专题04 排列组合问题的15种考法（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题04 排列组合问题的15种考法（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊元素（位置）问题优先策略 1 题型二、相邻元素问题捆绑策略 2 题型三、不相邻问题插空策略 3 题型四、定序问题倍缩策略 5 题型五、重排问题求幂策略 6 题型六、环排问题线排策略 8 题型七、多排问题直排策略 9 题型八、混合问题先选后排策略 5 题型九、相同元素问题隔板策略 6 题型十、平均分组问题除法策略 8 题型十一、穷举策略 9 题型十二、正难则反 5 题型十三、构造模型 6 题型十四、化归与转化 8 题型十五、分解与合成 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特殊元素（位置）问题优先策略 1．从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 2．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 3．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有 种． 4．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 5．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种.    题型二、相邻元素问题捆绑策略 6．某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 7．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 8．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有 种． 题型三、不相邻问题插空策略 9．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 11．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有 种． 题型四、定序问题倍缩策略 12．5名男同学6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定女同学也顺序一定，不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 13．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 14．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 题型五、重排问题求幂策略 15．某地有四个信箱，现有三封信需要邮寄出去，所有邮寄方式一共有（    ） A． B． C． D． 16.8名学生争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 种. 17.将6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？ 题型六、环排问题线排策略 18．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 19．圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 ． 题型七、多排问题直排策略 20．5位同学站成两排（前3后2），共有 种不同的排法. 21．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有 种排法.(用数字作答) 题型八、混合问题先选后排策略 22．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 23．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 24．从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 题型九、相同元素问题隔板策略 25．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 26．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 27．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法? 题型十、平均分组问题除法策略 28．将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 29．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 30．现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分法的种数是 ．（用排列数、组合数表示） 题型十一、穷举策略 31．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 32．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 题型十二、正难则反 33．从4名教师与5名学生中任选3名，其中至少要有教师与学生各1名，则不同的选法共有（    ）种． A．40 B．70 C．80 D．35 34．某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 . 35．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种，若至多有2种假货在内，则不同的取法有多少种？ 题型十三、构造模型 36．把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 37．设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（    ） A．32 B．24 C．20 D．36 38．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T步的条数为 .（结果用数字表示） 题型十四、化归与转化 39．一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 40．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 41．对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（    ） A． B．1 C． D．2 42．如图，在某个城市中，M与N两地之间有整齐的道路网，则从M地到N地的距离最近的走法共有 种． 43．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 题型十五、分解与合成 44．如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（    ）种. A．36 B．240 C．120 D．60 45．现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 46．为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有 种分法.（用数字作答） 47．在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为 ． 1．某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰有2门选修课两人均未选修的情况有（   ） A．180种 B．160种 C．120种 D．100种 2．四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（    ） A． B． C． D． 3．如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路总计对数为（    ） A．1860对 B．1750对 C．1850对 D．1760对 4．有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（   ） A．26种 B．32种 C．38种 D．44种 5．现有两堆木箱，灰色有5个，白色有3个，如图所示，工人随机将其一个个地搬上车，不同的搬法有 种. 6．现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上，则不同的放法有 种． 7．有10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，不同的跨法有 种． 8．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 排列组合问题的15种考法（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特殊元素（位置）问题优先策略 1 题型二、相邻元素问题捆绑策略 2 题型三、不相邻问题插空策略 3 题型四、定序问题倍缩策略 5 题型五、重排问题求幂策略 6 题型六、环排问题线排策略 8 题型七、多排问题直排策略 9 题型八、混合问题先选后排策略 5 题型九、相同元素问题隔板策略 6 题型十、平均分组问题除法策略 8 题型十一、穷举策略 9 题型十二、正难则反 5 题型十三、构造模型 6 题型十四、化归与转化 8 题型十五、分解与合成 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特殊元素（位置）问题优先策略 1．从0，1，2，3中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论错误的是（   ） A．三位数共有18个 B．百位数字为1的三位数共有6个 C．十位数字为1的三位数共有6个 D．个位数字为0的三位数共有6个 【答案】C 【解析】选项A，从百位排起，百位有3种选择（1、2、3，因为不能为0），十位有3种选择，个位有2种选择.总数为个，故A正确；选项B，百位固定为1，十位从0、2、3中选（3种选择），个位从剩下2个数字中选（2种选择），共有个，故B正确；选项C，十位固定为1，百位不能为0，且不能为1，所以百位有2种选择（2、3），个位从剩下2个数字（包括0）中选（2种选择），共个，故C 错误；选项D，因为个位数字为0，则百位和十位可以在中任取两个排列，共个.故D正确. 2．有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有 种. 【答案】36 【解析】已知3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有种． 3．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中A专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有 种． 【答案】50 【解析】当1号实验室有1人时，分配方案有种；当1号实验室有2人时，分配方案有种；当1号实验室有3人时，分配方案有种，可得不同的分配方案共有种． 4．在图所示的10块地中，选出6块种植这六个不同品种的蔬菜，每块地种植一种．若必须横向相邻种在一起，与在横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有 种. 【答案】5160 【解析】①当与同行，与也同行时，有种种植方案；与不同行时，有种种植方案；②当与不同行时，有种种植方案.故不同的种植方案有（种）. 5．如图，有三个不同班级的各两名代表要坐在长方形桌子的6个座位（座位序号为）上座谈，要求同一班级的两名代表既不能正对面（例如：一个人坐1号座位，则同班级的另一个人不能坐6号座位）也不能左右相邻就坐，则所有可能坐法为 种.    【答案】96 【解析】假设三个不同班级的各两名代表分别为、、，若号座位只有两个不同班级的代表，则同一班级的在号座位，则号座位需为另一同班级的两名代表，此时号座位为同一班级的两名代表，不符合题意，故号座位必须是3个不同班级的代表，有种方法；则号座位只有种就坐方法，因此所有可能坐法为. 题型二、相邻元素问题捆绑策略 6．某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【解析】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排，所以加工顺序有种. 7．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法，因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法，根据分步计数原理知共有种排法. 8．在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有 种． 【答案】6 【解析】第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有种；第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有种．综上，这样的信号共有6种． 题型三、不相邻问题插空策略 9．某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法. 10．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子．九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种．甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 11．一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有 种． 【答案】60 【解析】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位，包括两端，从5个空位中选出3个空位，对3人进行全排列，即得不同的坐法共有种. 题型四、定序问题倍缩策略 12．5名男同学6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定女同学也顺序一定，不同排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】①5名男同学选出5个座位后的坐法为，剩下的6个座位被6名女学生坐的坐法只有一种，所以排法为.②5名男同学排列坐5个座位后的坐法为，因顺序一定，故排法为，剩下的6个座位被6名女学生坐的坐法只有一种，所以排法为.③6名女学生坐6个座位的坐法，因顺序一定，故排法为，5名男同学排列坐5个座位后的坐法只有一种，所以排法为. 13．用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件． 【答案】210 【解析】若1，3，5，7的顺序不定，有(种)排法，所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的，所以共有(个)七位数符合条件. 14．6个人站成一排，甲、乙、丙三人从左到右的顺序保持一定，有多少种不同的站法？ 【解析】（种）. 题型五、重排问题求幂策略 15．某地有四个信箱，现有三封信需要邮寄出去，所有邮寄方式一共有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】每封信都有钟选择，所以邮寄方式一共有种. 16.8名学生争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 种. 【答案】 【解析】冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，所以有种 17.将6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？ 【解析】每名实习生分配到车间都有7种方法，所以共有种分法. 题型六、环排问题线排策略 18．甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【解析】因为由于环状排列没有首尾之分，将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法，由于个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法.甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法，又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 19．圆排列最早出现在《易经》里．当A，B，C三位同学围成一个圆时，排列ABC与该排列旋转一个或几个位置得到的排列BCA或CAB是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为 ． 【答案】120 【解析】A，B，C三位同学围成一个圆，ABC、BCA或CAB是同一排列，其中每一个圆排列可以拆成任意一位同学为首的直线排列3个．三位同学围成一个圆的排列总数为，由此可得六位同学围成一个圆的排列总数为. 题型七、多排问题直排策略 20．5位同学站成两排（前3后2），共有 种不同的排法. 【答案】120 【解析】可看作将排成的两排“拉直”，实际上就是将5人排成一排的问题，故共有（种）不同的排法. 21．甲、乙两个家庭共10人周末到某景区游玩，他们在景区门口站成两排拍照，每排5人且从左到右按从高到矮的顺序排列，则有 种排法.(用数字作答) 【答案】252 【解析】由题意，10人选5人为一排，另5人为另一排，且每排排法只有一种，所以共有种. 题型八、混合问题先选后排策略 22．现安排5名师范生到某高中（三年制）学校实习，每个年级至少安排1名，每名师范生都安排了实习，且只安排到一个年级实习，则所有的安排种数为（    ） A．138 B．240 C．300 D．150 【答案】D 【解析】由题意，5名师范生可以分成或三组，分别分配给一个年级，故有种安排方法. 23．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，分2步进行：①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法，②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况，则有种分配方案. 24．从单词“”中选取5个不同的字母排成一排，含有“”（其中“”相连且顺序不变）的不同排列共有 种．（用数字作答） 【答案】480 【解析】要选取5个字母，首先从其它6个字母中选3个有种结果，再将选出的3个字母与视为一个整体的“”进行全排列共有种. 题型九、相同元素问题隔板策略 25．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有（   ）种不同分配方案． A．9 B．36 C．84 D．120 【答案】C 【解析】我们可以把10个名额排成一排，会产生9个空隙，要分成7组，需要插入6个隔板，不同的隔板位置对应不同的分配方案，所以分配方案数就是从9个空隙中选6个的组合数，即. 26．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【解析】已知方程，且，则，其中均为自然数.将其转化为， 其中为正整数.运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组，第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种，故方程的正整数解的个数为28.即方程的自然数解的个数为28. 27．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法? 【解析】因为小球是不加区别的，我们可以先在2号盒子中放入一个球，3号盒子中放入两个球， 再把剩下17个球放入三个盒子中，每个盒子至少一个. 由隔板法共有种不同的方法. 题型十、平均分组问题除法策略 28．将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、，所以不同的分组方法种数为. 29．从5名学生中选择4人对A，B两种不同算法的加密文件进行破译，每人选择一种文件，每个文件2人破译，则不同的人员安排共有（ ） A．40种 B．48种 C．30种 D．72种 【答案】C 【解析】从5名学生中选择4人，共有种，将4人分成两组，共有种，再将2组进行全排列，对应A，B两种文件，共有种，则不同的人员安排共有种． 30．现有10本不同的书，分给甲、乙、丙等六人，其中一人得3本、两人得2本、三人得1本，则不同分法的种数是 ．（用排列数、组合数表示） 【答案】 【解析】先将10本书分成有顺序的6堆，其中第1堆为3本书，第2、3堆为2本书，第4、5、6堆为本书，则有种情况，然后将甲、乙、丙等六人也进行排序，有种情况，而得2本书的两人和得1本书的三人并无顺序差异，因此要除以，再除以消序．综上所述，不同分法的种数是． 题型十一、穷举策略 31．如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件，用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法，分情况讨论5，6，7号的涂色方法：①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法，5，6，7号有种涂色方法；②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法，5，6，7号有种涂色方法；③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法；当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法，5，6，7号有种涂色方法；④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法，5，6，7号有种涂色方法；综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 32．设有编号为1，2，3，4的四个球和编号为1，2，3，4的四个盒子，现将这四个球放入这四个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为 ． 【答案】8 【解析】先确定恰好编号相同的那个球和盒子，从个球中选个，有种选法，假设选中号球放入号盒子，此时剩下号球和号盒子，要求这个球的编号与盒子编号均不相同，即求个元素的错位排列数，个元素的错位排列（记为）有种情况：和. 因此，总投放方法种数为. 题型十二、正难则反 33．从4名教师与5名学生中任选3名，其中至少要有教师与学生各1名，则不同的选法共有（    ）种． A．40 B．70 C．80 D．35 【答案】B 【解析】若参加的都是教师，有种；若参加的都是学生，有种．因此满足条件的选法共有种. 34．某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 . 【答案】52 【解析】从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，总的选法种数为种， 1位女生都不入选，即4位男生中3位男生入选的选法种数为种，因此至少1位女生入选的选法种数为种. 35．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种，若至多有2种假货在内，则不同的取法有多少种？ 【解析】选取3种的总数为， 因此共有选取方式（种）. ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种. 题型十三、构造模型 36．把数字1，2，3，…，9分别填入如图的9个圈内，要求和的每条边上三个圈内数之和等于18，共有n种不同填法，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解：，设的顶点和X、的顶点和Y、的中点和Z，根据题意列三元一次方程得，，联立解得：，，，中仅1、2、3和为6，故中点为1、2、3；，中仅7、8、9和为24，故顶点为7、8、9；，剩余4、5、6和为15，故顶点为4、5、顶点、5、可全排列，共种；顶点及中点由顶点唯一确定如、时，，无需额外排列．综上所述，共有6种不同填法，只有选项C正确，符合题意． 37．设是3，4，5，6，7的一个排列.若对一切恒成立，则称该排列为“起伏排列”.则该起伏排列个数有（    ） A．32 B．24 C．20 D．36 【答案】A 【解析】对一切恒成立，即，或， 对于第一类：3必须居下面，7必须居上面，分别取6，7时，分别取3，4，5，有种排列方法，分别取5，7时，若，则，此时与3，4可全排列，若，则，此时与3，4可全排列，共有种排列方法，综上，第一类共有种排列方法，同理第二类有16种排列方法，故共有32种起伏排列. 38．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点叫做整点，从整点到整点或的有向线段叫做一个T步，从整点A到整点B的一条T路是指由若干个T步组成的起点为A、终点为B的有向折线.则整点到整点的T步的条数为 .（结果用数字表示） 【答案】15 【解析】由题意，从整点到整点，记为上步，从整点到整点，记为下步， 不管上步还是下步，在一个T步上横坐标都增加1，而上步纵坐标增加1，下步纵坐标减少1，因此整点到整点的T步一共有6个，且上步有4个，下步有2个，因此整点到整点的T路的条数为. 题型十四、化归与转化 39．一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【解析】六个互不相同的数的全排列共有个，为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 40．将数字1，2，3，4，5，6填入如图的6个方格中，每个方格填一个数字，每个方格中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字之和为偶数，则不同的填法共有（    ）    A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【答案】C 【解析】由每行中任意两个相邻数字之和为偶数，即一个数为奇数，则另一个数需为奇数，或一个数为偶数，则另一个数需为偶数，因为共有6个数字，其中3个奇数、3个偶数，所以分两种情况：①第一行为奇数，第二行为偶数，②第一行为偶数，第二行为奇数，所以共有（种）不同的填法． 41．对于正整数n，符号…，例如：，，如果，那么（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由!……，5的倍数有5，10，15，20共4个，!中，末尾共有4个0， 故；!中的因数有9，!能被9整除，各位数字之和也能被9整除，应为9的倍数，即， ， 42．如图，在某个城市中，M与N两地之间有整齐的道路网，则从M地到N地的距离最近的走法共有 种． 【答案】15 【解析】从M地到N地的最近走法为横向的道路走且仅走四段，纵向的道路走且仅走两段，于是，它就等价于四个“横”字，两个“纵”字排成一列的问题．由于是相同元素的排列，于是等价于从六个位置中任取四个填“横”，剩余两个填“纵”，共有种方法． 43．如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有 种． 【答案】448 【解析】因为，所以或．当时，前8次向左跳跃6次，向右跳跃2次，后6次向右跳跃6次，所以有（种）跳跃方法；当时，前8次向右跳跃6次，向左跳跃2次，后6次向左跳跃4次，向右跳跃2次，所以有（种）跳跃方法．综上所述，满足的跳跃方法有（种）． 题型十五、分解与合成 44．如图所示，六个不同的自然数排成三角形，且每一行中最小的数均大于下一行中最小的数，则这样的排列共有（    ）种. A．36 B．240 C．120 D．60 【答案】B 【解析】设最上面一行为第一行，由题意可知最小的数一定在第三行，则这一行的另外两个数从剩下的五个数中选，有种选法，然后全排列，故有种排法；第二行最小的数应是剩下的三个数中最小的数，另一个数从其余两个数中选，然后全排列，此时共有种排法，则剩余的一个数排在第一行，则这样的排列共有种. 45．现有五种不同的颜料可用，从这五种染料中选取染料给四棱锥的五个顶点染色，要求同一条棱上的两个顶点不同色，问满足条件的染色方案有 种. 【答案】420 【解析】五个顶点涂五种不同的颜色，有（种）涂法；五个顶点涂四种不同的颜色，其中同色不同色或不同色同色，有（种）涂法；五种顶点涂三种不同的颜色，其中同色且同色，有（种）涂法.综上，共有120＋240＋60=420（种）涂色方法. 46．为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有 种分法.（用数字作答） 【答案】21 【解析】第一种情况，当2个相同礼盒分给同一人时：第一步，分配2个相同礼盒，即将这2个相同礼盒分给三个同学中的一个，共种分配方法；第二步，分配剩下的2个不同礼盒，即将剩下的2个不同礼盒，分给剩下的2个同学，共有种，所以一共有种分法；第二种情况，当2个相同礼盒不分给同一人时：记4个礼盒分别为，当或在一起时，共有种分配方法；当在一起时，即将分给三个人中任何一个，剩下的2个人，每人分一个，共有种分配方法；综上，共有种分配方法. 47．在正方体的8个顶点和6个面的中心（共14个点）中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为 ． 【答案】 【解析】从个点中取4个点，共有种取法，四点共面分下面四种情况：①正方体的个面：每个面包含个顶点和个中心点，此时共有种；②个中间平面：每个平面包含个点，此时共有种；③个对角面：每个对角面包含个顶点和个中心点，此时共有种；④8个斜切面（三条面对角线形成的）：每个面包含3个顶点和3个中心点，此时共有种；所以四个点不共面共有种，所以所求概率. 1．某学校为促进学生全面发展，开设“雅趣象棋”“舞动社团”“国粹武术”“太极健身”“足球天下”“形象礼仪”6门兴趣课供学生进行选修，已知甲和乙各自选修了3门课，则恰有2门选修课两人均未选修的情况有（   ） A．180种 B．160种 C．120种 D．100种 【答案】A 【解析】有2门选修课两人均未选修，即两人均在剩余的4门兴趣课中选修了3门课，且这4门课均被选上，这意味着两人有2门公共课，各有1门独占课，所以不同的选法有种． 2．四只鸽子飞回三个不同的笼子，则至少有一个空笼子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】四只鸽子飞回三个不同的笼子的总方法数为，其中“至少有一个空笼子”包含两种情况：① 恰有两个空笼子（即4只鸽子在同一个笼子），有种；② 恰有一个空笼子（即4只鸽子在两个笼子里），有种，故所求概率为. 3．如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路总计对数为（    ） A．1860对 B．1750对 C．1850对 D．1760对 【答案】B 【解析】首先计算总的路径的对数：甲从到，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从到共有种走法，乙从到，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从到共有种走法， 根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对.再计算有相交路径的对数：设与的交点为，甲从到再到，乙从到再到，可以理解为过点后，甲乙交换线路分别到达目的地，这样就等价于甲从到，乙从到的路径对数：甲从到，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从到共有种走法，乙从到，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从到共有种走法，所以相交路径共有对，因此不同的孤立路一共有对． 4．有编号为，，的三个盒子，将4个不同的小球全部放入盒子.若每个盒子中所放球的个数不大于其编号，则不同的放法共有（   ） A．26种 B．32种 C．38种 D．44种 【答案】C 【解析】三个盒子放球的个数如下：1号盒子：，2号盒子：，3号盒子：，4个不同的小球全部放入盒子，不同的组合放法如下；，即1个盒子放入1个球，另一个盒子放入3个球， 显然3个球只能放入3号盒子，有种情况，，即2个盒子分别放入2个球，显然只能放入2号和3号盒子，有种情况，，即放入3个盒子中，其中1个盒子放入2个球，另外2个盒子分别放入1个球，放入2个球的盒子从2号和3号盒子中选，剩余2个球和2个盒子进行全排列，有种情况，综上，共有种情况. 5．现有两堆木箱，灰色有5个，白色有3个，如图所示，工人随机将其一个个地搬上车，不同的搬法有 种. 【答案】56 【解析】由题可知完成搬运任务共需搬运8次，只需在8次中选择3次搬运第二列的3个白色箱子，其余5次搬运第一列的5个灰色箱子即可，故共有（种）方法. 6．现将2本相同的数学书、3本相同的物理书、1本化学书摆放成一排放在一个单层的书架上，则不同的放法有 种． 【答案】 【解析】将6本书全排列有种情况，因2本数学书，3本物理书相同，则每种情况重复了次，则满足题意的放法有：. 7．有10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，不同的跨法有 种． 【答案】35 【解析】由题意知，10级楼梯，要求7步跨完，且每步最多跨2级，设跨1级和跨2级的步数分别为，则可得，解得，有4步跨1级、3步跨2级，这是两类不同元素的组合，所以只要在7步中任意选3步跨2级即可，故不同的跨法为（种）. 8．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？ 【解析】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种， 则唱歌节目排在两头，有种排法； （2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体， 3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体， 把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空， 将2个小品节目插入这3个空中，排法有种， 则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻， 有种； （3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $