精品解析：河北省邢台市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次（12月）月考数学试题

邢台一中2025—2026学年第一学期第三次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修一 高考研究中心 命题人：胡文灵 一审：高俊花 二审：月婷 说明： 1.本议卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 已知椭圆焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知为抛物线上一点，且点的纵坐标为，则当变化时点到焦点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则最大值为 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 11. 已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的离心率为 C. M到两渐近线的距离之积为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上一点满足，则点到x轴的距离是__________. 14. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积． 16. 已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程； 17. 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 18. 如图，四棱锥中，，． （1）证明：平面； （2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； （3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 19. 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于两点，求证：定值； （3）记为轨迹上顶点，过点作相互垂直的两条直线分别与轨迹相交于两点.设直线的斜率为且，若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台一中2025—2026学年第一学期第三次月考 高二年级数学试题 考试范围：选择性必修一 高考研究中心 命题人：胡文灵 一审：高俊花 二审：月婷 说明： 1.本议卷共4页，满分150分. 2.请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效 一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求得焦点和准线，即得答案. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为， 准线方程为， 故焦点到准线的距离为2． 故选：B． 2. 已知椭圆的焦距等于2，则其离心率的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】讨论焦点所在坐标轴求出，进而确定求出离心率. 【详解】因为椭圆焦距等于，所以， 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以； 若椭圆焦点在轴，则，解得，所以. 所以其离心率为或， 故选：A 3. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】依题意，， 由为双曲线的焦点，得， 所以，故渐近线方程为. 故选：C 4. 若圆与双曲线（，）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由圆与渐近线相切得到，进而求出离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨取其中一条渐近线，即， 则，即， ∴. 故选：A. 5. 已知为抛物线上一点，且点的纵坐标为，则当变化时点到焦点的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的坐标，利用抛物线的定义结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】将代入抛物线的方程得，即点，其中， 抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，点到焦点的距离的最小值为. 故选：B. 6. 直线与圆交于两点，若，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设中点为，根据得到，利用圆内直角三角形得到；又由直线与圆相交得到，从而得到关于的不等式，求解即可. 【详解】设中点为，则，因为，所以， 即，又，所以， 直线与圆交于两点，所以 所以，有，因为，所以 故选：B. 7. 在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出双曲线的半焦距，再求出渐近线，即可推导出是等腰直角三角形，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】因为等轴双曲线的实轴长为， 则双曲线的半焦距， 所以双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以， 由，即为的中点，又为的中点， 所以，则，， 所以为等腰直角三角形，所以. 故选：C 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号）， 又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则， 由，得，由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误； ，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 11. 已知双曲线C：的实轴长为4，左、右焦点分别为，，左顶点为A，平行于x轴的直线l与C左、右两支分别交于M，N两点，且直线AM，AN的斜率之积为－4，P为C的右支上一点，若，则（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的离心率为 C. M到两渐近线的距离之积为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，由条件可解出，进而可判断AB；利用点到直线的距离公式计算可判断C；由双曲线的定义及，可计算出，再通过向量的运算可判断D. 【详解】设，则，有，即， 则，又， 则，，，所以C的方程为， 故渐近线方程为，A错误； ，B正确； 因为，则，即， 所以点M到C的两条渐近线的距离之积为，C正确； 由双曲线定义得．由， 得， 解得，则， 所以，D正确． 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线上一点满足，则点到x轴的距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出的坐标，利用向量垂直的坐标表示结合点在双曲线上可求的纵坐标，从而可求点到x轴的距离. 【详解】由题设可得半焦距，故， 设，则， 因为，故即， 由得，故点到x轴的距离是， 故答案为：. 14. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】结合椭圆的定义、圆的几何性质以及勾股定理列方程，化简求得椭圆的离心率. 【详解】连接，由于线段是圆的直径，所以， 设，所以，， 在直角三角形中，，①， 在直角三角形中，，整理得，代入①得： ，. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线：的一个焦点坐标为，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，为坐标原点． （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为1的直线且与双曲线交于，两点，求的面积． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用渐近线方程和焦点坐标可求出值，从而可得双曲线方程； （2）利用弦长公式和点到直线的距离公式来求解三角形面积即可. 【小问1详解】 由于双曲线：的渐近线方程为， 且一条渐近线的倾斜角的正切值为，所以， 又因为一个焦点坐标为，所以， 联立上两式解得：， 故双曲线的方程为； 【小问2详解】 设过点作斜率为1的直线的方程为：， 与双曲线联立，消元得：， 设，则 所以， 焦点到直线的距离为， 所以的面积为. 16. 已知圆过点，且与直线相切于点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，根据题意由求解； （2）易得圆心C到直线的距离，再分直线斜率不存在和存在，利用点到直线的距离公式求解. 【小问1详解】 解：设圆心坐标为， 则， 解得：， 圆半径， 圆C的方程为：. 【小问2详解】 为直角三角形，， ， 则圆心C到直线的距离； 当直线斜率不存在，即时，满足圆心C到直线的距离； 当直线斜率存在时，设，即， ，解得：， ，即； 综上所述：直线的方程为或. 17. 过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点． （1）若线段中点的横坐标为1，求的值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）3； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合抛物线的定义，即可求解. （2）设直线的方程为，联立方程组，得到且，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 抛物线的焦点，设， 由线段中点的横坐标为，得，由抛物线定义得， 所以. 【小问2详解】 由直线过点，设直线的方程为， 由消去并整理得， 由，得，且， 则， 所以的取值范围为. 18. 如图，四棱锥中，，． （1）证明：平面； （2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值； （3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，由线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，确定球心位置，然后利用线面角的坐标求法求解即可； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD和平面PBC的法向量，利用法向量数量积为0可得b的范围，进而求解. 【小问1详解】 在平面ABCD中，因为，，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面ABC，平面， 所以，，又因为， 以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 因为中，，所以外心为AC中点， 故三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，故设， 又因为，所以，故，所以， 所以，又因为，， 设平面PBC的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PBC的一个法向量为， 设直线AO与平面PBC所成角为， 则. 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，设，所以，，设平面PAD的一个法向量为， 于是令，得，， 所以平面PAD的一个法向量为， 同理平面PBC的一个法向量为， 又因为平面PAD平面PBC， 所以，所以，所以 又因为，，且， 所以，所以或 当时，， 当时，， 故. 19. 已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线与轨迹交于两点，求证：为定值； （3）记为轨迹上顶点，过点作相互垂直的两条直线分别与轨迹相交于两点.设直线的斜率为且，若，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据条件建立方程，化简即可求解； （2）设，联立直线与椭圆方程，利用根与系间的关系得，再利用两点间的距离公式，得，即可求解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，求出，结合条件，即可求解. 小问1详解】 由题有，化简得到， 即，所以动点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 设， 由，消得到，由，解得, 此时， 又， 则， 所以为定值. 【小问3详解】 易知两条直线的斜率存在且不为，设， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由，消得到，解得或 所以，同理可得， 又， 同理可得， 由题可得，整理得到， 即，解得或或， 又，所以的值或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $