专题强化01：数列通项公式的常考求法十大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学讲义通过表格系统梳理数列通项公式的常考求法，将累加法、累乘法、构造法等方法的适用类型、变形要点清晰呈现，构建“方法原理-适用场景-注意事项”的知识脉络，直观展示各方法内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于题型设计的递进性与方法指导的精准性，如累加法结合具体递推式例题培养推理能力，构造法通过待定系数法变形训练符号意识与模型观念。专题训练涵盖选择、填空等分层题型，基础题巩固方法，综合题提升应用能力，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

专题强化01：数列通项公式的常考求法 【由递推关系式求数列通项公式的方法，】 方法 适用类型 要点 累加法 变形为，利用求解.注意根据累加法求出之后，要检验时是否成立. 累乘法 变形为，利用求解.注意根据累乘法求出之后，要检验时是否成立. 构造法 （且，，） 变形为（其中，，可用待定系数法求），可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求得. 取倒数法 （是常数，） 变形为.①若，则是等差数列，且公差为，可用公式法求通项；②若，则转化为型，再利用构造法求解. 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：累加法求通项公式 若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项. 【例1】．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 【变式2】．（2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则 ； 【答案】 【详解】， ， ．显然满足上式， ． 故答案为：. 题型二：累乘法求通项公式 若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项. 【例2】．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， ， 可得， 经检验，满足条件，则. 故答案为：. 【变式1】．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，．若，则 ． 【答案】2010 【分析】通过数列的递推关系求出数列的通项公式，进而根据已知的数列值求出对应的项数. 【详解】由已知得，，所以有， 因为①， 所以②， 用②-①可得：，移项得到：， 于是有：， 上述个式子相乘得到，，所以， 由，可得. 故答案为：2010. 题型三：an与Sn的关系求通项公式 题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解. 【例3】．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】当时，由，可得的值，当时，由，代入化简，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 综上，. 故答案为： 【变式1】．（25-26高三上·河南·月考）在数列中，已知其前项和则当为奇数时， ． 【答案】 【分析】当时，代入解析式，可得的值，当n为大于1的奇数时，根据，结合解析式，化简计算，综合即可得答案. 【详解】当时，， 当时，且为奇数时，为偶数， 所以，， 所以， 综上， 【变式2】．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 【答案】 【详解】由可得，两式作差得，即， 又，所以，，不满足， 所以 故答案为： 题型四：观察法求通项公式 【例4】．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【变式1】．（18-19高一下·吉林长春·期中）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 【答案】/ 【分析】观察图形的点数，找出规律进行归纳总结即可. 【详解】，，，，， 归纳得. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高二下·四川成都·月考）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去 个小正方形.    【答案】 【分析】利用观察法可得每次删掉的正方形数构成等比数列，再利用等比数列的前项和公式求解. 【详解】依题意，每次删掉的正方形数构成公比为4，首项为5的等比数列， 所以经过n次操作后，共删去的正方形个数. 故答案为： 题型五：构造法求通项公式 当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}. 1：构造等比数列 【例5】．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式2】．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足，，则 【答案】 【分析】由题意可得偶数项的递推公式，利用构造法以及等差数列的通项，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，即，易知， 所以数列是以为首项，以为公比的等差数列， 则，故. 故答案为：. 2：构造等差数学 【例6】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为 ． （2）已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】（1）利用构造法求出数列通项； （2）由变形给定等式，再利用构造法求出数列通项. 【详解】（1）由，得，而，则， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列，， 所以. （2）数列中，，当时，，解得. 当时，，两式相减得，即， 整理得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，所以． 故答案为： ； 题型六：定义法求通项公式 【例7】．（23-24高三上·天津和平·月考）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法求解即得. 【详解】数列满足，，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即， 因此，显然的周期为4， 则 ， 令，则有， 因为， 所以数列是等差数列， 所以数列的前100项和，即数列的前25项和为. 故选：B. 【变式1】．（24-25高二下·四川成都·月考）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得，当时，，结合题意可得，即是首项为3，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式可得，可得，继而即可求解. 【详解】当时，，所以， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：. 【变式2】．（23-24高三下·河南·月考）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1056 B．1123 C．1315 D．2627 【答案】D 【分析】将已知变形得到为等差数列，进而求得，然后得到，用时，求解. 【详解】因为，所以， 所以数列是首项为1公差为1的等差数列，所以， 所以，所以. 故选：D 题型七：由递推公式求通项公式 【例8】．（25-26高三上·天津东丽·月考）已知数列满足，求 ． 【答案】30 【分析】根据条件，整理变形，结合等差数列的定义，可得为等差数列，代入公式，求出，即可得答案. 【详解】因为， 所以，又， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为：30 【变式1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】4051 【分析】利用递推公式化简，作差，得到数列的周期性，利用周期性可得答案. 【详解】由已知得，因为， 所以， 所以， 两式相减，得， 所以， 即是以3为周期的数列， 又， 所以. 故答案为：4051 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】350或357 【分析】讨论的奇偶性，结合递推关系求项判断数列的周期性，进而求. 【详解】当为奇数时，，则， 数列的项依次为， 数列是周期为3的数列，所以； 当为偶数时，，则， 数列的项依次为， 数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列， 所以. 故答案为：350或357 题型八：求通项公式的综合问题 【例9】．（25-26高二上·天津津南·月考）（1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据与的关系得数列是等比数列，进而求出通项； （2）根据等比数列的定义证明，再利用等比数列的通项公式求解； （3）由，得，两式相减即可求出答案. 【详解】（1）当时，，解得， 当，，所以， 即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2）因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以； （3）当时，因为， 所以， 所以 ， 所以； 当时，，所以，也满足上式， 所以 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列的首项为2，前n项和为，且． (1)求的值； (2)设，求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有且，即可求； （2）由已知递推关系得、，进而得到，利用等差数列的定义写出通项公式. 【详解】（1）∵，且， ∴，解得； （2）由（），得①，则②， 由①－②得，，故， ∴，即，即（）， 又，故数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴的通项公式为. 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可. 【详解】因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 3．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据计算求解得出结合，计算求解. 【详解】因为，则， 当，则，且， 当，所以， 当时，，且，即， 则. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即，， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故， 故选：C. 5．（25-26高二上·江苏·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以，即， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 6．（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【详解】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 8．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 9．（25-26高二上·湖南·月考）设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式先求出与的关系式，构造方程组消去，得，构造常数列求得数列的通项，可判断A,B,C项；再利用裂项相消法计算即可判断D项. 【详解】由题可得.则，又， 两式相减，得，即， 所以，所以，即为常数列，从而， 所以，故A错误，B错误，C正确； 所以，故D错误. 故选：C. 10．（25-26高二上·福建龙岩·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可得，再借助累加法结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】由图可知的递推公式为， 所以， 因为，所以， 故. 故选：B. 11．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 12．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】变形给定等式，利用构造法及等比数列通项公式求得，然后利用等比数列求和公式求得，进而求解即可. 【详解】由，得，即， 因此， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以，所以的前n项和为， 所以. 故选：C 二、多选题 13．（25-26高二上·福建龙岩·月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．若取得最大值，则 【答案】BC 【分析】根据，求出，然后逐项分析即可. 【详解】当时，， 当时，， 综上，， 所以，数列是递减数列，故A错误； ，故B正确； 时，，故C正确； ，对称轴，所以当或时，取得最大值，故D错误. 故选：BC. 14．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．1024不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前项和等于 【答案】BCD 【分析】已知数列满足，求得通项，选项：利用通项公式与等比数列定义验证1024是否在数列中；选项：利用对数运算与等差数列定义判断的等差性；选项：利用数列差与等比数列定义判断的等比性；选项：利用等比数列求和公式结合计算前项和是否等于. 【详解】因为，所以当时，，所以； 当时，，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故. 则，是的第11项，故A错误； ，所以为等差数列，故B正确； ，易知为等比数列，故C正确； ，易知为等比数列，其首项为1，公比为4， 所以的前项和等于，故D正确． 故选：BCD 15．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题目条件结合数列的性质和三角函数，对每个选项代入前四项判断是否满足前4项为1，0，1，0. 【详解】逐一验证前4项： 选项A，，， ，，符合条件，A选项正确. 选项B，，， ，，符合条件，B选项正确. 选项C，当时，，故. 计算得，， ，，符合条件，C选项正确. 选项D，，不符合首项，D选项错误. 故选：ABC 16．（24-25高二下·贵州遵义·月考）若等比数列的公比为，前项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据前项和的表达式求出的表达式，再根据等比数列的定义求出公比，进而求得首项，列方程可求得的值； 也可通过等比中项列方程求得的值；或通过等比数列前项和的公式特征求解. 【详解】（法一）因为等比数列的前项和， 所以当时，；当时，. 所以，，所以公比，故B正确； 所以，解得，故A正确，C错误； 因为也满足，所以，故D正确. 故选：ABD. （法二）前同法一求得公比， 结合等比中项的定义知，即，解得，所以. 因为也满足，所以. 故选：ABD. （法三）因为公比不为1的等比数列的前项和的形式为，对比知，，易得， 所以. 故选：ABD. 17．（25-26高三上·四川成都·期中）数列满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．不是等比数列 C．是从第二项开始的等比数列 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，令即可求得；B、C选项，根据即可求得；D选项代入等比数列的通项公式，结合已知条件得知. 【详解】因为，令，，所以，故A选项错误； 由于，则，， 则，所以，而，， 所以是从第二项开始的等比数列，故B，C选项正确； 当时， ,故D选项正确； 故选：BCD 三、填空题 18．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 19．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）记为正项数列的前项和，已知，则 ． 【答案】 【分析】由与的关系得到，得到，进而可求解. 【详解】由， 当时，可得，即， 当时，可得， 即：，， 所以为首项是1，公差为1的等差数列， 所以，因为是正项数列， 所以， 所以， 故答案为：. 20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【分析】利用的关系，作差求出后检验首项即可求解. 【详解】当， 故， 当不符合上式， 故， 故答案为：. 21．（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 【答案】4 【分析】先将递推数列进行变形化简，然后利用累加法求出结果. 【详解】由得，， 所以， 累加得． 故答案为：4. 22．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】令先求出，然后根据递推关系可证明其是等比数列，由此即可写出通项公式. 【详解】因为数列的前项和为，，① 当时，，即， 当时，，② 由①－②得，即， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． ∴. 故答案为： 23．（2025·吉林长春·模拟预测）设是数列的前项和，，则 （1） ； （2） ． 【答案】 /0.03125 / 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分别变形给定的递推公式，求出并结合求解即可. 【详解】数列中，由，得， 即，又，即， 因此，；. 故答案为：； 24．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列中，，，前n项和为，若，则 . 【答案】 【分析】运用数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的通项公式，求解即可． 【详解】由题知，，前n项和为， 因为，且， 所以，所以， 可得数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，即有， 则， 满足， 所以. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化01：数列通项公式的常考求法 【由递推关系式求数列通项公式的方法，】 方法 适用类型 要点 累加法 变形为，利用求解.注意根据累加法求出之后，要检验时是否成立. 累乘法 变形为，利用求解.注意根据累乘法求出之后，要检验时是否成立. 构造法 （且，，） 变形为（其中，，可用待定系数法求），可得以为公比的等比数列的通项公式，进而可求得. 取倒数法 （是常数，） 变形为.①若，则是等差数列，且公差为，可用公式法求通项；②若，则转化为型，再利用构造法求解. 【题型归纳】 【题型探究】 题型一：累加法求通项公式 若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项. 【例1】．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 【变式2】．（2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则 ； 题型二：累乘法求通项公式 若数列{an}满足＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项. 【例2】．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 【变式1】．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，．若，则 ． 题型三：an与Sn的关系求通项公式 题设中有an与Sn的关系式时，常用公式an＝来求解. 【例3】．（25-26高二上·甘肃兰州·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【变式1】．（25-26高三上·河南·月考）在数列中，已知其前项和则当为奇数时， ． 【变式2】．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的前项和为，且满足.则的通项公式为 . 题型四：观察法求通项公式 【例4】．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【变式1】．（18-19高一下·吉林长春·期中）根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 【变式2】．（24-25高二下·四川成都·月考）德国数学家康托尔是集合论的创始人，以其名字命名的“康托尔尘埃”作法如下：第一次操作，将边长为1的正方形分成9个边长为的小正方形后，保留靠角的4个，删去其余5个；第二次操作，将第一次剩余的每个小正方形继续9等分，并保留每个小正方形靠角的4个，其余正方形删去；以此方法继续下去……、经过n次操作后，共删去 个小正方形.    题型五：构造法求通项公式 当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝，从而构造出等比数列{an＋λ}. 1：构造等比数列 【例5】．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，则 ． 【变式1】．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【变式2】．（24-25高二下·四川成都·月考）已知数列满足，，则 2：构造等差数学 【例6】．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 . 【变式1】．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【变式2】．（2025高三·全国·专题练习）（1）设数列满足，且，则数列的通项公式为 ． （2）已知数列的前项和为，且，则 ． 题型六：定义法求通项公式 【例7】．（23-24高三上·天津和平·月考）设数列 满足，，，令，则数列的前100项和为（      ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·四川成都·月考）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高三下·河南·月考）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．1056 B．1123 C．1315 D．2627 题型七：由递推公式求通项公式 【例8】．（25-26高三上·天津东丽·月考）已知数列满足，求 ． 【变式1】．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则 . 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 题型八：求通项公式的综合问题 【例9】．（25-26高二上·天津津南·月考）（1）数列的前项和为，且.求数列的通项公式； （2）数列的首项，满足.证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （3） 数列满足，求数列的通项公式； 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【变式2】．（25-26高二·全国·假期作业）已知数列的首项为2，前n项和为，且． (1)求的值； (2)设，求数列的通项公式． 【专题训练】 一、单选题 1．（25-26高三上·天津和平·月考）已知为数列的前项和，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列各项均为正数，为数列的前项和，，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 9．（25-26高二上·湖南·月考）设为数列的前项和，已知是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·福建龙岩·期中）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，设的前n项和为，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 二、多选题 13．（25-26高二上·福建龙岩·月考）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．若取得最大值，则 14．（25-26高二上·山西吕梁·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A．1024不是的项 B．为等差数列 C．为等比数列 D．的前项和等于 15．（25-26高三上·江苏·月考）已知数列的前4项为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·贵州遵义·月考）若等比数列的公比为，前项和，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·四川成都·期中）数列满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．不是等比数列 C．是从第二项开始的等比数列 D． 三、填空题 18．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 19．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）记为正项数列的前项和，已知，则 ． 20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的前项和为，若，则 . 21．（25-26高三上·甘肃白银·月考）在数列中，，则 ． 22．（25-26高三上·福建漳州·月考）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式 . 23．（2025·吉林长春·模拟预测）设是数列的前项和，，则 （1） ； （2） ． 24．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知数列中，，，前n项和为，若，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $