精品解析：河南省周口市郸城县2025-2026学年上学期第三次学情检测八年级数学试题

2025-2026学年第一学期学情诊测（三）（LS）八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个角的补角大于这个角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 等腰三角形两底角之和一定大于顶角 D. 同角的余角相等 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. B. C. 、、 D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 算术平方根为本身的数是 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的立方根为 6. 用直尺和圆规作已知角平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（ ） A. 146 B. 76 C. 84 D. 60 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，，和，，分别在的两边上，且，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 如图，，于，于，与交于点，则：①；②；③点在的平分线上，以上结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ① 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 4的平方根是_____． 12. 如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为______． 13. 已知，，则_____． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长为_____． 15. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求证：BC=DC． 18. 如图：已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（尺规作图，不写作法，保留痕迹） 19. 化简求值：，其中，． 20. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 21. 如图,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,AO平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:CO平分∠ACD. 22. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在角平分线上，并说明由． 23. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）求证：EF2+BF2=2AC2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学情诊测（三）（LS）八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题3分，共30分） 1. 下列数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根．无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B．是无理数，本选项符合题意； C．是分数，属于有理数，本选项不符合题意； D．是整数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个角的补角大于这个角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 等腰三角形两底角之和一定大于顶角 D. 同角的余角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了补角，余角，平行线的判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识点判断各选项的正确性是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断每个选项的正确性，即可求解． 【详解】解：A、当角为钝角时，补角为锐角，小于这个角，故选项A错误，不符合题目要求， B、同旁内角互补时两直线平行，而非相等，故选项B错误，不符合题目要求， C、当等腰三角形顶角为时，两底角之和为小于顶角，故选项C错误，不符合题目要求， D、同角的余角相等，这是余角的基本性质，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的乘方、单项式乘法、整式加法和同底数幂除法. 需根据运算法则逐一验证． 【详解】解：A、，故此选项错误不符合题意； B、，故此选项错误不符合题意； C、与为加法，不能合并，故此选项错误不符合题意； D、，故此选项正确符合题意． 故选：D． 4. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. C. 、、 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 根据勾股定理的逆定理，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，结合四个选项所给边长，逐一验证所给数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方即可得到答案． 【详解】解：A、由，可知不能作为直角三角形的三边长，选项不符合题意； B、由，可知不能作为直角三角形的三边长，选项不符合题意； C、由，可知、、能作为直角三角形的三边长，选项符合题意； D、由，可知不能作为直角三角形三边长，选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 算术平方根为本身的数是 B. 的算术平方根是 C. 的平方根是 D. 的立方根为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的概念，解题的关键是明确负数无平方根、立方根的唯一性及算术平方根的非负性．根据平方根、立方根、算术平方根的定义，依次分析各选项的正误． 【详解】解：A、和的算术平方根都是本身，故此选项错误不符合题意； B、的算术平方根是，故此选项正确符合题意； C、，的平方根是，不是，故此选项错误不符合题意； D、，的立方根是，不是，故此选项错误不符合题意． 故选：B． 6. 用直尺和圆规作已知角平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 根据尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 由尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，可知，， ， ， ， 即的依据是， 故选：A． 7. 如图，阴影部分为正方形，，，则四边形的面积为（ ） A 146 B. 76 C. 84 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识，熟记正方形性质、勾股定理及梯形面积公式等知识是解决问题的关键． 先由正方形性质得到，，在中，由勾股定理求出正方形边长，最后由梯形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 四边形的面积为， 故选：D． 8. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据题目特点选择合适的方法是解题的关键．选择合适因式分解方法分解后，即可进行判断． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，是整式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，，和，，分别在的两边上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由AB=BC=CD=DE=EF，根据等腰三角形的性质，即可得∠ACB=∠A，∠CDB=∠CBD，∠CED=∠DCE，∠EFD=∠EDF，又由三角形外角的性质与∠A=18°，即可求得∠GEF的度数． 【详解】解：∵AB=BC， ∴∠ACB=∠A=18°， ∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°， ∵BC=CD， ∴∠CDB=∠CBD=36°， ∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°， ∵CD=DE， ∴∠CED=∠DCE=54°， ∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°， ∵DE=EF， ∴∠EFD=∠EDF=72°， ∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°． 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 10. 如图，，于，于，与交于点，则：①；②；③点在的平分线上，以上结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ① 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及角平分线的性质，①先证明，再证明全等；②先证明，再证明全等；③连接，利用全等三角形的性质得到，再用角平分线的性质． 【详解】解：①， ， ，， ． 故①正确； ②由①得：， ， ，， ． 故②正确； ③由②得：， 连接， ， ， ， 所在的直线平分， 点在的平分线上． 故③正确． 故选：A． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 4的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，若一个数x的平方等于a，即，则这个数x叫做a的平方根，a的平方根为，据此求解即可． 【详解】解：， 4的平方根是． 故答案为：． 12. 如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解． 【详解】解：如图，过作于， 为的平分线，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 13. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式，恒等变形得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查求三角形周长，涉及勾股定理、垂直平分线性质等知识，熟记勾股定理及垂直平分线性质是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由垂直平分线性质得到，再由三角形周长公式得到的周长为，代值计算即可得到答案． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 边的垂直平分线交于点， ， 则的周长为， 故答案为：． 15. 如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤． 恒成立的结论有 ___________．（把你认为正确的序号都填上） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，平行线的判定以及性质． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而利用证出，可推知；②由得，，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③由①和②可得出，，即可证；④根据，，可知，，且，得出，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质得出，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵正和正， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 故①正确； ②又∵，，， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④∵，且， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， 故⑤正确． ∴正确的有：①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三．解答题．（本大题8小题，共75分） 16. 计算： 【答案】2.9 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算算术平方根，立方根，再计算乘法，最后计算加减即可解答． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E； 求证：BC=DC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可. 【详解】证明：∵∠BCE=∠DCA， ∴，即. 在△ABC和△EDC中， ∵， ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴BC=DC 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 18. 如图：已知和C、D两点，求作一点P，使，且P到两边的距离相等．（尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，1、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；2、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，点P即为所求： 19. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，涉及单项式乘以多项式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式、有理数乘方运算、乘法运算及有理数减法运算等知识，熟练掌握整式加减乘除等运算法则是解决问题的关键． 先由平方差公式、单项式乘以多项式，再合并同类项化简，最后计算多项式除以单项式得到化简结果，再将，代入化简后的结果，由有理数乘方、乘法及减法运算计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，在中，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，平角的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）利用三角形的内角和和平角的定义得出，，然后利用全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可得出结论． 小问1详解】 证明：∵，，且， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴， ∴． 21. 如图,OE是△ABC的边AC的垂直平分线,AO平分∠BAC,EO交AB的延长线于点D,连接CD.求证:CO平分∠ACD. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OC，DA=DC．根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可． 【详解】证明:∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,OA=OC, ∴∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA, ∴∠DAO=∠DCO. ∵∠DAO=∠OAC,∠OAC=∠OCA, ∴∠DCO=∠OCA, ∴CO平分∠ACD. 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 22. 已知：如图，锐角的两条高相交于点，且 （1）求证：是等腰三角形； （2）判断点是否在的角平分线上，并说明由． 【答案】（1）见解析；（2）点在的角平分线上，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角先求出，再证明即可解决问题． （2）先由（1）的全等得到，再得到，即可得到点在角平分线上． 【详解】（1）证明：是的高， ， ， 又是公共边， 即是等腰三角形． （2）解：点在的角平分线上． 理由如下： ， ， ， ， 又， 点在的角平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到 23. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）求证：EF2+BF2=2AC2． 【答案】（1）∠AEB=25°；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据等腰三角形性质得出∠BAF=∠CAF，由SAS得出△BAF≌△CAF，从而得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案； （3）根据全等得出BF=CF，由已知得到∠CFG=∠EAG=90°，由勾股定理得出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形， ∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB， 又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°， ∴∠BAE=40°+90°=130°， ∴∠AEB=（180°﹣130°）÷2=25°； （2）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAF=∠CAF． 在△BAF和△CAF中 ， ∴△BAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ABF=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEB， ∴∠AEB=∠ACF； （3）∵△BAF≌△CAF， ∴BF=CF， ∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC， ∴∠CFG=∠EAG=90°， ∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， ∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAE=90°，AC=AE， ∴EC2=AC2+AE2=2AC2，即EF2+BF2=2AC2． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质等，能正确和熟练地应用这些知识解决问题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $