， 则，解得. 综上所述，，则的取值范围是. 故选：B. 例2．已知函数（），，有，，且在上单调，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称中心及极值点，单调性综合判断得是小于等于的正奇数，再进行验证可得. 【详解】由有，所以函数关于成中心对称， 所以，即， 再由，得是函数的一个极值，所以， 所以，即. 又在上单调，所以，得. 所以且，是小于等于的正奇数. 当时，，再由是极值点， ，得， 易知，但函数不单调，舍去； 当时，由是极值点，，得， ，函数单调递减，符合题意. 所以的最大值为9. 故选：B. 变式1．已知函数满足恒成立，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由函数在区间上单调，求出的取值范围，再由得到，即可求出的取值集合，从而求出的最大值. 【详解】因为在区间上单调，所以，得到， 所以，解得， 又，所以， 则由的图象与性质知， 所以，得到，所以， 当，解得， 又，所以. 故答案为：. 变式2．设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得到，从而有，利用的性质，求出的单调区间，结合条件，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，则，得到， 又，则，所以，得到， 因为，由，得到， 因为函数在上是减函数，令，得到， 由，得到，所以的取值范围是， 故答案为：. 【题型8 由零点问题/根的问题求的范围】 例1．已知函数，若曲线与直线在区间上有且仅有2个交点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简函数，令，得到，结合余弦函数的性质，得到这2个交点的横坐标分别为，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 令，因为，可得， 因为曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则曲线与直线在区间上有且仅有2个交点， 则这2个交点的横坐标分别为，则， 解得，即实数的取值范围为 故答案为： 例2．设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的性质可得，再借助图形分类讨论求出的范围. 【详解】令，则存在且使， 由区间长度为，得必须满足，则， 因此区间的左端点， 如图，有两种可能：内含有或， 第一类，含A、E：且，则； 第二类，含B、F：且，则. 所以的取值范围是. 故答案为： 变式1．已知函数若方程在区间内无实数解，则实数ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对函数进行化简，再求出时的表达式，最后结合方程在区间内无实数解这一条件确定的取值范围. 【详解】对进行化简，可得： 令，则. 根据正弦函数的性质，可得，，解关于的方程： 即，. 当时，；当时，. 因为方程在区间内无实数解，所以或（不成立，舍去）. 解不等式，得，因为，解得. 故答案为：. 变式2．已知函数，若在闭区间上存在使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由两角差的正弦公式，可得函数的解析式，满足条件，则和都达到最大值，求出，由的范围，可得的范围. 【详解】， 要使成立， 若闭区间上存在， 则，设， 则， 则，且， ， 可得，显然不成立，即不满足条件； 当时，， 当时，都符合条件，即； 综上所述：的范围为. 故答案为：. 【题型9 由图像的变换综合性质求的范围】 例1．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 例2．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先得到函数变换的图像，由定区间上的零点个数判断解出，再由余弦函数递减区间计算得出，取交集得到的取值范围. 【详解】依题意可得， 当时，， 因为在上恰有两个零点， 所以，解得． 令，得， 令，得在上单调递减， 所以，所以又，所以． 综上所述，，即的取值范围是． 故答案为： 变式1．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由图象变换可得，由正弦型函数的性质结合内恰有3个最值点，列出等式及不等式即可求出最大值. 【详解】，则. 因为在区间内恰有3个最值点，根据正弦曲线的伸缩变化的特点， 当满足条件且取最大值时，一定是的一个最值点， 令，得. 从往左数4个最值点依次为，，，， 则，解得，所以当时，取得最大值. 故答案为： 变式2．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，点是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出函数的解析式，作出与图象，设点是，与图象的连续相邻的三个交点，为的中点，求出、，分析可知，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示： 点是与图象的连续相邻的三个交点（不妨设在轴下方），为的中点， 由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，所以， 由， 整理得，所以， 则，所以，， 则，所以， 要使为锐角三角形，，所以，， ，解得. 故答案为：. 【题型10 由三角函数的综合性质求其他参数的范围】 例1．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若在上至少含有2025个零点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图象变换法则求出函数的解析式，解方程求，再结合条件求的最小值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，可得， 则或， 解得或， 所以的取值大于等于的零点从小到大依次为， 若在上至少有个零点， 则不小于第个零点的横坐标即可， 所以的最小值为， 故答案为：． 例2．已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦函数的最小正周期计算公式求出，将点代入计算即可求解； （2）参变分离进行处理，将问题转化为，只需求出不等式右边的最小值，结合对勾函数的单调性进行辅助求解； （3）先求出零点的一般形式，结合零点的个数求出区间长度的最小范围. 【详解】（1）由，得，则， 又图象过点，则， 得，，又， 所以，故. （2）因为，所以，， 故， 而恒成立， 即， 整理可得. 令， 设，，且， 则， 由于，则，所以， 即在区间上单调递增，故， 故，即实数m的取值范围是. （3）由题意知， 由得， 故或， 解得或， 故的零点为或， 所以相邻两个零点之间的距离为或 若最小，则和都是零点，此时在区间分别恰有个零点， 所以在区间上恰有29个零点， 从而在区间上至少有一个零点，所以， 另一方面，在区间上恰有30个零点， 所以的最小值为. 变式1． 已知函数． (1)求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用二倍角公式与和差倍角的正弦公式化简，然后化简，结合二次函数的性质判断单调性，进而求出值域. （2）先求出正弦函数的零点，然后列出原点周围的零点，进而根据零点个数列出不等式，最后求出解集即可. 【详解】（1）函数． 所以. 因为，所以，所以.令， 根据二次函数的性质，在上单调递减，所以. 因为，. 所以在区间上的值域为. （2）令，则，所以. 列出零点为， 因为函数在区间上有4个零点， 所以，解得. 所以的取值范围为. 变式2．如图，是函数（，，）图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解； （2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，则， 所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以. （2）令，则 因为函数在区间上有且仅有两个零点 所以方程在有且仅有两个实根. 令，得或 所以方程的正根从小到大排列分别是 所以，解得 （3）由， 可得， 即， 即， 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 一、核心基础（必记核心） 1.核心形式 三角函数的标准解析式： （其中，） 2.ω的核心作用 决定周期： 正弦/余弦型周期：；正切型周期： 影响单调性： 时，与基本三角函数“同增同减”；时，单调性与基本三角函数相反 3.必备性质关联 值域/最值：与的取值范围直接相关 奇偶性：需满足“定义域关于原点对称”+的约束（如奇函数需） 对称性：对应或（） 二、核心题型 1.值域与ω的取值范围 2.单调性与ω的最值/取值范围 3.奇偶性与ω的最值/取值范围 4.最值与ω的取值范围 5.对称性与ω的取值范围 6.综合条件（多性质叠加）与ω的取值范围 三、方法精髓（通用解题逻辑） 1.换元转化：令，将问题转化为“外层三角函数在的范围上的性质问题” 2.符号讨论：正负未知时，分、两类讨论，避免漏解 3.条件匹配：根据性质要求（单调/对称/最值），列出的范围不等式，反解ω 4.k值筛选：结合、等约束，筛选出ω的有效范围 四、记忆要点（易错+速记） 1.易错警示 勿忽略的符号对单调性、范围的影响 勿遗漏“定义域优先”原则（如奇偶性需定义域对称） 勿混淆“恒成立（范围包含）”与“存在性（范围交集）”条件 2.速记口诀 换元转化→符号讨论→条件匹配→k值筛选 一、单选题 1．已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象求出，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，由，解得 又因为，所以， 所以，因为函数在区间上是增函数， 所以当时，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 2．已知是的一个周期，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由题可得,求出的最小正周期，从而得到，根据,解得，即可求出的最小值. 【详解】由题可得,所以的最小正周期, 已知是的一个周期， 则，所以 因为，即, 因为，则, 所以,解得， 又因为，所以时，取最小值为： 故选：B 3．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出后，利用三角函数对称性计算即可得. 【详解】， 由为偶函数，则，解得， 当时，，故的值可以是. 故选：D. 4．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，根据对称轴可求得；根据在上有最大值可确定，得到，进而可确定最小值. 【详解】； ，关于直线对称， ，结合，解得：； 当时，， 在上有最大值，，解得：； 当时，取得最小值. 故选：C. 5．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角和辅助角公式可化简得到，利用整体代换的方式可确定的取值范围及所处的单调递增区间，由此可构造不等式求得结果. 【详解】 ； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 6．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据求得，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的最大值. 故选：D. 7．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得的对称中心、对称轴、最小正周期，再三角函数图象变换的知识确定正确选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为，所以是的一条对称轴， 所以，可得， 因为，，则令，所以，故B错误； 对于C，又，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 8．若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象的对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 9．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】通过平移得到，再利用对称性列方程，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 10．已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即可得. 【详解】令，则， 所以，或，， 则，或，， 所以相邻交点最小的距离为，最大距离为， 由的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点， 最多有4个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于， 相邻五个交点之间的最小距离大于， 又两个周期T的距离内最多个交点， 所以，且，所以. 故选：D. 11．已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】根据在上单调递减，确定的取值范围，由为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，得出，得， 进而求得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以； 因为为图象的一个对称中心， 所以①； 因为直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减， 所以②， ②①得，，即， 结合，可得， 当时，，，得， 当时，，在单调递减，符合题意， 所以， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故选：B． 12．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，接着由题设结合正弦函数零点性质先求出和，再求出符合代入即可分析求解. 【详解】由题函数 ， 当，则， 因为在区间内没有零点， 所以即， 且，解得， 令得或0， 则当时，有；当时，有； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：D 二、填空题 13．设函数（且）满足以下条件：①；②，使得，且．则关于的不等式的最小正整数解为 ． 【答案】2 【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到或，由得到最小正整数为3，由得到最小正整数为2，综上求出答案. 【详解】由①得：，则，（1） 由②得：，则，（2） 且，即， 联立（1）（2）得：， 因为，所以，， 解得：，，所以，所以， 将代入得：， 因为，所以，所以， ， ，则或， 当，解得：，， ，， 当时，，该区间中的正整数为， 当，解得：，， ，， 当时，，该区间中的正整数为2， 综上，不等式的最小正整数解为2． 故答案为：2 14．已知，则 ．若在上单调递减，则 ． 【答案】 1 【分析】由，求得，即可求解第一空，再由在上单调递减，得到，再结合，即可求解第二空. 【详解】由，可得， 所以，即， 所以， 由， 可得或，， 即或，， 又在上单调递减， 所以，， 可得：， 解得：， 又或，， 所以当时，满足题意， 故答案为：1； 15．已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】代入对称中心得到，根据得到，从而得到，再根据平移原则得到，从而得到，最后利用余弦函数的性质即可得到的最大值. 【详解】因为点为曲线的一个对称中心，所以， 所以，又，所以，所以， 其图象向左平移个单位长度，得. 所以， 因为在上单调递减，所以，所以，即的最大值为. 故答案为：. 16．已知函数，曲线的一个对称中心为点，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线.若，当时，，则实数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据对称中心求出，平移后求出，构造函数，化简后利用函数单调性求的范围即可得解. 【详解】因为点为曲线的一个对称中心， 所以，解得， 又，所以， 所以，其图象向左平移个单位长度，得. 由，得. 令， 当时，， 由题意，知在上单调递减，所以，解得， 即的最大值为. 故答案为： 17．已知函数为的一个零点，为图像的一条对称轴，且在内不单调，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由函数的一个零点和一条对称轴可得，进而可得的可能值为，然后从小到大验证可得的最小值. 【详解】函数，为的一个零点， 所以，得，① 又因为为对称轴，得，② ②减去①得：， ，， 令，则. 又因为，所以的可能值为. （1）当时，由①可得， 又，则，， 由时， ， 因为正弦函数在上是单调递增， 所以在上单调递增，不符合题意； （2）当时，由①可得， 因为，所以不存在，故不符合题意； （3）当时，由①可得，取得， 所以，由时，， 因正弦函数在有一个极大值点，令， 所以函数在上有一个极大值点. 故函数在上不单调，所以的最小值为. 故答案为：． 18．已知函数，，，在区间上单调，则正整数的最大值为 . 【答案】11 【分析】由最大值得到，由为对称中心，得到，再结合单调性得到，再验证，即可求解. 【详解】因为， 所以，，所以， 又，所以是函数的对称中心， 所以，，所以， 所以，即， 所以是奇数，又函数在区间上单调， 所以即，所以， 当时，不符合题意； 当时，，，又， 取，时，满足， 所以最大值为11. 故答案为：11 19．已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数单调性及可得为对称中心，则在区间上单调，可得，再利用函数在区间上恰有5个零点，可得，解出即可得. 【详解】由函数在区间上单调，， 且，故为对称中心，且， 则在区间上单调，则，解得， 由函数在区间上恰有5个零点，为第一个， 则后续零点分别为、、、， 则，化简得，则， 又，故. 故答案为：. 20．已知，，为函数的3个相邻零点，若，则 . 【答案】 【分析】根据周期性可得，，注意到，可知或为的零点，进而代入运算即可得结果. 【详解】因为，则的最小正周期为，可知， 又因为，可得， 即，且， 又，可知或为的零点， 若为的零点，则， 可得，且，可得， 若为的零点，则， 可得，这与矛盾； 综上所述：. 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $