学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（湖南长沙专用，测试范围：人教版九上+九下第一章）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上+九下第一章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 3．下列说法正确的是（    ） A．“买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是必然事件 B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D．“清明时节雨纷纷”为随机事件 4．将抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣2）2+3 5．如图，四边形内接于．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 8．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（   ） A． B． C． D． 9．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 10．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知是方程的一个根，则a的值是 ． 12．将抛物线向左平移个单位后，经过点，则 ． 13．以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为 14．如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 15．两圆的圆心距，两圆的半径分别是方程 的两个根，则两圆的位置关系是 16．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分。 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长． 19．（6分）如图，反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A（m，2m），B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围． 20．（8分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． (1)从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； (2)将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为0.75，求n的值． 21．（8分）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … … 每天销售数量y/件 … … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22．（9分）如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 23．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 24．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．    (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？ (3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上+九下第一章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，与中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合是中心对称图形，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程各部分的名称定义，解决此题的关键是正确的识记相关概念，根据常项的定义即可解决。 【详解】解：是一般形式的一元二次方程， ∴常数项为， 故选：C 3．下列说法正确的是（    ） A．“买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是必然事件 B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D．“清明时节雨纷纷”为随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件、概率的意义，根据随机事件的概念、概率的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、“买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意； B、汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意； C、天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天可能下雨，原说法错误，不符合题意； D、“清明时节雨纷纷”为随机事件，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．将抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣2）2+3 【答案】D 【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式． 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线顶点坐标为（2，3）， 又因为平移不改变二次项系数， ∴所得抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 5．如图，四边形内接于．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆内接四边形的对角互补，可求得的度数． 【详解】因为，四边形内接于， 所以，=180°- 故选：C 【点睛】考核知识点：圆的内接四边形．熟记圆的内接四边形性质是关键． 6．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，； 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 7．小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单随机事件的概率，随机事件的概率等于事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数之比，根据公式计算即可； 【详解】解：∵他第二次抛这枚硬币时，反面向上结果数是1种，而一共出现的结果数是2种 ∴反面向上的概率是． 故选：D． 8．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，连接交于点D，根据垂径定理求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接交于点D， 由题意得，，则， 设圆的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 则该铁球的直径为， 故选：D． 9．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】设每千克上涨x元，利润为w元，根据利润(销售单价进的单价)×数量，列函数关系式，再根据二次函数最值求法求解即可． 【详解】解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为1800元， ∴每千克的售价应定为（元）． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意，列出关系式是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解．根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．，故不是“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； B．函数的图象上存在“乾坤点”， ，解得， 函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项错误，不符合题意； C．若函数是“乾坤函数”， 则， ， 方程无解， 函数的图象上不存在“乾坤点”， 函数不是“乾坤函数”，故选项错误，不符合题意； D． 是“乾坤函数”， ， 化简得， “乾坤函数”图象上有且只有1个“乾坤点”， 有两个相等的实数根， ， ， 方程为， 解得， ， “乾坤点”的坐标为，故选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．已知是方程的一个根，则a的值是 ． 【答案】8 【分析】把代入方程就能求出的值． 【详解】是方程的一个根， ∴把代入方程有：， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查方程的解的概念，只须把方程的解代入方程中，就能求出系数的值． 12．将抛物线向左平移个单位后，经过点，则 ． 【答案】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后得到， 经过点， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 13．以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点N的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，点N的坐标为． 故答案为：． 14．如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，过点B作轴于点D，延长交y轴于点E，根据平行四边形，得到轴于点E，结合平行四边形的性质，解答即可． 【详解】过点B作轴于点D，延长交y轴于点E， ∵平行四边形，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：3． 15．两圆的圆心距，两圆的半径分别是方程 的两个根，则两圆的位置关系是 【答案】相交 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和一元二次方程的解法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）． 由两圆的半径分别是方程的两个根，可得两圆的半径，又由两圆的圆心距为4，根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 【详解】解：∵， ， 解得：，， ∵两圆的半径分别是方程的两个根， ∴两圆的半径和为5，两圆的半径差为1， ∵两圆的圆心距为4， ∴，两圆的位置关系是：相交． 16．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，然后再根据对称轴判定与0的关系，得到；当时，；然后由图像确定当取何值时，． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1 ∴ ∴ ∴， 故②正确； ∵a≠0 ∴，故①正确； ∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 结合题意，当时， ∴ 故③错误； ∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间 设点A坐标为 当时， 故⑤错误； 将代入a+b≥m（am+b） ∴ ∴ ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下 ∴ ∴ ∵恒成立 ∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 三、解答题：本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分 17．（6分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是熟练掌握各种一元二次方程的解法，选择最优． （1）根据十字相乘因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）根据提公因式分解的方式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ‘’ 或， ∴； （2）解： ， ， ∴或， ∴ 18．（6分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长． 【答案】 【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案． 【详解】解：半径弦于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，垂径定理和圆周角定理，解题的关键是正确得出是等腰直角三角形． 19．（6分）如图，反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A（m，2m），B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围． 【答案】（1）y=3x-1；（2）或x＞1． 【分析】（1）把A（m，2m）代入，求得A的坐标为（1，2），然后代入一次函数y=kx-1中即可得出其解析式； （2）联立方程求得交点B的坐标，然后根据函数图象即可得出结论． 【详解】（1）∵A(m，2m)在反比例函数图象上，∴，∴m=1，∴A(1，2)． 又∵A(1，2)在一次函数y=kx-1的图象上，∴2=k-1，即k=3， ∴一次函数的表达式为：y=3x-1． （2）由解得B(，-3) ∴由图象知满足的x取值范围为或x＞1． 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 20．（8分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． (1)从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； (2)将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为0.75，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列表得出所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式求概率即可； （2）根据概率公式列出方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）解：列表如下： 红 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球颜色恰好不同的结果有6种， 两个小球颜色恰好不同的概率为； （2）解：根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为8． 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，用频率估计概率，解分式方程等知识点，熟练掌握列表法或树状图法求概率的一般步骤是解题的关键． 21．（8分）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … … 每天销售数量y/件 … … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）依题意得，，根据二次函数的图象与性质求最值，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴y与x的函数关系式为 ． （2）解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． （3）解：依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识，熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 22．（9分）如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据得，从而得到，得到即可证明结论； （2）连接，证明，得到，设，，列出等式进行求值． 【详解】（1）解：证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， 是的直径， 由（1）知： 又 ， 又 ，即： 又 且， 为边的中线 又 于点 在中， 又 可设， 、分别为、中点 且 ，即 解得，故 23．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时的长为8米或10米； （2）设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得： ， 整理得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 24．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．    (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？ (3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3 (2)点P的坐标为 (3)存在，点P坐标为（﹣2，3）或（，） 【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式； （2）先求出直线AB的解析式，再设出点P的坐标，然后求出点D的坐标，再列出PD的长度的表达式，确定PD取最大值时求出点P的坐标即可； （3）先设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据抛物线的对称性表示出PE的长度，列出关于点P的横坐标的方程，求出点P的横坐标，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴A（0，3）， ∴直线AB解析式为y＝x+3， ∵点P在线段AB上方抛物线上， ∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）， ∴D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝， ∵a＝﹣1＜0， ∴当时，DP的长最大， 此时，点P的坐标为（，）； （3）解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）， ∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∵PE∥x轴交抛物线于点E， ∴E、P关于对称轴对称， ∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t， ∴xE＝﹣2﹣t， ∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|， ∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°， ∴PD＝PE， ①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t， ∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t， 解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，3）， ②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t， ∴﹣t2﹣3t＝2+2t， 解得：，（舍去） ∴P（，）， 综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式以及牢记等腰直角三角形的性质，当遇到线段取最值的问题时，一般是先用含字母的式子表示出线段的长度，然后利用二次函数的知识解决即可． 25．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据“幸福线”的定义，得，根据角的等量代换，得，证明，即可作答． （2）先根据“幸福线”的定义，得，结合，，以及角的等量代换，即可得； （3）先由圆周角定理，得，且，再由勾股定理，得，设，则，因为，列式，得，，代入得，记，当时，有最小值，此时有最大值，根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵为边的“幸福线” ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， 即： ∴ （2）解：连接，记与交于点， ∵为的“幸福线” ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 即： （3）解：连接交于点， ∵为中点 ∴，且 ∴， ∴ ∴ 设，则 由（2）知： 又∵ ∴， 其相似比为 同理：，其相似比为 ，其相似比为 ∴， ∴， 记 易知当时，有最小值，此时有最大值 ∴当时，四边形面积最大 又∵ ∴， 即： ∴， 同理：，此时、重合 记边的高为，作于点 则， 即： 又由知：， 即： ∴ 在中， 则 ∴ 连接，在中， 则 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________________ 15 ． ____________________ 16 ． ____________________ 三 、解答题 （本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 17．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（6分） 19．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（8分） 21．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （8分） （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25．（10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【]【/] 一、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1[A][B][C][D] 5[A[B][C[D] 9[A][B][CD] 2[A][B][C][D] 6[A[B][C[D] 10[A]B][C][D] 3[A[B][C[D] 7[A[B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、填空题（本题共6小题， 每小题3分，共18分.) 11. 12 16. 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第 20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) B 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2贡（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，避田黑色矩形边世限定区域的答案无双T 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) D 23.(8分) 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) B 备用图 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) B 图1 B 图2 图3 数学第6页（共6页） ■………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九上+九下第一章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 3．下列说法正确的是（    ） A．“买中奖率为的奖券100张，一定中奖”是必然事件 B．“汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件 C．天气预报说“明天的降水概率为”，意味着明天一定下雨 D．“清明时节雨纷纷”为随机事件 4．将抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得抛物线为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x+2）2+3 C．y＝﹣2（x+2）2﹣3 D．y＝﹣2（x﹣2）2+3 5．如图，四边形内接于．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．小勇抛一枚质地均匀的硬币，第一次抛时反面向上，他第二次抛这枚硬币时，反面向上的概率是（   ） A． B． C． D． 8．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（   ） A． B． C． D． 9．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（　　） A．20 B．60 C．70 D．80 10．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（　　） A．是“乾坤点” B．函数的图象上存在2个“乾坤点” C．函数是“乾坤函数” D．若“乾坤函数”（，为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知是方程的一个根，则a的值是 ． 12．将抛物线向左平移个单位后，经过点，则 ． 13．以原点为中心，把点逆时针旋转得到点N，则点N的坐标为 14．如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ． 15．两圆的圆心距，两圆的半径分别是方程 的两个根，则两圆的位置关系是 16．如图是二次函数，，是常数，图像的一部分，与轴的交点在和之间，对称轴是直线．对于下列说法：①；②；③；④为实数）；⑤当时，．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题：本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分。 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2．求半径OB的长． 19．（6分）如图，反比例函数和一次函数y=kx-1的图象相交于A（m，2m），B两点． （1）求一次函数的表达式； （2）求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式的x的取值范围． 20．（8分）在一个不透明的箱子中装有形状、大小均一样的小球，其中红色小球有3个，蓝色小球有1个． (1)从箱子中任意摸出两个小球，利用树状图或表格求两个小球颜色恰好不同的概率； (2)将摸出的小球全部放回后，又放入n个蓝色小球，摇晃均匀后任意摸出一个，记下颜色，经过大量反复的实验，发现摸到蓝色小球的概率约为0.75，求n的值． 21．（8分）某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … … 每天销售数量y/件 … … (1)直接写出y与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ (3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22．（9分）如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 23．（9分）（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 24．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E．    (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，DP的长最大？ (3)是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”． (1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长； (2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共30分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 D C D D C D 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.8 12.-1 13.-4,3 14.3 15.相交 16.①②④ 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分) 【详解】(1)解：x2-6x+8=0, X-2X-4=0’…1分 x-2=0或x-4=0, X1=2,X2=4;…3分 (2)解：2xx-3+3-x=0 2xx-3-x-3=0, 2X-1X-3=0,…4分 ∴.X-3=0或2x-1=0, 水=3，X2) ……6分 18.(6分) 【详解】解：，半径OC⊥弦AB于点D, .AC=BC. 1/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠E=∠B0C=22.5, ∴.∠BOD=45°， △ODB是等腰直角三角形，…3分 .AB=2, .DB=OD=1, 0B=12+1=2.…6分 19.(6分) 【详解】（DAm,2m在反比例函数图象上，÷2m=2m,ml,4,2. m 又.A(1,2)在一次函数y=x-1的图象上，∴.2=k-1,即-3， .一次函数的表达式为：y=3x-1.…3分 2 (2)由6解得B(3,3) 由图象知满足 <x-1的r取位范日为 <X<0或x>1.…6分 20.(8分) 【详解】(1)解：列表如下： 红 红 红 蓝 (红， (红， (蓝， 红 红) 红) 红) (红， (红， (蓝， 红 红) 红) 红) (红， (红， (蓝， 红 红) 红) 红) (红， (红， (红， 蓝 蓝) 蓝) 蓝) 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中两个小球颜色恰好不同的结果有6种，…3分 “两个小球颜色恰好不同的概率为6=1 …4分 122 2/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：根据题意，得：n+1 =0.75, n+3+1 解得：n=8,…6分 经检验，n=8是原分式方程的解，…7分 .n的值为8.…8分 21.(8分) 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0， 将12,36、13,34代入得，， 解得，乙，…1分 y与x的函数关系式为y=-2x+6010≤x≤19. …2分 (2)解：依题意得，X-10-2X+60=192,…3分 解得，X1=18,X2=22（舍去)，…4分 ∴，销售单价应为18元. (3)解：依题意得，w=x-10)-2x+60=-2x2+80x-600=-2x-202+200,…5分 a=-2<0, .抛物线开口向下，对称轴为直线X=20,6分 .当10≤X≤19时，w随x的增大而增大， .当X=19时，w有最大值，W最大=198，…7分 .当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元.…8分 22.(9分) 【详解】(1)解：证明：连接OD, ,DE⊥AC, ∴.∠AEF=90°， .'AB=AC, ∠ABC=∠ACB,…2分 .'OB=OD, .∠ABC=∠ODB, ∴.∠ACB=∠ODB, .OD‖AC, ∴.∠ODF=∠AEF=90°， 3/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DE⊥OD,…3分 即EF⊥OD, .OD是⊙O的半径， ∴.EF是⊙O的切线；…4分 E B (2)解：连接AD, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=∠ODA+∠ODB=90° 由(1)知：∠FDO=∠FDB+∠ODB=90° ∴∠ODA=∠FDB…5分 又.OA=OD ∴.∠FAD=∠ODA .∴.∠FAD=∠FDB 又.∠F=∠F .△FAD△FDB…6分 骨 ,即：FA·FB=FD 又.AB=AC且∠ADB=90°， ∴.AD为边BC的中线 ∴.CD=BD=5 又.·DE⊥AC于点E .∴.∠DEC=90° ∴.在Rt△DEC中，DE=DC2-CE2=5-1=2…7分 又：'tanF=OD-3 FD 4 ∴.可设OD=3t,FD=4t 4/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,O、D分别为AB、CB中点 ∴.AClOD且AC=2OD=6t .△FDO△FEA…8分 .FD-OD 即，4t3t 4t+2-6t-1 解得 6 ,故FD=4t=10 BA=FD--=g …9分 23.(9分) 【详解】解：(1)①可建围墙（不包括门）的总长为52米，且AB边长为x米， ∴.BC边长为：52+2-3x=54-3Xm;…2分 ②根据题意得：x(54-3x)=240, 整理得：x2-18x+80=0, 解得：X1=8,X2=10,…4分 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时AB的长为8米或10米： (2)设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x(1+x)只鸡被传 染，依题意得： 1+X+x(1+X)=64,…6分 整理得： （1+x}2=64, 解得：X1=7,X2=-9(不符合题意，舍去)，…8分 答：一只鸡每天平均传染7只鸡.…9分 24.(10分) (1)解：抛物线y=ax2+bx+3过点B(-3,0),C(1,0), .i, 解得：， .抛物线解析式为y=-x2-2x+3;…2分 (2)解：，x=0时，y=-x2-2x+3=3, A(0,3), .直线AB解析式为y=x+3,…3分 5/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,点P在线段AB上方抛物线上， ∴.设P(t,-P-2什3)(-3<t<0), .D(t,t什3)， 32,9 ∴.PD=-2-21+3-(+3)=--31=-(t+ +9 ……4分 41 a=-1<0, 心当t=)3时，DP的长最大为 此时，点P的华标为（受， );…5分 (3)解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形， 设P（t,--2升3)(-3<t<0),则D(t,t什3)， .PD=--2+3-(+3)=--31,…6分 抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, .对称轴为直线x=-1, ,PE∥x轴交抛物线于点E, ∴.E、P关于对称轴对称， xE-(-1)=(-1)-t, .∴.xE=-2-t, ∴.PE=xE-xP=|-2-2t, ,△PDE为等腰直角三角形，∠DPE=90°， ∴.PD=PE, … …7分 ①当-3<K-1时，PE=-2-2, ∴.--3t=-2-21, 解得：t=1（舍去)，t2=-2, .P（-2,3),…8分 ②当-1<t<0时，PE=2+2t, ∴.-2-3t=2+21, 解得：6，=5+1亚 2三5一17（窗去） 2 .P(-5+17,-5+31 ),…9分 2 2 6/10 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 综上所述，点P坐标为(-2,3》或（一5+亚，-5+3亚）时，使△PpE为等腰直角三角 2 2 形.…10分 25.（10分) (1)解：，DE为边BC的“幸福线” ∴.∠BDE+∠C=180° 又：∠ADE+∠BDE=180° ∴.∠ADE=∠C 又，∠A=∠A △ADE△ACB…1分 .AD=AE AC AB 3-AE 即：53+4 ·AE=2 …2分 (2)解：连接OB,记EF与OC交于点H, ,EF为AB的“幸福线” .∠EFB+∠A=180o.…3分 又，∠EFC+∠EFB=180° ∠EFC=∠A…4分 又，OB=OC,∠O=2∠A :∠0BC=∠0CF=180,∠0=900-∠A 2 ∴.∠OCF+∠EFC=90°-∠A+∠A=90° .∠CHF=180°-（∠OCF+∠EFC)=90° 即：CO⊥EF…5分 D 7/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：连接AO交BC于点I, ,A为BC中点 .AB=AC,AI⊥BC且BI=CI .AB=AC=10,BI=CI=BC=6 .AI=AB2-BI=10-62=8 S-=号8CN=方×12x8=486分 设BF=X,则FC=BC-BF=12-X 由(2)知：∠EFC=∠A 又，∠ECF=∠BCA .△ECF~△BCA, FC_12-x 其相似比为AC=10 BF_X 同理：△BFC一△BAC,其相似比为AB10 …7分 △ADE一△ABC,其相似比为 AE AC S△ECE= 。- 10'SABAC ∴.SAECF=48 5=480 S四边形AGFE=S△ABC-S△ECP-SABFG 8-想x+12-448 8/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 6-24x2-12x+72+48 25 记y=x2-12X+72…8分 易知当x=6时，y有最小值，此时S四边形4GFE有最大值 ∴.当BF=CF=6时，四边形AGEF面积最大 又：△ECF~△BCA EC=CF BC CA' 竖品 ∴BC=9AE=AC-EC=10-0-号 55 同理：AG=AD=兰，此时D,G重合 记△ABC边AC的高为h,作DK⊥AE于点K 则5=号Ach=月×10h=48, 即：h=48 …9分 又由△ADE一△ABC知： DK_AE h AC 4 即：DK、5 48-10 5 DK=14x24 525 在Rt△ADK中，∠ADK=90° 9/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk com 做好卷，就用学易金卷 则AK=VAD2-DK2 525 :CK=AC-AK=10-号×25125 14×7-1152 连接CD,在Rt△CDK中，∠CKD=90° 14×24 则tan∠ACD=Dk=525=14×24_7 CK1152 115224 …10分 125 10/10