精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二上学期模拟考试（二）数学试卷

杭州学军中学2025学年第一学期高二上模拟考（二） 数学试卷 命题人：张希特 审题人：黄黎蓉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2] 2. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 3. 如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则所有的正方形面积和将趋近于（ ） A. B. 8 C. D. 以上A，B，C都不正确 4. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（ ） A. 8，7，6，5，4，3，2，1 B. 1，2，3，4，5，6，7，8 C. 2，4，6，8，1，3，5，7 D. 1，3，5，7，2，4，6，8 5. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ） A. 当时，以AB为直径的圆与相交 B. 当时，以AB为直径的圆经过原点O C. 当时，点M到的距离的最小值为2 D. 当时，点M到的距离无最小值 10. 已知数列中，，.记， 则正确的结论是（    ） A. B. C. D. 11. 在直角坐标系中，是曲线上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 任意，直线与曲线C都没有公共点 C. O为坐标原点， D. 曲线的离心率 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则__________. 13. 已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则________ 14. 已知点是椭圆上异于左右顶点的一点，设，则的取值范围为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. （1）求，； （2）猜测的值（不要求证明）； （3）令，求数列的前n项和． 16. 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，. （1）证明：直线与的交点在椭圆：上； （2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断、、是否成等比数列，请说明理由. 17. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积． 18. 如图，在中，，，，，将点A沿BD折起到点P的位置，点E为PC的中点，点G为的重心． （1）求证：EG不平行于平面PBD； （2）若，平面平面BCD，求二面角B-PC-D的正弦值． 19. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第一学期高二上模拟考（二） 数学试卷 命题人：张希特 审题人：黄黎蓉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. (0，2] B. (0，2) C. (1，2) D. (1，2] 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的交集运算的定义求. 【详解】不等式的解集为， 不等式的解集为， 故，， 所以， 故选：C. 2. 已知点满足，则的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故选：C. 3. 如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.则所有的正方形面积和将趋近于（ ） A. B. 8 C. D. 以上A，B，C都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，将各正方形面积依次排成一列可得一等比数列，再利用等比数列前项和公式计算判断即得. 【详解】依题意，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 将各正方形面积从大到小依次排成一列得等比数列，首项，公比， 其前项和，当趋近于正无穷大时，趋近于0，趋近于8， 所以所有的正方形面积和将趋近于8. 故选：B 4. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（ ） A. 8，7，6，5，4，3，2，1 B. 1，2，3，4，5，6，7，8 C. 2，4，6，8，1，3，5，7 D. 1，3，5，7，2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定操作，依次写出每次“洗牌”后的新数列即可. 【详解】数列经过一次“洗牌”变为， 再经过一次“洗牌”变为，第三次“洗牌”后变为， 所以所得新数列是. 故选：A 5. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出的值，从而可得结果. 【详解】平行六面体中， 底面是边长为1的正方形，， ， ， 线段的长为，故选A. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 6. 已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，且公差均为1. 若数列为单调递增的数列，则； 所以“为单调递增的数列”是“”的充分条件， 若，要证明数列单调递增， 只需证明对任意恒成立， 当为奇数时，设， ，， 当为偶数时，设， ，， 综上，恒成立，故数列是单调递增数列， “为单调递增的数列”是“”的充要条件． 故选：C． 7. 已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，则由题意可求得的范围，从而可得，而的最小值是圆心到直线的距离，然后列方程可求出实数m的值 【详解】圆的方程可化为， 设，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 而的最小值是圆心到直线的距离， 所以， 又，所以． 故选：B． 8. 已知面积为1，边上的中线为，边上的中线为，且，则边的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，由三角形面积公式得到，再由余弦定理得到，令，得到，再利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设，易知为的重心， 又，结合重心性质可得：， 同时， 设，， 则， 则， 所以， 由余弦定理可得：， 令，整理得到， 又，其中，得到， 也即，当且仅当时取得等号，又，则， 所以， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ） A. 当时，以AB为直径的圆与相交 B. 当时，以AB为直径的圆经过原点O C. 当时，点M到的距离的最小值为2 D. 当时，点M到的距离无最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及．当时，由可判断A；当时，由可判断B；当时，得的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当时，得的关系式，代入表达式，利用对勾函数的性质可判断D． 【详解】抛物线，准线方程是， 直线代入，可得，， 设，则， ， ， 设，则， 点到准线的距离， ， 当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误； 当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确； 当时，即，得， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； 当时，即，得， 所以，令， 则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增， 故当时，取最小值，故D错误． 故选：BC． 10. 已知数列中，，.记， 则正确的结论是（    ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据配方判断A；利用作差法可判断B；根据、求出，结合可求出的范围判断CD. 【详解】因为，所以A正确； 由题意得，， 若存在，则，得或（舍），则与矛盾， 故，故，即，故B正确； 因为，所以， 则，故， 所以 ， 因为，所以， 所以， 故， 所以， 因为，，所以，，故， 所以，故，故C正确，D错误. 故选：ABC 11. 在直角坐标系中，是曲线上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于原点对称 B. 任意，直线与曲线C都没有公共点 C. O为坐标原点， D. 曲线的离心率 【答案】AB 【解析】 【分析】A若点在曲线上，判断点是否在曲线上；B联立方程组求解；C利用消元法结合基本不等式即可；D找出其渐近线，根据渐近线的夹角和的关系可求. 【详解】若点在曲线上，则点也在曲线上， 故曲线C关于原点对称，故A正确； 联立，得， 因为，则，故方程无解，故B正确； 因为是曲线上任意一点，所以， 若，则方程无解，则，所以， 故， 等号成立时， 又，故C错误； 因为，所以，可知其渐近线为，， 如图，设两条渐近线的角平分线为，则双曲线的实轴和虚轴分别落在直线上， 设和轴的夹角为，与轴的夹角为，和轴的夹角为， 则，，，则， 则，即， 得（负值舍去），即， 故双曲线的离心率为，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知锐角满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，为锐角， 则， 所以， 则. 故答案为：. 13. 已知圆，过点的直线l交圆C于A，B两点，点P在圆C上，若，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算可得，再根据圆的性质可得即可求解. 【详解】 易知圆心，半径，取中点D，则， 因为， 所以， 所以，则， 又， 所以即， 故. 故答案为:. 14. 已知点是椭圆上异于左右顶点的一点，设，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】设，根据条件及椭圆的定义得，，在中，利用余弦定理得，即可求解. 【详解】因为椭圆方程为，则，设，则， 又点是椭圆上异于左右顶点的一点，则， 在中，由余弦定理知， ，， 所以， 因为，则，所以，即， 所以的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 欧拉函数 (n∈)的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数.例如：，，，，两个正整数互质：除了 1 以外没有公因数，如：2 和3，2 的 因 数 1 和2，3 的 因 数 1 和3，所以 2和 3 互质；5 和7也是互质的. （1）求，； （2）猜测的值（不要求证明）； （3）令，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义，采用枚举法即可求解； （2）根据任意相邻的三个正整数均有两个数与互为质数可求出； （3）先求得的通项公式，根据通项公式的特征，采用错位相减法即可求出其前n项和. 【小问1详解】 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则， 不超过，且与其互质的数即为中排除掉剩下的正整数，则. 【小问2详解】 表示相邻的三个正整数，其中与互质的为与两个， 故分别取可得中与互质的正整数个数为， 所以. 【小问3详解】 由以上可得，， 设数列的前n项和为， ， ， 两式相减得： ， 则. 16. 如图，矩形中，，.、、、分别是矩形四条边的中点，设，. （1）证明：直线与的交点在椭圆：上； （2）已知为过椭圆的右焦点的弦，直线与椭圆的另一交点为，若，试判断、、是否成等比数列，请说明理由. 【答案】（1） 设，依题意，，，，， 则直线的方程为，① 直线的方程为，② ①×②得：即 故直线与的交点M在椭圆上； （2）、、成等比数列，理由如下： 依题意，直线的斜率均不为零，故设直线PO的方程为， 直线MO的方程为 由得： 由得 即成等比数列. 【解析】 【分析】（1）设，分别表示出直线的方程和直线的方程，两式相乘化简即可得出答案； （2）设直线的方程为，直线MO的方程为分别与椭圆的方程联立由韦达定理求出，可证得即可判断、、成等比数列. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为． （1）求的值； （2）求证：数列是等差数列，并求； （3）求的面积． 【答案】（1）1 （2）证明见解析，， （3）16 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的概念，直接求出参数值即可； （2）根据题干中点的构造方法，以及抛物线方程，列出方程组，求出和之间的关系，根据等差数列定义，直接写出通项公式，进而根据抛物线方程求出； （3）根据（2）的结论，写出点的坐标，根据几何图像的性质，计算梯形面积，进而求出三角形面积即可. 【小问1详解】 由题意可得，化简得，解得. 【小问2详解】 如图所示，，即， 设，，， 由抛物线方程，可得，作差可得， 化简得， 由，可得，化简得， 则，可知数列是首项为，公差为的等差数列， 则，则. 【小问3详解】 如图所示，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于，过作垂直于轴于， 由（2）可知， 则， 则， ， ， 可知， 即. 18. 如图，在中，，，，，将点A沿BD折起到点P的位置，点E为PC的中点，点G为的重心． （1）求证：EG不平行于平面PBD； （2）若，平面平面BCD，求二面角B-PC-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，则点F为BC的中点，结合点E为PC的中点，连接EF可证明，进而推导平面PBD.再假设平面，可得平面EFG平面PBD，再根据面面平行的性质推导假设不成立即可； （2）由已知可得，进而根据三角形中的关系可得即可得，再建立合适的空间直角坐标系求解二面角B-PC-D的正弦值即可. 【小问1详解】 如图，连接DG并延长，交BC于点F，则点F为BC的中点， 连接EF，∵点E为PC的中点，∴， 又平面PBD，平面PBD，∴平面PBD．（提示：线面平行的判定定理） 假设平面PBD， ∵，∴平面平面PBD， 又平面平面，平面平面， ∴，（提示：面面平行的性质定理） 与矛盾，故假设不成立， ∴EG不平行于平面PBD． 【小问2详解】 第一步：找到图形中的垂直关系 在中，，，∴由余弦定理可得， 当时，， 又，，∴在中，由余弦定理得， ∴，故， 又，∴，即． 第二步：建立空间直角坐标系，并求相关平面的法向量 ∵平面平面BCD， ∴以B为坐标原点，BC，BD所在直线分别为x，y轴，在平面PBD中过点B作平面BCD的垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，． 设平面PBC的法向量为， 则即 不妨取． 设平面PDC的法向量为， 则即 不妨取． 第三步：求二面角的正弦值 设二面角B-PC-D的平面角为， 则， ∴，（二面角的取值范围是） 故二面角B-PC-D的正弦值为． 【点睛】解决翻折问题的关键是确定翻折前后各量之间的关系，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：①与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不变；②与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不变． 19. 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点. （1）求双曲线的方程； （2）设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，. ①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由； ②设，，，若，（），求的面积. 【答案】（1） （2）①定值，② 【解析】 【分析】（1）设出双曲线方程，结合渐近线方程及虚轴长求解即可. （2）①设直线的方程，联立其与双曲线方程，结合韦达定理可得，代入中计算即可；②设直线的斜率为可得，结合可得，进而可得，再结合可得，从而求得直线的方程，联立直线的方程与双曲线方程可求得点的纵坐标，进而可求得的面积. 【小问1详解】 由题意可设双曲线：（，）， 则解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 如图所示， ①为定值.理由如下： 由题意知，， ， 设，，直线的方程为， 由消元得， 则，，且， 所以， 所以， 故为定值. ②由①知，，设直线的斜率为，则， 又，所以， 所以. 又，，所以， 由可得，即， 又，所以（舍），. 所以直线的方程为. 由可得：，即点的纵坐标为， 所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的方法： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $