19.2(第1课时)二次根式的乘法（大单元分层作业，5大题型）数学新教材人教版八年级下册

19.2(第1课时)二次根式的乘法（解析版） 目 录 类型一、二次根式的乘法运算 1 类型二、用字母表示二次根式 14 类型三、估计二次根式的值 18 类型四、二次根式的小数部分计算 22 类型五、二次根式乘法的实际应用 27 类型一、二次根式的乘法运算 1．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，根据新运算定义分别计算和，再求乘积即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．根据算术平方根定义，二次根式加法，二次根式乘法运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，故A选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意． 故选：C． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，二次根式的乘方． 根据运算性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．，不符合题意； B．， 不符合题意； C．在实数范围内，无意义，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根和立方根的计算及二次根式的乘法，需根据算术平方根的非负性和立方根的性质及二次根式的乘法法则逐一判断各选项． 【详解】A：∵表示49的算术平方根，∴，故A错误． B：∵，故B错误． C：∵，故C错误． D：，故D正确． 故选：D 5．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求出对应选项中的数字与的积，再根据有理数的定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是有理数，符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：C． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式的性质， 根据二次根式的乘除运算，二次根式的性质求解即可． 【详解】A．，正确； B．，正确； C．，故选项错误； D．，正确． 故选：C． 7．下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算和分式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据二次根式的运算和分式的化简法则逐项进行判断，分式化简时，需确保分子和分母有公因式才能约分，否则可能导致错误． 【详解】解：A. ，该选项计算正确，不符合题意； B. ，该选项计算正确，不符合题意； C.当时， ，该选项计算错误，符合题意； D. ，该选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算性质，包括乘法、减法、乘方和算术平方根的定义，准确计算是解题的关键． 逐一验证各选项是否符合运算法则即可得解． 【详解】二次根式乘法法则：， ，故正确； ，故错误； ，故错误； ，故错误； 故选． 9．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根的运算性质，解题的关键是掌握平方根的运算法则：，同时注意平方根与算术平方根的计算性质． 根据平方根的运算性质，逐一分析每个选项的计算是否正确． 【详解】解：A、，因为平方根不满足，故A错误； B、根据平方根性质．，故B正确； C、，而，两者不相等，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 10．下列选项正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的乘法，算术平方根定义．根据二次根式的性质，二次根式的乘法以及算术平方根的定义，逐项计算，即可求解． 【详解】解：选项A、，故A选项运算正确； 选项B、，的算术平方根是，故B选项运算错误； 选项C、，故C选项运算错误； 选项D、，，即，故D选项运算错误． 故选：A． 11．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法、整式的加减以及算术平方根的性质，正确运用法则、注意算术平方根的非负性是解题的关键．根据二次根式的乘法法则、合并同类项法则及二次根式化简规则判断其正确性，从而确定正确选项． 【详解】∵ 选项A：根据二次根式乘法法则，， ∴ ，正确，符合题意； 选项B：，错误，不符合题意； 选项C：与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； 选项D：，错误，不符合题意． 故选：A． 12．计算结果的平方根为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了二次根式的乘法，先利用平方差公式计算原表达式的值，再求该值的平方根． 【详解】解：∵， ∴ 原表达式结果的平方根为． 故选：C． 13．计算的结果是（   ） A． B．6 C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 14．计算：（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键；因此此题可根据二次根式的乘法进行求解． 【详解】解：； 故选B． 15．计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 16．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 17．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 18．计算： ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 19．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，，直接计算即可． 【详解】解：，其中已是最简二次根式， 故答案为：． 20．计算： ． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算；根据二次根式的性质以及二次根式的乘法法则进行计算即可求解． 【详解】解： ，   ， 故答案为：，． 21．若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 22．化简与计算： ， ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的化简和计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 第一题根据二次根式的化简法则进行化简即可；第二题先化简根号内的分数，再有理化分母；第三题应用积的乘方公式计算． 【详解】解： ； ； ． 故答案为：，，． 23．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据第一列和第一行相乘得到同样的结果，列出方程，解出即可． 【详解】解：由题意，第一列和第一行相乘得到同样的结果，即， ∴， 故答案为：． 24．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，二次根式的性质．先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 25．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用二次根式相乘的性质直接计算． 【详解】解：， 故答案为：． 26．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 27．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，二次根式的乘法运算，化简绝对值，先运算立方根，二次根式的乘法以及化简绝对值，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解： ． 28．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 29．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2)32 (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握二次根式乘除计算的法则是解题的关键． （1）先计算出根式的结果，再算乘法； （2）先进行根式下的乘法，再计算根式； （3）直接计算根式； （4）先进行根式下的除法计算，再计算根式，最后分母有理化即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 30．计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 先计算乘方，去绝对值，然后计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查混合运算，涉及二次根式性质、二次根式乘除运算等知识，熟记二次根式相关运算法则是解决问题的关键． 先由二次根式性质、二次根式乘法及二次根式除法运算化简即可得到答案． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，零指数幂，根据二次根式的乘法，零指数幂，绝对值的意义运算即可． 【详解】解： ． 33．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先利用平方差公式进行因式分解，然后把，代入即可求解； （）先提取公因式进行分解，然后把，代入即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算立方根，零指数幂，平方差公式，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 35．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【分析】此题考查了实数的运算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）①利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； ②利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）利用得出的规律化简各式即可． 【详解】解：（1）①，， ②，， 故答案为：①，；②，； （2）①，② 故答案为：①；②． 类型二、用字母表示二次根式 36．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是关键．将化为分数形式，利用二次根式的性质进行化简，并结合给定的a和b表示即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 37．若，则下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 38．若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握相关运算法则是解决问题的关键．，结合已知条件和，直接可得． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 39．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 40．若，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 将原式化为，再代入可得答案. 【详解】解：∵， ∴. 故选：D. 41．设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 42．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 43．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解得：， 故选：B． 44．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．计算a，b的值，然后将进行化简，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 45．设， ，用含a，b的式子表示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题关键是熟记二次根式乘法公式．   ．根据， ，得出，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ． 故选：C． 46．若，，则用含a，b的式子表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 47．已知，，则用表示为 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法．掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 48．如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为 ． 【答案】/ 【分析】根据，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式乘法运算及代数式的表示，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键． 49．已知，用只含a，b的代数式表示，这个代数式是 ． 【答案】/ 【分析】观察发现a、b的代数式得到的数比a、b都大，且a、b不是同类二次根式，故可想到应用二次根式的乘法解答，根据二次根式的乘法法则，得；接下来用a，b替换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算．掌握乘法法则． 50．设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝ ． 【答案】m2n 【分析】分解，用含，的式子表示，再用m，n代替即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟悉二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 类型三、估计二次根式的值 51．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的性质估算范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴ 值在4和5之间， 故选：B． 52．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算二次根式的乘法，再估计数值范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 53．估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算以及无理数的估算．解题的关键在于熟练运用二次根式的乘法法则进行计算．先根据乘法分配律计算的结果，再对结果中的无理数部分进行估算，从而确定其所在的取值范围． 【详解】∵ 且 ，， 介于和之间， ∴ ∴ ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴ ∴ 值在和之间， 故选 C． 54．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的乘法，无理数的大小估算，解题关键是正确掌握二次根式的运算法则． 先计算原表达式，化简为 ，然后估计 的近似值，从而判断整体值的范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值应在和之间． 故选：． 55．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先计算表达式，将其化为，再估计取值范围，最后确定范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 故选：C． 56．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简和运算，平方根的估算；先通过展开化简原式，再估算其值． 【详解】解：， ∵，， ， ∴， ∴原式的值在3和4之间， 故选：B． 57．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方根的性质估算范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴估计的值应在6和7之间， 故选：D． 58．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的运算，先通过二次根式的乘法法则进行化简，然后通过估算无理数的大小的方法解答即可，解题的关键在于掌握二次根式的运算方法以及估算无理数大小的方法． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值在和之间， 故选：． 59．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在9和10之间， 故选C． 60．估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的计算，以及无理数的估算，解决本题的关键是计算出的范围． 直接利用二次根式的性质化简，进行估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值应在5和6之间 ． 故选：B ． 类型四、二次根式的小数部分计算 61．若的小数部分是，那么的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的计算，根据题意得出的值是解题关键．首先估算出的取值范围：，得出的小数部分，进一步代入求得数值即可． 【详解】解：∵ ∴， 的小数部分， ． 故选：B． 62．设的小数部分是a，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键是正确求出的值． 先根据无理数的估算方法求出，再代入，根据平方差公式计算． 【详解】解：，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分 ∴， 故选：C． 63．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法运算，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分．先求出的整数部分，即a的值，再求出的小数部分，即的值，再利用二次根式乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 64．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练地求解a，b的值是解本题的关键． 先判断得到，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 65．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于，由此可确定的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式计算出结果． 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 故选：A． 66．已知是的小数部分，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】根据无理数的估算可求出，再代入所求式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分为，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的估算，代数式求值，实数的混合运算．正确确定的值是解题关键． 67．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，平方差公式，先利用夹逼法估算出的取值范围，进而得到的值，代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法估是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 68．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．本题先求解，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， 故选：A． 69．设的小数部分为a，则的值为（    ） A．22 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算，求的小数部分为，然后代入，根据二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分为3，则小数部分， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，利用二次根式的性质进行化简，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运用． 70．已知x是的整数部分，是的小数部分，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，先求出x和y，代入根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 71．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，实数的混合运算，根据题意得出，代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根， ∴ ∴ 故答案为：． 72．设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法运算，先利用夹逼法求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 73．若，其中a是整数部分，b是小数部分，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了估算无理数大小的知识，注意运用“夹近法”得出a，b的值是解答此题的关键． 先利用逼近法求出在哪两个连续的整数之间，得出整数部分a的值，再求出小数部分b的值，然后代所求代数式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：9． 类型五、二次根式乘法的实际应用 74．有一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的乘法的应用．直接根据长方体体积公式求解可得． 【详解】解：∵长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体的体积 ， 故选：B． 75．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质，二次根式的乘法，正三角形的周长等于其边长的3倍．题目中给出边长为，因此周长可直接通过边长乘以3计算得出． 【详解】解：正三角形的三条边长度相等，因此周长为：． 故选：A． 76．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围． 【详解】解：矩形的面积， ， ， 矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 77．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法、直角三角形面积公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据直角三角形的面积公式，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴这个直角三角形的面积为 ． 故选：B． 78．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算矩形的面积，再利用平方数的范围估算无理数的大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：矩形的面积， ∵， ∴，即， 故在3和4之间， 故选：C． 79．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，二次根式的化简，估计二次根式的整数部分的值，解题的关键是掌握以上法则． 先进行二次根式的乘法运算，再估计二次根式的整数部分的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴数a落在了如图所示数轴上的③段， 故答案为：③． 80．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，二次根式的乘除，根据题意列出方程是解题关键． 根据横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 故答案为：． 81．若一个半径为的圆的面积扩大为原来的3倍，则扩大后的圆的半径是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，二次根式的乘法运算，根据圆的面积扩大为原来的3倍，则圆的半径扩大为原来的倍，再根据原来圆的半径为，进行计算即可． 【详解】解：∵圆的面积扩大为原来的3倍， ∴圆的半径扩大为原来的倍， ∴扩大后的圆的半径是． 故答案为：． 82．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 【答案】通道的总面积为 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解题意，列出式子并准确计算是解题的关键． 分别求出正方形的空地的面积和4个花坛的总面积，相减即可． 【详解】解：． 答：通道的总面积为． 83．已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：． 84．如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． 用长方形空地的面积减去小长方形喷泉的面积即可． 【详解】解：种植花草的面积 ． 85．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)24 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的化简与运算是解题的关键． （1）由题意可得，即可解答； （2）根据，即可求解； （3）由长方形的面积可求，再化简求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得； （2）解：； （3）解：长方形的长为，宽为， ， 答：这个长方形的面积为16． 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的乘法运算，先利用非负数的性质可得，，即得，再利用积的乘方的逆运算可得，再代入计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 解得 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 2．化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 3．求不超过的最大整数． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，二次根式的运算，设，，则，，可得，即得，即得到，进而根据即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴不超过的最大整数为． 1．在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据题意构造的对偶式，的对偶式，得出，，两式相加得出，从而可计算． 【详解】解：根据题意得：的对偶式，的对偶式， ∴①， ②， 得， ， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 2．是一种数学比例关系，人们称其为黄金分割比，它在艺术、建筑和自然界中广泛存在，因其和谐美感而广受青睐．设，，记，，，则 ． 【答案】 5050 【分析】本题考查了分式的化简求值、黄金分割比的性质及等差数列求和，解题的关键是利用与的乘积关系（）化简，再通过等差数列求和公式计算总和． 先推导得，化简得出，再求1到100的和． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，即 对，代入得：， ∴ ． 则． 故答案为：5050． 3．已知：，求y的值． 【答案】 【分析】本题考查了乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 令，求出，再依次求出即可求解． 【详解】解：令， ∴ ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2(第1课时)二次根式的乘法（原卷版） 目 录 类型一、二次根式的乘法运算 1 类型二、用字母表示二次根式 4 类型三、估计二次根式的值 5 类型四、二次根式的小数部分计算 6 类型五、二次根式乘法的实际应用 6 类型一、二次根式的乘法运算 1．对于任意的正数，定义运算为：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各数中，与的积为有理数的是（    ） A．2 B．3 C． D． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 7．下列运算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 8．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 10．下列选项正确的是（   ） A． B．的算术平方根是 C． D． 11．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．计算结果的平方根为（   ） A．2 B． C． D．4 13．计算的结果是（   ） A． B．6 C．8 D．4 14．计算：（   ） A． B．3 C．6 D．9 15．计算的结果是（   ） A．3 B．6 C． D． 16．计算： ． 17．计算： ． 18．计算： ． 19．计算的结果为 ． 20．计算： ． ． 21．若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 22．化简与计算： ， ， ． 23．在如图的方格中，要使横，竖，斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则空格中代表的实数为 ． 24．计算的结果是 ． 25．计算： ． 26．计算：． 27．计算：． 28．计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 29．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．计算： 31．计算：． 32．计算：． 33．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 34．计算： (1)； (2)． 35．阅读材料，解答问题： （1）计算下列各式： ①________，________， ②________，________； 推理：运用（1）中的结果可以得到：；； （2）通过（1），完成下列问题： ①化简：________，②化简：________． 类型二、用字母表示二次根式 36．若，，则的值用a，b可以表示为（　　） A． B． C． D． 37．若，则下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 38．若，则用含x，y的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 39．设，，则可以表示为() A． B． C． D． 40．若，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 41．设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 42．设，，则用含a，b的式子表示，可得（   ） A． B． C． D． 43．若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 44．设，，则用含a，b的式子表示，可得（　　） A． B． C． D． 45．设， ，用含a，b的式子表示，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 46．若，，则用含a，b的式子表示为 ． 47．已知，，则用表示为 ． 48．如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为 ． 49．已知，用只含a，b的代数式表示，这个代数式是 ． 50．设＝m，＝n，用含m，n的式子表示＝ ． 类型三、估计二次根式的值 51．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 52．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 53．估计  的值应在  （    ） A． 和 之间 B． 和 之间 C． 和 之间 D． 和 之间 54．估计的值应在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 55．估计的值在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 56．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 57．估计的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 58．估计的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 59．估计的值应在（   ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 60．估计的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 类型四、二次根式的小数部分计算 61．若的小数部分是，那么的值为（ ） A．1 B． C． D． 62．设的小数部分是a，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 63．我们都知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是因为，因此我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分，若的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 64．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 65．的整数部分是x，小数部分是y，则的值是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 66．已知是的小数部分，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D． 67．若的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A． B． C． D． 68．设的整数部分为，小数部分为，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 69．设的小数部分为a，则的值为（    ） A．22 B． C． D． 70．已知x是的整数部分，是的小数部分，则的值是 ． 71．已知的整数部分是，小数部分是，是的算术平方根，则的值是 ． 72．设的整数部分为，小数部分为，则 ，的值 ． 73．若，其中a是整数部分，b是小数部分，则 ． 类型五、二次根式乘法的实际应用 74．有一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 75．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 76．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 77．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（   ） A．16 B． C． D．8 78．矩形相邻两边长分别为、，设其面积为S，则S在哪两个连续整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 79．若计算的结果为a，则这个数a落在了如图所示数轴上的 段．（填序号） 80．我国古代的《洛书》记载了世界上最早的幻方——“九宫格”．在如图所示的“九宫格”中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则M代表的实数为 ． 81．若一个半径为的圆的面积扩大为原来的3倍，则扩大后的圆的半径是 ． 82．如图，某校有一块形状为正方形的空地，其边长为米，现在要在正方形空地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道．求通道的总面积． 83．已知一个长方形的长为，宽为．求它的面积． 84．如图，某小区有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小长方形喷泉（阴影部分），其余空地种植花草，小长方形喷泉的长为，宽为．求种植花草的面积． 85．阅读下面的材料，并完成相应任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，所以 小明： 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 任务： (1)猜想：当时和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算：． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 1．若，则 ． 2．化简的结果为 ． 3．求不超过的最大整数． 1．在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如，已知： ，则的“对偶式”是，通过，可以得到，同样也可以得到，从而解决相应的问题．请运用上述方法解决下列问题： 已知实数、满足，则 ． 2．是一种数学比例关系，人们称其为黄金分割比，它在艺术、建筑和自然界中广泛存在，因其和谐美感而广受青睐．设，，记，，，则 ． 3．已知：，求y的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $