精品解析：四川省成都市郫都区嘉祥外国语学校2025—2026学年上学期12月质量监测九年级数学试卷

2025—2026学年度上期初2023级12月质量监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 4. 若定义表示，表示，则运算的结果为（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 该反比例函数图象经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D. 该反比例函数图象在第一、第四象限 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 第Ⅱ卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：___________． 10. 分式方程的解为________． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 12. 如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量x的取值范围是______． 13. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 15. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 （1）上述表格中：m=______，n=______； （2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自______树的可能性大； （3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 16. 图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长． 17. 如图，在中，，点 D是的中点，连接，过点 C作（，且，在 FC上取一点E，使，连接． （1）求证： 四边形 BEFD 是菱形； （2）连接BF，DE相交于点 O， 若的周长为30，求四边形BEFD的面积． 18. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； （2）如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． B卷（50分） 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____ 20. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 21. 如图，矩形中，是一元二次方程的两根，边在数轴上，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，若点E表示的数是3，则点A表示的数为_______． 22. 如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”．若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于、两点，由点、、、四点构成的四边形面积记为，则的取值范围为____________． 二、解答题（本题共3个小题，共30分，答题过程写在答题卡上） 24. “郫县豆瓣酱”是成都的一张美食名片，辣椒是制作“郫县豆瓣酱的关键原料之一，好的辣椒能决定豆瓣酱的品质，为了追求更好的品质，豆瓣酱厂用16000元从农科院购进A，B两种辣椒共制作两种豆瓣酱，其中A种辣椒收购单价为5元/，B种辣椒收购单价为6元/． （1）A，B两种辣椒各购进多少千克？ （2）已知A种辣椒从收购到制作的过程中质量会损失，豆瓣酱每千克辣椒所需配料费用约5元（辣椒可以制出 “郫县豆瓣酱”），若A种辣椒制作的“郫县豆瓣酱售出后至少要获得的利润，不计其他费用，求A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价． 25. 如图1，抛物线顶点坐标为，直线与抛物线交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C． （1）若点A的横坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）条件下，点M为直线上方的抛物线上一点．若，求点M的坐标； （3）如图2，将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点，直线，分别交抛物线于点M，N．求证：直线恒过一个定点． 26. 已知在中，，． 点D在上，连接，将绕点D顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若D是的中点，求的长； （2）如图2，M是的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接，求证： （3）如图3，M是直线的动点，若，连接，将沿翻折得．当取最小值时，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期初2023级12月质量监测 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：2025的相反数是， 故选：A 2. 芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上．下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．为考查所种杂交水稻的长势，随机抽取6株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是：，，，，，，则这组数据的中位数是（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 21，23 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义进行解答即可． 【详解】解：，，，，，，则这组数据的中位数是 故选：B． 4. 若定义表示，表示，则运算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据定义得： =3×m×n×2×（-2）×m2×n3 =-12m3n4， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键． 5. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 该反比例函数图象经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图象关于原点O成中心对称 D. 该反比例函数图象在第一、第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，求出时的函数值即可判断A；根据函数解析式可判断函数图象所在的象限和在每个象限内的增减性，据此可判断B和D；由反比例函数的对称性可判断C． 【详解】解：当时，，故该反比例函数图象不经过点，故A说法错误，不符合题意； ∵， ∴该反比例函数图象在第二和第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，故B和D说法都错误，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点O成中心对称，故C说法正确符合题意； 故选：C． 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 7. 如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 根据矩形性质得出，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为， ∵的周长为8， ∴的周长为24． 故选：C 第Ⅱ卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 10. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的最简公分母．将分式方程转化为整式方程求解，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母，得： ， ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，． 因此原分式方程的解是． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点，是一次函数与反比例函数的两个交点，则时自变量x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解答本题的关键．根据图象即可求得． 【详解】解：观察图象，时自变量的取值范围或． 故答案为：或． 13. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）2；（2），3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值，再计算乘方，零指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把对应分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式． 15. 【问题情境】大自然中的植物千姿百态，如果细心观察，就会发现：不同植物的叶子通常有着不同的特征，如果我们用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？“数智”小组的四位同学开展了“利用树叶的特征对树木进行分类”的项目式学习活动．同学们从收集的槐树叶、柳树叶中各随机选取10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 柳树叶的长宽比 2 2.4 2.1 2.4 2.8 1.8 2.4 2.2 2.1 1.7 槐树叶的长宽比 1.5 1.6 1.5 1.4 1.5 1.4 1.7 1.5 1.6 1.4 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 2.19 m 2.4 0.0949 槐树叶的长宽比 1.51 1.5 n 0.0089 【问题解决】 （1）上述表格中：m=______，n=______； （2）①这两种树叶从长宽比的方差来看，______树叶的形状差别较小； ②该小组收集的树叶中有一片长为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，这片树叶来自______树的可能性大； （3）该小组准备从四位成员中随机选取两名同学进行成果汇报，请用列表或画树状图的方法求成员小颖和小娜同时被选中的概率． 【答案】（1）2.15；1.5 （2）①柳；②杨 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差等统计量，用列表法或树状图法求概率．掌握相关定义是关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）①根据题目给出的方差判定即可；②根据树叶的长宽比判定即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将杨树叶的长宽比按从小到大的顺序排序为： 1.7，1.8，2，2.1，2.1，2.2，2.4，2.4，2.4，2.8， 则其中位数是第5和第6的平均数，即：； 柳树叶的长宽比的众数为1.5； 故答案为：2.15，1.5； 【小问2详解】 解：①：杨树叶的长宽比的方差为0.0949大于柳树叶的长宽比的方差0.0089，柳树叶的形状差别较小； 故答案为：柳； ②∵该小组收集的树叶中有一片为6.5cm，宽为2.8cm的树叶，则长宽比为2.3， ∴这片树叶来自杨树的可能性大； 故答案为：杨； 【小问3详解】 四名同学用A，B，C，D表示，其中A表示小颖，B表示小娜，根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由列表（或树状图）可知共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中小颖和小娜同时被选中的结果共有2种． ∴P（小颖和小娜同时被选中的概率）． 16. 图1是凸透镜成像示意图，蜡烛发出的光线平行于直线，经凸透镜折射后，过焦点F，并与过凸透镜中心O的光线交于点D，从而得到像．其中，物距，像距，焦距，四边形是矩形，，． （1）如图2，当蜡烛在离凸透镜中心一倍焦距处时，即，请用所学的数学知识说明此时“不成像”； （2）若蜡烛的长为，物距，焦距，求像距v和像的长． 【答案】（1） 解：∵四边形是矩形 ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴ 则与无交点 即此时“不成像”； （2）像的长为厘米，像距v为厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质等知识． （1）先证明得出，即，得出与无交点即可求解； （2）根据可得和，根据相似三角形的性质可列二元一次方程组，解方程组即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由和可知： ∴ 答：像的长为，像距v为． 17. 如图，在中，，点 D是的中点，连接，过点 C作（，且，在 FC上取一点E，使，连接． （1）求证： 四边形 BEFD 是菱形； （2）连接BF，DE相交于点 O， 若的周长为30，求四边形BEFD的面积． 【答案】（1）证明：如图， ， ∴四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， ，点D是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）120 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识． （1）证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，由（1）知， 由（1）知四边形是菱形， ， 的周长为 ， 在中， ， ， ， ， 菱形的面积为． 18. 对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则． （1）如图，若直线与直线为“等腰三角线”，且点的坐标分别为，求直线的解析式； （2）如图，直线与双曲线交于点，点是双曲线上的一个动点，点的横坐标分别为，直线分别与轴于点； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点作轴的垂线，在直线上存在一点；连接，当时，求出线段的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2） ①证明：如图， ∵直线与双曲线交于点，联立得： ， 解得：或， ∴、； ∵的横坐标，且在双曲线的图象上， ∴的坐标为， 设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为， ∴当 时，，即； ∴设直线的解析式为，将代入得： ， 解得：， ∴的解析式为为， ∴当时，，即， 过点作轴的垂线， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴直线与直线为“等腰三角线”； ② 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、反比例函数与一次函数交点求解、新定义理解应用.三角形相似判定与性质等知识． ()利用“等腰三角线”的性质，可知，根据等腰三角形的性质求出的坐标，设直线的解析式为，将点的坐标代入计算即可； ()①先求出直线的解析式，在求出垂直平分，得，求出，即可得答案；②设交于点，求出，得，再求出，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴的解析式为； 【小问2详解】 ①略 ②解：设交于点，如图， ∵直线与直线为“等腰三角线”， ∴平分，垂直平分， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． B卷（50分） 一、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 若，则代数式的值为_____ 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，平方差公式的运用，掌握整式，分式的混合运算，平方差公式是关键． 根据题意得到，根据整式，分式的混合运算将原式变形得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴原式， 故答案为： ． 20. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，设，由黄金分割点的定义得，，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形， 设， ∵点E是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 21. 如图，矩形中，是一元二次方程的两根，边在数轴上，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，若点E表示的数是3，则点A表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则由矩形的性质和勾股定理可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 22. 如图，在中，，的高线与角平分线交于点F，若．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，矩形的判定与性质，角平分线的性质，分式方程化为一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 过点E作于点P，于点M，推导出四边形为矩形，设，证明，，推导出，，，由得到，，求出，，由，得到，即，设，得，解得（不符合题意，舍去）则，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点M，如图 有， ∴四边形为矩形， ∴， 设， ∵平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ， ， 设，得， 即， 解得（不符合题意，舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象上存在一点，绕原点顺时针旋转后的对应点（点与不重合）仍在此函数图象上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点称为这个函数的“凡尔赛点”，点叫作点的“后凡尔赛点”．若点是二次函数（其中为常数，）的“凡尔赛点”，点为的“后凡尔赛点”，此二次函数图象与轴交于、两点，由点、、、四点构成的四边形面积记为，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点的坐标为，再代入二次函数的解析式可得，然后设点的坐标为，点的坐标为，求出的长，根据求出关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，轴于点， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点位于第四象限， ∴， 由题意得：， 将点，代入二次函数得：， 解得， ∴， 设点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴与的边上的高之和等于， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标与旋转变换、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、解答题（本题共3个小题，共30分，答题过程写在答题卡上） 24. “郫县豆瓣酱”是成都的一张美食名片，辣椒是制作“郫县豆瓣酱的关键原料之一，好的辣椒能决定豆瓣酱的品质，为了追求更好的品质，豆瓣酱厂用16000元从农科院购进A，B两种辣椒共制作两种豆瓣酱，其中A种辣椒收购单价为5元/，B种辣椒收购单价为6元/． （1）A，B两种辣椒各购进多少千克？ （2）已知A种辣椒从收购到制作的过程中质量会损失，豆瓣酱每千克辣椒所需配料费用约5元（辣椒可以制出 “郫县豆瓣酱”），若A种辣椒制作的“郫县豆瓣酱售出后至少要获得的利润，不计其他费用，求A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价． 【答案】（1）A种辣椒购进2000千克，B种辣椒购进1000千克 （2）A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价为元/千克 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A种辣椒购进x千克，B种辣椒购进y千克，根据一共购买3000千克辣椒且花费16000元建立方程组求解即可； （2）设A种辣椒制作的”郫县豆瓣酱的销售单价为m元，根据利润等于销售额减去总成本列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种辣椒购进x千克，B种辣椒购进y千克， 由题意得，， 解得， 答：A种辣椒购进2000千克，B种辣椒购进1000千克； 【小问2详解】 解：设A种辣椒制作的”郫县豆瓣酱的销售单价为m元， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为， 答：A种辣椒制作的郫县豆瓣酱最低销售单价为元/千克． 25. 如图1，抛物线顶点坐标为，直线与抛物线交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C． （1）若点A的横坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）条件下，点M为直线上方的抛物线上一点．若，求点M的坐标； （3）如图2，将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点，直线，分别交抛物线于点M，N．求证：直线恒过一个定点． 【答案】（1） （2）点M的坐标为或 （3）直线经过定点 【解析】 【分析】（1）由直线解析式求得A点的坐标，然后代入，即可求得m的值，从而求得抛物线的解析式； （2）设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，根据三角形面积为3，求出t的值，M点的坐标即可求出； （3）先求出抛物线的解析式为，由，可得，设直线的解析式为，由，，设直线的解析式为，由，可得，通过整理可得，设直线的解析式为，由，然后可求直线过定点． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线解析式为， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由，解得或， ∴， 把代入，可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则， ∴． 整理得， 解得． 故点M的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴联立直线与抛物线可得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴令时，则有， ∴直线经过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用根与系数的关系是解题的关键． 26. 已知在中，，． 点D在上，连接，将绕点D顺时针旋转得线段，连接． （1）如图1，若D是的中点，求的长； （2）如图2，M是的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接，求证： （3）如图3，M是直线的动点，若，连接，将沿翻折得．当取最小值时，求 【答案】（1） （2） 证明：过点E作交的延长线于点Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长，二线交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交的延长线于点M，证，后根据解答即可． （2）过点E作交的延长线于点Q， 证明，得到四边形四边形是矩形，再证明，得到，延长，二线交于点G，再根据勾股定理得到，等量代换得证 （3）根据沿翻折得，得到，根据，得到三点共线时， 取得最小值，过点M作，垂足分别为G，F， 根据折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，角的平分线的性质解答即可． 【小问1详解】 解：过点E作交的延长线于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，，， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴ ∵， ∴， 故三点共线时， 取得最小值，且最小值为． 过点M作，垂足分别为G，F， ∵沿翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，两点之间线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $