精品解析：湖北省汉川市金益高级中学有限公司2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

金益高中高二12月份阶段性检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角 【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为． 故选：A． 2. 已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列出不等式组求解即可. 【详解】已知方程表示椭圆， 则，则或， 故实数m的范围是. 故选：A 3. 若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜角，建立方程求解即得. 【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或. 故选：D. 4. 已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d，进而利用求和公式得到n=8的结果； 【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由可得 又成等比数列， 可得a32＝a1a6， 即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），结合 解得d＝（0舍去）， 则数列{an}的通项公式an＝2+（n﹣1）＝n+； ∴a8＝，∴ 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式的应用，考查了等比数列中项的应用，属基础题． 5. 圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆与圆的方程相减可得圆与圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，由弦长公式求得弦长． 【详解】圆的圆心，半径，圆圆心， 半径，圆的圆心，半径， ，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：， 圆心到直线的距离， 因此所求弦长为. 故选：A 6. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 7. 已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线经过定点，且定点在圆外，所圆上的点到直线的最大距离为半径加上圆心到直线的最大距离可得. 【详解】由圆得圆心，直线的方程， 可化为，联立，解得， 所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部， 当时，圆心到直线的最大距离为， 因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为， 故选：C. 8. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（ ） A. 2 B. 13 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可. 【详解】 如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为， 设横坐标分别为， 由抛物线定义及梯形中位线可知则， ， 易知，则， 即的最小值为， 设，， 联立抛物线得， 即， 由基本不等式可知，当且仅当等号成立，故. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 若直线l过C点，则 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据直线方程特点易得；对于B，将点代入，计算即得；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程，由方程的根的情况判断；对于D，根据直线过圆内的定点，即可判断当且仅当时弦长最短，同时结合图象可判断此时直线的斜率不存在，从而排除. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，直线l过点，则有，则，故B正确； 对于C，由圆心到直线的距离，可得， 显然的值不存在，故C错误； 对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长， 而直线l过定点，当且仅当时， ，此时，， 但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误. 故选：AB. 10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面与平面的夹角正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断A，建立空间直角坐标系并求出相关点坐标，应用向量法求点线距离、面面、线线角判断B，C，D. 【详解】对于A，， 即，故A错误； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 对于B，，，设， 则点到直线的距离，故B正确； 对于C，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以， 即平面与平面的夹角余弦值为， 所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确； 对于D，因为，， 所以， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的横坐标为3，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过确定直线的斜率为，得到直线的方程为，联立抛物线方程求得坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误； 设 当直线垂直于轴，可得， 所以,得 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，由的中点的横坐标为3，可得：， ， 又， 所以，C正确； 对于D， 过点作，直线与轴分别交与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以， 可得：， 所以，D正确 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的片段和性质列式求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列， 即，即，解得. 故答案为：7 13. 已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数列是递减数列，得到对称轴的取值范围，解不等式即可. 【详解】若是递减数列， 即，在，且上单调递减， ，解得. 故答案为：. 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值. 【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为. 【点睛】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同.对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求得直线上一点关于直线的对称点，结合与的交点求得直线的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离求得直线的方程. 【小问1详解】 直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则，解得. 由解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为， 即， 因为点到直线的距离为， 即， 解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【小问1详解】 联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 17. 已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）整理可得，利用累加法结合等比数列求和公式可得，再根据分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，则，解得； 当时，则， 两式相减得：，整理可得， 且，则，可得，即， 可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，即， 当，可得，，，， 累加可得， 可得， 且符合上式，则，， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由勾股定理计算得，所以， 故三角形为等腰直角三角形，可得. 因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） ①因为，而平面， 所以平面， 面与平面交线为，所以， 而，所以. ②存在， 【解析】 【分析】（1）先分析底面四边形里的几何关系，得出，再根据线面平面推得线线，则可证平面，最终证平面平面； （2）①先由证明平面，再根据线面平行的性质，得出交线，结合，得出；②建立空间直角坐标系，设出点M坐标，求出平面的法向量，利用二面角的向量公式建立方程，化简求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②依题意，建立空间直角坐标系， 可得， 设平面的一个法向量为， 则即取，则， 因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为， 则可得 即取，则. 因为， 所以，解得，故. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】（1） （2） ①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ② 【解析】 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【小问1详解】 由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①略 ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金益高中高二12月份阶段性检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 5. 圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 5 D. 6. 如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 7. 已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（ ） A. 2 B. 13 C. 6 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线，圆，则下列命题正确的有（ ） A. 直线l过定点 B. 若直线l过C点，则 C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切 D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为 10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. 平面与平面的夹角正弦值为 D. 异面直线与所成角的正切值为 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的横坐标为3，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，若，则______. 13. 已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为_______. 14. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点和，直线：． （1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． （2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 16. 已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 17. 已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，，求数列的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足. （1）证明：平面平面； （2）若，平面与平面交线为， ①求证； ②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $