第六章反比例函数单元达标测试题2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 单元达标测试题 一、单选题 1．反比例函数的图象经过（   ）． A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第三、四象限 2．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形的边于点D，交边于点E，且，若四边形的面积为3，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点B，则的面积为（   ） A．4 B．2 C．8 D．4 6．下列四个点中，只有一个点和其他的三个点不在同一个反比例函数的图象上，则该点是（   ） A． B． C． D． 7．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，两点在反比例函数的图象上，分别过，两点向坐标轴作垂线段．若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．单板滑雪（）是一项以一块滑雪板为工具，在规定的山坡线路上快速回转滑降，在空中完成各种高难度动作的雪上竞技项目，依据对甲乙丙三名滑雪爱好者测试所得数据，在给定的坐标系中分别绘制出滑雪板的压强与受力面积的相应图象，根据图象及物理知识，可判断出甲乙丙三名滑雪爱好者滑雪板压力的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交的图象于点B，过点C作于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段的长为9；②点C的坐标为；③当时，一次函数的值大于反比例函数的值；④．其中结论正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流I与电阻R之间的函数表达式为 ． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，观察图象知，不等式的解集为 ． 13．如图，的顶点C，D在双曲线上，，与轴交于点E．若与四边形的面积比为，则k的值为 ． 14．如图，反比例函数 的图象经过点，点是该图象第一象限分支上的动点，连接并延长交另一分支于点，以为对角线作菱形，使，顶点在第四象限，与轴交于点，连接．在点的运动过程中，当平分时，点的坐标是 15．如图，是反比例函数图象上一点，轴于点，为轴上一点，则的面积为 ． 三、解答题 16．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，且一次函数与x轴，y轴分别交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图像直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上一点，的面积为10，求出点P的坐标． 17．在中，，，，是边上的中线，点M以的速度从点A出发沿折线匀速运动（点M不与点A、C重合），同时点以的速度从点A出发沿匀速运动，当点M停止运动时点N也随之停止运动．设两点的运动时间为，记的面积为，记与的面积比为，请回答下列问题： (1)请直接写出，分别关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、的图象，分别写出函数、的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围：______（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于，两点，与轴、轴分别交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19．综合与实践 随着新能源汽车的普及，蓄电池的应用更加广泛．已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求反比例函数的解析式； (2)若使用该蓄电池时测得电阻为，则电流为_____； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，顶点，分别在轴，轴上，顶点的坐标为，双曲线经过的中点，交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)已知双曲线． ①若与矩形只有一个交点，求的值； ②在①的条件下，作直线轴，分别交，于点，，连接，，判断的面积是否为定值，并说明理由； ③若将与矩形围成的阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数 单元达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A B D D A A C 1．B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握好图象与系数k的关系是解题关键． 反比例函数的图象位置取决于比例系数 k 的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵ 反比例函数 中， ， ∴ 图象经过第二、第四象限． 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 3．D 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，解题的关键是“先判断正负，再比较大小”． 将三个点的坐标代入反比例函数，根据，可判断的正负和大小关系，即可求解． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ，，， ， ，即， ，，即， 最大， ，且， ，即， ． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象与解析式的求法，熟练掌握矩形的性质和反比例函数解析式的求法是解决问题的关键． 连接，由矩形的性质和已知条件得出，再求出的面积，即可得出k的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵四边形是矩形， ，． ∵D、E在反比例函数的图象上， ， ， ， ， ． 故选A． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握相关知识是解题的关键．点在反比例函数的图象上，可设，因为轴于点，轴于点，所以． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴设， ∵轴于点，轴于点， ， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查反比例函数解析式．反比例函数图象上的点满足（k为常数），计算各点横纵坐标的乘积，比较即可． 【详解】解：∵反比例函数图象上的点满足（k为常数）， 计算各点坐标乘积： A、 ， B、， C、 ， D、， ∴ A、B、C三点乘积均为6，D点乘积为，故D点与其他三点不在同一个反比例函数图象上， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限． 反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得． 故选：D． 8．A 【分析】设阴影部分的面积为，根据，得，继而得到，结合解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设阴影部分的面积为，根据，得，故， 又， 故； 解得， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查反比例函数的应用，由可得，由图可得，受力面积相同时，，由此可解． 【详解】解：， ， 由图可得，受力面积相同时，， ， ． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，根据条件求出相应点的坐标是解题关键． 先根据条件求出点A，C的坐标，从而求出点B，D，E的坐标，求出坐标后，通过坐标逐一确定选项即可． 【详解】∵点A在反比例函数图象上，且横坐标为1， 又轴， 令，得，， ∴，，， ∴，①错误， 令，解得（负值已舍去）， 令，得， ∴，②正确， 由图象可知，在点C的右侧，一次函数的图象在反比例函数的上方， ∴当时，一次函数的值大于反比例函数的值，③正确， ∵， ∴轴， ∴， ∴，， ∴，④正确， 故正确的个数为3， 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数关系，设，代入时，，求k． 【详解】解：由题意，电流I与电阻R之间的函数表达式为， 当时，，代入得， 解得， 因此， 故答案为：． 12．或 【分析】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是正确理解函数图象和性质． 先求得n的值，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∴， 观察图像可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或． 13．18 【分析】作轴，垂足为，轴，垂足为，，垂足为，轴，垂足为，连接，可证明，得到，，接着证明与的面积比为，得到，然后证明，可得点的横坐标为2，设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出值，即可得到点坐标，从而得到值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，，垂足为，轴，垂足为，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵与四边形的面积比为， ∴与平行四边形的面积比为， ∴与的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵、在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握三角形全等和相似的判定是关键． 14． 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质等，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点，过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点，先求得反比例函数的表达式，设点的坐标为，证明，求得，，根据和，可求得，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为点和点；过点分别作和的延长线的垂线，垂足分别为点和点． 根据题意可知，，，的边上的高与的边上的高相同，设高均为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴ ∴反比例函数的表达式为． 设点的坐标为，可知，． ∵， ， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴，． ∵平分，，， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为 ． 故答案为： 15．3 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 如图：连接，因为轴，所以可得，再根据反比例函数中k的几何意义求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即的面积为3． 故答案为：3． 16．(1)， (2)或 (3)P的坐标是或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先将点代入反比例函数，利用待定系数法确定反比例函数的表达式，再确定点A的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的表达式即可； （2）结合图像即可获得答案； （3）首先确定点C的坐标，设设，则，结合可得关于的绝对值方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 可得，解得， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数，得， 点A的坐标为． 将点A和点B的坐标分别代入， 得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）由图像可知，不等式的解集为或； （3）把代入，得， 解得， ∴点C的坐标是， ∵点P为x轴上一点，可设，则， ∵， ∴， ， ， ∴，解得或， 即P的坐标是或． 17．(1)，； (2)见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，函数有最大值；当时，随的增大而减小； (3) 【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形的斜边中线，得到，，分两种情况求关于x的函数关系式：当时，点在上，此时，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解；当时，点在上，此时，过点作于点，利用相似三角形的性质求解，再求解关于x的函数关系式，当时，点在上，此时，过点作于点，同理运用相似三角形的性质求解即可； （2）根据与的函数关系式可画出两函数的图象，再写出函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出函数的图象在函数的图象上方部分的自变量取值范围即可得解． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 是边上的中线， ， 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， 在中，， ； 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时，点在上，此时，过点作于点， ，， ， ， ，， , （2）解：函数列表如下： 1 3 6 4 12 3 函数列表如下： 2 5 5 2 描点画图如下： 观察图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，函数有最大值；当时，随的增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 则当时，x的取值范围为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，画函数图象，以及函数图象的交点问题的知识，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 18．(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）由点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，进而求出直线解析式； （2）根据函数图象的交点坐标即可得到结论； （3）由联想等腰直角三角形，构造等腰直角三角形，进而利用三垂直全等求出点T坐标，再求出直线解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴当时，x的取值范围为或． （3）解：①当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立，解得或（与点重合，舍去）， ∴； ②当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同①理可得直线解析式为， 联立得，解得或（与点重合，舍去）， ∴，综上，或 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式、函数点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．(1) (2)2 (3)用电器可变电阻应控制在以上的范围内 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． （1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设，将点，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式． （2）根据反比例函数关系式即可求解； （3）根据题意可得出，解不等式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：∵电流与电阻成反比例函数关系， 设反比例函数的解析式为， ∵图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为， （2）当时，， ∴电流为． 故答案为：2． （3）当时，， 解得， 答：该用电器的可变电阻应控制在以上的范围内． 20．(1)， (2) ① ②的面积是定值，理由见解析 ③ 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，矩形的性质，掌握好反比例函数系数k的意义是解题关键． （1）先求出点的坐标，代入反比例函数解析式求出，再令，求出点的坐标； （2）①结合图象可知，过点，将点代入求出； ②设直线为直线，求出点P和点Q的坐标后，表示出的面积，可以判断出结果； ③求出阴影区域内所有整点的坐标，将它们的横、纵坐标的乘积按从小到大排列，寻找的位置，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点与坐标原点重合， 又∵顶点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴的中点的坐标为， 将，，代入双曲线得， ，即， ∴， 令，则，解得，， ∴点的坐标为， （2）①∵与矩形只有一个交点， ∴过点， 将，，代入得， ，即； ②的面积是定值，理由如下： 设直线为， ∵作直线，分别交，于点，， ∴点坐标为，点坐标为， ∴， 为定值； ③设点为阴影区域内任意一个整点， 由题意可知，、都是整数，且，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 一共13个整点， 将这13个整点的横、纵坐标的乘积从小到大排列得， ， 将阴影区域内（不含边界）的整点（横、纵坐标均是整数）个数分成， 数列的第6个数和第7个数都是4，第8个数是5， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $