专题03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（热点专练）（北京专用）2026年高考数学二轮复习讲练测

专题03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：函数单调性、奇偶性、周期性、对称性为核心命题点。考查形式分两类：一是单独考查，以选择、填空题为主，分值4-5分，难度中档；二是综合融合，与导数、抽象函数深度结合，呈压轴难度。命题特点侧重性质间关联，常与函数图像、不等式等综合考查。 核心考查内容：单调性聚焦定义证明、导数求区间及应用；奇偶性以定义域对称为前提，涉判断、补解析式等；周期性侧重定义理解与周期推导；对称性关注对称公式及与周期性关联。能力要求侧重逻辑推理、运算求解，以及数形结合、转化与化归思想的运用。 预测2026年：大概率延续函数性质综合考查趋势，单调性仍为核心，可能结合含参复合函数考查分类讨论；奇偶性、周期性与对称性常绑定命题，侧重抽象函数情境下的性质推导。多融入不等式、零点等知识点，以小题为主，渗透数形结合思想，难度维持中等偏上，强调逻辑推理能力。 题型01函数的单调性及应用 【例1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【变式训练】 【变式1-1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1-3】若函数为奇函数，且在单调递减，则下列函数在一定单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型02利用函数的单调性求最值 【例3】已知函数，则函数的最大值为 . 【例4】已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式训练】 【变式2-1】已知函数，则的最大值为 （   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数在上的最小值是1，则 . 【变式2-3】已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型03利用函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 【例5】若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6】若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式3-1】已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 题型04函数的奇偶性及应用 解｜题｜策｜略 （1）判断奇偶的方法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 【例7】若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【例8】已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【变式训练】 【变式4-1】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则 . 【变式4-3】已知和都是定义在上的奇函数，设则（    ） A．不可能是增函数 B．不可能是偶函数 C． D． 题型05奇函数+常数型求值 【例9】已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【例10】已知函数为偶函数，若，则的值为 （    ） A． B． C．2019 D．2025 【变式训练】 【变式5-1】已知函数且，则 . 【变式5-2】已知，若，则 . 【变式5-3】已知函数，若，则 ． 题型06函数的对称性及应用 解｜题｜策｜略 对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的对称中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 【例11】函数的图象的对称中心的坐标为 . 【例12】“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练】 【变式6-1】已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式6-2】若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】若对，有，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型07函数的周期性及应用 解｜题｜策｜略 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 【例13】定义在上的函数满足，且当时，则（    ） A． B． C．2 D． 【例14】已知定义在上的函数满足（是正常数）恒成立，且函数为偶函数，若，则 . 【变式训练】 【变式7-1】已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】已知是定义在上的奇函数，且，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式7-3】设定义在上的函数满足，则等于（    ） A． B． C． D． 题型08利用函数性质比较大小 【例15】已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式8-1】已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 题型09利用函数性质解不等式 【例17】定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【例18】已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式9-1】已知定义在R上的函数满足，对任意的且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型10类周期函数及应用 【例19】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例20】定义域为的函数满足，当时，，若时， 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 【变式10-1】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是 【变式10-3】定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （建议用时：20分钟） 十一、未命名题型 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 5．（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则 ． 9．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 . 10．（2025·26高三上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 12．（2025·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 内容导航 热点聚焦 方法精讲 能力突破 热点聚焦·析考情 锁定热点，靶向攻克：聚焦高考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 题型引领·讲方法 系统归纳，精讲精练：归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 能力突破·限时练 实战淬炼，高效提分：精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：函数单调性、奇偶性、周期性、对称性为核心命题点。考查形式分两类：一是单独考查，以选择、填空题为主，分值4-5分，难度中档；二是综合融合，与导数、抽象函数深度结合，呈压轴难度。命题特点侧重性质间关联，常与函数图像、不等式等综合考查。 核心考查内容：单调性聚焦定义证明、导数求区间及应用；奇偶性以定义域对称为前提，涉判断、补解析式等；周期性侧重定义理解与周期推导；对称性关注对称公式及与周期性关联。能力要求侧重逻辑推理、运算求解，以及数形结合、转化与化归思想的运用。 预测2026年：大概率延续函数性质综合考查趋势，单调性仍为核心，可能结合含参复合函数考查分类讨论；奇偶性、周期性与对称性常绑定命题，侧重抽象函数情境下的性质推导。多融入不等式、零点等知识点，以小题为主，渗透数形结合思想，难度维持中等偏上，强调逻辑推理能力。 题型01函数的单调性及应用 【例1】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【例2】已知偶函数在区间上单调递减，则函数的单调增区间是 ． 【答案】 【详解】因为偶函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 又因为，则函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度得到， 所以函数的单调增区间是． 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系． 【变式训练】 【变式1-1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项：开口向上，对称轴，所以在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度，所以在在上单调递减，故不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以不符合题意. 对于选项：是向右平移了两个单位长度， 所以在上单调递增，则在上单调递增，符合题意. 故选. 【变式1-2】函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 【变式1-3】若函数为奇函数，且在单调递减，则下列函数在一定单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意函数为奇函数，且在单调递减， 则函数关于点 对称，且在 上都是单调递减， 作出其图象示意图如图： 对于A，图象是将的图象向右平移一个单位得到，在上的单调性不确定，故A不正确； 对于B，的图象是由的图象关于y轴对称，再向右平移一个单位得到，作出其示意图： 可知在上的单调性不确定，故B不正确； 对于C，是将的图象横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位，结合图象可知，在上的单调性不确定，故C不正确； 对于D，的图象是由的图象关于y轴对称，再向左平移一个单位得到，作出其示意图： 可知在上的单调递增，故D正确； 故选：D 题型02利用函数的单调性求最值 【例3】已知函数，则函数的最大值为 . 【答案】/ 【详解】由题意得，， 设任意，，且， 则， 由，，，则，， 所以，即， ， 所以在区间上是增函数，可得 故答案为： 【例4】已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意函数知，函数定义域为R， 则， 故，所以为奇函数， 而在R上单调递增，则在R上单调递增， 由，得， 则， 则， 当时，取最小值， 故选：C 【变式训练】 【变式2-1】已知函数，则的最大值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，在上单调递增， 此时，， 当时，在上单调递减， 此时，， 综上可知，的最大值为. 故选：B. 【变式2-2】已知函数在上的最小值是1，则 . 【答案】/ 【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意； 若，则的定义域为， 且由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，不符合题意； 若，则的定义域为， 由题意可得，则， 此时由复合函数的单调性可知在上单调递增， 则最小值为，解得，符合题意； 综上， . 故答案为： 【变式2-3】已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】令，则，得， 令，则， 所以， 所以为奇函数， 任取，且，则，， 所以 ， 所以， 所以在上递减， 所以当时，的最大值为， 因为，所以， 所以， 故选：D 题型03利用函数的单调性求参数 解｜题｜策｜略 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 【例5】若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 【例6】若是上的增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，若为单调递增函数，则； 当时，为单调递增函数， 若是上的增函数，需有，解得． 故选：B． 【变式训练】 【变式3-1】已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 【变式3-2】若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数， 在上的最大值为. 若，，求导得， 要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得， 因为，则，所以， 若在上单调递增，则②，解得， 所以. 故选：C. 【变式3-3】已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 题型04函数的奇偶性及应用 解｜题｜策｜略 （1）判断奇偶的方法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 【例7】若函数为奇函数，则实数（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】函数为奇函数，故必有成立， 即，解得， 则此时，定义域为， 而，即函数为奇函数，符合题意， 故， 故选：C 【例8】已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 由，得， 令，则，所以函数为奇函数， 因为函数在上的最大值为， 所以函数在上的最大值为， 故函数在上的最小值为4， 从而函数在上的最小值为5， 故选：D. 【变式训练】 【变式4-1】函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得的定义域为， 且，所以函数为奇函数， 则函数的图象关于 轴对称，可排除B、D项； 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 所以选项A中的图象符合题意，故函数的图象为选项A. 故选：A. 【变式4-2】已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则 . 【答案】 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①， 因为是奇函数， 所以， 所以，即②， ①②，并整理得. 故答案为： 【变式4-3】已知和都是定义在上的奇函数，设则（    ） A．不可能是增函数 B．不可能是偶函数 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则，是增函数， 且，故A，C错误； 设， 则， 此时为偶函数，故B错误； 对于D，对任意， 若，则， 即， 由题意可知, 所以，， 所以， 所以； 若上式也成立，故D正确. 故选：D. 题型05奇函数+常数型求值 【例9】已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 【例10】已知函数为偶函数，若，则的值为 （    ） A． B． C．2019 D．2025 【答案】B 【详解】由，得， 设，易知函数的定义域为R， 则 ， 所以，即为奇函数. 所以，即， 所以，又， 所以. 故选：B 【变式训练】 【变式5-1】已知函数且，则 . 【答案】/ 【详解】由，得，所以， . 故答案为：. 【变式5-2】已知，若，则 . 【答案】-5 【详解】已知函数，定义域， 解得：或，定义域关于原点对称， 令， 对定义域内的，有 因此是奇函数，已知，则， 由为奇函数得， 所以 故答案为： 【变式5-3】已知函数，若，则 ． 【答案】1 【详解】函数， 若， 则 则，所以. 故答案为：1. 题型06函数的对称性及应用 解｜题｜策｜略 对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的对称中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 【例11】函数的图象的对称中心的坐标为 . 【答案】 【详解】因为函数， 所以是由先向右平移，再向上平移得到的.而函数的对称中心为， 所以的对称中心为. 故答案为： 【例12】“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 【变式训练】 【变式6-1】已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【详解】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 【变式6-2】若函数的图象关于直线对称，且与的图象关于点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数过点， 而点关于直线对称的点为， 因为函数的图象关于直线对称， 所以点在函数的图象上， 则，即，则， 设函数图象上的点关于点的对称点为， 所以，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，所以. 故选：B 【变式6-3】若对，有，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】令，则，所以， 令，则得， 由可得， 所以关于点对称， 所以的最大值与最小值之和是8． 故选：C． 题型07函数的周期性及应用 解｜题｜策｜略 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 【例13】定义在上的函数满足，且当时，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】，故的一个周期为2， 所以. 故选：D 【例14】已知定义在上的函数满足（是正常数）恒成立，且函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【详解】因为偶函数， 则 ，即得 又由，可得 故，即， 从而， 又是正常数，则是函数的一个周期， 故. 故答案为：. 【变式训练】 【变式7-1】已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C 【变式7-2】已知是定义在上的奇函数，且，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，即，则， 故4是函数的一个周期， 于是. 故选：A. 【变式7-3】设定义在上的函数满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在①中，以替换可得②， ①②两式相除可得，所以， 所以函数是周期函数，且为周期， 所以． 当时，，又， 所以，所以． 故选：C． 题型08利用函数性质比较大小 【例15】已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，当时，恒成立， 可得函数在上单调递增， 又由函数的图象关于对称，可得，， 则有，即. 故选：D. 【例16】已知定义在上的偶函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 而函数是增函数，所以， 而由函数的图象得， 因此， 又因为定义在上的偶函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 因此，即. 故选：D. 【变式训练】 【变式8-1】已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵在R上为偶函数， ∴，∴关于对称. ∵在R上为奇函数，∴， ∴关于对称，且， ∵，∴（将上式中的x换成）①， 又∵，∴②， ∴由①②得：③， ∴由③得：④（将③中的x换成）， ∴由③④得：， ∴的一个周期为，且，关于对称， 又∵对任意的，且，都有， ∴在上单调递增， ∴在一个周期内的草图为： ∴， ， ∴如图所示：， 即：， 故选：C． 【变式8-2】已知函数 是定义在上的偶函数，且在 上为增函数，设，，则 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数， 所以函数在上为减函数， 又 ，， 所以，则， 故选：B 【变式8-3】已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 题型09利用函数性质解不等式 【例17】定义在上的奇函数，满足，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，函数满足，可得， 所以函数是周期为4的函数. 又由为上的奇函数，可得， 所以，可得函数的图象关于直线对称. 因为当时，， 当时，， 所以，所以， 当， 所以， 可得函数的图象，如图所示， 当时， ，解得或， 所以不等式的解集为.    故选：C 【例18】已知是定义在上的奇函数，且满足当时，，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数是定义在上的奇函数，则满足，且， 当时，，因为都是增函数， 可得在上为单调递增函数，所以在上也是单调递增函数， 所以函数在上为单调递增函数，且，， 在不等式，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式训练】 【变式9-1】已知定义在R上的函数满足，对任意的且，均有恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于直线对称， 又因等价于， 即，依题意，可知函数在上单调递增， 由函数图象对称性可知，函数在上单调递减. 故由可知图象上横坐标为的点到直线的距离大于图象上横坐标为的点到直线的距离， 即，即，两边取平方整理得，解得. 故选：C. 【变式9-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 【变式9-3】已知函数在R上是奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在R上是奇函数，故， 故， 当时，单调递增， 令，解得，故， 结合函数为奇函数，作出的图象，如图所示. 由得或， 由图象得或， 所以或， 即不等式的解集是 故选：B 题型10类周期函数及应用 【例19】设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，解得， 所以要使对任意，都有，则，， 故选：B． 【点睛】 易错点睛：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 【例20】定义域为的函数满足，当时，，若时， 恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，. 因为，所以，即. 时，函数最小值为， 时，函数最小值为， 故在区间上，函数最小值为. 当时，最小值为， 同理，当时，最小值为， 在直角坐标系内，画出时图象， 所以，化简可得：， 即：，解得. 故选：C. 【变式训练】 【变式10-1】设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对称轴为，所以当时，的最小值为； 当时，，由知，，所以此时，其最小值为； 同理，当时，，其最小值为； 当时，的最小值为； 作出如简图，因为，要使， 则有.解得或， 要使对任意，都有，则实数的取值范围是. 故选:. 【点睛】关键点睛: 本题的关键是求出x∈(0，1]，x∈(1，2]，x∈(2，3]时函数的图象和值域，结合图象求出a的取值范围. 【变式10-2】设函数的定义域为，且满足，当时，，若时，的最大值为1，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】定义在上的满足，即自变量增加一，函数值变为2倍. 根据时解析式画出函数草图. 由于时，函数,令，则. 由于时，1，故必满足. ①首先时， ②其次时，无最大值. ③而当时，最大值为2. 综上知：. 故答案为 【点睛】本题考查已知函数最值求出参数的取值范围，考查函数的性质及数形结合思想，属于中档题。 【变式10-3】定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，，所以， 又因为函数满足，所以函数的部分图像如下， 由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误. 故选：B. （建议用时：20分钟） 十一、未命名题型 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ， 即或， 则或， 解得或， 所以解集为． 故选：C． 3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，对任意的，恒有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】C 【详解】对于A：令，则， 又，所以，故A错误； 对于B：因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C：令，则， 即，得。由的任意性可知，故C正确； 对于D：令，则， ，则， 所以，可得， 可知是周期为6的周期函数． 所以，故D错误． 故选：C． 5．（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C 6．（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 7．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数满足，若函数与图象的交点为、、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为满足，则函数的图象关于点对称， 设，则函数的定义域为， 因为，故函数的图象关于点对称， 所以函数、的图象的交点也关于点对称， 不妨设，则，，，， 令，则， 故，故， 由对称性知，，，， 令，则， 故，故， 因此， 故选：C. 8．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知定义在上的函数与满足，其中为奇函数，的图象关于直线对称，且，则 ． 【答案】4 【详解】已知为奇函数， 则，即， 用代替，则，即． 因为的图象关于直线对称，所以． 已知，则， 用代替，可得， 由和， 可得，即， 因为，且， 将两式相加可得， 用代替，则． 由和，可得， 所以函数的周期为4． 因为，用代替，则． 由和，且， 可得，即， 所以函数的周期也为4． 由，令，得，即， 所以， ． 所以． 故答案为：4． 9．（2025·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·26高三上·云南楚雄·月考）已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则 ． 【答案】12 【详解】由知的图像关于直线对称， 又的图像也关于直线对称， 所以函数与的图像有6个交点， 分3对交点分别关于直线对称，每对交点的横坐标之和为4，所以． 故答案为：12. 11．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】已知，则， 由，得 即对所有成立． 若，化简得，不满足对所有成立，舍去； 若，化简得，解得． 将代入，得 不等式，即，即，即， ∵，∴，即， ∴． 故答案为：． 12．（2025·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当时，恒成立．若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得， ，且，则， 又因为，所以， 所以，则， 令，则，故在上单调递增， 因为为上的偶函数，所以为上的偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以，即为， 即，则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $