（温故知新-寒假专供）专题05 数学广角-植树问题（知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共27题）-人教版数学五年级上册培优讲义

专题05 数学广角-植树问题 （知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共27题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点01：基本概念 1 知识点02：不同类型的植树问题及公式 2 问题1：非封闭线路植树问题 2 问题2：封闭线路植树问题 2 知识点03：常见题型及解题思路 2 问题1：求间隔长 2 问题2：求棵数 2 问题3：求总长 2 问题4：双植树问题 2 知识点04：特殊的植树问题拓展 3 问题1：锯木头问题 3 问题2：爬楼梯、敲钟问题 3 问题3：方阵问题 3 题型讲练 3 重点难点题型一：植树问题（两端都栽） 3 重点难点题型二：植树问题（两端都不栽） 4 重点难点题型三：植树问题（一端栽一端不栽） 5 重点难点题型四：封闭图形上的植树问题 6 拔尖训练 7 知识点01：基本概念 四要素：植树问题涉及总长、间隔长、间隔数和棵数这四个关键要素。其中，间隔数的计算方法为：间隔数 = 总长÷间隔长。 间隔：间隔是指相邻两棵树之间的距离，它是理解植树问题的核心概念之一。 知识点02：不同类型的植树问题及公式 问题1：非封闭线路植树问题 两端都种树：棵数 = 间隔数 + 1。例如，在一条长 60 米的路，每隔 3 米种一棵树，两端都种，先计算间隔数为 60÷3 = 20 个，那么棵数就是 20 + 1 = 21 棵。 两端都不种树：棵数 = 间隔数 - 1。比如在 50 米的路边种树，每隔 5 米种一棵，两端不种，间隔数是 50÷5 = 10 个，棵数则为 10 - 1 = 9 棵。 一端种，一端不种：棵数 = 间隔数。若有一条 35 米长的路，每隔 7 米种一棵树，一端种一端不种，间隔数为 35÷7 = 5 个，所以棵数也是 5 棵。 问题2：封闭线路植树问题 封闭线路（如圆形、方形、椭圆形等）上种树，棵数 = 间隔数。例如一个圆形花坛周长 48 米，每隔 6 米放一盆花，间隔数为 48÷6 = 8 个，盆数（即棵数）就是 8 盆。 知识点03：常见题型及解题思路 问题1：求间隔长 已知总长、棵数和植树类型，先根据相应公式求出间隔数，再用总长除以间隔数得到间隔长。比如已知两端都种树，总长 100 米，种了 21 棵树，先求间隔数为 21 - 1 = 20 个，那么间隔长就是 100÷20 = 5 米。 问题2：求棵数 根据总长和间隔长求出间隔数，再依据植树类型选择合适的公式计算棵数。如两端都不种，总长 80 米，间隔长 4 米，间隔数为 80÷4 = 20 个，棵数为 20 - 1 = 19 棵。 问题3：求总长 先根据已知条件求出间隔数，再用间隔数乘间隔长得到总长。例如一端种一端不种，有 15 棵树，间隔长 6 米，间隔数等于棵数为 15 个，总长就是 15×6 = 90 米。 问题4：双植树问题 通常涉及两条线路或不同条件下的植树情况，需要分别分析每条线路的植树类型，再根据相应公式计算，最后综合考虑两条线路之间的关系进行求解。 知识点04：特殊的植树问题拓展 问题1：锯木头问题 锯木头的时间花在锯的次数上，段数 = 次数 + 1，次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间×次数。例如把一根木头锯成 5 段，需要锯的次数是 5 - 1 = 4 次，如果每锯一次需要 3 分钟，那么总时间就是 4×3 = 12 分钟。 问题2：爬楼梯、敲钟问题 时间花在段数上。爬楼梯时，楼层间隔数 = 到达楼层数 - 1；敲钟时，间隔数 = 敲钟次数 - 1。比如小明从 1 楼爬到 6 楼，楼层间隔数为 6 - 1 = 5 个；时钟敲 8 下，间隔数为 8 - 1 = 7 个。 问题3：方阵问题 分类：方阵分为实心（中实）方阵和空心（中空）方阵。 基本特点 方阵任何一层的每边上物体数相等。 相邻两层，边长差 2。 相邻两层，圈长差 8。 基本公式 每层物体总数 = (该层每边物体数 - 1)×4。 实心方阵物体总数 = 最外层每边物体数×最外层每边物体数。 空心方阵物体总数 = 实心物体总数 - 空心部分物体总数。 重点难点题型一：植树问题（两端都栽） 【例1】（24-25五年级上·江西抚州·期末）汤显祖戏剧节快到了，为了让游客有更好的体验，景区在一条林荫大道两侧放置分类垃圾桶，道路全长800米，在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距( )米。 【变式1】（24-25五年级上·江西赣州·期末）五（1）班20名同学围成一个圆做游戏。开始时，每相邻两人之间的距离是0.8m。玩了一会儿后，有12名同学回家了，剩下的同学继续玩，不改变围成的圆的大小，且每相邻两人之间的距离相等，每相邻两人之间的距离是多少米？ 【变式2】（23-24五年级上·全国·单元测试）从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 重点难点题型二：植树问题（两端都不栽） 【例2】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）如图所示，阳光小区有一块梯形花圃，围花圃的篱笆长48米。 （1）请计算出这个花圃的面积。 （2）园林工人沿着花圃的三条边摆花盆，每边都是整米数，如果每隔0.5米摆一盆（起点和终点都不摆），一共需要摆多少盆花？ 【变式1】（24-25五年级上·云南昭通·期末）元宵节是中国传统节日，有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜的习俗。清风小区要在园区内正方形回廊的四条边上挂花灯，计划每条边挂8盏花灯（每相邻两盏花灯之间的距离相等）。现请小区居民出谋划策。 （1）请你设计两种方案，在下图画一画（用表示花灯）。 （2） 如果采用挂花灯盏数较少的方案，每相邻两盏花灯之间的距离是4米，这个正方形回廊的总长度是多少米？ 【变式2】（25-26五年级上·全国·单元测试）小明家住在6楼，他和爸爸从4楼开始玩“剪刀、石头、布”的游戏上楼，规定每次获胜者可以上3级台阶，输的人就得下1级台阶，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，那么这两层之间有( )个台阶。 重点难点题型三：植树问题（一端栽一端不栽） 【例3】（24-25五年级上·湖南永州·期末）4月28日，2024年永州青年马拉松（半程）在永州经开区举行。马拉松比赛全程约为42千米，平均每3千米设置一处补给站（起点不设，终点设），半程一共有( )处这样的补给站。 【变式1】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）五（1）班为了美化班级，要在教室的一侧均匀摆放大小一致的盆栽绿色植物，一共摆了6盆，请你按要求画出6盆绿色植物（用一个圆圈或竖线表示一盆绿色植物），然后写出盆数与间隔数的关系。 (1)只摆一端：                                                  盆数与间隔数的关系是： (2)两端都摆：                                                  盆数与间隔数的关系是： 【变式2】（25-26五年级上·全国·单元测试）奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 （1）奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇奇测量间隔的时间是多少分钟？ （2）运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次呢？ 重点难点题型四：封闭图形上的植树问题 【例4】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）为美化小区环境，如图所示，物业计划在小区内的一块平行四边形空地上预留一块边长为2.5米的正方形区域建造一个喷泉，其余部分植上草皮。 （1）植草皮的区域占地多少平方米？ （2）在这块平行四边形空地的四周每隔1.2米摆一盆花（四个角上也要摆），一共可以摆放多少盆花？ 【变式1】（24-25五年级上·湖南益阳·期末）李伯伯准备购置一批树苗栽在一个圆形池塘周围，这个圆形池塘的周长是160米。如果每隔10米栽一棵，每棵树苗15.8元，那么李伯伯购买树苗共需花多少钱？ 【变式2】（2024六年级·全国·专题练习）一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有10棵花，大三角形边上栽有多少棵花？中间的小三角形边上共栽有多少棵花？ 1．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）唐代诗人张继在《枫桥夜泊》中写道：“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”已知寺里的大钟3时敲3下，用时6秒，那么大钟8时敲8下，用时（    ）秒。 A．14 B．21 C．24 2．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）锯一根方木，锯3段需要6分钟，照这样的速度，锯6段需要（    ）分钟。 A．12 B．10 C．15 D．18 3．（24-25五年级上·四川凉山·期末）一个圆形花坛周围每隔1米摆一盆鲜花，一共摆了20盆鲜花，花坛的周长是（    ）米。 A．19 B．20 C．21 D．22 4．（22-23五年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确有（    ）。 ①平行四边形框架拉成长方形，面积变小了，周长不变。 ②、、、0.074四个小数中最大的是。 ③学生排成方阵，最外层每边站15人，最外层一共有60人。 ④a×0.45＝b×0.85＝c÷0.2＝d×1，其中a＜b＜d＜c。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）一个圆形喷水池的一周长度是300米。如果沿着这一圈每隔25米栽一棵柏树，再在每两棵柏树之间栽一棵松树。柏树( )棵，松树要栽( )棵。 6．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）重庆市的“天下第一大火锅”周长约是31.4米，相邻两个座位之间的距离约是0.56米，这个“天下第一大火锅”可供( )人同时用餐。 7．（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）李老师为了方便同学们在雨天挂伞，想和同学们制作一个挂伞装置（如图），一共可以挂10把伞，相邻两个钩子之间的距离是6.5厘米。如果把钩子钉在木条上，至少要准备( )厘米长的木条。 8．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 9．（24-25五年级上·河南南阳·期末）张欣上到二楼需要15秒，照这样的速度，上到四楼需45秒。( )（判断对错） 10．（24-25五年级上·河南周口·期中）把1根木头锯成5段需要10分钟，照这样的速度，锯成6段需要15分钟。( )（判断对错） 11．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）为了推进美丽乡村建设，团结村不断改善村民生活环境。在村里公路一侧安装路灯，原计划安装101盏路灯（两端都有），相邻两盏路灯相距25米。实际安装时增加了25盏（相邻两盏路灯之间的距离相等）。实际相邻的两盏路灯之间的距离是多少米？ 12．（24-25五年级上·重庆江北·期末）设计部的同学们在社区人员的帮助下布置活动舞台，他们用30米的彩带围出一个长9米的长方形舞台，铺上红色地毯，并在舞台四周有序地绑上一束束漂亮的气球；在舞台四周装饰气球，同学们每3只气球为一束，每相邻两束之间间隔0.5米（长方形的四个角分别要有一束），一共需要多少只气球？ 13．（24-25五年级上·重庆大渡口·期末）马拉松比赛通常要设置饮料站和饮水站。饮料站提供运动饮料，帮助运动员补充能量。饮水站提供普通饮用水，帮助运动员补充基本水分。 2024年深圳马拉松比赛全程40公里。自起点开始（起点不设）大约每隔5公里设置一个饮料站，每两个饮料站中间设置一个饮水站。深圳马拉松比赛全程设置多少个饮料站和多少个饮水站？ 14．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）欣欣小学四、五、六年级的学生去郊游，三个年级一共有200人，每50人组成一个方阵，每个方阵中每5人排成一行，前后每行相隔0.5米，每个方阵之间相隔2米，队伍每分钟前进50米，要通过一座长476米的桥，队伍全部通过一共需要多少分钟？ 15．（25-26五年级上·全国·单元测试）小明、小颖比赛登楼梯，他们从一幢高楼的地面（一楼）出发，到达25楼后返回地面。小明到达4楼时，小颖刚到3楼。如果他们保持固定的速度，那么小明到达25楼后返回地面途中，将与小颖在几楼相遇。（注：一楼与二楼之间的楼梯均属于一楼，以下类推） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数学广角-植树问题 （知识回顾+四大重点难点题型讲练+拔尖训练 共27题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点01：基本概念 1 知识点02：不同类型的植树问题及公式 2 问题1：非封闭线路植树问题 2 问题2：封闭线路植树问题 2 知识点03：常见题型及解题思路 2 问题1：求间隔长 2 问题2：求棵数 2 问题3：求总长 2 问题4：双植树问题 2 知识点04：特殊的植树问题拓展 3 问题1：锯木头问题 3 问题2：爬楼梯、敲钟问题 3 问题3：方阵问题 3 题型讲练 3 重点难点题型一：植树问题（两端都栽） 3 重点难点题型二：植树问题（两端都不栽） 5 重点难点题型三：植树问题（一端栽一端不栽） 7 重点难点题型四：封闭图形上的植树问题 9 拔尖训练 11 知识点01：基本概念 四要素：植树问题涉及总长、间隔长、间隔数和棵数这四个关键要素。其中，间隔数的计算方法为：间隔数 = 总长÷间隔长。 间隔：间隔是指相邻两棵树之间的距离，它是理解植树问题的核心概念之一。 知识点02：不同类型的植树问题及公式 问题1：非封闭线路植树问题 两端都种树：棵数 = 间隔数 + 1。例如，在一条长 60 米的路，每隔 3 米种一棵树，两端都种，先计算间隔数为 60÷3 = 20 个，那么棵数就是 20 + 1 = 21 棵。 两端都不种树：棵数 = 间隔数 - 1。比如在 50 米的路边种树，每隔 5 米种一棵，两端不种，间隔数是 50÷5 = 10 个，棵数则为 10 - 1 = 9 棵。 一端种，一端不种：棵数 = 间隔数。若有一条 35 米长的路，每隔 7 米种一棵树，一端种一端不种，间隔数为 35÷7 = 5 个，所以棵数也是 5 棵。 问题2：封闭线路植树问题 封闭线路（如圆形、方形、椭圆形等）上种树，棵数 = 间隔数。例如一个圆形花坛周长 48 米，每隔 6 米放一盆花，间隔数为 48÷6 = 8 个，盆数（即棵数）就是 8 盆。 知识点03：常见题型及解题思路 问题1：求间隔长 已知总长、棵数和植树类型，先根据相应公式求出间隔数，再用总长除以间隔数得到间隔长。比如已知两端都种树，总长 100 米，种了 21 棵树，先求间隔数为 21 - 1 = 20 个，那么间隔长就是 100÷20 = 5 米。 问题2：求棵数 根据总长和间隔长求出间隔数，再依据植树类型选择合适的公式计算棵数。如两端都不种，总长 80 米，间隔长 4 米，间隔数为 80÷4 = 20 个，棵数为 20 - 1 = 19 棵。 问题3：求总长 先根据已知条件求出间隔数，再用间隔数乘间隔长得到总长。例如一端种一端不种，有 15 棵树，间隔长 6 米，间隔数等于棵数为 15 个，总长就是 15×6 = 90 米。 问题4：双植树问题 通常涉及两条线路或不同条件下的植树情况，需要分别分析每条线路的植树类型，再根据相应公式计算，最后综合考虑两条线路之间的关系进行求解。 知识点04：特殊的植树问题拓展 问题1：锯木头问题 锯木头的时间花在锯的次数上，段数 = 次数 + 1，次数 = 段数 - 1，总时间 = 每次时间×次数。例如把一根木头锯成 5 段，需要锯的次数是 5 - 1 = 4 次，如果每锯一次需要 3 分钟，那么总时间就是 4×3 = 12 分钟。 问题2：爬楼梯、敲钟问题 时间花在段数上。爬楼梯时，楼层间隔数 = 到达楼层数 - 1；敲钟时，间隔数 = 敲钟次数 - 1。比如小明从 1 楼爬到 6 楼，楼层间隔数为 6 - 1 = 5 个；时钟敲 8 下，间隔数为 8 - 1 = 7 个。 问题3：方阵问题 分类：方阵分为实心（中实）方阵和空心（中空）方阵。 基本特点 方阵任何一层的每边上物体数相等。 相邻两层，边长差 2。 相邻两层，圈长差 8。 基本公式 每层物体总数 = (该层每边物体数 - 1)×4。 实心方阵物体总数 = 最外层每边物体数×最外层每边物体数。 空心方阵物体总数 = 实心物体总数 - 空心部分物体总数。 重点难点题型一：植树问题（两端都栽） 【例1】（24-25五年级上·江西抚州·期末）汤显祖戏剧节快到了，为了让游客有更好的体验，景区在一条林荫大道两侧放置分类垃圾桶，道路全长800米，在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距( )米。 【答案】20 【思路引导】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，可得段数＝垃圾桶的个数－1，道路全长÷段数＝间距，据此列式计算。 【完整解答】800÷（41－1） ＝800÷40 ＝20（米） 每两个垃圾桶之间相距20米。 【变式1】（24-25五年级上·江西赣州·期末）五（1）班20名同学围成一个圆做游戏。开始时，每相邻两人之间的距离是0.8m。玩了一会儿后，有12名同学回家了，剩下的同学继续玩，不改变围成的圆的大小，且每相邻两人之间的距离相等，每相邻两人之间的距离是多少米？ 【答案】2米 【思路引导】有20名同学围成一个圆，则间隔数为20，每相邻两人之间的距离是0.8米，用间隔数乘间距，得到围成的圆的大小。12名同学回家后，在不改变圆的大小的情况下，求每相邻两人之间的距离，用圆的大小除以剩余人数即可。 【完整解答】20×0.8＝16（米） 16÷8＝2（米） 答：每相邻两人之间的距离为2米。 【考点再现】用围成的圆除以间隔数即为间距。 【变式2】（23-24五年级上·全国·单元测试）从南镇到北镇的路的一边共有27根电线杆，相邻两根电线杆之间的距离是30米，现在要重新修改，除两端的2根不动，其余的要拆除，重新在中间竖19根。这时相邻两根电线杆之间的平均距离是多少米？ 【答案】39米 【思路引导】根据植树问题的解题方法，两端都植，段数＝棵数－1，原来间距×原来段数＝总长度，据此先求出总长度；重新修改时，两端的2根不动，属于两端都不植，段数＝棵数＋1，总长度÷修改后的段数＝修改后的平均间距，据此列式解答。 【完整解答】30×（27－1） ＝30×26 ＝780（米） 780÷（19＋1） ＝780÷20 ＝39（米） 答：这时相邻两根电线杆之间的平均距离是39米。 【考点再现】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 重点难点题型二：植树问题（两端都不栽） 【例2】（24-25五年级上·四川绵阳·期末）如图所示，阳光小区有一块梯形花圃，围花圃的篱笆长48米。 （1）请计算出这个花圃的面积。 （2）园林工人沿着花圃的三条边摆花盆，每边都是整米数，如果每隔0.5米摆一盆（起点和终点都不摆），一共需要摆多少盆花？ 【答案】（1）280平方米 （2）93盆 【思路引导】（1）这个花圃是一个直角梯形，梯形的面积公式为，图中的20米是这个梯形的高，两条平行的线段是这个梯形的上底和下底，已知整个篱笆的长度是48米，减去高就可以求出梯形上底与下底的和，据此求出梯形的面积。 （2）沿着花圃的三条边摆花盆属于植树问题，起点和终点都不摆说明“两端都不栽”，盆数间隔数1（间隔数边长间距），这道题每条边的花盆均为间隔数1，则三条边为总间隔数3，据此求出一共需要摆多少盆花。 【完整解答】（1）上下底的和： （米） 梯形的面积： （平方米） 答：这个花圃的面积是280平方米。 （2） （盆） 答：一共需要摆93盆花。 【变式1】（24-25五年级上·云南昭通·期末）元宵节是中国传统节日，有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜的习俗。清风小区要在园区内正方形回廊的四条边上挂花灯，计划每条边挂8盏花灯（每相邻两盏花灯之间的距离相等）。现请小区居民出谋划策。 （1）请你设计两种方案，在下图画一画（用表示花灯）。 （2）如果采用挂花灯盏数较少的方案，每相邻两盏花灯之间的距离是4米，这个正方形回廊的总长度是多少米？ 【答案】（1）方案图见详解； （2）112米 【思路引导】（1）每条边挂8盏花灯，方案一：回廊的四个端点挂上花灯，即每条边的两端都挂上花灯；方案二：回廊的四个端点不挂花灯，即每条边的两端都不挂灯笼；据此作图即可。 （2）采用挂花灯盏数较少的方案，也就是回廊的四个端点挂上花灯，每条边的两端都挂上花灯，等同于植树问题中，“两端都栽”，间隔数＝棵数－1，总长＝间隔长（4米）×间隔数，据此计算出一条边的长度，再乘4计算出这个正方形回廊的总长度即可。 【完整解答】（1）方案如下图所示： （2）8－1＝7 7×4＝28（米） 28×4＝112（米） 答：这个正方形回廊的总长度是112米。 【变式2】（25-26五年级上·全国·单元测试）小明家住在6楼，他和爸爸从4楼开始玩“剪刀、石头、布”的游戏上楼，规定每次获胜者可以上3级台阶，输的人就得下1级台阶，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，那么这两层之间有( )个台阶。 【答案】20 【思路引导】由题意可知，当玩到第20次时，爸爸和小明都从4楼上到了6楼，则他们每玩一次都要上2个台阶，20次共上40个台阶，再除以2就是两层之间的台阶个数。 【完整解答】（3－1）×20 ＝2×20 ＝40（个） 40÷2＝20（个） 这两层之间有20个台阶。 【考点再现】本题主要考查了植树问题，解答本题的关键是理解每玩一次要上2个台阶。 重点难点题型三：植树问题（一端栽一端不栽） 【例3】（24-25五年级上·湖南永州·期末）4月28日，2024年永州青年马拉松（半程）在永州经开区举行。马拉松比赛全程约为42千米，平均每3千米设置一处补给站（起点不设，终点设），半程一共有( )处这样的补给站。 【答案】7 【思路引导】全程约为42千米，半程就是21千米，补给站起点不设，终点设，属于一端植树一端不植树的植树问题，棵数＝段数，直接用半程÷间距即可。 【完整解答】42÷2＝21（千米） 21÷3＝7（处） 所以半程一共有7处这样的补给站。 【变式1】（24-25五年级上·贵州铜仁·期末）五（1）班为了美化班级，要在教室的一侧均匀摆放大小一致的盆栽绿色植物，一共摆了6盆，请你按要求画出6盆绿色植物（用一个圆圈或竖线表示一盆绿色植物），然后写出盆数与间隔数的关系。 (1)只摆一端：                                                  盆数与间隔数的关系是： (2)两端都摆：                                                  盆数与间隔数的关系是： 【答案】(1) / 绿色植物的盆数＝间隔数 (2) 绿色植物的盆数＝间隔数＋1 【思路引导】根据题意，当一端摆放，一端不摆放时，物体的个数和间隔数相等。当两端都摆放时，物体的个数比间隔数多1。用竖线或者圆圈表示绿色植物，据此画图，并解答。 【完整解答】（1） 根据分析，只摆一端：或                                        盆数与间隔数的关系是：绿色植物的盆数＝间隔数。 （2） 根据分析，两端都摆：                                        盆数与间隔数的关系是：绿色植物的盆数＝间隔数＋1。 【变式2】（25-26五年级上·全国·单元测试）奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 （1）奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇奇测量间隔的时间是多少分钟？ （2）运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次呢？ 【答案】（1）5分钟；（2）列表见详解；10：50；11：05 【思路引导】（1）根据题意，要解决问题需分两步：首先，计算测量的总时长，用结束时间减去开始时间，再结合测量次数（10次），利用“间隔数＝测量次数－1”的关系，求出测量间隔时间。 （2）依据第一次测量时间（10：30）以及求出的间隔时间（5分钟），通过依次累加间隔时间的方法，用列表法呈现每次测量时间，从而确定第5次和第8次的测量时间。据此解答。 【完整解答】（1）11：15与10：30之间的时间间隔为45分钟 45÷（10－1） ＝45÷9 ＝5（分钟） 答：每次间隔的时间是5分钟。 （2）由（1）问得出每次间隔的时间是5分钟，列表如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 时间 10：30 10：35 10：40 10：45 10：50 10：55 11：00 11：05 11：10 11：15 答：第5次测量的时间是10：50，第8次测量的时间是11：05。 【考点再现】解决本题的关键是明确测量次数与间隔数的关系，以及能正确进行时间的计算和列表。 重点难点题型四：封闭图形上的植树问题 【例4】（24-25五年级上·湖南怀化·期末）为美化小区环境，如图所示，物业计划在小区内的一块平行四边形空地上预留一块边长为2.5米的正方形区域建造一个喷泉，其余部分植上草皮。 （1）植草皮的区域占地多少平方米？ （2）在这块平行四边形空地的四周每隔1.2米摆一盆花（四个角上也要摆），一共可以摆放多少盆花？ 【答案】（1）56.39平方米 （2）30盆 【思路引导】（1）根据平行四边形面积＝底×高，正方形面积＝边长×边长，代入数据，题中5.8米是平行四边形的高，求出平行四边形空地面积和喷泉面积，再用平行四边形空地面积－喷泉面积，即可求出植草皮的区域占地面积。 （2）根据平行四边形周长的求法，求出空地的周长；因为是封闭型，所以用平行四边形周长除以间隔，即可求出摆放花盆的数量，据此解答。 【完整解答】（1）10.8×5.8－2.5×2.5 ＝62.64－6.25 ＝56.39（平方米） 答：植草皮的区域占地56.39平方米。 （2）（10.8＋7.2）×2÷1.2 ＝18×2÷1.2 ＝36÷1.2 ＝30（盆） 答：一共可以摆放30盆花。 【变式1】（24-25五年级上·湖南益阳·期末）李伯伯准备购置一批树苗栽在一个圆形池塘周围，这个圆形池塘的周长是160米。如果每隔10米栽一棵，每棵树苗15.8元，那么李伯伯购买树苗共需花多少钱？ 【答案】252.8元 【思路引导】已知在周长是160米的圆形池塘周围每隔10米栽一棵树苗，根据封闭图形的植树问题：间隔数＝棵数，用周长除以间距，求出间隔数，也就是树苗的棵数；已知每棵树苗15.8元，根据“单价×数量＝总价”求出买树苗的总钱数。 【完整解答】160÷10＝16（棵） 15.8×16＝252.8（元） 答：李伯伯购买树苗共需花252.8元。 【变式2】（2024六年级·全国·专题练习）一个街心花园如下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有10棵花，大三角形边上栽有多少棵花？中间的小三角形边上共栽有多少棵花？ 【答案】54棵； 27棵 【思路引导】（1）从已知条件中知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍，每个小三角形的边上均栽有10棵花，大三角形边上的两个小三角形有一个重合的顶点，所以大三角形一边上栽的棵数是10×2−1＝19（棵）。大三角形三个顶点上栽的这棵花是相邻边公有的，所以大三角形三条边上共栽花（19－1）×3＝54（棵）。 （2）在小三角形每边上栽花就可以看作一端不栽的情况，所以每边的棵数为10－1＝9（棵），三条边共栽9×3＝27（棵）。 【完整解答】大三角形边上共栽花： （10×2－1－1）×3 ＝18×3 ＝54（棵） 中间小三角形边上共栽花： （10－1）×3 ＝9×3 ＝27（棵） 答：大三角形边上栽有54棵花，中间小三角形边上共栽有27棵花。 【考点再现】解题时要根据题目的已知条件正确理解题意，运用规律来求解。此题中大三角形边长是小三角形边长的2倍。大三角形边上的两个小三角形有一个顶点重合，所以计算大三角形边上的棵数时要减去一棵花，求中间小三角形每边栽的棵数就可以看作一端不栽的情况，要根据具体的题意灵活解答。 1．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）唐代诗人张继在《枫桥夜泊》中写道：“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”已知寺里的大钟3时敲3下，用时6秒，那么大钟8时敲8下，用时（    ）秒。 A．14 B．21 C．24 【答案】B 【思路引导】敲钟问题属于两端都栽的植树问题，敲3下有2个间隔，用时6秒，总时间÷间隔数＝间隔时间，代入数据即可求出间隔时间；敲8下有7个间隔，间隔数×间隔时间＝总时间，代入数据即可求出敲8下用的时间。 【完整解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（秒） 3×（8－1） ＝3×7 ＝21（秒） 大钟8时敲8下，用时21秒。 故答案为：B 2．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）锯一根方木，锯3段需要6分钟，照这样的速度，锯6段需要（    ）分钟。 A．12 B．10 C．15 D．18 【答案】C 【思路引导】锯的次数＝锯的段数－1。已知锯3段即锯（3－1）次需要6分钟，用锯的时间除以锯的次数，求出锯一次所需的时间；锯6段需要锯（6－1）次，用锯一次所需的时间乘（6－1）次，求出锯6段需要的时间。 【完整解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（分钟） 3×（6－1） ＝3×5 ＝15（分钟） 锯6段需要15分钟。 故答案为：C 3．（24-25五年级上·四川凉山·期末）一个圆形花坛周围每隔1米摆一盆鲜花，一共摆了20盆鲜花，花坛的周长是（    ）米。 A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【思路引导】已知一个圆形花坛周围每隔1米摆一盆鲜花，一共摆了20盆鲜花，根据封闭图形的植树问题：间隔数＝棵数，可知20盆鲜花有20个间隔，用间距乘间隔数，求出花坛的周长。 【完整解答】1×20＝20（米） 花坛的周长是20米。 故答案为：B 4．（22-23五年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确有（    ）。 ①平行四边形框架拉成长方形，面积变小了，周长不变。 ②、、、0.074四个小数中最大的是。 ③学生排成方阵，最外层每边站15人，最外层一共有60人。 ④a×0.45＝b×0.85＝c÷0.2＝d×1，其中a＜b＜d＜c。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】①把平行四边形框架拉成长方形，四条边的长度没变，所以周长不变；平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高小于长方形的宽；根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，可得出：长方形的面积大于平行四边形的面积。 ②把循环小数的简写形式改写无限小数形式，再根据小数大小的比较方法进行比较。 ③属于植树问题，根据最外层人数＝（每边人数－1）×4，代入数据计算即可。 ④观察算式可知，四个算式的得数相等，可以设它们的得数都是1；然后根据因数＝积÷另一个因数，被除数＝商×除数，分别求出a、b、c、d的值，再比较大小，得出结论。 【完整解答】①平行四边形框架拉成长方形，面积变大了，周长不变，原题说法错误； ②＝0.074074… ＝0.07474… ＝0.07444… 0.07474…＞0.07444…＞0.074074…＞0.074 ＞＞＞0.074 最大的是，原题说法正确； ③（15－1）×4 ＝14×4 ＝56（人） 最外层一共有56人，原题说法错误； ④设a×0.45＝b×0.85＝c÷0.2＝d×1＝1； a＝1÷0.45≈2.22 b＝1÷0.85≈1.18 c＝1×0.2＝0.2 d＝1÷1＝1 0.2＜1＜1.18＜2.22 c＜d＜b＜a 原题说法错误。 综上所述，说法正确是②，有1个。 故答案为：A 【考点再现】本题考查平行四边形拉成长方形后，它们周长和面积的变化；循环小数大小的比较，方阵最外层人数的求法；利用赋值法和乘除法中各部分的关系，求出a、b、c、d的值，再比较大小。 5．（25-26五年级上·重庆九龙坡·月考）一个圆形喷水池的一周长度是300米。如果沿着这一圈每隔25米栽一棵柏树，再在每两棵柏树之间栽一棵松树。柏树( )棵，松树要栽( )棵。 【答案】 12 12 【思路引导】在封闭的路线中，棵数＝间隔数，圆形喷水池周围可以看成是封闭路线，一周长度是300米，每隔25米栽一棵柏树，那么间隔数＝总长÷间距长度，即：300÷25＝12（个）间隔，因为封闭图形棵数＝间隔数，所以柏树棵树是12棵。题目要求：每两棵柏树之间栽一棵松树，这就是说每一段柏树的间隔里，恰好对应着一棵松树，已知柏树的间隔数是12个，所以松树的棵树就是柏树的间隔数，即松树要栽12棵。 【完整解答】300÷25＝12（个） 12×1＝12（棵） 即：柏树要栽12棵，松树也栽12棵。 6．（24-25五年级上·重庆云阳·期末）重庆市的“天下第一大火锅”周长约是31.4米，相邻两个座位之间的距离约是0.56米，这个“天下第一大火锅”可供( )人同时用餐。 【答案】56 【思路引导】结合题意知：周长约是31.4米，相邻两个座位之间的距离约是0.56米，可理解为“封闭图形的植树问题”，棵数＝间隔数，所以用31.4米除以0.56米计算出能供多少人同时用餐，若有余数，不足0.56米，不够再放一个椅子，所以商使用“去尾法”保留整数。 【完整解答】31.4÷0.56≈56（人） 重庆市的“天下第一大火锅”周长约是31.4米，相邻两个座位之间的距离约是0.56米，这个“天下第一大火锅”可供56人同时用餐。 7．（24-25五年级上·浙江嘉兴·期末）李老师为了方便同学们在雨天挂伞，想和同学们制作一个挂伞装置（如图），一共可以挂10把伞，相邻两个钩子之间的距离是6.5厘米。如果把钩子钉在木条上，至少要准备( )厘米长的木条。 【答案】58.5 【思路引导】由于求至少要准备多长的木条，则木条的两端都要挂钩子，则相当于植树问题中的两端都植树，那么间隔数＋1＝棵数（即钩子的数量），挂10把伞，钩子与钩子之间的间隔就是10－1＝9（个），相邻两个钩子之间的距离是6.5厘米，木条的长度就是6.5×（10－1），据此解答。 【完整解答】6.5×（10－1） ＝6.5×9 ＝58.5（厘米） 至少要准备58.5厘米长的木条。 8．（25-26五年级上·全国·单元测试）甲、乙两人在一栋十几层楼的高楼中的某一层，甲向上走，每秒走2级楼梯，乙向下走，每秒走3级楼梯，两人同时出发，结果两人同时到达顶层和底层。已知这栋高楼的每一层之间的楼梯都是18级，他们在这栋楼的第( )层出发。 【答案】7或10 【思路引导】根据时间相等列出方程，利用总台阶数÷每秒走楼梯级数＝所用时间，则甲到顶层所用时间＝（总楼层数－出发楼层数）×每一层之间的楼梯级数÷甲每秒走楼梯级数；乙到底层所用时间＝（出发楼层数－1）×每一层之间的楼梯级数÷乙每秒走楼梯级数，整理出总楼层数和出发楼层数的关系，通过两者皆为整数，并且楼层数在11—19之间即可求出结果。 【完整解答】设出发楼层数为层，楼一共有层，题中描述这栋楼为十几层楼的高楼，则； 甲到顶层需走楼梯级数为，时间为； 乙到底层需走楼梯级数为，时间为； 两人所花时间相同则，化简为，即（层）； 因为和均为整数，且，那么： 当时，（层），即他们在这栋楼的第7层出发； 或当时，（层），即他们在这栋楼的第10层出发。 综上可知，他们在这栋楼的第7或10层出发。 【考点再现】涉及到这种两人在多层建筑中同时出发，一个向上走，一个向下走，最终同时到达顶层或是底层，需要结合楼层间隔数，每层楼梯层数等信息，通过时间相等或是其他等量关系求出出发楼层数。 9．（24-25五年级上·河南南阳·期末）张欣上到二楼需要15秒，照这样的速度，上到四楼需45秒。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】从一楼上到二楼爬了1层楼，用时15秒。从一楼上到四楼需要爬3层楼（一楼到二楼、二楼到三楼、三楼到四楼）。由于速度不变，那么爬3层楼所需的时间是爬1层楼的3倍。据此分析解答即可。 【完整解答】张欣上到二楼需要15秒，表明从一楼爬到二楼爬了1层楼，用时15秒。上到四楼是从一楼爬到四楼，需要爬3层楼（一楼到二楼、二楼到三楼、三楼到四楼）。根据速度不变，爬3层楼所需时间为：15×3＝45（秒）。 故答案为：√ 10．（24-25五年级上·河南周口·期中）把1根木头锯成5段需要10分钟，照这样的速度，锯成6段需要15分钟。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】锯木头的次数比锯木头的段数少1，则把1根木头锯成5段需要锯（5－1）次，求出锯一次需要的时间，再乘锯成6段需要的次数，据此解答。 【完整解答】10÷（5－1）×（6－1） ＝10÷4×5 ＝2.5×5 ＝12.5（分钟） 所以，锯成6段需要12.5分钟。 故答案为：× 11．（24-25五年级上·湖北黄石·期末）为了推进美丽乡村建设，团结村不断改善村民生活环境。在村里公路一侧安装路灯，原计划安装101盏路灯（两端都有），相邻两盏路灯相距25米。实际安装时增加了25盏（相邻两盏路灯之间的距离相等）。实际相邻的两盏路灯之间的距离是多少米？ 【答案】20米 【思路引导】先利用原有的路灯盏数和间隔长度，求出这条公路的总长度是（101－1）×25＝2500（米），换新路灯后，一共有路灯101＋25＝126盏，此时的间隔数是126－1＝125，由此即可求出1个间隔的长度是2500÷125，据此解答。 【完整解答】（101－1）×25÷（101＋25－1） ＝100×25÷125 ＝2500÷125 ＝20（米） 答：实际相邻的两盏路灯之间的距离是20米。 12．（24-25五年级上·重庆江北·期末）设计部的同学们在社区人员的帮助下布置活动舞台，他们用30米的彩带围出一个长9米的长方形舞台，铺上红色地毯，并在舞台四周有序地绑上一束束漂亮的气球；在舞台四周装饰气球，同学们每3只气球为一束，每相邻两束之间间隔0.5米（长方形的四个角分别要有一束），一共需要多少只气球？ 【答案】180只 【思路引导】封闭图形植树，植树棵数＝段数，彩带长度÷间距＝有多少束气球，有多少束气球×每束气球的数量＝需要的气球总数量，据此列式解答。 【完整解答】30÷0.5×3 ＝60×3 ＝180（只） 答：一共需要180只气球。 13．（24-25五年级上·重庆大渡口·期末）马拉松比赛通常要设置饮料站和饮水站。饮料站提供运动饮料，帮助运动员补充能量。饮水站提供普通饮用水，帮助运动员补充基本水分。 2024年深圳马拉松比赛全程40公里。自起点开始（起点不设）大约每隔5公里设置一个饮料站，每两个饮料站中间设置一个饮水站。深圳马拉松比赛全程设置多少个饮料站和多少个饮水站？ 【答案】8个； 7个 【思路引导】根据题意分析，全程40公里。大约每隔5公里设置一个饮料站，一共有40÷5＝8（个）间隔，起点不设，那么饮料站的个数就和间隔数一样。每两个饮料站中间设置一个饮水站。那就是8－1＝7（个）。据此分析解答即可。 【完整解答】40÷5＝8（个） 8－1＝7（个） 答：深圳马拉松比赛全程设置8个饮料站和7个饮水站。 14．（24-25五年级上·湖南湘西·期末）欣欣小学四、五、六年级的学生去郊游，三个年级一共有200人，每50人组成一个方阵，每个方阵中每5人排成一行，前后每行相隔0.5米，每个方阵之间相隔2米，队伍每分钟前进50米，要通过一座长476米的桥，队伍全部通过一共需要多少分钟？ 【答案】 10分钟 【思路引导】队伍由200人组成，每50人一个方阵，用总人数除以每方阵人数求出共4个（200÷50＝4）方阵； 每个方阵中每5人一行，用每方阵人数除以每行人数求出每个方阵有10行（50÷5＝10）； 间隔数比行数少1，所以有9个（10－1＝9）间隔，每个间隔0.5米，用间隔距离乘间隔数求出每个方阵长为4.5米（0.5×9＝4.5）； 用每个方阵长度乘方阵数量求出4个方阵总长为18米（4.5×4＝18）； 4个方阵间有3个（4－1＝3）间隔，每个方阵之间相隔2米，用每个间隔距离乘间隔数量求出方阵间的间隔总长为6米（2×3＝6）； 将方阵总长度与间隔总长度相加求出队伍总长为24米（18＋6＝24）。 通过桥的总路程为桥长476米加上队伍长24米，共500米，队伍每分钟前进50米，最后用总路程除以速度即可求出队伍全部通过桥所用的时间。据此解答。 【完整解答】200÷50＝4（个） 50÷5＝10（行） 0.5×（10－1） ＝0.5×9 ＝4.5（米） 4.5×4＝18（米） 2×（4－1） ＝2×3 ＝6（米） 18＋6＝24（米） 476＋24＝500（米） 500÷50＝10（分钟） 答：队伍全部通过一共需要10分钟。 【考点再现】本题需先计算整个队伍的长度，队伍长度是所有方阵的长度之和，加上方阵之间的间隔总长度；还需明确队伍全部通过桥的总路程，这个路程不仅包括桥的长度，还要加上队伍自身的长度，因为需要等队伍尾部完全通过桥才算全部通过。 15．（25-26五年级上·全国·单元测试）小明、小颖比赛登楼梯，他们从一幢高楼的地面（一楼）出发，到达25楼后返回地面。小明到达4楼时，小颖刚到3楼。如果他们保持固定的速度，那么小明到达25楼后返回地面途中，将与小颖在几楼相遇。（注：一楼与二楼之间的楼梯均属于一楼，以下类推） 【答案】20楼 【思路引导】由于小明到达4楼时，小颖刚到3楼，可得出小明和小颖的速度比为3∶2，由于小明到达25楼时，可根据速度比计算出小颖到达的楼层。通过减去小颖到达的楼层从25楼得到两人相距的楼层；通过使用两人的速度比和他们之间的楼层差得知两人相遇的位置；将小颖到达的楼层与两人相遇的位置相加确定小颖所在的楼层。 【完整解答】解：小明到达4楼时，小颖刚到3楼，所以小明和小颖的速度比为： 速度比＝（4－1）∶（3－1）＝3∶2 小明到达25楼时，小颖到达的楼层是： （25－1）÷3×2＋1＝24÷3×2＋1＝8×2＋1＝17（楼） 当前两人相差的楼层为： 25－17＝8（层） 根据两人的速度比和相对楼层差，可计算到小明下楼时，他们相遇的位置为： （层） 确定小颖所在的楼层为： 17＋3.2＝20.2（楼）（楼） 所以，小明下楼途中将与小颖在20楼相遇。 【考点再现】此题关键在于用两部分，上楼时和小明到达楼顶后折回，再根据两人相差的楼层求相遇楼层。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $