6.3一元一次方程的应用（第1课时）（教学课件）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的应用，以体积和周长问题为核心，通过知识回顾（解方程步骤、图形公式）搭建支架，引导学生从实际问题中抽象等量关系，逐步掌握用方程解决问题的步骤。 其亮点在于以问题驱动培养数学核心素养，如圆柱容积不变问题发展抽象能力和模型观念，长方形周长与面积关系培养推理意识。采用分层例题（基础到拓展）和结构化小结，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

第六章 一元一次方程 第1课时 6.3一元一次方程的应用 学 习 目 标 1 2 3 经历体积和周长问题的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力; 初步体会方程的两边就是同一个量或相等的量的不同表达，选择某个量，用不同的表达式去表示它，就可得到相应的方程。能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念; 体会一元一次方程的应用价值。 知识回顾 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 解一元一次方程的一般步骤包括 通过这些步骤，可以使以 x为未知数的一元一次方程逐步转化为x=a 的形式。 目的 1、长方形的周长=_____________；面积=________ . 2、长方体的体积= ___________；正方体的体积= ________ . 3、圆的周长= _________ ；面积 = _________. 4、圆柱的体积= ____________. （长＋宽）×2 长×宽 长×宽×高 棱长3 2π×半径 π×半径2 底面积×高 知识回顾 还记得这些计算公式吗 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？ 6.6cm 12cm 6cm 旧圆柱形易拉罐的底面直径、高、容积 新圆柱形易拉罐的底面直径、高、容积。 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm （2）它们之间有怎样的等量关系？ 容积（旧)=π ·[底面直径（旧）]²×高（旧)， 容积（新)=π ·[底面直径（新）]²×高（新) 容积（旧）=容积（新) 不变量：容积是变化过程中的不变量 变化量：易拉罐底面直径和高 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm （3）设新包装的高度为xcm，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ xcm 有关量 旧包装 新包装 底面半径∕cm     高∕cm     容积∕     （4）列方程的关键是什么？ 列方程时，关键是找出问题中的等量关系。 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ 6.6cm 12cm 6cm xcm （5）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 解：设新包装的高度为，由题意可得： 解方程，得 ， 答：易拉罐的高度将变为14.52cm。 新知探究 探究点1 体积问题 议一议 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 1.审题:分析题意,找出题中的数量及其关系; 3.列方程:根据相等关系列出方程; 4.解方程:求出未知数的值; 5.检验:检查求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案. 2.设元:选择一个适当的未知数用字母表示 ( 例如) ; 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 探究点1 体积问题 典例分析 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化? （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化? 本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 议一议 铁丝的长度， 长方形的长、宽、周长， 长方形长与宽的差 长方形的周长=铁丝的长度， 长方形的周长=2×（长+宽）， 长方形的长一长方形的宽=长方形长与宽的差。 涉及的量 等量关系 10 探究点1 体积问题 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化? （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化? 议一议 解这道题的关键是什么？长方形的长与宽的变化与面积的关系？ 围成的长方形的长和宽在发生变化，长方形的面积也在发生变化 关键：在围的过程中，长方形的周长不变，都等于铁丝的长度， 周长一定的长方形，长与宽的差越小，长方形的面积越大； 当长和宽相等时（即为正方形时），长方形（正方形）的面积最大。 典例分析 探究点1 体积问题 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化? （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化? 典例分析 等量关系： （长+宽）× 2=周长 解：（1）设此时长方形的宽为𝑥𝑚，则它的长为 (��+1.4)𝑚，根据题意，得 2(𝑥+1.4)+2𝑥=10 解这个方程，得𝑥=1.8. ∴1.8+1.4=3.2。 此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m。 𝑥𝑚 (𝑥+1.4)𝑚 (2）解：设此时长方形的宽为𝑥𝑚，则它的长为 (𝑥+0.8)𝑚。 根据题意，得： 2(𝑥+0.8)+2𝑥=10. 解这个方程，得：𝑥=2.1. 2.1+0.8=2.9。 此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09(m²), （1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76(m²)。 此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大6.09-5.76=0.33(m²)。 探究点1 体积问题 典例分析 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化? （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化? 𝑥𝑚 (𝑥+0.8)�� 13 探究点1 体积问题 典例分析 例1 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2）如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化? （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化? 𝑥𝑚 𝑥𝑚 （3）设正方形的边长为𝑥𝑚。 根据題意，得 4𝑥=10 解这个方程，得𝑥=2.5. 正方形的边长为2.5m，面积为2.5×2.5=6.25(m²), 比（2）中长方形的面积增大6.25-6.09=0.16(m²)。 探究点1 体积问题 思考•交流 议一议 在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。 𝑥𝑚 (𝑥+1.4)𝑚 𝑥𝑚 (𝑥+0.8)𝑚 𝑥𝑚 𝑥𝑚 所列方程的左边和右边表示的都是长方形的周长 列方程的基本思路 在分析清楚问题所涉及量之间的等量关系的基础上，题所涉及量之间的等量关系的基础上，将同一个量（或相等的量）用不同的代数式表达出来。 2(𝑥+1.4)+2𝑥=10 2(𝑥+0.8)+2𝑥=10. 4𝑥=10 15 探究点1 体积问题 典例分析 例2．如图①，将一张长为，宽为 的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为 的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子 (1)若，则将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为　 　 ． (2)若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． 解： （1）由题意得：将剩下部分折成的无盖长方体盒子的体积为： ， 当 时，无盖长方体盒子的体积: V ； 16 探究点1 体积问题 典例分析 例2．如图①，将一张长为，宽为 的长方形纸片，在四个角上分别剪去边长为 的小正方形，将剩下部分折成如图②所示的一个无盖长方体盒子 (2)若将剩下部分折成的无盖长方体盒子的底面的长是宽的2倍，求该无盖盒子的体积． （2）解：由题意知，无盖长方体盒子的长为 ，宽为 ， ， 解得， ∴，， ∴该无盖盒子的体积为： ． 答：该无盖盒子的体积为． 17 探究点1 体积问题 典例分析 例3．溯源寻踪： （1）如图（左）是某月的月历，方框中的9个数的和与方框中正中心的数有什么关系？ （2）如果将方框移到如图（右）的位置，这9个数的和与正中心的数的这种关系还成立吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）9 个数之和为： ， ， 则方框中9 个数之和为方框正中心的 9倍； （2）移动位置， 9个数字之和为： 所以改变位置，关系仍成立； 18 探究点1 体积问题 典例分析 例3．溯源寻踪： （3）不改变方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系仍成立． 设正中心的数为，则 9个数之和为： ∴移动位置，方框中 9个数之和为方框正中心的9 倍． 19 探究点1 体积问题 典例分析 例3．溯源寻踪： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？ 归纳总结： 方框中9个数的和是方框中正中心的数的________倍． 月供表中数的排列规律是什么？ （4）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律； 9 月供表中数的排列规律是方框中 9 个数之和为方框正中心的 9 倍； 归纳：行：从左往右，依次大________； 列：从上往下，依次大________． 1 7 20 拓展提升 1．如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为4，求这个大长方形的面积。 解：中间最小的一个正方形的面积为4，则该正方形的边长为2 设右下角两个相等正方形的边长为x，则 x＋x＋(x＋2)＝(x＋4)＋(x＋6) 解得：x＝， ∴长：(x+4)＋(x＋6)＝26， 宽：𝑥+4+𝑥+2=2𝑥+6=2×8+6=22 大长方形的面积：S= 26×22＝143 答：长方形的面积为143 x x x+2 x+2+2 x+2+2+2 巩固练习 教材P149 随堂练习 一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm2，求这个梯形的上底和下底的长度. 解：设梯形的上底为x cm，则下底为(x+6)cm xcm (x+6)cm 8cm (x+x+6)×8=88 解得 x=8 x+6=14 答：梯形的上底为8cm，下底为14cm. 真题感知 1．（2025.揭阳校考）一个正方形的边长增加3厘米，它的面积就增加99平方厘米．那么这个正方形的面积是多少平方厘米？ 解：设原正方形的边长为，则边长变化后的正方形的边长为 ，由题意得， 3（）， ， 解得， ∴原正方形的边长为， ∴这个正方形的面积是平方厘米， 答：这个正方形的面积是平方厘米。 真题感知 2．（2025.济宁校考）如图，一个瓶子的容积为1L ，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为 30cm，将瓶子倒放时，空余部分的高度为 10cm，现把溶液全部倒在一个底面直径为10cm 的圆柱形杯子里． （1）解： ， 设瓶内溶液的体积为． 根据题意，得， 解得 :， 答：瓶内溶液的体积是； （2）解：圆柱形杯子溶液的高度 ， 则， 解得 ， 答：圆柱形杯子溶液的高度是 ． 求：(1)瓶内溶液的体积是多少？ (2)圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留 π） 真题感知 解：设胸腹高为x cm，则单根膀条长为5x cm， 门条AD的长度为（5x﹣10）cm， BC=(5x-10)cm， AB＝CD＝x，头部高为x，尾部高为2x cm， 这只风筝的骨架的总高为4x cm， ∵AD＝AB+BC+CD， ∴5x-10=x+ (5x-10)+x， 解得：x＝20； 所以这只风筝的骨架的总高4x＝80cm， 答：这只风筝的骨架的总高80cm． 3．（2025•北京）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）；一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是1：1：2．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中BC的长是门条长的5/9，AB．CD的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤包括: 理解题意，寻找等量关系， 设未知数列方程，解方程，作答。 等积变形问题： (1)形状、面积发生了变化，而周长没变； (2)形状、周长不同，但是根据题意找出周长之间的关系，把这个关系作为等量关系． 解决问题的关键是通过分析变化过程，挖掘其等量关系，正确分析问题中的相等关系是列方程的基础。 教材 P154 课后练习 1．两个圆柱体容器如图所示，它们的底面直径分别为4 cm和8 cm，高分别为39 cm和 10 cm. 先在右侧容器中倒满水，然后将其倒入左侧容器中. 倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有多少厘米? 小刚是这样做的：设倒完以后，左侧容器中的水面离容器口有x cm. 列方程 π×22×(39-x)= π×42×10. 解得x= -1. 请你对他的结果作出合理的解释. 习题5.3 解：由题意可知，第一个容器的体积为 22×39×π = 156π cm2 第二个容器的体积为 42×10×π = 160π cm2 第二个容器的体积大于第一个容器的体积，因此将第二个容器装满水后再倒入第一个容器中，水会溢出， 即方程 π×22×（39－x）= π × 42×10的解小于0. 课后练习 3.现有两块试验田，第一块试验田的面积比第二块试验田面积的3倍还多100 m2，这两块试验田的面积共2900 m2，两块试验田的面积分别是多少? 解：设第二块试验田的面积是 x m2，则第一块试验田的面积是（3x + 100）m2根据题意，得: x + 3x + 100 = 2900 解得: x = 700 ∴ 3x + 100 = 2200 答：第一块试验田的面积是 2200 m2， 第二块试验田的面积是 700 m2 教材 P154 习题5.3 课后练习 4.如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条. 如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为多少? 解：设正方形的边长为 x cm根据题意，得 : 4x = 5（x － 4） 解得: x = 20 ∴每一个长条的面积为 4×20 = 80(cm2) 答：每一个长条的面积为 80 cm2. 教材 P154 习题5.3 课后练习 5.如图，某种卷筒纸的外直径为14 cm，内直径为6 cm，每层纸的厚度为0.02 cm. 假如把这筒纸全部拉开，那么这筒纸的总长度大约是多少米（π取3.14)? 解：设卷筒纸的宽度为 x cm 卷筒纸的体积为： = 40πx 卷筒纸的总长度为： 40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m) 答：卷筒纸的总长度为62.8m 教材 P154 习题5.3 感谢聆听! $