6.1认识方程（教学课件）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的概念、解及解方程，以《九章算术》“盈不足”问题导入，通过秋游门票、操场面积等实际情境，引导学生从数量关系中抽象方程模型，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光与模型意识，通过列表分析量的关系发展抽象能力，结合典例与真题强化推理与应用。学生能建立方程思维，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第六章 一元一次方程 6.1认识方程 学 习 目 标 1 2 3 经历分析实际问题中数量关系，并借助用字母表达的未知数建立等量关系的数学表达的过程，感受方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达。 能根据现实情境理解方程的意义，了解一元一次方程的概念； 初步经历求解方程的过程，理解方程的解的意义。 导入新课 今有共买物，人出八，盈三;人出七，不足四。 问:人数、物价各几何？ 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题: 你知道我国古人是如何解决这个问题的吗? 导入新课 ٭٭你将经历从具体问题情境中发现等量关系、抽象出方程模型的过程，利用等式的基本性质求解一元一次方程，并运用一元一次方程解决实际问题。 本章本章的主要学习内容及学习方法有哪些？ ٭٭感受方程的模型思想和方程求解的转化思想，发展抽象能力和运算能力。 新知探究 探究点1 方程的概念 议一议 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? （1）这个问题涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 师生门票总数=学生人数+老师人数， 师生总票款=学生总票款+老师总票款， 学生总票款=学生票价×学生人数， 老师总票款=成人票价×老师人数。 涉及的量 学生人数、老师人数、 师生门票总数，学生票价、 成人票价，学生总票款、 老师总票款、师生总票款 等量关系 新知探究 探究点1 方程的概念 议一议 （2）如果设学生人数为x，那么师生总票款可以用含x的代数式表示？ 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? 学生人数 老师人数 学生总票款 老师总票款 师生总票款 x 45-x 10x元 15(45-x)元 [10x+15(45-x)]元 新知探究 探究点1 方程的概念 试一试 （3）你能得到怎样的表示量相等的式子? 同一等量关系可以列出不同的等式。 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? 学生人数 老师人数 学生总票款 老师总票款 师生总票款 x 45-x 10x元 15(45-x)元 [10x+15(45-x)]元 等于475 10x+15(45-x)=475。 10x=475-15(45-x) 注意 学生总票款=475-老师总票款 新知探究 探究点1 方程的概念 议一议 （4）如果设老师人数为y，你能得到怎样的表示量相等的式子? 在班级秋游活动中，全体学生和老师共购买了45张门票，学生票每张10元，成人票每张15元，师生总票款为475元。你知道学生和老师的人数分别是多少吗?购买学生票和成人票的票款分别是多少? 学生人数 老师人数 学生总票款 老师总票款 师生总票款 y 45-y 10(45-y)元 15y元 [10(45-y)+15y]元 10(45-y)+15y =475 列出等式 探究点1 方程的概念 议一议 某长方形操场的面积是5850m²，长比宽多25m。 （1）这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 面积是5850m² 长 宽 涉及的量 长方形操场的长、宽、面积 操场长与宽的差 等量关系 操场的面积=操场的长×操场的宽 操场的长-操场的宽=操场长与宽的差。 尝试•思考 长 宽 新知探究 探究点1 方程的概念 议一议 （2）如果设这个操场的宽为xm，那么操场的面积可以用含x的代数式表示为什么？ 某长方形操场的面积是5850m²，长比宽多25m。 面积是x(x+25) m² x+25 x 面积是5850m² (3)你能得到怎样的表示量相等的式子? 𝑥(𝑥+25)=5850 尝试•思考 尝试•思考 探究点1 方程的概念 议一议 甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。 (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 甲、乙两地间的距离， 张叔叔原计划每小时走的距离、 实际每小时走的距离， 张叔叔实际每小时走的距离与原计划每小时走的距离的差， 张叔叔从甲地到乙地原计划需要的时间、 实际需要的时间、 实际比原计划提前的时间 涉及的量 尝试•思考 探究点1 方程的概念 议一议 甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。 (1)这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 等量关系 张叔叔原计划速度×张叔叔从甲地到乙地原计划需要的时间=甲、乙两地间的距离， 张叔叔实际速度×张叔叔从甲地到乙地实际需要的时间=甲、乙两地间的距离， 张叔叔实际速度－张叔叔原计划速度=张叔叔实际速度与原计划速度的差 张叔叔从甲地到乙地原计划需要的时间－张叔叔从甲地到乙地实际需要的时间 ＝张叔叔从甲地到乙地实际比原计划提前的时间。 尝试•思考 探究点1 方程的概念 议一议 （3）如果设张叔叔原计划每小时走xkm，那么他比原计划提前的时间可以用含x的代数式表示为什么？ 速度（km/h） 时间（h） 路程（km） 原计划 实际 甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。 x x+1 实际比原计划提前： 。 尝试•思考 探究点1 方程的概念 议一议 （4）你能得到怎样的表示量相等的式子? 甲、乙两地相距22km，张叔叔从甲地出发到乙地，每小时比原计划多走1km，因此提前12min到达乙地。 实际比原计划提前： 。 尝试•思考 探究点1 方程的概念 议一议 归纳 用不同的代数式表示相等的量 含有未知数的表示量相等的等式称为方程。 方程定义 这些等式有什么共同特征？ 判断方程的两个关键要素： ①有未知数 ②是等式 探究点1 方程的概念 典例分析 例1.辨别下列式中哪些是方程：在① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中，方程有（　 　） 解：含有未知数的等式是方程． ① 2−5中没有等号，不是方程 ； ② 1+7𝑥=−8𝑦+3 是含未知数的等式，符合方程定义 ③𝑥=6 ，是方程 ④ 3𝑥=2𝑥−9 ；是方程 ⑤ 2𝑥>7不表示相等关系，不符合方程定义 含有未知数的等式是方程 判断是否是方程： 一要看是否是等式 二要看是否含未知数。 【分析】 ②③④ 16 观察•思考 探究点2 一元一次方程的概念 议一议 下列方程有什么特点？ （1）有几个未知数？未知数的次数是几？方程中的代数式都是什么式子？ ， 在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. 只含有一个未知数（元） 未知数的次数是一次 方程两边都是整式 归纳 一元一次方程定义 探究点2 一元一次方程的概念 典例分析 例2.下列方程中是一元一次方程的是(　　) A． B． 　　 C． D ． y3－2＝2y－7 解： A.含有两个未知数，不是一元一次方程，错误； B.未知数的次为2，不是一元一次方程，错误； C.分母中含有字母，不是一元一次方程，错误； D.符合一元一次方程的定义，正确． D 一元一次方程需满足三个条件： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是1； (3)是整式方程 【分析】 18 思考.交流 探究点3 方程解与解方程的概念 议一议 x 10 20 30 40 50 𝟏𝟎𝒙+𝟏𝟓(𝟒𝟓−𝒙) 625 （1）你能求出满足方程是的未知数的值吗？ 填 表： 575 525 475 425 当 时，方程的左边： 观察表格代数式的值可以得出符合条件的未知数x的值吗？ ∵方程右边=475 ∴方程的左边=方程右边=475 ∴所要求的未知数的值就是40. 称为方程的解 思考.交流 探究点3 方程解与解方程的概念 议一议 当 时 左边 ， 右边 ， ∴方程左边=方程右边 ∴是方程的解 （2）方程 ，当 时，方程左、右两边是否相等？ 归纳 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。 方程的解 求方程解的过程叫解方程. 解 方 程 探究点3 方程解与解方程的概念 典例分析 例3.（1） 是方程 的解吗？ （2） 是方程 的解吗？ 解: （1）当 时，方程左边 ≠右边， ∴不是方程的解； 当时，方程左边 ＝右边， ∴是方程的解； （2）当 时，方程左边 ≠右边， ∴不是方程的解； 当 时，方程左边 ＝右边， ∴是方程的解。 21 拓展提升 1．若两个有理数 A、B 满足，则称A 、B 互为“吉祥数”．如 5和3 就是一对“吉祥数”．回答下列问题： (1)求 的“吉祥数”； (2)若3的“吉祥数”是 ，求的值； (3) 和 9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由． （3）若 |𝑥|和 9 互为“吉祥数”， 则有|𝑥|+9=8 ∵ |𝑥|≥0 ∴ |𝑥|+9≥9≠8 ∴ |��|和 9 不能互为“吉祥数”． （1）由“吉祥数”的定义可知 −5的“吉祥数”为： 8−(−5)=13 （2）由题意知 3𝑥−4=8 解得𝑥=4 ∴x的值为4． 解： 巩固练习 教材P137 随堂练习 1.根据题意列出方程: (1)在公元前1600年左右遗留下来的一卷古埃及纸草书中，记载着一些数学问题。其中一个问题翻译过来是:“啊哈，它的全部，它的 ，其和等于19。”你能求出问题中的“它”吗? 解（1）设“它”为，根据题意， 得 。 (2)某球队参加足球联赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。该球队已比赛了10场，并保持不败，一共得了22分。该球队已胜了多少场?平了多少场? 解：(2)设该球队胜了场，则平了 场，根据题意，得： 3𝑥+1×(10−𝑥)=22 巩固练习 　 教材P137 随堂练习 解：（1）把 x = 2 代入原方程得， ∵左边 = 3×2 ＋（10－2）= 14 ， 右边 = 20， ∴左边 ≠ 右边， ∴ x = 2 不是方程 3x＋（10－ x）= 20 的解. （2）把 x = 2 代入原方程得， ∵左边 = 2×22 ＋6 = 14 ， 右边 = 7×2 = 14， ∴左边 = 右边， ∴x = 2 是方程 2x2 ＋6 = 7x 的解. （2） 2.是下列方程的解吗? 真题感知 1.（2025.济宁七年级月考）下列各式中是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． A.是二元一次方程，不符合题意； B. 是一元一次方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是一元二次方程，不符合题意； 解： B 真题感知 D、左边 ，右边 ， ∴左边 ≠右边，此选项不符合题意； 把𝒙=𝟎代入各方程： 解： 2.（2025.阜阳校考）解为的方程是（ ）． A． 　 B． 　 C． D． B 真题感知 3.（2025.黄石校考）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解． (1) (2) （1）解：把代入方程， ∵左边 ， 右边 ， ∴左边≠右边， 不是方程的解． 把代入方程， ∵左边 ， 右边 ， ∴左边＝右边， 是方程的解． （2）解：把代入方程， ∵左边 ， 右边 ， ∴左边≠右边， 所以不是方程的解； 把代入方程， ∵左边， 右边 ， ∴左边＝右边， ∴是方程的解． 真题感知 4．（2025.吉安校考）某学校要把2000元分给15名学生（包含一等奖与二等奖），其中一等奖每人200元，二等奖每人100元，设一等奖有名学生，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． 　　　　D． 解: 若设一等奖有x人，则二等奖有 人，根据题意，得： ． A 实际问题 数量关系 列等式 方 程 课堂小结 含有未知数的等式叫方程 一元一次方程 方程的解 解方程 使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。 求方程解的过程叫解方程 只含有一个未知数，未知数次数都是 1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程. 课后练习 1.根据题意列出方程: (1)一个数的与3的差等于最大的一位数，求这个数. (1) 解:设这个数为x，由题意可得： x-3=9 0.4+0.05x = 1 (2) 解:设大约x周后树苗长到1m，由题意可得： (2)小颖栽种了一株高为40 cm的树苗，在栽种后的一段时间内，树苗每周长高约5 cm. 按照这样的速度，大约几周后树苗长高到1 m ? (3)沿一张正方形铁皮的边截去一个宽2cm的长方形铁皮条，余下的长方形铁皮面积是80cm2，那么原来正方形铁皮的边长是多少? (3)解:设原来正方形铁皮的边长为x cm，由题意得： x2-2x=80 (4)某商店规定:购买超过15000元的物品可以采用分期付款的方式，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清. 王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电器，他需要用多长时间才能付清尾款? (4)解:设他需要x月才能付清尾款，由题意得： 3000+1500x=19500 习题5.1 教材P138 课后练习 2.x=-2是下列方程的解吗？ (1)2x+3=5x (2)(x-1)2=9 解：(1)把x=-2代入原方程得 ∵左边 =2×(-2)+3=-1， 右边 =5×(-2)=-10， ∴左边 ≠ 右边， ∴x=-2不是方程2x+3=5x的解. 解：(2)把x=-2代入原方程得 ∵左边 =(-2-1)2=9， 右边 =9， ∴左边 =右边， ∴x= -2是方程(x-1)2=9的解. 习题5.1 教材P138 课后练习 3.请用自己的年龄编写一道数学题，并列出方程. 例：今年我12岁，多少年后我40岁？ 解：设x年后我40岁 12+x=40 习题5.1 教材P138 课后练习 解：（1）5x+7或7x-9 （2） （3）得到5x+7=7x-9和 两个方程 4．为营造良好的社区环境，七(1)班同学对学校周边所有社区开展 “社区垃圾分类知识宣讲”综合实践活动，采取分组进社区宣讲的方 式，每组进入一个社区. 若5名同学为一组，则剩余7名同学；若7名同学为一组，则缺少9名同学. (1)如果设学校周边有x个社区，如何用含x的代数式表示七(1)班的人数? (2)如果设七(1)班有y名同学，如何用含y的代数式表示社区的数量? (3)由(1)(2)，你能得到哪些方程? 习题5.1 教材P138 感谢聆听! $