精品解析：河南省安阳市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周练9（11.6）

2025—2026学年上学期练习（九） 高二年级数学试题 2025年11月6日 一、单选题(每题6分，共72分) 1. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 3. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 5. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（） A. B. C. D. 6. 已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 在坐标平面内，与点的距离为3，且与点的距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 11. 已知，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 12. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，共24分) 13. 已知实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 14. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 15. 已知抛物线：的焦点为，定点和动点都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的标准方程为 B. 设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C. 若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D. 若弦的中点的横坐标为2，则弦长的最大值为7 16. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 三、填空题(每题6分，共24分) 17. 若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______. 18. 若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为_____. 19. 已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 20. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题(每题15分，共30分) 21. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆C上一点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，已知动点满足：． （1）求动点E的轨迹方程； （2）过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期练习（九） 高二年级数学试题 2025年11月6日 一、单选题(每题6分，共72分) 1. “”是“曲线表示椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先将命题“曲线表示椭圆”化简求得的范围判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，得 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 2. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】依据已知条件及椭圆与双曲线的基本量的关系，得到，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值． 【详解】椭圆中，则， 所以椭圆的焦点分别为与， 于是与也是双曲线的两个焦点，因此． 于是有， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为9． 故选：D． 3. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点，由两直线垂直求得所求直线的斜率，进而由点斜式方程求得答案. 【详解】抛物线即，故其焦点为. 直线的斜率为， 则与直线垂直的直线斜率为， 则所求直线方程为，即. 故选：D. 4. 已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出，由三角形的面积得到面积为10，设，则，将代入中得，求出，得到. 【详解】由题意得，故，故， 因为的面积为20，所以面积为10， 设，则，解得， 将代入中得， 故，则. 故选：D 5. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交曲线于两点（在第一象限，在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点与准线，再利用直线的倾斜角求出其方程，接着联立直线与抛物线方程，通过代入消元得到关于交点坐标的二次方程，并根据象限位置确定两点的具体坐标，然后运用抛物线的几何性质，将点到焦点的距离转化为到准线的垂线段长度，通过坐标计算两点到原点的距离，最后将两距离相比即得. 【详解】由抛物线方程，得焦点，准线方程为， 过且倾斜角为的直线斜率为，直线方程为： 联立直线与抛物线方程： 将代入，得： 整理得： 解得：， 由于点在第四象限，点在第一象限，则， 过点作准线的垂线，垂足的坐标为， ， ， 故. 故选：D 6. 已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用重心坐标公式，结合韦达定理计算即可． 【详解】设点，椭圆右焦点为， 设的方程为，代入椭圆方程， 得：， 联立①②，解得， ∴的方程为， 经检验，满足． 故选：D． 7. 在坐标平面内，与点的距离为3，且与点的距离为2的直线共有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个轨迹圆，再判断它们的位置关系，从而可得直线的条数. 【详解】与点的距离为3的点的轨迹为圆，其方程为：； 与点的距离为2的点的轨迹为圆，其方程为：； 而，故两圆相外切， 而满足题设条件的直线为两圆的公切线，因两圆外切，故公切线的条数为3， 故选：C 8. 已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 9. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 11. 已知，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设方程和所求式表示的几何意义，结合点到直线的距离公式，列出不等式求解即可. 【详解】可化为，表示圆心为，半径为的圆. 令，则变形为， 整理得 依题意，该直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离应不大于，即， 即，两边平方整理得，， 解得 故选：A. 12. 吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线C如图2所示，曲线C交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点G，点M是半圆上任意一点，当点M的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在半圆上，可求，再根据已知的面积最大的条件可知，，即，代入可求，进而可求椭圆方程 【详解】由点在半圆上，所以， 由椭圆可知图中， 要使的面积最大，可平行移动AG，当AG与半圆相切于时， M到直线AG的距离最大， 此时，即， 又 ， 所以半椭圆的方程为 故选：D. 二、多选题(每题6分，共24分) 13. 已知实数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】由表示圆上的点到定点距离的平方可得其最大值为可判断A项，由表示圆上的点与点的连线的斜率，设，由圆心到直线的距离求出k的范围即可判断B项，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，结合圆上任意一点到直线的距离的最小值为（为圆心C到直线的距离），进而可判断C项，对于D,令，结合三角函数的图像与性质求解即可. 【详解】因为， 所以圆C的圆心，半径为. 对于A项，表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示，    所以的最大值为，故A项错误； 对于B项，表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示，    设，即， 由圆心到直线的距离， 即，解得， 所以的最大值为，故B项正确； 对于C项， 表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示，    又圆心C到直线的距离， 所以圆上任意一点到直线的距离的最小值为， 所以的最小值为，故C项错误. 对于D项，因为， 令，所以， 所以当时，的最小值是 故选：BD. 14. 已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 椭圆离心率为 B. C. 若，则的面积为 D. 最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 15. 已知抛物线：的焦点为，定点和动点都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的标准方程为 B. 设点是线段的中点，则点的轨迹方程为 C. 若（点在第一象限），则直线的倾斜角为 D. 若弦的中点的横坐标为2，则弦长的最大值为7 【答案】BCD 【解析】 【分析】据的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由抛物线方程可得， 因为（其中为坐标原点）的面积为， 所以，解得，故抛物线的标准方程为，故A错误； 对于B，抛物线的焦点为， ，，则，， 代入，得，整理得， 所以点的轨迹方程为，故B正确； 对于C，由于，所以三点共线. 设直线的倾斜角为， ，，解得， 同理可得. 依题意，即，解得， 所以为锐角，所以，故C正确； 对于D，设直线的方程为， 由消去并化简得， 设，则 ， ，则， ， 所以当时，，， 满足，故D正确． 故选:BCD. 16. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题(每题6分，共24分) 17. 若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由焦点在轴上，得到，求解即可. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为： 18. 若椭圆上存在一点到其左右焦点的距离之比为，则椭圆离心率的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的定义结合比例易得，再由椭圆上任意一点到焦点的距离满足即可解出答案. 【详解】记左右焦点分别为，由题意， 由椭圆的定义知， 所以， 椭圆上任意一点到焦点的距离满足：且 所以 所以椭圆离心率的取值范围为. 故答案为：. 19. 已知直线与双曲线相切，双曲线的左､右顶点分别为．若是双曲线上一点（异于点），则直线的斜率和直线的斜率之积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先列出直线斜率的表达式，然后联立直线与双曲线的方程，令判别式为0，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】因为双曲线的方程为，所以． 设，则，直线的斜率，直线的斜率， 所以． 因为点在双曲线上，所以满足， 化简得，所以． 联立直线与双曲线的方程，得消去，整理得． 由题意得解得，所以． 故答案为：. 20. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题(每题15分，共30分) 21. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆C上一点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】小问1：由结合坐标公式求得，再将代入即可求解结果； 小问2：假设存在点，使得为定值，若直线的斜率不存在时，；若直线的斜率存在，设的方程为，联立方程组，结合韦达定理写出的表达式，即可判断是否存在定点． 【小问1详解】 因为及，得，则， 又点P在椭圆上，所以解得 所以椭圆C的方程为． 另解：由椭圆的定义，， 故． 则． 故椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设存在点，使得为定值． 若直线的斜率不存在直线的方程为，，， 则． 若直线的斜率存在，设的方程为， 设，由得． 根据韦达定理，得． 由于， 则． 因为为定值，所以， （或因为为定值，所以） 解得，定值为，而时，． 故存在定点G使得为定值，此时． 22. 在平面直角坐标系中，已知动点满足：． （1）求动点E的轨迹方程； （2）过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义即可得到，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，设直线为，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理与弦长公式代入计算，即可得到面积的表达式，再由函数的单调性即可得到其范围. 【小问1详解】 由，得， 所以动点E的轨迹是以，为焦点，为长轴长的双曲线， 而且，，， 所以所求轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意可知且，∴四边形ABCD为平行四边形， 直线AB，CD的斜率必不为0，所以可设直线为，，， 联立， 化简得， 所以， 解得， ∴， 原点O到直线的距离为， 所以， 令，又，则， 记，易知在单调递增， 所以当，即时，有最小值6，时，， 所以， 故平行四边形ABCD的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $