27.2 相似三角形 专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学下册

相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 例1.(25-26九年级上江苏南通月考)如图，在△ABC中，BC=48,高AD=24,正方形EFGH的一边在BC 上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N,则AN的长为() H DG A.10 B.8 C.16 D.12 【答案】B 【详解】解：四边形EFGH是正方形， .EF∥BC,EF=EH,∠FEH=∠EHG=90°， :AD⊥BC, ·AW⊥EF,∠NDH=90°， ·四边形EHDN是矩形， :EH ND :ND=EF, 设AN=x,则ND=EF=24-x, EF∥BC, ÷△AEFP△ABC, AN EF :.AD BC, x_24-x 六2448 解得x=8, AN的长为8， 故选：B. 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 例2.(25-26九年级上内蒙古呼和浩特·月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC,BE交于 点0，若4E:ED=1:2,Saae=6c,则a0为（） 65cm2 A. B. 66cm2 C. 67cm2 70cm2 D. 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC且AD∥BC, ∴.△AOE∽△CBO :AE:ED=1:2, AE:AD=1:3, :AE:BC=EO:BO=1:3, 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得Sa4os:Sco=1:9, SAAOE =6cm2 :.S.com =54cm2 S408=3S40E=18cm2 根据平行四边形的性质可得S,0m=S,c=S,cos+S。A0s=72cm2 .S四边形EocD=S。AcD-SA4oE=66cm2 故选：B. 例3.(2025·安徽蚌埠一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，点F为CB延长线上一点， AG BG EF∥BD交AB于点G,若AE=a,则FC一 G B 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 【答案】3 【详解】解：，点E为AD的中点， &4=DE-号AD: :四边形ABCD是平行四边形， ·AD=BC,AD∥BC, AE-DE-IBC: 2 又：EF∥BD, 四边形DEFB是平行四边形， :BF-DE-AE-BC, 2 :.BF=CF: 3 AD∥BC, ·△AEG∽△BFG, AG AE BG BF' BG AG ·BFAE =a, BG BG 1 CF38F=30, 1 故答案为：30. 例4.(25-26九年级上安徽六安·月考)如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，F为线段BC上一点， FC_3 且FB-2·过点F作FG∥AB交AC于点G,连接DG并延长，交4B于点E'交CB的延长线于点M: D G B M (1)若AC=20,则AG的长为； 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 (2)若Ew=1 则四边形ABCD 的面积为 【答案】 812 【详解】解：(1)GF∥AB, CG_CF3 AG FB 2' AC=20, 2 4G=2×20=8, 5 即AG的长为8， 故答案为：8： (2):四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,BECD,AD=BC, ∴.△ADGP△CMG,△MBE∽△MCD,△MBE∽△DAE, CM CG CF 3 ·AD AG FB2, CM 3 BC 2' BM BM 1 BM 1 BCAD2’CM-3, SEM :S ADE=12:22=1:4 S.EMS.CDM=12:32=1:9 S.BEM =1 .S.ADE =4 S.CDM =9 S四边形BcDE=S,cDM-SBEM=9-1=8 ∴.SSABCD=S。ADE+S四边形BcDE=4+8=12 ∴.平行四边形ABCD的面积为12. 故答案为：12. 例5.(25-26九年级上江苏连云港期中)如图，正方形EFGH内接于△ABC,其中FG在底边BC上，且 BC=10,高AD=8,则该正方形的边长为一· 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 0 【答案】9 【详解】解：令AD与EH相交于点M,如下图： E M 因为AD⊥BC,BCEH, ·AD⊥EH,即AM为△AEH底边EH对应的高， :EFGH为正方形，假设其边长为x, 则EH=x,MD=x, :.AM=8-x, BC EH ·∠B=∠AEH,∠C=∠AHE, △AEHP△ABC(AA) AM EH “AD=BC,结合EH=x,AM=8-x 8-x=x 40 得810解得x=9, 40 故答案为：9 变式1，(25-26九年级上河南平顶山月考)在△1B OMN C中，D是高，矩形P 的顶点P、N分别在1B,1C上， /在边BC上，若8C=8cm,D=6cm,且PN=2PO,则PN的长为() OM PN J 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 B D M C A.4cm B.4.8cm C.5cm D.5.6cm 【答案】B 【详解】解：如图所示， E B DM C POMN ~四边形 是矩形， PN∥BC,PN=QM,PQ=NM∠PQM=∠QPN=90° ·△APN△ABC, AEPN ÷ADBC, AD⊥BC, AE⊥PN ODE 四边形 是矩形， PO=NM=ED 设Pe=cm,则 AE=AD-DE=AD-PO=(6-x)cm PN=2PO=2xcm BC=8cm, 2x6-x ÷86’ 解得x=2.4. :PN=2x=4.8cm, 故选：B. 6 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 变式2.(25-26九年级上·安徽宿州·月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且BC=3ED, BC交对角线BD于点 5,则5asm为（) LF,S.DEF =5 A.60 B.45 C.18 D.15 【答案】A 【详解】解：，平行四边形ABCD中，AD∥BC, ·∠EDF=∠CBF,∠DEF=∠BCF .∴AEDF∽ACBF .BC=3ED BC ==9,.BE-BC=3 DE DE DE S.acF:S.cor=3 S.DEF =5 ∴SBCF=9S,DEr=9x5=45 S.BCD 4 4 .BCF= ×45=60 3 故选：A BD 2 变式3.(25-26九年级上·安徽六安月考)如图，D为△ABC的边BC上一点，且DC3,延长AD到点E,使 DE-D,连接C5并延长，交B的延长线于点p则华的值为《) AB 7 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 5 A.5 B.5 C. D.9 【答案】C 【详解】解：过点D作DG∥CF交AF于点G,如图： B G .·DG∥CF ∴∠BGD=∠BFC, ∠GBD=∠FBC, ..ABGDABFC, BG BD 六BFBC' BD 2 DC 3 BG 2 BF5 DG∥CF, ·∠BGD=∠BFC, ∠GAD=∠FAE, .∴△AGD△AFE, AG AD AF AE AG 2 AF-3 设BG=2x、BF=5x、AG=2y、AF=3y, ∴.AB=AG-BG=2y-2x .AF=AB+BF, 3y=2y-2x+5x 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 ∴y=3x, AB_2.3x-2x_4x_4 AF3.3x9x9' 故选：C 变式4.(25-26九年级上·江苏南京·月考)如图，在△ABC中，AC=BC=2AB,D是BC上一点，AB=AD, BD=1,则AB的长为一 【答案】2 【解答】解：由题知，AC=BC, ∠B=∠CAB, AB=AD ∠B=∠ADB, ∠CAB=∠ADB, 则∠B=∠B,∠CAB=∠ADB, △ABDn△CBA, AB BD CB BA' 又：BC=2AB,BD=1, AB 1 ·2ABBA' AB=2, 故答案为：2. 变式5.(2025·上海崇明一模)如图，长方形EDFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上. 已知△ABC的边BC长120cm,高AH为4Ocm,且长方形DEFG的长DG是宽的2倍，那么DE的长度是一， B EH F 【答案】24cm 9 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 【详解】解：设AH交DG于点L, D 矩形 的边在 的边上，顶点D、G分别在、 上， E H F EDFG EF△ABC BC AB AC DG∥BC, △ADG△ABC, 矩形DEFG的长DG是宽的2倍， .DG=2DE, :AH是△ABC的高， AH⊥BC, .∴∠A1G=∠AHC=90°， AI⊥DG」 、AIDG 'AH BC :DG∥BC,IH⊥BC,DE⊥BC, :IH DE, :AI AH-IH AH-DE, .BC=120cm,AH =40cm, 40-DE 2DE 40120, 解得DE=24, DE的长度是24cm, 故答案为：24cm. 变式6.(25-26九年级上江苏徐州月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2EC,连接 AE交BD于点F,若△DEF的面积为I2,则△ABF的面积为一· E 4 B 【答案】27 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，DE=2EC, :BA//DC,BA=DC=2EC+EC=3EC, 10相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 相似三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的实际应用专项训练 考点目录 相似三角形的性质 相似三角形的判定 相似三角形的实际应用 考点一 相似三角形的性质 例1．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，高，正方形的一边在上，点分别在，上，交于点，则的长为（    ） A．10 B．8 C．16 D．12 例2．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·安徽蚌埠·一模）如图，在平行四边形中，点E为的中点，点F为延长线上一点，交于点G，若，则 ． 例4．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平行四边形中，是一条对角线，为线段上一点，且．过点作交于点，连接并延长，交于点，交的延长线于点． （1）若，则的长为 ； （2）若，则四边形的面积为 ． 例5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，正方形内接于，其中FG在底边BC上，且，高，则该正方形的边长为 ． 变式1．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，且，交对角线于点，则为（　　） A．60 B．45 C．18 D．15 变式3．（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，为的边上一点，且，延长到点，使，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 变式5．（2025·上海崇明·一模）如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 变式6．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在平行四边形中，点E在边上，，连接交于点F，若的面积为12，则的面积为 ． 考点二 相似三角形的判定 例1．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，已知．在边上取点，连结．过点作，与边的延长线交于点． (1)证明：△△． (2)若，，，求线段的长． 例2．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，在中，，．点为上一点且，连接并延长，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求证：平分． 例3．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，中，，为上任意一点，，． (1)求证：； (2)若，且的面积为，求四边形的面积． 例4．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式1．（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，点C在的内部，，与互补， (1)求证：； (2)若，，求的长度． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，四边形中，平分，，为的中点．连接，． (1)求证：； (2)若，．求的值． 变式3．（25-26九年级上·北京·月考）如图，在中，为上一点，为上一点，已知，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式4．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点，使，与交于点． (1)求证：． (2)若为的中点，的面积为，求的面积． 考点三 相似三角形的实际应用 例1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点处恰好通过镜子看到建筑物的顶端，经测得，小丽的眼睛离地面的距离，求建筑物的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点处不动，将镜子移动至处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出，经测得，小丽的眼睛高地面距离，求这个广告牌的高度． 例3．（25-26九年级上·山东日照·月考）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米． (1)求车头盲区的长度； (2)点在上，米，若在处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度． (1)第一小组的同学测得身高米的小明影子长为米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为米，求旗杆的高度； (2)如图：第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树的高度，小丽在处竖立了一根标杆，小华从处走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，求出树的高度． 变式2．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）瑞光塔位于江苏省苏州市区西南隅盘门内，始建于北宋景德元年．某数学兴趣小组决定利用所学知识测量瑞光塔的高度，如图，瑞光塔的高度为，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且瑞光塔，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点成一线；从标杆后退到处（即），从处观察点，、、三点也成一线．已知、、、、在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出瑞光塔的高度（结果精确到）． 变式3．（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计） 2 学科网（北京）股份有限公司 $