第十五章轴对称小结导学案2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章轴对称小结导学案 本导学案旨在帮助学生系统梳理轴对称章节知识，加深对核心概念、性质和判定的理解，提升综合运用知识解决问题的能力。 一、学习目标（简写版） 1. 全面梳理轴对称、轴对称图形、线段垂直平分线、等腰三角形、等边三角形的概念、性质与判定。 1. 熟练运用轴对称相关知识进行几何证明、角度计算和线段求解，提升逻辑推理与空间想象能力。 1. 能准确区分易混淆知识点，建立完整的轴对称知识体系，增强知识应用的灵活性。 二、学习重难点 重点： 1. 轴对称的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形和等边三角形的性质与判定。 1. 运用上述知识解决综合性几何问题，如证明线段相等、角相等、图形全等。 难点： 1. 区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，避免混淆等腰三角形和等边三角形的性质与判定条件。 1. 在复杂图形中准确识别轴对称关系，灵活选择合适的知识解决问题。 三、知识点自主预习填空 1. 轴对称与轴对称图形： 3. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线________，这条直线叫做________。 3. 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做________，这条直线叫做________。 1. 线段垂直平分线： 3. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________。 3. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 1. 等腰三角形： 3. 等腰三角形的两个________相等（简写成 “________”）。 3. 等腰三角形的________、和________相互重合（简写成 “”）。 3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也________（简写成 “________”）。 1. 等边三角形： 3. 三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的________三角形。 3. 等边三角形的三个内角________，并且每一个内角都等于________。 3. 等边三角形的判定： 10. 三条边________的三角形是等边三角形。 10. 三个角________的三角形是等边三角形。 10. 有一个角是________的________三角形是等边三角形。 四、知识点详细讲解与要点讲解 知识点 1：轴对称与轴对称图形 详细内容： 1. 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴 。例如，平面直角坐标系中，点(1,2)与点(-1,2)关于y轴对称，y轴就是对称轴，这强调的是两个图形之间的位置关系。 1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 。像圆、正方形等都是轴对称图形，圆有无数条对称轴，正方形有四条对称轴，这描述的是单个图形自身的特性。 常考易错点： 1. 混淆两者概念，将轴对称图形当成两个图形成轴对称来分析，或者反之。例如，误认为两个全等三角形随意摆放就是成轴对称关系，忽略对称轴的存在。 1. 找不到复杂图形的对称轴，或者错误判断对称轴的数量。 经典例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 两个全等的三角形一定成轴对称 B. 轴对称图形的对称轴是一条射线 C. 长方形是轴对称图形，有两条对称轴 D. 两个图形成轴对称，这两个图形的对应线段不一定相等 答案：C 解析：两个全等的三角形只有按特定方式摆放，沿某条直线折叠能重合时才成轴对称，A 选项错误；轴对称图形的对称轴是直线，不是射线，B 选项错误；长方形沿对边中点连线对折能重合，有两条对称轴，C 选项正确；两个图形成轴对称，根据轴对称性质，对应线段一定相等，D 选项错误。 知识点 2：线段垂直平分线 详细内容： 1. 性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 。例如，若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则PA = PB，常用于证明线段相等。 1. 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 。可用于确定点的位置或证明直线是线段的垂直平分线。 常考易错点： 1. 应用性质定理时，忽略点在垂直平分线上的前提条件；使用判定定理时，未充分证明距离相等就得出结论。 1. 在复杂图形中，不能准确识别线段垂直平分线，导致无法运用相关知识解题。 经典例题 2：已知点P到线段AB两端点的距离相等，若PA = 6，则PB的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 无法确定 答案：B 解析：因为点P到线段AB两端点的距离相等，根据线段垂直平分线的判定定理可知点P在线段AB的垂直平分线上，再根据性质定理可得PB = PA = 6，所以选 B。 知识点 3：等腰三角形 详细内容： 1. 性质定理： 12. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。如在等。 12. 三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 。 1. 判定定理：等角对等边，即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 。 常考易错点： 1. 已知等腰三角形一角求其他角时，未分顶角和底角讨论，导致漏解。 1. 混淆 “三线合一” 的条件，在非等腰三角形中错误使用该性质。 经典例题 3：等腰三角形的一个的顶角是（ ） A. B. C. D. 无法确定 答案：C 解析：，选 C。 知识点 4：等边三角形 详细内容： 1. 性质：三边相等，三个内角且有三条对称轴，“三线合一” 性质更特殊 。 1. 判定： 17. 三边都相等的三角形是等边三角形。 17. 三个角都相等的三角形是等边三角形。 17. 有一个角边三角形。 常考易错点： 1. 使用 “有一个角等边三角形” 判定时，忽略等腰三角形的前提条件。 1. 混淆等边三角形与等腰三角形的性质和判定，导致错误应用。 经典例题 4：则BC的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：C 解析：，根据 “三个角都相等的三角形是等边三角形”，可知等边三角形，所以BC = AB = 5，选 C。 五、效果检测（判断题） 1. 轴对称图形一定有对称轴。（ ） 1. 两个图形成轴对称，对应点所连线段平行于对称轴。（ ） 1. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离不相等。（ ） 1. 等腰三角形的两个底角一定不相等。（ ） 1. 等边三角形是特殊的等腰三角形。（ ） 1. 有一个角三角形是等边三角形。（ ） 1. 长方形是轴对称图形，有四条对称轴。（ ） 1. 若点A到线段BC两端点距离相等，则点A在线段BC的垂直平分线上。（ ） 1. 等腰三角形 “三线合一” 是指任意的中线、角平分线和高重合。（ ） 1. 两个全等的图形一定成轴对称。（ ） 六、课后作业 1．下列图案是我国四大银行的标志，其中不是轴对称图形的是（   ） A．中国银行 B．中国工商银行 C．中国建设银行 D．中国农业银行 2．已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，和均为等边三角形，且点A、B、C在同一直线上，连接交于点，连接交于点，连接，点为与的交点，以下结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．是等边三角形 5．下列说法中正确的是（   ） A．同旁内角互补； B．面积相等的两个三角形全等； C．等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”； D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 二、填空题 6．如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 7．如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若的面积为，则 （用含和的代数式表示） 8．在中，，点D在边上且，连接，点G在线段上（不与点C、D重合），直线l过点D，将沿着直线l翻折（点G关于直线l的对称点为点P）．若点P在过点G且与平行的直线上，那么的度数为 °． 三、解答题 9．图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 10．如图，都是等边三角形，且B、E、C三点在一条直线上．求的度数． 11．如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 12．如图为等边三角形，点在的延长线上，点在边上，且．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 七、答案与解析 （一）知识点自主预习填空答案 19. 对称；对称轴 19. 轴对称图形；对称轴 19. 相等 19. 垂直平分线 19. 底角；等边对等角 19. 顶角平分线；底边上的中线；底边上的高；三线合一 19. 相等；等角对等边 19. 等腰 19. 相等 19. 都相等；都相等；；等腰 （二）效果检测答案与解析 1. 答案：√ 解析：根据轴对称图形的定义，轴对称图形一定存在使图形对折后重合的直线，即对称轴，该说法正确。 1. 答案：× 解析：两个图形成轴对称，对应点所连线段被对称轴垂直平分，不是平行于对称轴，该说法错误。 1. 答案：× 解析：由线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，该说法错误。 1. 答案：× 解析：等腰三角形根据 “等边对等角”，两个底角一定相等，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：等边三角形满足等腰三角形两边相等的条件，是特殊的等腰三角形，该说法正确。 1. 答案：× 解析：有一个角不能判定，该说法错误。 1. 答案：× 解析：长方形沿对边中点连线对折能重合，有两条对称轴，不是四条，该说法错误。 1. 答案：√ 解析：符合线段垂直平分线的判定定理，该说法正确。 1. 答案：× 解析：等腰三角形 “三线合一” 指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，不是任意的三线，该说法错误。 1. 答案：× 解析：两个全等的图形只有按特定方式摆放，沿某条直线折叠能重合时才成轴对称，该说法错误。 （三）课后作业答案 题号 1 2 3 4 5 答案 C B D C D 1．C 【分析】本题考查了轴对称，根据概念判断即可． 【详解】解：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 3．D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 4．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用等边三角形的边和角的特点，结合全等三角形的知识进行推理判断． 通过证明三角形全等，结合等边三角形的性质，对每个选项逐一分析判断． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， 故A正确； 故B正确； 仅根据已知条件和是等边三角形，以及，无法得出． ∵没有足够的角度或边的关系能推导出， 不一定垂直于，该选项不一定成立， 故C正确； ∵，均为等边三角形， 在和中， ∴为等边三角形， 故D正确． 5．D 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理判断逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是错误； B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是错误； C、等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，简称“三线合一”，本选项说法错误； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是正确； 故选：D． 6． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查了尺规作垂线、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作垂线的步骤是解题的关键．由作图可知，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．120 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点． 先求，然后证明为等边三角形，再由平行线的性质得到，根据折叠的性质证明为等边三角形，再由角度和差计算求解． 【详解】解：如图： ∵在中，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， ∴， 故答案为：120． 9．见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线和相等线段，理解题意是解题关键．先作出相邻两边的垂直平分线，再以两条垂直平分线的交点为圆心，对角线长度的一半作弧，与垂直平分线有四个交点，依次连接即可得到图形． 【详解】解：如图即为所求作图形． 10． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据等边三角形的性质进一步得到，再证明，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ． 11．(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由此即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，根据角度间的关系求出结果即可； （3）先根据周角的定义和等边三角形的性质求出，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用等边对等角和三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 12．证明见详解 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识． 作交于．可得是等边三角形，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：作交于． ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴． $$