福建省厦门双十中学2025-2026学年高三上学期第一次月考（10月）数学试题

1.答案： 【答案】 由全集U={1,2,3,4,5},A∩B={2,4},AUB={1,2,3,4} 作出venn图如图所示： A B 2,4 5 由图可知，2∈A,2∈B,故A错误： 3走(A∩B),故B错误： 4∈A,4∈B,故C错误： 5走A,5走B,故D正确 故选：D 解析 根据题设，结合venn图可判定元素与集合的关系. 点评 本题考查元素与集合的关系的判定，属基础题 2.答案： 【答案】 等差数列{an}中，2a7-ag=a5=4, 9(a1+ag) 则S9= 2 =9a5=36 故选：C 解析 结合等差数列的性质及求和公式即可求解。 点评 本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题 3.答案： 【答案】 由图象可得，f(x)的图象关于原点对称，即∫(x)为奇函数，排除选项B: 因为f(2)>0,排除选项D: 对于选项C,因为f(0)=f(1)=f(-1)=0,C显然不成立 故选：A 解析 结合函数的奇偶性，f(2)>0及函数零点检验各选项即可求解。 点评 本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题， 4.答案： 【答案】 第5页共17页 由题意得a.b=V3+1,|b1=V3+I=2, 所以同投云在司上的投影的最为名-=(2斗Y5,) 4 4 1b12 故选：D 解析 根据题意，利用投影向量的定义进行解答，即可得到本题的答案 点评 本题主要考查平面向量的数量积及其坐标运算、投影向量的概念等知识，属于基础题 5.答案： 【答案】 圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为红的扇形， 3 由题意得，扇形的弧长1=3×2红=2元， 3 所以该圆锥的底面圆的半径？=2元 所以该圆锥的高h=√32-2=2√2. 设该圆锥内的球的最大半径为R,圆锥的轴截面如图所示： y E B D r C 则依题意得S△ABC= ×2x2v5-=×B+3+2×R, 所以R=2 2 所以该的体梨的最大省是考R一青（等）x=号。 故选：D 解析 根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答 案 点评 本题主要考查了球的体积的求解，属于中档题 6.答案： 【答案】 函数f(x)=x(lnx-ax), 则f()=l血x-ax+(会-a)=lnx-2ax+1, 令f'(x)=lnx-2ax+1=0得1nx=2ax-1, 函数f(x)=x(lnx-a)有两个极值点， 等价于f(x)=lnx-2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx与y=2az-1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=号时，直线g=2ax-1与g=lnx的图象相切， 第6页共17页 由图可知，当0<a< 时 y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点. 则实数a的取值范围是(0， y=2ax-L 另函数f(c)=x(lnx-a), y=x-1, 则f()=lnx-am+x(是-)=2 y=In Inx-2ax+1, 令f'(x)=nx-2ax+1=0得lnx Q =2ax-1, 可得2a= +有两个不同的解， 设g(x)= +n2,则ge)=- 1+lnx x2 当x>1时，9(x)递减，0<x<1时，g(x)递增， 可得g(1)取得极大值1， 作出y=g(x)的图象，可得0<2a<1, 即0<a<立， 1 故选：B. 解析 先求导函数，函数f(x)=x(nx-ax)有两个极值点，等价于f'(x)=lnx-2aa+1有两个零点，等价于函数y =1nx与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象.由图可求得实数a的取值范围. 点评 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思 维，有助于把握数学问题的本质：另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷 7.答案： 【答案】 如图， M 因为OP\=c,所以OP|=|OF=OF2,则PF⊥PF2, 因为PQ是∠日PF2的内角平分线，所以∠FPQ=45°， 延长QO交PF于点M,因为OQ/PF2,所以∠PMQ=∠FPF2=90°，且M为线段PF的中点， 则三角形PMQ为等腰直角三角形，|PM=MQL, 设PR=m,则PF=m+2a,PM=受+a.OM=受 2 所似号a=受+2办则=26.双鱼线离心*e=V1+是=9 2 故选：D 第7页共17页 解析 根据题意作出图形，因为OP|=OF1=OF2,所以P乃⊥PF2,延长QO交PF于点M,由PQ是∠PF2的 内角平分线，OQ/PF2,可得M为线段PF1的中点，三角形PMQ为等腰直角三角形，PM=MQ,PF2 =m,结合双曲线的定义，可得a=2b,可求出离心率. 点评 本题主要考查求双曲线的离心率，属于中档题， 8.答案： 【答案】 分析方程x2=2x的正数解为x=2或x=4;y3=3的正数解为y=3;z5=5的正数解为z=5. 选项A:当x=2、y=3、之=5时，15x2=60,10y3=270,6z5=18750,满足60<270<18750，可能成 立 选项B:当x=2、y∈(0,1)（满足y3=3)、z=5时，10y3<10,15ax2=60,6z5=18750,满足10r3<60 <18750,可能成立. 选项C:假设152=10w3=6z5,代入x=2或4、y=3、之=5验证，均无法使等式成立，可能不成立 选项D:当x=2时，6x5=192,10y3若y=3则为270(270>15x2=60):若y∈(0,1)，10y3<10,但6x5= 192>10, 无法满足6x5<10y3;当x=4时，6x5=6144,15x2=240,10y3=270也不满足10y3<15x2,故不可能成 立 故选：D 解析 通过分析指数方程的正数解，代入验证各选项表达式的大小关系，判断是否成立. 点评 本题主要考查指数方程的解与代数式大小比较，属于中档题. 9.答案： 【答案】 对于A,由z=a+bi(a,b∈R),得z=a-bi,z+z=2a∈R,选项A正确： 对于B,z·z=(a+bi)·(a-bi)=a2+b2∈R,选项B正确： 对于C,1z2=（√a2+b)=a2+b2,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,则z2≠z2,选项C错误： 对于D,z=Va2+b2=z,选项D正确. 故选：ABD 解析 设z=a十bi(a,b∈R),然后由复数运算律可得答案 点评 本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题 10.答案： 【答案】 由题意可设0<1<1,2>1，当0<<1时，y=-n2,导数为=-是，可得切线1的斜率为-品 当>1时，y=山，导数为=云，可得切线2的斜率为高7 1 1 由l12,可得-D12=-1,即x122=1,故A正确： y12=-lnx1lnx2=ln2x1卡1，故B错误： 直线AB的斜率为1-塑=一lmc1-lnx2 -in(x122) =0,故D错误： ℃1-E2 c1-E2 1-C2 切线1，的方程为y+1h1=-(-小，切线2的方程为y-h2=品(e-2）, 第8页共17页 可得l1,l2分别与y轴相交于点C(0,1-lnx1),D(0,nx2-1), 则CD=|2-lnx1-nx2=|2-ln(c1x2)川=2，故C正确. 故选：AC 解析 由导数的几何意义，求得切线的斜率和切线方程，结合对数的运算性质和两直线垂直的条件，可得结论。 点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题 11.答案： 【答案】 取AD中点O,BC中点Z,连接OP,OZ,则OP⊥AD,OZ⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,OPC平面PAD, 所以POL平面ABCD.因为OZC平面ABCD,所以PO⊥OZ, 所以直线OP,OA,OZ两两垂直， 故以O为原点，OA,OZ,OP所在直线为x,y,2轴建立空间直角坐标系如图， 外 B 则A1,0.0B1,2,0.C(-1,2,0,P0.0,V8,D(-1,0.0),M分0，)， BP=(-1-2③.B=(-2.9),DP=1,0.③.Pd=(1,2.-V③ 故cos(Bnd,pC川=-BM,PCl → =-51 IBM‖PC V5x2 =y10 4 A正确： 因为DN=DP+PN=DP+λPC=(1-X,2λ，√3-V3) BN=BP+PN=BP+λPC=(-1-X,-2+2λV3-V3λ)， 若DN⊥BN,则DN●BN=O, 即(1-入，2λ，V3-V3)●(-1-X,-2+2λ，V3-V3)=82-10λ+2=0， 解得入=1或入=子：所以存在点N,使得DN1BN,B瑞误： 设OZ交BD于点O1,则球心在过O1且垂直于平面ABCD的直线上， 则可设球心03为(0,1，z),又O3A=O3P, 所以V2+12+2=V√1+(2-V32,解得2=3 3 所以外接球半径R=V1+1+(停=V得，外接球表面积为4R2-空，C正确： PQ =tPD,BQ BP+PQ BP +tPD =(-1-t,-2,V3-V3t) BM-(分-29).BN-(←是-1,9)， 因为M,N,B,Q共面，则BM,BN,BQ共面， 第9页共17页 故存在唯一实数对(m,n),使得BQ=mBM+nBN, (-1-625-到-m分2号)+是-19) =(←n-多n-2m-9m+9m. 2 ,-2=-2m-n 所以〈 -1-t=-1m」 3 m- 2 32 v3-vt= 2m+ 2 解得t=合D正确 故选：ACD. 解析 取AD中点O,BC中点Z,可证直线OP,OA,OZ两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，对于A,求 出直线方向向量的夹角的余弦值后可判断其正误，对于B,根据向量垂直的坐标形式可判断入存在，故可判断其正 → 误，对于C,求出球心坐标后再求半径后可判断其正误，对于D,设PQ=tPD,则由四点共面得坐标关系后 求出t,故可判断其正误。 点评 本题主要考查异面直线所成角、几何体的外接球，属于中档题 12.答案： 【答案】 由题意得，f(x)<0为x3-√<0， 则x3<√E,且x≥0， 在同一个坐标系中画出y=x3和y=√的图象： 由图得，不等式x3<√的解集是(0,1)， 故答案为：(0,1) A 解析 先由题意化简不等式，在同一个坐标系中画出y=x3和y=√x的图 象，由图象求出不等式的解集， 点评 本题考查利用幂函数的图象求不等式的解集，考查数形结合思想，属于 基础题. 13.答案： 【答案】 因为△ABC的面积S=1 bcsin A, 2 所以S= (b+c2-a2 4 =bcsin A,化简得2+c2-a2=2 besin A-2bc, 2 根据余弦定理可得b2+c2-a2=2 bc cos A, 所以2 besin A-2bc=2 be cos A,整理得sinA-cosA=1, 结合sin2A+cos2A=1,解得2 sin Acos A=0,即sin2A=0, 因为A∈(0，π)，即2A∈(0,2x),所以2A=π，可得A=T 2 根据△ABC中，A为直角，a为斜边， 可得△ABC的外接圆半径R=号内切圆半径r=+g。 2 第10页共17页 b+c-a 所以元 2. +台-1=+欲 2 sinA sinA -1 sin B+sin(-B)-1=sin B+cos B-1-v2sin(B+)-1. 由正弦函数的性质，可知B=牙时，京取得最大值V2-1 故答案为：√2-1. 解析 根据三角形的面积公式，结合余弦定理推导出si血A-c0sA=1,由此算出A=受，从而可得△ABC是以a为斜 边的直角三角形，进而将五化简为关于角B的三角函数表达式，利用正弦函数的性质算出最大值，即可得到本题 的答案 点评 本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换公式、正弦函数的性质等知识，考查了计 算能力、逻辑推理能力，属于中档题 14答案： 【答案】 已知min{x,y}表示{c,中的最小值，若a>0,b>0, 令h=mim{a, a2+462}, 圆为a>0,6>0,则0<h≤a,0<h≤262 可得h2≤ a2+4,当且仅当a=,b ab ,02十46时取等号， a2446。1 又因为， 西=金当且仅当号=”，即a=26时取等号， 1 所以当a= ab且a=2b,即a=号6=时，A的级大值为号 所以mina,a}的最大值是子 b 故答案为： 1 解析 令h=mim{a, b 对a26变形后利用基木不等式可求出其最大值，从而可求 a2+462,对26 ,a2+46},则可得h2≤，26 出mim{a, a2+462}的最大值 点评 本题考查函数最值以及基本不等式相关知识，属于中档题， 15.答案： 【答案】 (1)设数列{an}是公比为q,因为a3是a1与a4-1的等差中项， 所以a1+a4-1=2a3,即a1+a1g3-1=2a1g2, 因为q=2, 所以a1+8a1-1=8a1,解得a1=1, 所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=2n-1: 1 1 bTogoTog2m.og 1 1 1 =nm+=元-ni 所以7=6+6s+++6,=1-+哈-吉)+后-》+（信-）=1-=升 即数列[6，}的前n项和为n= 第11页共17页 解析 (1)利用等差中项的性质结合等比数列的通项公式和前项和的定义可求解；(2)利用裂项相消法求和即可， 点评 本题考查等比数列的通项公式和前项和，裂项相消法求和，属于中档题， 16.答案： 【答案】 (1)列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 29 96 125 女性 27 48 75 合计 56 144 200 零假设为H0:关注“苏超赛事与性别无关， 则X2= 200×(96×27-48×29)2 80 125×75×56×144 二21 ≈3.810<10.828， 故依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们不能否定零假设Ho, 即不能认为关注“苏超赛事与性别有关； (2)根据分层抽样，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A,“2人性别不同”为事件B, 则r4=(Px1-是》+c哈x-急x号×星-号 P(AB)=Cgx1-)× 4、36 5×4=25 所以P(BA)= P(AB) 3 P(A) 、所以在有且仅有2人顺利完成知识啊答的条件下，2人性别不同的概率为 解析 (1)由题意可得列联表，再计算X2,对比临界值表即可得解； (2)根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 点评 本题考查了独立性检验，属于基础题 17.答案： 【答案】 (1)设F(c,0)(c>0), 当直线PF与x轴垂直时， 易得Pe,) 因为点P在椭圆E上， 所以2， (号)2 a2+2 =1, 因为PR的最小值为1， 所以2-b=1, 解得b=1, 又a2=b2+c2, 解得a=2,c=V3, 第12页共17页 则横圆E的方程为紧+了=1， (2)设M(m,0),N(n,0),R(t,2) 易知直线RM,RN斜率不为O, 设RM:x= 2y+m,RN:x=t” t-m 2y+n, 4+2=1 联立 ,消去x并整理得16+(t-m)2]y2+4(t-m)my+4(m2-4)=0, x= t-m 2y+m 因为直线RM与椭圆E相切， 所以△=[4(t-m)m2-416+(t-m)21·4(m2-4)=0, 整理得3m2+2tm-t2-16=0, 同理得3n2+2m-t2-16=0, 所以m,n是一元二次方程3x2+2tc-t2一16=0的两根， 2t 此时m+n=,mn三 t2+16 3 所以MM=m-m=Vm+mP-4m=V(-等)2-4x(-2)=4牛亚 3 3 因为t2≥0， 所以S△RMN= 号MN2=4y亚≥40牛卫-sV3 3 3 3 则△RMN面积的取值范围为8y ,十00) 3 解析 (1)根据题目所给信息以及a,b,c之间的关系，列出等式求解即可； (2)设出直线RM,RN的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式求解 即可 点评 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题， 18.答案： 【答案】 (1)(②)因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为V42-22=2√5， 所以正六边形A1A2.A6的边长为2V3, 所以正六边形A142.A6的面积为6×Y3×(2V3)2=18V3, 4 且P到oC的距离为6，所以六棱锥P-A142…A6的体积为号×18V3×6=36V3. (记)以C为原点，A1A4为x轴，A1A4的中垂线为y轴，PQ为2轴建系， 第13页共17页 TTT M:A2 Q 则P(0,0,6),A1(-2V3,0,0),A2(-V3,-3,0),A3(V3-3,0), 所以A1P=(2W3,0,6),A3P=（-5,3,6),A2A3=(2W3,0,0), 设平面PA1A3的一个法向量n1=(x1,y1,z1), i.AP=0→2V3a1+6z1=0 则 m.A2=0→-V31+3g1+6a1=0 令21=1，得n=(-V3,-3,1), 设平面PA2A3的一个法向量n2=(x2,y2,22), n2·A2A3=0→2W3c2=0 则 (2.AP=0今-V32+3h+6z2=0 7 令z2=1,得n2=(0,-2,1) 所以cos(,2)=元n2-0+6+1=1v压】 〉→ →→ 1nHn21⑧v5=6s2 (2)证明：由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内， 记这个平面为α.在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系， 设M(,,则=MC=1CA,1=1OC, 2 因为C42+0C2=16.所以号2+2=16 即器+荒-1.又P,Q的坐标分别为0，.Q-4), 第14页共17页 厦门双十中学2026届高三上学期第一次月考—数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记为等差数列的前项和，若,则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，直线是的内角平分线，，，则的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 设正数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题18分，每小题6分，错选不给分，漏选按比例给分） 9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 10.设直线分别是函数在点处的切线，若，且分别与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D.直线的斜率为2 11.如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点满足，其中，则（ ） A.与所成角的余弦值为 B.不存在点使得 C.若四棱锥的各顶点都在同意球面上，则该球的表面积为 D.若，过点的平面与线段交于点，则 三、填空题（共3小题15分，每小题5分） 12.若，则满足的的取值范围是 . 13.记的内角的对边分别是，外接圆与内切圆的半径分别为，若的面积，则的最大值是 . 14.已知表示中的最小值，若，则的最大值是 . 四、解答题（共5小题77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15.（本小题13分） 已知数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项. （1）求的通项公式及前项和; （2）设，求数列的前项和. 16.（本小题15分） 近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷成为“苏超”）如火如荼地进行，引发广泛关注，某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表： （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关? （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“苏超”赛事知识问答、已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立，求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人性别不同的概率. 附：; 17.（本小题15分） 已知椭圆为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1. （1）求E的方程; （2）过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围. 18.（本小题17分） 如图，球的半径为4，是球的一条直径，是线段上的动点，过点且与直线垂直的平面与球的球面交于,是的一个内接正六边形. （1）若是的中点; （i）求六棱锥的体积; （ii）求二面角的余弦值; （2）设的中点为，求的值. 19.（本小题17分） 记，已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）①已知和在上“次缠绕”，请直接写出的值; ②若和在上“2次缠绕”，请直接写出的取值范围; （2） 设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围; （3） 记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $