专题19 不等式（1）二元不等式（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题19 不等式（1）二元不等式 一、填空题 1．（2025·山东预赛）设实数满足，则的最大值为_____． 2．（2025·广西预赛）若，则的最小值是_____▲_____． 3．（2025·贵州预赛）二元函数的最小值和最大值的和为_____． 4．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 5．（2025·吉林预赛）设，变量满足，且的最小值为，则_____． 6．（2025·浙江预赛）已知实数满足，则的最小值为_____． 7．（2024·四川预赛）已知，若，则的最大值为 ． 8．（2024·广西预赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 9．（2024·福建预赛）对于实数，记为中的最大者，例如：，．若非负实数满足，则的最小值为_____． 10．（2024·上海预赛）若正实数满足，则的最小值是 ． 11．（2023·内蒙古预赛）若，且，则的最大值为_____． 12．（2023·内蒙古预赛），则的最小值为_____． 13．（2023·上海预赛）给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为_____．（注：表示实数中的较小者） 14．（2023·重庆预赛）若实数满足，则的最大值与最小值的和为_____． 15．（2022·重庆预赛）若不等式对任意正实数都成立，则实数的最小值为_____． 16．（2022·广西预赛）设为正整数，若对所有正整数成立，则_____． 17．（2022·四川预赛）已知实数满足，则的取值范围为_____． 二、解答题 18．（2025·江西预赛）已知实数，且满足．求的最大值． 19．（2023·福建预赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 20．（2022·福建预赛）如果对于任意的整数，不等式恒成立，求最大常数． 21．（2022·贵州预赛）正数满足，求证：． 一、填空题 1．（2025·全国联赛B卷）若且，则的最小值为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 不等式（1）二元不等式 一、填空题 1．（2025·山东预赛）设实数满足，则的最大值为_____． 【答案】． 【详解】注意到 则由可知，当时取到最大值． 2．（2025·广西预赛）若，则的最小值是_____▲_____． 【答案】 【详解】由可得． 令，则．方程，即有正实数解．故． 当时．因此，的最小值为． 3．（2025·贵州预赛）二元函数的最小值和最大值的和为_____． 【答案】 【详解】设，则，．由可知：，同理：．注意到：，故有．当或或时，取最大值．而由几何意义可知的最小值为，故最大值和最小值的和为． 4．（2025·北京预赛）若存在实数使得不等式成立，则正实数的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】记，即题目相当于要求存在使得．注意到，无论与1的大小关系如何，，故题目相当于要求，即． 5．（2025·吉林预赛）设，变量满足，且的最小值为，则_____． 【答案】 【详解】由及的最小值为知，故由得， 设． 若，即，则在处取最小值， 因此． 若，即，则在处取最小值， 因此（舍去） 6．（2025·浙江预赛）已知实数满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解法1：当时，则，在区域上考虑目标函数最值 此时； 当时，则，在区域上考虑目标函数最值． 此时时取等号． 所以，的最小值为． 解法2：利用得 当时，（以下略）； 当时，（以下略）． 7．（2024·四川预赛）已知，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，，解得或， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为． 8．（2024·广西预赛）若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】10 【详解】设，． 则，， 所以，所以， 故． 从而的最大值为10． 9．（2024·福建预赛）对于实数，记为中的最大者，例如：，．若非负实数满足，则的最小值为_____． 【答案】36 【详解】设，则，等号成立时所以的最小值为36． 10．（2024·上海预赛）若正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】9 【详解】解析一：， 则，等号成立时． 所以的最小值是9． 解析二：， 则， 等号成立时所以的最小值是9． 11．（2023·内蒙古预赛）若，且，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，等号成立时． 所以的最大值为． 12．（2023·内蒙古预赛），则的最小值为_____． 【答案】 【详解】． 设， 则，取时等号成立． 所以的最小值为． 13．（2023·上海预赛）给定正实数，对任意正实数，记，则的最大值为_____．（注：表示实数中的较小者） 【答案】 【详解】固定，则的最大值为，等号成立时． 所以当时，的最大值为． 14．（2023·重庆预赛）若实数满足，则的最大值与最小值的和为_____． 【答案】3 【详解】设，则 ． 若，此时或； 若，由， 则． 于是的最大值与最小值分别为，其和为3． 15．（2022·重庆预赛）若不等式对任意正实数都成立，则实数的最小值为_____． 【答案】 【详解】由柯西不等式得， 等号成立时．所以实数的最小值为． 16．（2022·广西预赛）设为正整数，若对所有正整数成立，则_____． 【答案】3 【详解】时有，不合题意；下面证明：时，． 时结论成立；假设时结论成立，即． 则时，， 则时结论也成立．从而由归纳法原理，时，； 时，，不合题意；下面证明：且时，． ． 综上，满足题意的． 17．（2022·四川预赛）已知实数满足，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】作出曲线如图所示，其渐近线为， 于是曲线夹在两直线和之间． 而表示曲线上的点(x, y)到直线距离的2倍， 所以的取值范围为． 二、解答题 18．（2025·江西预赛）已知实数，且满足．求的最大值． 【详解】设，则，整理得． 另一方面， 注意到，即时，，故所求最大值为27． 19．（2023·福建预赛）若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【详解】注意到 等号成立时．所以的最大值为． 20．（2022·福建预赛）如果对于任意的整数，不等式恒成立，求最大常数． 【详解】取得． 下证：对一切整数均成立． 由于， 注意到二次函数的对称轴为， 而，，即除了外，对其余整数均成立． 当时，注意到是整数，则 从而证明了对任意整数均成立． 综上，最大常数． 21．（2022·贵州预赛）正数满足，求证：． 【详解】证明： 设， 单调递增，且， 于是单调递减，从而． 综上，不等式成立． 一、填空题 1．（2025·全国联赛B卷）若且，则的最小值为_____． 【答案】． 【详解】由条件并利用基本不等式，可知 当（即）时，取到最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $