精品解析：山西省大同市多校2025-2026学年高一上学期期中联考数学试卷

山西省大同市多校2025-2026学年高一上学期期中联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义，写出否定形式. 【详解】原命题的否定为：，所以C正确. 故选：C. 2. 由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是 A. 1 B. ﹣2 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：通过选项a的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A，A中含有1个元素， 当a=6时，由a2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 当a=2时，由a2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A，A中含有2个元素， 故选C． 点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义得. 故选：B. 5. 某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出关于的不等式，再结合可得出答案. 【详解】由题意，得，即， ∴，解得， 又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 6. 如图，由两个高为H的圆锥（去掉底面）构成的玻璃容器，装满水，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，图中某时刻，水面的高度为，水面对应圆的直径为，则下列说法错误的是（ ） A. 是的函数 B. 是的函数 C. 是的函数 D. 是的函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合题意和对图形的理解逐个分析即可判断. 【详解】对于A，当水面对应圆的直径确定时，水面的高度有两种可能，即的一个值可能对应两个的值，故不是的函数，A错误； 对于B，当时间确定时，水面对应圆的直径也唯一确定，故是的函数，即B正确； 对于C，当时间确定时，水面的高度也唯一确定，故是的函数，即C正确； 对于D，当水面高度确定时，水面对应圆的直径也唯一确定，故是的函数，即D正确. 故选：A. 7. 已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答. 【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即， 又函数 在上单调递增，且，于是得，即， 所以a、b、c的大小关系为． 故选：C 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值又有最小值的条件，列式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 根据图像，可得当时，单调递减，值域为， 当时，单调递增，值域为， 当时，由，解得， 当时，， 根据图像，当时，单调递减，值域为， 当时，由，解得， 因为在区间上既有最大值，又有最小值， 所以，所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 已知x，y是正数，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求解最值判断AC；，结合A选项即可求解判断B；利用常数代换得，然后利用基本不等式求解最值即可判断D. 【详解】对于A，因为x，y是正数，，所以， 当且仅当且，即，时，的最大值为，A正确； 对于B，， 当且仅当，时，的最小值为，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； 对于D，， 当且仅当，，即，时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 存在常数，使恒成立 D. 时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由即可判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用运算得解；对D，将原式变形为，令，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由，所以图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令，易知在上单调递减， 又在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，由，即，化简整理得， 上式恒成立，则，所以存在常数使得恒成立，故C正确； 对于D，当时，， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的一个周期为4 B. 点是函数的一个对称中心 C. 时， D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4，即可判断函数的对称性，由为奇函数，可得，结合，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性从而求出的值． 【详解】为奇函数，，且，函数关于点， 偶函数，，函数关于直线对称， ， 即，， 令，则，， ，故的一个周期为4，故A正确； 则直线是函数的一个对称轴，故B不正确； 当时，， ，， 又，，解得， ，， 当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则_________． 【答案】64 【解析】 【分析】应用指数幂运算律及对数运算律计算求解. 【详解】原方程可化为，即，解得． 故答案为:64． 13. 已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，可得为奇函数，根据指数函数，一次函数的单调性，分析可得的单调性，根据条件，整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】因为，定义域为R， 所以， 所以为奇函数， 又， 因为，所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 又在R上单调递减，所以在R上单调递减， 因为， 所以，则， 即，解得，即解集为. 故答案为： 14. 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素0是关键. 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，取，则，，，，又具有性质P，，，，所以具有性质P，故②正确； 对于③，取，，，，但，故③错误； 对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若，由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于难题. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知集合 ，集合 ，集合或. （1）求、、. （2）若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 【答案】（1），或， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出集合A，集合B的范围，再利用集合的交并补即可求解. （2）由题干中条件可得：,根据集合的包含关系列出不等式组求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由，解得：或，，解得， 所以，或， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 当时，即时，,显然不满足题意； 当时，即时，,解得：,即， 所以实数a的取值范围为 16. 已知实数. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件利用基本等式得，记，，则，解不等式可得结果； （2）由条件得，利用1的妙用，结合基本不等式可得解. 【小问1详解】 由，当且仅当时等号成立， 记，，则， 整理得，解得，或（舍去）， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 因为，又，两边同时除以得， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故的最小值为. 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解； （2）讨论，和三种情况，讨论不等式的解集，当时，讨论两根的大小，求解不等式的解集； （3）首先参变分离，，利用换元，以及基本不等式，转化为求最大值. 【小问1详解】 时， ， 则所求不等式的解集为：； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为：； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 【小问3详解】 ， 因，则． 则题目等价于． 令，因，则． 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围为． 18. 国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 【答案】应该选择方案二，理由见解析． 【解析】 【分析】计算出方案一需要6年时间，方案二的年产量将在5年后超过15万片，方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，得到答案. 【详解】应该选择方案二，理由如下： 由题意可知，应在满足，且的情况下，选择所需时间最短的方案， 方案一：因为在上单调递增，且， 则方案一可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由，解得， 所以方案一实现年产量15万片需要6年时间； 方案二：因为在上单调递增，且， 则方案二可以在7年内实现年产量15万片的目标， 由得，又因为，所以， 即方案二的年产量将在5年后超过15万片； 方案三：因为在上单调递增，且， 所以方案三无法在7年内达到年产量15万片的目标，故不能选择方案三． 综上，应该选择方案二． 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数” （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. 【小问1详解】 因为，解得， 所以区间内存实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 【小问2详解】 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即①， 当时，，则，即②. 所以①或②有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. 【小问3详解】 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省大同市多校2025-2026学年高一上学期期中联考 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效. 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分.） 1. 命题“”的否定形式是（ ） A. B. C. D. 2. 由a2，2﹣a，4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a取值可以是 A. 1 B. ﹣2 C. 6 D. 2 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. 且 D. 5. 某商店购进一批纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售额，则这批纪念章的销售单价（单位：元）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，由两个高为H的圆锥（去掉底面）构成的玻璃容器，装满水，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，图中某时刻，水面的高度为，水面对应圆的直径为，则下列说法错误的是（ ） A. 是的函数 B. 是的函数 C. 是的函数 D. 是的函数 7. 已知，，则a、b、c的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. c＜a＜b C. b＜a＜c D. c＜b＜a 8. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分，两个选项的对一个得3分，三个选项的对一个得2分，有错误选项不得分.） 9. 已知x，y是正数，且，则下列选项正确是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在区间上单调递增 C. 存在常数，使恒成立 D. 时，最小值为 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的一个周期为4 B. 点是函数的一个对称中心 C. 时， D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则_________． 13. 已知函数，则关于的不等式的解集是__________． 14. 设A是非空数集，若对任意，都有，则称A具有性质P.给出以下命题： ①若A具有性质P，则A可以是有限集； ②若具有性质P，且，则具有性质P； ③若具有性质P，则具有性质P； ④若A具有性质P，且，则不具有性质P. 其中所有真命题序号是___________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 已知集合 ，集合 ，集合或. （1）求、、. （2）若“”是“”的必要条件， 求实数a的取值范围. 16. 已知实数. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的最小值. 17. 已知关于的不等式． （1）若时，求不等式的解集 （2）若，解这个关于的不等式 （3），恒成立，求的范围． 18. 国内某企业响应国家号召，为打破国际芯片垄断，投入大量研发力量，从零开始，研发出一款自主知识产权的芯片．为了尽快提高芯片产能满足国内需求，该企业制定了三个不同的增产方案，年产量（万片）随方案实施年数增加而增加，三个方案分别对应三个函数模型： 方案一：； 方案二：； 方案三：． 如果该企业计划在7年内，尽快实现年产量15万片的目标，应该选择哪个方案？ 19. 对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $