精品解析：江苏省淮安市淮阴中学教育集团八校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

数学（二） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】∵ 正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最大的数在和中， ∵，，且， ∴， ∴最大的数是， 故选：． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可． 【详解】解：A．与的指数不同，无法直接相加，故A计算错误； B．，原计算正确，符合题意； C．，原选项计算错误，故不符合题意； D．，原选项缺少项，故D错误． 故选：B． 4. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 大 B. 美 C. 淮 D. 安 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：依题意，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 观察图形，得“我”与“美”是相对面． 故选：B． 6. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 若关于 x 的一元二次方程： 有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，然后解方程即可． 【详解】∵ 方程 有两个相等的实数根， ∴，且， ∴ ， 故选：B． 8. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过A点作AN⊥DF于N，根据四边形ABCD是菱形，有AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， F是CD中点，则有DF=FC=2，根据翻折的性质可知AB=AF，则可知△AFD是等腰三角形，由AN⊥DF，得AN也平分DF，则有DN=NF=1，在Rt△AND中利用勾股定理可得AN，则可求出tan∠D，即tan∠ABE得解． 【详解】过A点作AN⊥DF于N，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4， ∵F是CD中点， ∴DF=FC=2， 根据翻折的性质可知AB=AF， ∴△AFD是等腰三角形， ∵AN⊥DF， ∴AN也平分DF，则有DN=NF=1， ∴在Rt△AND中利用勾股定理可得， ∴tan∠D=， ∴tan∠ABE=， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正切、等腰三角形的判定与性质等知识，证明△AFD是等腰三角形是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 10. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出整式方程的解，再进行检验判断即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以，原分式方程的解为， 故答案为：． 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的定义，将这组数据从小到大排列，已知这组数据共有7个数，根据中位数的概念：当n为奇数时，位于中间的数即中位数求解即可． 【详解】解：7名男生引体向上的成绩从小到大排列为：5，6，7，8，8，9，10， 位于最中间的数为第4位8， 则中位数是8， 故答案为：8 12. 如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵母线长为，扇形的圆心角 ∴圆锥的底面圆周长 ∴圆锥的底面圆半径 故答案为：2． 【点睛】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 15. 如图，二次函数图像的对称轴为直线，，是抛物线上不同的两点，若 ，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，由图像可知抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小，进而得到，解不等式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越小， ∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上不同的两点， 且， ∴，即，且即， ∴，且， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，在中，，，，连接，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，先求出，再证出点四点共圆，根据圆周角定理可得，，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可得的长，解直角三角形可得的值，最后可求出的长，利用求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴点四点共圆， 由圆周角定理得：， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由圆周角定理得：， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 三、解答题（本大题共11 小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1） 计算∶ （2）解不等式： 并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）； （2），在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解不等式等知识，解题的关键是： （1）根据负整数指数幂的意义，算术平方根的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的意义等计算即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求解，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ； ∴当时，则有原式． 19. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 【答案】 证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【解析】 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 20. 九年级某班开展主题为“我爱淮安”的综合实践活动，班委会决定设置“运河”“高铁”“机场”共三个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在三张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这三张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“高铁”的概率为 ； （2）各小组从这三张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这三张卡片背面朝上洗匀后，娟娟同学代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，萍萍同学代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据概率公式解答即可求解； （）画出树状图，根据树状图解答即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：将这三张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，共有种结果，其中抽到的卡片内容是“高铁”的结果有种， ∴抽到的卡片内容是“高铁”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，其中两个小组研究方向不同的结果有种， ∴这两个小组研究方向不同的概率为． 21. 为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的 ， ， ． （2）你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）8；7； （2） 八年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好， 因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【小问1详解】 解：八年级抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 七年级得分为7分的人数最多为15人， ∴众数； 七年级的得分优秀率为：， 故答案为：8；7；； 【小问2详解】 解：略． 22. 西游乐园景区某商店销售一种纪念品，每件成本为40元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）（（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利4000元，求该纪念品当月的销售单价． 【答案】（1） （2）50或60 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“销售利润==单个利润××销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解． 【小问1详解】 解：设，代入，， 则． 解得 ． 【小问2详解】 解：． 解得，， 答：当获利4000元时，该纪念品当月的销售单价是50或60元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像与一次函数的图像相交于、两点． （1）反比例函数表达式为 ，一次函数表达式为 ； （2）过直线上的点作轴，交反比例函数的图像于点．若点横坐标为，求点的坐标及 的面积． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可； （）延长交轴于点，先求出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，最后根据解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，得， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把和代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数表达式为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于点， 把代入，得， ∴， ∵轴， ∴点纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴， 设直线的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 24. 如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】分米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交直线于点，连接，由可得分米，分米，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交直线于点，连接， 在中，，分米， ∴分米， ∴分米， ∵， ∴， 即， 解得分米， 答：点到水平线的距离的长为分米． 25. 中，，点在上，以为半径的圆交于点， 交于点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接， 若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由得，即得，即可求证； （）过点作于，设的半径为，则，，利用勾股定理可得，即得，，再根据锐角三角形函数可得，即得到，，进而由全等三角形的性质得，即得是等边三角形，最后根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 已知二次函数（a为常数）的图像过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图像上，且求m的取值范围； （3）若点，都在该二次函数的图像上，且，则n的最大值为 ; （4）记当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围为 ． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知该二次函数的开口向上，对称轴为直线，然后根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小；可知：，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解； （4）由题意可分当时，当时，当时，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：把点代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知：二次函数的表达式为， ∴该二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∵点，都在该二次函数的图像上，且， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小；可知：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵点，都在该二次函数的图像上， ∴点P、Q关于二次函数的对称轴对称，则有， ∴，即， ∵， ∴，化简得：， 由（2）可知：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，n有最大值，最大值为； 故答案为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 由，且二次函数的对称轴为直线，可分： ①当时，则有y随x的增大而减小，且，即， ∴， ∴， ∴当时，则， 即； ②当时，且，即，此时最小值， 当时，则有， ∴当时，最大值， ∴，即； 当时，最大值为， ∴，即； 综上所述：． 27. 在中，以为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． 【初步尝试】 （1）在图1中，连接，求证：； 【深入探究】 （2）在图2、图3中，，延长交线段于点． ①如图2，当点为线段的中点时，的值为； ②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，的值为 ． 【拓展延伸】 （3）在图中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】 （1）证明：∵三角形和三角形是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）①；②或；（3） 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可求解； （2）①延长至，使得，连接，证明，进而证明得出是等边三角形，则，即可求解； ②当点在边上，由①可得结论，当在边上，证明得出，延长分别交于点，则，延长交于点进而证明得出，，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）在的延长上取一点，使得，证明，得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，以为边在上方作等边三角形，同理可得，证明，得出是的中位线，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，即可得出当点在上时取得最大值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）略． （2）①如图，延长至，使得，连接 ∵点为线段的中点 ∴， 在中， ∴ ∴， ∵三角形和三角形是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； ②当点在边上时，由①可得； 当在边上时，如图，连接， ∵三角形和三角形是等边三角形， ∴，，， ∴ ∴ ∴，， ∴ 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵，即 ∴， 延长分别交于点，则，延长交于点， 设，，则，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 综上所述，或 （3）如图，在的延长线上取一点，使得， 又∵ ∴， ∴ 设，则， 又∵ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 以为边在上方作等边三角形， 同理可得 ∴ ∵是的中点， ∴ 当在点的下方时，如图 ∵ ∴ 又∵ ∴，即 当在点的上方时，同理可得 ∴ ∴ 连接，取的中点，连接 ∴是的中位线， ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在上时取得最大值， 如图，过点,分别作的垂线，垂足分别为， ∵是等边三角形 ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，过一点求与圆上一点的距离的最值问题，解直角三角形，构造全等三角形的和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 大 B. 美 C. 淮 D. 安 6. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于 x 的一元二次方程： 有两个相等的实数根，则实数a 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 8. 如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 10. 分式方程的解为_______． 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 15. 如图，二次函数图像的对称轴为直线，，是抛物线上不同的两点，若 ，则的取值范围是______． 16. 如图，在中，，，在中，，，，连接，则的长度为______． 三、解答题（本大题共11 小题，共102分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1） 计算∶ （2）解不等式： 并把解集表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：其中． 19. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 20. 九年级某班开展主题为“我爱淮安”的综合实践活动，班委会决定设置“运河”“高铁”“机场”共三个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在三张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同． （1）将这三张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“高铁”的概率为 ； （2）各小组从这三张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这三张卡片背面朝上洗匀后，娟娟同学代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，萍萍同学代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率． 21. 为加强对中学生文明素养教育，提升学生整体素质，某校决定举办“讲文明，树新风”活动．为了解学生对中学生文明素养基本规范的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 7.5 a 众数 b 8 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的 ， ， ． （2）你认为哪个年级的学生对文明素养基本规范的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 22. 西游乐园景区某商店销售一种纪念品，每件成本为40元，经市场调研，该纪念品的月销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）（（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． （1）求该纪念品的月销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）若商店某月销售这种纪念品共获利4000元，求该纪念品当月的销售单价． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像与一次函数的图像相交于、两点． （1）反比例函数表达式为 ，一次函数表达式为 ； （2）过直线上的点作轴，交反比例函数的图像于点．若点横坐标为，求点的坐标及 的面积． 24. 如图， 图为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具----“碓（）”的结构简图，图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若 分米， 分米，，求点到水平线的距离的长． 25. 中，，点在上，以为半径的圆交于点， 交于点，连接交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接， 若，求图中阴影部分的面积． 26. 已知二次函数（a为常数）的图像过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点，都在该二次函数的图像上，且求m的取值范围； （3）若点，都在该二次函数的图像上，且，则n的最大值为 ; （4）记当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则的取值范围为 ． 27. 在中，以为边在外部作等边三角形和等边三角形，且连接． 【初步尝试】 （1）在图1中，连接，求证：； 【深入探究】 （2）在图2、图3中，，延长交线段于点． ①如图2，当点为线段的中点时，的值为； ②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，的值为 ． 【拓展延伸】 （3）在图中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，则线段的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $