2.3 培优课 对称问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　对称问题 1.D　由解得 2.D　由题可知：⇒ 所以点P（x，y）到原点的距离是.故选D. 3.D　由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0（C≠－6）.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点（3，0），关于点（1，－1）的对称点为（－1，－2），则点（－1，－2）必在所求直线上，所以2×（－1）＋3×（－2）＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 4.D　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴＝.解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－2y＋22＝0.故选D. 5.D　由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点P（0，2）关于x轴的对称点为P1（0，－2），设点P（0，2）关于直线AB的对称点为P2（a，b），如图，∴解得∴P2（1，3），∴光线所经过的路程为｜PQ｜＋｜QM｜＋｜MP｜＝｜P1P2｜＝＝. 6.B　根据题意，设P（p，），Q（q，），因为线段PQ的中点是（1，0），所以整理得所以p，q为方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1±，所以P（1＋，），Q（1－，－）或P（1－，－），Q（1＋，）.由两点式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0. 7.ACD　与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝＝，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D. 8.BCD　对于选项A，设P（a，－a－2），若a＝－1时P（－1，－1），此时PM的斜率不存在，kPN＝≠0，PM与PN不垂直，同理a＝2时PM与PN不垂直，当a≠－1且a≠2时kPM＝，kPN＝，若PM⊥PN，则kPM·kPN＝·＝－1，去分母整理得2a2＋5a＋7＝0，Δ＝52－4×2×7＜0，方程无实数解，故PM与PN不垂直，故A错误；对于选项B，设P（a，－a－2），若2｜PM｜＝｜PN｜，则2＝，即2a2＋10a＋9＝0，由Δ＝102－4×2×9＝28＞0，所以方程有解，则存在点P，使得2｜PM｜＝｜PN｜，故B正确；对于选项C， 如图1设M（－1，1）关于直线l的对称点为M'（m，n），则解得即M'（－3，－1），｜M'N｜＝＝，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM'｜＋｜PN｜≥｜M'N｜＝，当且仅当M'，P，N三点共线时取等号（P在线段M'N之间），故C正确；对于选项D，如图2，｜｜PM｜－｜PN｜｜≤｜MN｜＝3，当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点时取等号，故D正确.故选B、C、D. 9.（，）　解析：设点Q关于直线l对称的点为Q'（x0，y0），则由解得所以Q'（4，1），则直线OQ'的方程为y＝，联立直线y＝与x＋y－4＝0，可得x＝，y＝，即P（，）. 10.2x＋3y＋1＝0　解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0的交点，联立解得即（1，－1）在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有解得l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为＝，即2x＋3y＋1＝0. 11.解：设点M（3，5）关于直线l的对称点为M1（a，b）， 则 解得即M1（5，1）， 点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5）， 则直线M1M2的方程为＝，即x＋2y－7＝0. 当P，Q分别为直线M1M2与直线l，y轴的交点时，△MPQ的周长最小. 令x＝0，得到直线M1M2与y轴的交点Q（0，）. 由解得 所以直线M1M2与直线l的交点为P（，）. 故点P（，），Q（0，）即为所求. 12.解：（1）如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为B'（－3，m＋3）. 根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为y＝（x－m）， 由得x＝. 又直线AB'的方程为y－2＝·（x－1）， 由 得x＝. 所以＝，即3m2＋8m－3＝0， 解得m＝或m＝－3. 当m＝时，符合题意； 当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形. 综上，符合题意的△ABC只有1个. （2）由（1）得m＝，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0， 即直线BC的方程为3x＋y－1＝0. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　对称问题 1.若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线x－y－1＝0对称，则（　　） A.a＝1，b＝－2 B.a＝2，b＝－1 C.a＝4，b＝3 D.a＝5，b＝2 2.已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是（　　） A.2 B.4 C.5 D. 3.与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　） A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0 4.两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对称的直线方程为（　　） A.3x－2y＋24＝0 B.3x－2y－10＝0 C.3x－2y－20＝0 D.3x－2y＋22＝0 5.已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（　　） A.2 B.6 C.3 D. 6.若函数y＝的图象上存在两点P，Q关于点（1，0）对称，则直线PQ的方程为（　　） A.x－4y＋1＝0 B.x－4y－1＝0 C.4x－y＋1＝0 D.4x－y－1＝0 7.〔多选〕已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　） A.过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1 B.点A关于l对称的点的坐标为（0，1） C.点A到直线l的距离为 D.过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1 8.〔多选〕已知点M（－1，1），N（2，1），且点P在直线l：x＋y＋2＝0上，则（　　） A.存在点P，使得PM⊥PN B.存在点P，使得2｜PM｜＝｜PN｜ C.｜PM｜＋｜PN｜的最小值为 D.｜｜PM｜－｜PN｜｜的最大值为3 9.在原点O处发射一束激光，经过直线l：x＋y－4＝0反射后撞击Q处的一个中子.已知Q的坐标为（3，0），光束射到l的位置为点P，则P的坐标为　　　　. 10.已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方程为　　　　. 11.已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小，并求出P，Q两点的坐标. 12.已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A. （1）试判断由此得到的△ABC的个数； （2）求直线BC的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $