专题03 二项式定理的7大常见题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

专题03 二项式定理的7大常见题型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特定项或特定项系数问题 1 题型二、多项系数和问题 2 题型三、系数的最值问题 3 题型四、三项式及乘积展开问题 5 题型五、整除与近似计算问题 6 题型六、系数与参数关系 8 题型七、二项展开式的应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特定项或特定项系数问题 1．的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 2．已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 4．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 5．的展开式中，常数项为 （用数字作答）. 6．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值 ． 题型二、多项系数和问题 7．展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 8．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 9．已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 10．已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 11．已知，记，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．（2026湖北十一校联考）若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（    ） A． B．，使得 C． D．对任意均有 13．若，则 （用数字作答） 14．已知，则 ． 15．若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 题型三、系数的最值问题 16．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 17．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 18．（2026天津实验中学一调）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 题型四、三项式及乘积展开问题 19．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 20．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 21．设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 22．的展开式中的系数为 ． 23．（2025浙江丽水一模）展开式中的常数项是 ． 24．（2026河南郑州一中期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是 ． 题型五、整除与近似计算问题 25．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 26．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 27．被9除的余数是 . 28．已知，求证：能被整除． 题型六、系数与参数关系 29．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 30．若的展开式中第4项为160，则 . 31．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 题型七、二项展开式的应用 32．展开式中系数为无理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 33．若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 34．求证：（，且）． 1．（2024全国甲卷）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 2．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 3．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025陕西西安二模）的展开式中的系数是240，则实数的值为 . 5．的展开式中含项的系数是 ． 6．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 7．已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理的7大常见题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、特定项或特定项系数问题 1 题型二、多项系数和问题 2 题型三、系数的最值问题 3 题型四、三项式及乘积展开问题 5 题型五、整除与近似计算问题 6 题型六、系数与参数关系 8 题型七、二项展开式的应用 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、特定项或特定项系数问题 1．的展开式中的系数为（    ） A．8 B．16 C．24 D．48 【答案】C 【解析】由二项展开式的通项公式：，令，得.即展开式中的系数为24. 2．已知，则的值是（   ） A．20 B．80 C．160 D．240 【答案】C 【解析】展开式的通项为，又，所以，故. 3．已知，则的值为（　　） A．70 B．84 C．56 D．126 【答案】B 【解析】四项中不存在，对于其余部分展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为，展开式中的系数为， 4．若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【解析】展开式的通项，展开式的通项.因为的展开式中存在含的项，所以或，即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意，当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意；当时，，，，符合题意. 5．的展开式中，常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【解析】由题可得二项式展开式通项公式为，所以当时得展开式常数项为. 6．在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值 ． 【答案】（只需满足，） 【解析】的展开式通项为，令，可得，因为，，由，故，从而可知. 题型二、多项系数和问题 7．展开式的各项系数之和为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】令，得，即展开式的各项系数之和为. 8．若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】D 【解析】因为的展开式的二项式系数和为32，即，解得，令可得的展开式中各项系数和为. 9．已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【解析】因为的展开式通项为，所以展开式中各项的系数等于相应的二项式系数.由题可知，，由组合数性质得.所以奇数项的二项式系数之和为. 10．已知的展开式中各项的系数之和为0，则（   ） A． B．二项式系数的和为1314 C．展开式中每一项的指数都是偶数 D．展开式中不存在常数项 【答案】AC 【解析】对于，令，得，解得，故A正确；二项式系数的和为，故B错误；展开式的通项为，因为1314为偶数，所以展开式中每一项的指数都是偶数，故C正确；令，得，所以展开式中存在常数项，故D错误. 11．已知，记，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，一方面注意到，另一方面注意到，所以． 12．（2026湖北十一校联考）若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（    ） A． B．，使得 C． D．对任意均有 【答案】ACD 【解析】令，可得所有项的系数之和，求所有项的系数绝对值之和等价于求的所有项系数和，令，可得，所以A正确， 对于B：二项式系数之和为，因为，所以，故B错误；对于C：，因为，且在上递增， 所以的最小值为，所以，故C正确；对于D：在上递减，所以，即，故D正确. 13．若，则 （用数字作答） 【答案】 【解析】令，则，令，则，所以. 14．已知，则 ． 【答案】 【解析】令，可得，令，可得，所以. 15．若的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为256，且常数项为a，则 . 【答案】681 【解析】的展开式的通项是. 的展开式中所有项的二项式系数之和为， 所以所有奇数项的二项式系数之和为. 由题可知：，解得：. 当时，.所以常数项为：，即. 所以. 故答案为：681. 题型三、系数的最值问题 16．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【解析】展开式的通项为，，即，解得，故展开式中共有8项，所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 17．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】在的展开式中，第一项的系数为：；第二项的系数为：； 第三项的系数为：；第四项的系数为：；第五项的系数为：； 第六项的系数为：.所以第五项的系数最大，为. 18．（2026天津实验中学一调）在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 . 【答案】7 【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共有9项，即，所以展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为. 题型四、三项式及乘积展开问题 19．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 【答案】B 【解析】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，所以的系数为. 20．的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【解析】展开式的通项为，则含的项为，其中的展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为. 21．设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 【答案】CD 【解析】的展开式的通项为，对于A：常数项为，故A错误；对于B：第4项系数即的系数，，故的系数，故B错误； 对于C：令，得；令，得，将两式相减，得，故，故C正确；对于D：令，得，故D正确. 22．的展开式中的系数为 ． 【答案】420 【解析】依题意，所求系数为． 23．（2025浙江丽水一模）展开式中的常数项是 ． 【答案】 【解析】由二项式的展开式的通项公式为，所以，所以当时有常数项，当时有常数项，所以所求展开式的常数项为. 24．（2026河南郑州一中期中）在的展开式中按的升幂排列的第3项是 ． 【答案】 【解析】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项，又的二项展开式的通项公式为，的二项展开式的通项公式为，故所求为， 题型五、整除与近似计算问题 25．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【解析】由题意得，由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可，所以我们得到，则其与1.22更接近，故C正确. 26．若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，令，得，两式相减得，所以．因为 能被8整除， 被8整除的余数为3，所以被8整除的余数为3． 27．被9除的余数是 . 【答案】7 【解析】根据二项式定理，对进行变形，可得，即.因为，所以. 根据二项式定理展开： ，则.除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除，所以除以9的余数就是.即被9除的余数是. 28．已知，求证：能被整除． 【解析】令，则， 显然上式能被整除，即能被整除，得证. 题型六、系数与参数关系 29．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则 ． 【答案】 【解析】由二项式定理可知，的系数为，的系数为，由题可得，即，所以，而且，解得． 30．若的展开式中第4项为160，则 . 【答案】 【解析】的展开式中第4项为，所以，解得. 31．已知的二项展开式中常数项为1，则实数的值为 . 【答案】 【解析】， 解得，则，即，因此实数的值为. 题型七、二项展开式的应用 32．展开式中系数为无理数的项共有（    ） A．2项 B．3项 C．4项 D．5项 【答案】D 【解析】因为展开式的通项公式为，当时，展开式中系数为无理数项，共5项. 33．若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ，，，即． 34．求证：（，且）． 【解析】由 ． 注意到： ①； ②，展开式中至少有三项； ③． 故（，且）． 1．（2024全国甲卷）二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【解析】由题设，二项式展开式通项为，，显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得，综上，系数最大项对应，即第项. 2．若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（   ） A． B．各项的二项式系数和为128 C．二项式系数最大的项只有1项 D．第5项系数等于 【答案】B 【解析】由题意，解得，故A错误；二项展开式的各项的二项式系数和为，故B正确；的二项展开式共有8项，其二项式系数最大的项有两项，分别为第四项和第五项，故C错误；对于D，二项展开式的第5项为，其系数为35，故D错误. 3．若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为既能被整除又能被整除，故能被整除，因为 ，且能被整除，故能被整除，设，可得，故的最小值为. 4．（2025陕西西安二模）的展开式中的系数是240，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为，解得. 5．的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项公式为，所以的展开式中含的项为，因此的展开式中含项的系数为. 6．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 【答案】240或3840 【解析】由的展开式的二项式系数和为64可得，，解得，又的展开式各项系数和为729，令，得，解得或.的展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为，当时，，当时，. 7．已知二项式展开式. (1)和的值； (2)求的值. 【解析】（1），. （2）令，得， 令，得， . 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $