3.2.1.2函数的最值教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数最大（最小）值，通过课前回顾单调性概念、判断步骤及单调区间求法，以旧知为学习支架，衔接新知，为理解最值概念及几何意义奠定基础。 亮点在于以问题链引导学生观察二次函数图像抽象最值概念（数学眼光），结合烟花爆破等实例与小组互助探究单调性求最值（数学思维），教师点拨用表格归纳方法（数学语言），提升学生应用能力，助力教师高效教学。

3.2.2函数的最大(最小)值 一、课前回顾 1.增函数、减函数的概念　 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间： (1)如果，当时，都有　　，那么就称函数在区间D上单调递增(如图①)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上　单调递增　时，我们就称它是增函数． (2)如果，当时，都有　，那么就称函数在区间D上单调递减(如图②)． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上　单调递减　时，我们就称它是减函数． 二．函数的单调性与单调区间　 如果函数在区间D上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的　单调区间　. 三．利用定义判断或证明函数单调性的4个步骤 四．求函数单调区间两个方法： 方法一：定义法，即先求定义域，再用定义法进行判断求解． 方法二：图象法，即先画出图象，根据函数图象求单调区间． 【说明】：把预设好的问题投影到白板上，师生共同回顾核心内容，并且给5分钟的时间让学生记忆背诵。 【设计意图】巩固旧知识，为学习新知识做准备。 二、揭示目标 1.理解函数的最大(最小)值及几何意义 2.利用单调性求最值 【说明】：把目标投影到白板上，给学生一分钟的时间了解目标。 【设计意图】明确目标，加强学习的指向性。 三、自学指导 阅读教科书第79-80页内容，完成以下问题： 问题1：观察图3.3.2，函数在R上的最低点坐标是多少？ 【说明】根据例子，教师和学生一起回顾简单二次函数的相关知识，通过此列引出函数最小值概念。 问题2：函数在R上的最高点坐标是多少？ 【说明】根据例子，教师和学生一起回顾简单二次函数的相关知识，通过此列引出函数最大值概念。 问题3：总结归纳上述两个问题，如何定义函数的最大（最小）值？ 函数的最大值与最小值　 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有 【说明】师生共同归纳最值的概念。 【设计意图】采用连续问题的形式，从就知识到新知识，从难到易，逐步引导学生理解函数最值的概念。 四、小组互助（例题与变式） 例1：“菊花”是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望它在最高点是爆破。如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系，那么，烟花冲出后什么时候是它爆破的最佳时刻？这时距离地面的高度是多少？ 变式训练1.求在区间上的最大值和最小值 例2：（含参数的二次函数）（选讲） 求在区间[0,2]上的最大值和最小值． 变式训练2（选讲）求函数 例3：（证明单调性，求最值） 已知函数，求函数的最大值和最小值. 变式训练3：已知函数，求函数的最大值和最小值. 例4：（选讲）求函数在区间上的最小值 变式训练4（选讲，难）求函数在区间上的最小值 【说明】例题教师讲解，和学生共同归纳求函数最值的方法，变式让学生小组互助。 【设计意图】讲练结合，帮助学生将知识点灵活应用在题中，并且采用小组互助的形式，提高课堂效率。 五、小组汇报 小组长或成员汇报存在的问题。 【说明】若小组存在问题，小组长举手示意并汇报存在的问题，教师简要记录。其它组帮助解答，若学生都无法很好突破，不要再叫学生起来回答，教师把问题收回，下一环节教师重点点拨。 【设计意图】通过学生的汇报情况，全面了解学生的掌握情况，适时调整课堂节奏。 六、教师点拨 1.函数的最大值与最小值　 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：，都有 2.(1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性． ②利用单调性写出最值． (2)利用单调性求最值的三个常用结论 ①如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． ②如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． ③如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． (1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间上的单调性． (2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．本题是轴动区间定．对于定轴动区间最值问题，同样要就轴与区间的关系进行讨论． (3)二次函数在闭区间上的最值，如二次函数在区间[m，n]上的最值可作如下讨论： 对称轴x＝h与 [m，n]的位置关系 最大值 最小值 h＜m f(n) f(m) h＞n f(m) f(n) m≤h≤n m≤h＜ f(n) f(h) h＝ f(m)或f(n) f(h) ＜h≤n f(m) f(h) 4对含有参数的函数，必须对参数讨论，求函数最值，必须考虑定义域， 5.了解“对勾”函数图像和性质。 【说明】教师根据学生的问题，适当讲解侧重于学生在本堂课的核心内容，加强学生的课堂记忆 【设计意图】针对性讲解，攻克难点。 七、当堂检测 1. 已知，求的最大值和最小值. 2.已知，求的最大值和最小值. 3.已知，求的最大值和最小值. 5.已知，求的值域. 【说明】根据课堂的实际情况，若当堂检测本节课已无法完成，就当课后作业布置，下节课上课检查学生完成情况。若是双排课，给学生10分钟在课堂上自主完成（seewo多媒体倒计时），时间到后马上投出答案，统计各题学生做的情况。统计结束后，若有学生有问题（不超过一半的情况下），以小组为单位来解决问题（小组讨论3分钟内），然后再统计各组解决的情况，视各组的完成情况决定是否需要教师进行进一步的点拨。 【设计意图】讲练结合，加强学生对知识的应用能力。 八、课后反思 1.函数的最大(最小)值定义 2.如何求函数最值：图像法，单调性 3.课后作业：完成《课时作业》P35基础过关.针对基础好的学生，可增加P36能力提升题。 【说明】以小组的形式回顾，小组长带着组员，学生合上笔记，回顾问题，对存在的问题小组长帮组解决或者及时查看笔记，2分钟后，如有不理解的内容小组长汇报存在的问题，如若本节课已无法完成此环节，下节课以课前回顾的形式呈现。布置课后作业，下一节课上课检查学生完成情况，对没完成的按学科组的预设进行处理。 【设计意图】反复回顾核心知识点，加强记忆。 ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $