专题4.7 数列求通项方法总结 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过分类梳理数列求通项的八大方法构建知识体系，以框架图呈现从观察法、公式法到构造法、对数变换法的逻辑脉络，明确各方法适用类型及转化思路，突出累加法、构造法等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如累加法结合等差数列求和、构造法通过待定系数转化等题型，培养数学思维与符号表达能力。每个考点配基础题与高三专题题，助力不同学生掌握方法，为教师实施精准教学提供系统支持。

专题4.7 数列求通项方法总结 【知识梳理】 1 【考点1：观察法求数列的通项】 4 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 7 【考点3：累加法求通项】 9 【考点4：累乘法求通项】 12 【考点5：构造数列法求通项】 14 【考点6：对数构造法求通项】 18 【考点7：倒数构造法求通项】 20 【考点8：由型的递推式求通项】 24 【知识梳理】 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 4、 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数） 可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 5、构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型5㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型5㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 6、对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 7、倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 8、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【考点1：观察法求数列的通项】 1．（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下面各数列的一个通项公式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）分析给定的前4项的共同属性，利用观察归纳法写出一个通项公式. 【详解】（1）， 所以所求的一个通项公式为. （2）， 所以所求的一个通项公式为. （3）， 所以所求的一个通项公式为. （4）， 所以所求的一个通项公式为. 5．（2025高三·全国·专题练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)4，6，8，10，…； (2)1，3，6，10，15，…； (3)，，，，，…； (4)2，3，5，9，17，33，…； (5)3，0，，0，3，0，，0，…； (6)8，88，888，8888，…； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）从第二项开始，后一项跟前一项依次作差可知，一阶差为定值2，故可设通项公式为：，代入得，于是，故． （2）从第二项开始，后一项跟前一项依次作差可知，二阶差为定值1，故可设通项公式为：，代入和得，解得，故． （3），，，，，…的分子为2n，分母为，故数列． （4）通过观察可把原数列每项减去1得到：1，2，4，8，16，32，…，故通项公式为． （5）3，0，，0，3，0，，0，…，则数列的奇数项分别为：3，，3，，…，偶数项分别为：0，0，0，0，…，故该数列的通项公式为． （6）8，88，888，8888，…等价于，，，，…，则． 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据与的关系及等差数列的定义可得，是以为首项，2为公差的等差数列，然后利用等差数列求和公式求得，然后分离参数得，根据恒成立求解即可. 【详解】由①，得②， ①-②得， 整理得，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以，整理可得， 又因为，所以，即整数的最大值是5. 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽亳州·月考）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 【答案】 【分析】利用,可求出时,的表达式,然后验证是否满足的表达式即可. 【详解】当时,, 当时,, 显然不符合, 故通项公式. 故答案为：. 4．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】利用前项和公式与通项公式的关系，即可求得通项. 【详解】当时，， 当时，， 因为当时，上式不成立， 所以. 5．（2025高三·全国·专题练习）在正项数列中，为其前n项和，且，求通项公式． 【答案】 【详解】由，得，由于是正项数列，所以，，于是，时，，综上，数列的通项公式． 【考点3：累加法求通项】 1．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用递推式列出递推关系，再通过累加法求通项公式． 【详解】，， 时，， ， ， ，符合条件， ． 故答案为： 2．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，可得；当时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 5．（25-26高三上·河南·月考）已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； （2）因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 【考点4：累乘法求通项】 1．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】利用累乘法求出通项公式，然后可得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， ， 可得， 经检验，满足条件，则. 故答案为：. 3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】通过变形条件利用累乘法求解出的通项公式，然后利用裂项相消法求解出结果. 【详解】由，可得， 两式相减可得，所以，， 当时，， 当时，符合上式， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据公式，可得答案； （2）利用累乘法，可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 则， 当时，满足上式， 所以. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系逐项计算可得前5项； （2）根据与的关系推得，利用累乘法计算即得数列通项. 【详解】（1）由且，得，解得， 由且，，得，解得， 由且，，，得，解得， 由且，，，，得，解得； （2）因，当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即，则， 因满足，故数列的通项公式为. 【考点5：构造数列法求通项】 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 2．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，两边取倒数得，从而由累加法可得，然后由裂项相消法可得答案. 【详解】根据题意，对两边取倒数得： ，则 ， 又,则 ， 当时也适合， 即， 则， 所以. 故选：D． 3．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BC 【分析】由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证CD. 【详解】由题意得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 由以上可知，所以，从而，故A错误； 而， 所以，故C对D错. 故选：BC. 4．（多选）（25-26高二上·甘肃天水·月考）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和为 【答案】BC 【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定 【详解】由题意得，则，而， 故是首项为，公比为的等比数列， ，得，为递减数列，故A正确，B，C错误， 对于D，，的前项和为，故D正确， 故选：BC 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得. 【详解】， 所以， 又，则是首项为公差为的等差数列， 得，故． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【考点6：对数构造法求通项】 1．（2025·全国·高三专题练习）已知数列满足，. 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 【解析】因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以. 2．（2025·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】对任意的，， 因为，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，解得. 3．（2025·全国·高三专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 【解析】恒成立，，则， 则，， 当时，，故，即， 取，满足； 当且时，是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故， 故，取，得到恒成立. 综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由（1）确定数列前50项中数列的项数，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 5．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知数列满足，，设的前项积为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】（1）先根据题意得出，再两边取对数可得，从而得出数列是常数列，进而即可求解； （2）结合（1）可得，从而得到，再结合放缩法及等比数列的前项和公式即可证明． 【详解】（1）由题意知，为正项数列的前项的积，且， 当时，，所以，解得； 又①，②， ②÷①得，，即， 所以，即， 所以，则， 结合，可知数列是常数列， 所以，所以，所以． （2）由（1）可得， 则， 又， 所以， 所以． 【考点7：倒数构造法求通项】 1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. 2．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BC 【分析】由B选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证CD. 【详解】由题意得，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 由以上可知，所以，从而，故A错误； 而， 所以，故C对D错. 故选：BC. 3．（多选）（24-25高二上·甘肃天水·月考）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和为 【答案】BC 【分析】取倒数后由构造法得为等比数列，得通项公式后对选项逐一判定 【详解】由题意得，则，而， 故是首项为，公比为的等比数列， ，得，为递减数列，故A正确，B，C错误， 对于D，，的前项和为，故D正确， 故选：BC 4．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，两边取倒数得，从而由累加法可得，然后由裂项相消法可得答案. 【详解】根据题意，对两边取倒数得： ，则 ， 又,则 ， 当时也适合， 即， 则， 所以. 故选：D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得. 【详解】， 所以， 又，则是首项为公差为的等差数列， 得，故． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【考点8：由型的递推式求通项】 1．（多选）（24-25高二下·湖南·月考）已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 【答案】ABD 【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列的通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项知， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 则， ， 两式相减得 ， 所以， ， 因为，所以， 所以当时， ， 所以当时，，故C错误； 对于D， ， 因为不同时为整数， 所以，故D正确． 故选：ABD． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，且，求通项公式． 【答案】 【分析】根据这一条件，考虑用特征方程法求数列的通项公式. 【详解】此数列对应特征方程为即，解得， 设此数列的通项公式为， 由，，可知， ，解得， 所以， 即. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由题可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，然后由累加法可得答案； （2）原题等价于有解，然后由判别式可判断是否存在k. 【详解】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7 数列求通项方法总结 【知识梳理】 1 【考点1：观察法求数列的通项】 4 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 5 【考点3：累加法求通项】 6 【考点4：累乘法求通项】 7 【考点5：构造数列法求通项】 8 【考点6：对数构造法求通项】 9 【考点7：倒数构造法求通项】 11 【考点8：由型的递推式求通项】 12 【知识梳理】 1、观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 4、 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数） 可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 5、构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型5㈠便可求出 法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型5㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 6、对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 7、倒数变换法： 形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 8、形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 【考点1：观察法求数列的通项】 1．（25-26高二上·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）写出下面各数列的一个通项公式 (1) (2) (3) (4) 5．（2025高三·全国·专题练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)4，6，8，10，…； (2)1，3，6，10，15，…； (3)，，，，，…； (4)2，3，5，9，17，33，…； (5)3，0，，0，3，0，，0，…； (6)8，88，888，8888，…； 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，，若恒成立，则整数的最大值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（24-25高二下·安徽亳州·月考）数列的前n项和满足：，则数列的通项公式＝ ． 4．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． 5．（2025高三·全国·专题练习）在正项数列中，为其前n项和，且，求通项公式． 【考点3：累加法求通项】 1．（25-26高二上·天津红桥·月考）数列中，，，则 ． 2．（25-26高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南·月考）已知数列的前项和. (1)求的通项公式； (2)若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【考点4：累乘法求通项】 1．（25-26高二上·湖北恩施·月考）在数列中，若，则（    ） A．1013 B．1014 C．2025 D．2026 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 . 3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）已知为数列的前n项和，，，则 ． 4．（25-26高二上·重庆荣昌·月考）（1）若数列的前n项和，求数列的通项公式. （2）在数列中，已知，求数列的通项公式. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·月考）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)写出数列的前5项； (2)求数列的通项公式； 【考点5：构造数列法求通项】 1．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 2．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 4．（多选）（25-26高二上·甘肃天水·月考）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和为 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【考点6：对数构造法求通项】 1．（2025·全国·高三专题练习）已知数列满足，. 证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； 2．（2025·全国·高三专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式． 3．（2025·全国·高三专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 4．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 5．（23-24高三上·云南曲靖·月考）已知数列满足，，设的前项积为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【考点7：倒数构造法求通项】 1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 2．（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，数列满足．记数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等差数列 C． D． 3．（多选）（24-25高二上·甘肃天水·月考）已知数列满足，，则下列结论中错误的有（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和为 4．（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的前2020项的和等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【考点8：由型的递推式求通项】 1．（多选）（24-25高二下·湖南·月考）已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 2．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列，，且，求通项公式． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $