（温故知新-寒假专供）专题01 分数乘除法（知识回顾+十六大重点难点题型讲练+拔尖训练 共47题）-人教版数学六年级上册培优讲义

专题01 分数乘除法 （知识回顾+十六大重点难点题型讲练+拔尖训练 共47题） 【解析版】 知识回顾 2 知识点01：分数乘法的意义 2 知识点02：分数乘法的计算法则 2 知识点03：积与因数的关系 2 知识点04：分数乘法混合运算 3 知识点05：分数乘法的应用 3 知识点06：倒数的认识 3 知识点07：分数除法的意义和计算法则 3 知识点08：分数混合运算 4 题型讲练 4 重点难点题型一：因数和积的大小关系（分数乘法) 4 重点难点题型二：整数乘法运算定律推广到分数乘法 6 重点难点题型三：分数的连乘运算 7 重点难点题型四：连续求一个数的几分之几是多少的问题 8 重点难点题型五：已知总量及一部分分率，求另一部分量 9 重点难点题型六：求比一个数多/少几分之几的数是多少 10 重点难点题型七：倒数的认识与计算 11 重点难点题型八：被除数与商的大小关系（分数除法） 12 重点难点题型九：分数的连除运算 13 重点难点题型十：分数的乘、除法的混合运算 15 重点难点题型十一：分数的四则混合运算 18 重点难点题型十二：分数除法相关的简便计算 20 重点难点题型十三：解分数方程 23 重点难点题型十四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 25 重点难点题型十五：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 26 重点难点题型十六：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 28 拔尖冲刺 29 知识点01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 知识点06：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点07：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点08：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 重点难点题型一：因数和积的大小关系（分数乘法) 【例1】（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），甲数与乙数相比，（    ）。 A．甲数大 B．乙数大 C．一样大 【答案】B 【思路引导】求一个数的几分之几是多少用乘法计算，所以根据甲数的等于乙数的可列式：甲数×＝乙数×。当一个乘法算式的积不变时，一个因数越大另一个因数就越小，据此比较和的大小可以判断出甲数和乙数的大小关系。 【完整解答】由题可知： 甲数×＝乙数×，也就是甲数与的积等于乙数与的积。 因为＞，所以，甲数小于乙数。 甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），甲数与乙数相比，乙数大。 故答案为：B 【变式】（24-25六年级上·山东济宁·期末）奇奇和妙妙分别从家出发去羊山古镇军事旅游区，当奇奇走完全程的时，妙妙已走了全程的，这时俩人剩余的路程一样长。根据上面的信息，可以确定（    ）。 A．奇奇家到羊山古镇军事旅游区的路程远 B．妙妙家到羊山古镇军事旅游区的路程远 C．奇奇的速度比妙妙快 D．妙妙的速度比奇奇快 【答案】B 【思路引导】把各自从家到羊山古镇军事旅游区的路程看作单位“1”，奇奇走完全程的，还剩下全程的1－＝，用奇奇家到军事旅游区的全程×就是奇奇剩余的路程，妙妙已走了全程的，还剩下全程的1－＝，用妙妙家到军事旅游区的全程×，就是妙妙剩余的路程；已知“两人剩余的路程一样长”，可得奇奇家到军事旅游区的全程×＝妙妙家到军事旅游区的全程×，据此判断各选项。 【完整解答】A．因为奇奇家到军事旅游区的全程×＝妙妙家到军事旅游区的全程×，＞，所以可知奇奇家到军事旅游区的全程＜妙妙家到军事旅游区的全程，所以妙妙家到羊山古镇军事旅游区的路程远，此选项错误； B．由A选项可知妙妙家到羊山古镇军事旅游区的路程远，此选项正确； C．根据速度＝路程÷时间，题中只涉及到路程，没有涉及到时间，所以无法判断速度； D．根据速度＝路程÷时间，题中只涉及到路程，没有涉及到时间，所以无法判断速度。 故答案为：B 重点难点题型二：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【例2】（25-26六年级上·浙江杭州·期中）在计算时，琳琳把它错算成了。她的计算结果与正确的结果比较，（    ）。 A．小0.15 B．大0.15 C．没有变化 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】先根据乘法分配律（a＋b）×c＝ac＋bc，把（＋□）×化为×＋□×＝＋□×，与算错的＋□×比较，＜，算错它们的差，就是琳琳的计算结果与正确结果相比大了几。 【完整解答】（＋□）× ＝×＋□× ＝＋□× 与＋□×相比较； ＝；＜，计算结果比正确结果大。 － ＝－ ＝ ＝0.15 她的计算结果与正确的结果比较，大了0.15。 在计算时，琳琳把它错算成了。她的计算结果与正确的结果比较，大了0.15。 故答案为：B 【变式】（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）计算下面各题，能简算的要简算。          【答案】14；72；10 【思路引导】根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c得，分别相乘，再相加； 根据乘法交换律和结合律，将与34、15与相结合，分别相乘，再求积； 将写成，然后根据乘法分配律a×b－a×c＝a×（b－c）得，先算括号里的减法，再算乘法。 【完整解答】 ＝ ＝8＋6 ＝14 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 重点难点题型三：分数的连乘运算 【例3】（25-26六年级上·河南三门峡·期中）A零件的使用寿命一般是20年，B零件的使用寿命是A零件的，C零件的使用寿命是B零件的。C零件的使用寿命一般是多少年？ 【答案】28年 【思路引导】根据题意，先把A零件的使用寿命看作单位“1”，B零件的使用寿命是A零件的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法计算，用20×即可计算出B零件的使用寿命；再把B零件的使用寿命看作单位“1”，C零件的使用寿命是B零件的，则用B零件的使用寿命接着乘即可得到C零件的使用寿命。 【完整解答】20×× ＝8× ＝28（年） 答：C零件的使用寿命一般是28年。 【变式】（25-26六年级上·河北邢台·期中）宣纸有“纸中之王”的美誉，自古就是创作书画的最佳材料。为练习毛笔字，小红购买了100张宣纸，第一个月用了一半，第二个月用的是第一个月的，第二个月用了( )张宣纸。 【答案】30 【思路引导】把小红购买了100张宣纸看作单位“1”，第一个月用了一半，即用了，根据分数乘法的意义，用100×即可算出第一个月用了多少张宣纸；再把小红第一个月用的宣纸张数看作单位“1”，第二个月用的是第一个月使用量的，再用第一个月用的宣纸张数乘即可得第二个月用了多少张宣纸。 【完整解答】100×× ＝50× ＝30（张） 第二个月用了30张宣纸。 重点难点题型四：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【例4】（25-26六年级上·江西南昌·月考）球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度是前次下落高度的。如果球从35米高处落下，那么第三次弹起的高度是 米。 【答案】 【思路引导】根据分数乘法的意义，把第一次下落的高度看作单位“1”，用第一次下落的高度乘即可求出第一次弹起的高度；第一次弹起的高度等于第二次下落的高度，把第二次下落的高度看作单位“1”，用第二次下落的高度乘即可求出第二次弹起的高度；第二次弹起的高度等于第三次下落的高度，把第三次下落的高度看作单位“1”，用第三次下落的高度乘即可求出第三次弹起的高度。 【完整解答】35××× ＝14×× ＝（米） 第三次弹起的高度是米。 【变式】（25-26六年级上·湖南常德·期中）叔叔新房的总面积是120平方米，其中客厅的面积占新房总面积的，餐厅的面积是客厅面积的，餐厅的面积是多少平方米？ 【答案】9平方米 【思路引导】根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，先用新房总面积×，得到客厅的面积，再用客厅的面积×，得到餐厅的面积。 【完整解答】120×× ＝24× ＝9（平方米） 答：餐厅的面积是9平方米。 重点难点题型五：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【例5】（25-26六年级上·湖北省直辖县级单位·期中）一根铁丝长是米， ，还剩多少米？如果列式“”，那么需要补充的信息是（    ）。 A．用去剩下的 B．用去全长的 C．用去米 D．用去全长的 【答案】D 【思路引导】先分析这个列式的含义：1代表铁丝的全长，是用去的长度占全长的比例，因此1－就是剩下的长度占全长的比例。 【完整解答】A．“用去剩下的”，此时单位“1”是“剩下的长度”，而非“全长”无法对应算式中以“全长”为基础的计算逻辑，不符合。 B．“用去全长的”，列式应是，不符合。 C．“用去米”，列式应是，不符合。 D．“用去全长的”，与列式匹配，符合。 故答案为：D 【变式】（25-26六年级上·山东菏泽·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，内容十分丰富，共收录246个数学问题。李老师利用假期研究了其中的，还剩( )个问题没研究。 【答案】82 【思路引导】已经研究了，说明还剩下1－＝没研究，求一个数的几分之几用乘法计算，用246乘可算出还剩多少题没研究。 【完整解答】 ＝246× ＝82（个） 所以还剩余82个问题没有研究。 重点难点题型六：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例6】（25-26六年级上·广东潮州·期中）甲、乙两队从距离36千米的两地相向而行。甲的速度为每小时3千米，乙的速度比甲的速度快，若乙先出发2小时，甲才出发，则经过 小时后甲与乙相遇。 【答案】4 【思路引导】把甲的速度看作单位1，乙的速度比甲的速度快，乙的速度＝甲的速度×（），乙先出发2小时，甲才出发，那么两队相遇时间＝（两地距离－乙2小时行驶路程）÷两队速度和，由此解答本题。 【完整解答】（） ＝3× ＝4（千米/时） （36－2）÷（） ＝（36－8）÷7 ＝28÷7 ＝4（小时） 经过4小时后甲与乙相遇。 【变式】（25-26六年级上·四川成都·期中）一种商品原价400元，上半月涨价，下半月又降价，这种商品现价是多少元？ 【答案】 384元 【思路引导】这道题需明确：求比一个数多或少几分之几是多少用乘法。应先求上半月的价钱，再求现价。上半月涨价表示上半月的价钱比原价多，单位“1”是原价，即上半月的价钱原价，下半月又降价，表示下半月的价钱比上半月的价钱少，单位“1”是上半月的价钱，即现价上半月的价钱，据此解答。 【完整解答】计算上半月的价钱： （元） 计算现价： （元） 答：这种商品现价是384元。 重点难点题型七：倒数的认识与计算 【例7】（25-26六年级上·贵州铜仁·期中）如果数a和数b互为倒数，那么( )；( )。 【答案】 20 【思路引导】分数与分数相乘，分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母；乘积是1的两个数互为倒数，数a和数b互为倒数，所以ab＝1，据此解答。 【完整解答】数a和数b互为倒数，所以ab＝1。 因此，如果数a和数b互为倒数，那么 ；20。 【变式】（25-26六年级上·河南信阳·期中）求值：( )。 【答案】205 【思路引导】可以把带分数写出整数加分数的形式，通过观察算式中乘法部分第二个分数的倒数正好等于1＋第一个带分数拆分后的分数部分，比如的倒数是，，然后再利用乘法分配律进行计算即可。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（60＋50＋40＋30＋20）＋（1＋1＋1＋1＋1） ＝200＋5 ＝205 【考点再现】先看算式中的规律，发现将带分数进行拆分，带分数的整数部分去掉1后可以与第二个分数的分母约分，剩余的部分可以与另一个分数构成倒数，然后再利用乘法分配律；主要是要仔细寻找算式的规律是解题的关键。 重点难点题型八：被除数与商的大小关系（分数除法） 【例8】（25-26六年级上·广东汕头·期中）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )1    ( ) 【答案】 ＜ ＝ ＜ ＞ 【思路引导】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）（4）先求出括号两边算式的结果，再比较它们的大小关系； （3）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数，据此解答。 【完整解答】（1）因为＜1，所以＜； （2）＝，＝，因为＝，所以＝； （3）因为＞1，所以＜1； （4）＝＝，＝＝，因为＞，所以＞。 综上所述，＜，＝，＜1，＞。 【变式】（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）已知（a、b、c、d均大于0），那么在这四个数中，最大的数是（    ），最小的数是（    ）。 A．a，b B．b，a C．c，d D．d，c 【答案】B 【思路引导】一个非0数乘一个小于1的数（0除外），乘积小于这个数本身；一个非0数除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数本身；在除法中，商一定时，除数越小，则被除数越小，由此即可比较大小。 【完整解答】＜1，a÷＞a，则d＞a ＜1，b×＜b，则d＜b ＜1，c÷＞c，则d＞c ＜，当a÷＝c÷，则a＜c 即，这四个数中a＜c＜d＜b，最大的是b，最小的是a。 故答案为：B 重点难点题型九：分数的连除运算 【例9】（25-26六年级上·新疆伊犁·期中）下面各题，怎样简便怎样计算。               （）÷           【答案】； 41； 【思路引导】第1题，先把44改写成45与1的差，再利用乘法分配律进行简便计算。 第2题，先把分数除法改写成分数乘法，再从左往右依次计算。 第3题，先把分数除法改写成分数乘法，再利用乘法分配律进行简便计算。 第4题，先把分数除法改写成分数乘法，再利用乘法分配律的逆运算进行简便计算。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （）÷ ＝ ＝ ＝20＋21 ＝41 ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）计算下面各题。 （1）      （2）      （3）     （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）2 【思路引导】（1）从左往右依次进行约分计算即可； （2）运用乘法结合律a×（b×c）＝（a×b）×c进行简便计算即可； （3）（4）除法计算时，根据“除以一个非零数等于乘这个数的倒数”将除法转换成乘法计算；再根据乘法交换律a×b＝b×a进行简便计算。 【完整解答】（1） ＝8× ＝4 （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝2 重点难点题型十：分数的乘、除法的混合运算 【例10】（25-26六年级上·湖南常德·期中）计算下面各题，能简算的要简算。                          【答案】32；；； 【思路引导】根据乘法分配律（a－b）×c＝a×c－b×c得，分别相乘，再相减； 按照运算顺序，先算括号里的乘法，再算除法； 将74写成75－1，然后根据乘法分配律a×（b－c）＝a×b－a×c得，分别相乘，再相减； 根据乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c）得，先算括号里的加法，再算乘法。 【完整解答】 ＝ ＝42－10 ＝32 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式】（25-26六年级上·湖北荆州·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                                       【答案】；4； ；； 【思路引导】根据除以一个数等于乘这个数的倒数，将分数除法转化为乘法计算，两个乘法中都有，运用乘法分配律的逆运算计算。 2，3，4都是48的因数，运用乘法分配律计算。 将0.125换算成，根据除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为乘法，约分后再计算。 根据除以一个数等于乘这个数的倒数，转化为乘法，依次计算。 根据四则混合运算的优先级，先算括号内的减法，再算乘法。 将2026分成2025＋1，运用乘法分配律计算。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝       ＝48× ＝16＋12－24 ＝4          ＝ ＝ ＝ ＝        ＝ ＝             ＝（2025＋1）× ＝ ＝2024＋ ＝ 重点难点题型十一：分数的四则混合运算 【例11】（25-26六年级上·河北邢台·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                    【答案】；；； 【思路引导】分别计算分数的乘法和除法，再把乘积和商加起来； 应用乘法分配律，用括号里的两个分数乘括号外的分数，再把两个乘积相减； 把分数除法转化成乘法，再应用乘法分配律，用括号里的两个分数乘括号外的分数，再把两个乘积相加； 应用乘法交换律和结合律，38与的积乘与的积，据此解答。 【完整解答】                     【变式】．（25-26六年级上·广东汕头·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                   【答案】； ； 【思路引导】先计算分数乘法再计算分数减法； 应用乘法分配律，用括号里的每个分数与24相乘，再把乘积相加减； 先把转化为，再逆用乘法分配律用乘； 先计算括号里的加法，再依次计算括号外的乘法、除法，据此解答。 【完整解答】          重点难点题型十二：分数除法相关的简便计算 【例12】（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 －＋－              0.375×3.4＋×6.6 （－＋）÷           498＋509＋489＋503＋497 【答案】1；3.75 0；2496 【思路引导】（1）带符号移动，先算，再根据连续减去两个数等于减去这两个数的和进行计算； （2）把分数化成小数，再利用乘法分配律的逆运算进行计算； （3）除以转化为乘48，再根据乘法分配律进行简便运算，最后根据带符号搬家，把转化为再计算； （4）把509中拿出2＋1变成506，再利用加法交换律和结合律进行计算。 【完整解答】（1） （2）0.375×3.4＋×6.6 ＝0.375×3.4＋0.375×6.6 ＝0.375×（3.4＋6.6） ＝0.375×10 ＝3.75 （3） （4）498＋509＋489＋503＋497 ＝498＋506＋2＋1＋489＋（503＋497） ＝（498＋2）＋（1＋489）＋（503＋497）＋506 ＝500＋490＋1000＋506 ＝（500＋506）＋（490＋1000） ＝1006＋1490 ＝2496 【变式】（2025六年级上·广东广州·专题练习）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                        【答案】2；； ； 【思路引导】（1）无括号的四则运算，先算乘除，再算加减。 （2）利用减法的性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和，原式变为，再根据分数四则混合运算的顺序，先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算括号外的除法，计算得出结果。 （3）先将41写成（42－1）的形式，原式变为，再根据乘法分配律，将式子变为，分别计算出两个乘法的积，再相减，使计算简便。 （4）先将式子中的除法化为乘法，原式变为，再逆用乘法分配律，提取相同的公因数，式子变为，先算括号内的和（凑整得1），再算括号外的乘法，使计算简便。 【完整解答】（1） ＝ ＝8－6 ＝2 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 重点难点题型十三：解分数方程 【例13】（25-26六年级上·江西吉安·期中）解方程。              【答案】；；； 【思路引导】解答这道题应熟知等式的两个性质：在等式的左右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；在等式的左右两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 （1）利用等式的性质，两边同时除以求解。 （2）先利用乘法分配律将合并为，再利用等式的性质，两边同时除以求解。 （3）利用等式的性质，两边同时加上，再同时减去1.3，最后同时除以，求解。 （4）利用等式的性质，两边同时乘，再同时除以求解。 【完整解答】根据分析： （1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式】（25-26六年级上·湖南常德·期中）解方程。                  【答案】；； 【思路引导】计算得，然后根据等式的性质2，方程两边同时除以求解出； 根据等式的性质2，方程两边同时乘，交换两边位置，再同时除以求解出； 根据等式的性质1和2，方程两边同时减去，再同时除以求解出。 【完整解答】 解： 解： 解： 重点难点题型十四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例14】（25-26六年级上·福建莆田·期中）学校举办数学竞赛，六年级共有120人参赛，其中获得三等奖的人数占参赛总人数的。获得二等奖的人数是获得三等奖人数的，又是一等奖人数的，获得一等奖的人数有多少人？ 【答案】50人 【思路引导】已知参赛总人数为120人，三等奖人数占参赛总人数的，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，求出三等奖人数。已知二等奖人数是三等奖人数的，用乘法计算，求出二等奖人数。已知二等奖人数是一等奖人数的，即一等奖人数的是40人，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，求出一等奖人数。据此解答。 【完整解答】三等奖人数：120×＝60（人） 二等奖人数：60×＝40（人） 一等奖人数：40÷ ＝40× ＝50（人） 答：获得一等奖的人数有50人。 【变式】（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）某工厂第一车间的人数比第二车间的多10人，如果从第一车间调走的工人到第二车间，那么两个车间的人数就相等，原来第二车间有( )人。 【答案】25 【思路引导】从第一车间调走的工人到第二车间，那么两个车间的人数就相等，则第一车间原比第二车间多2个的人，即：10人是第一车间的2×，再用10人除以占第一车间的几分之几，求出第一车间的人数，再减去10人就是第二车间的人数。 【完整解答】2×＝ 10÷＝10×＝35（人） 35－10＝25（人） 所以原来第二车间有25人。 重点难点题型十五：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例15】（25-26六年级上·广东汕头·期中）有一捆电线，第一次用去全长的，比第二次多，这时还剩80米。 （1）第二次用去全长的几分之几？     （2）这捆电线全长多少米？ 【答案】（1） （2）200米 【思路引导】（1）第一次比第二次多，是把第二次用去的分率看作单位“1”，则第一次用去的是第二次用去的（1＋），也就是说第二次用去的（1＋）等于第一次用去的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，求第二次用去全长的几分之几，列式为：÷（1＋）。 （2）把这捆电线的全长看作单位“1”，用1减去第一次用去的，再减去第二次用去的分率，求出剩下全长的几分之几，单位“1”的量未知，用对应的数量÷对应的分率，即用还剩的80米除以剩下全长的几分之几列式解答。 【完整解答】（1）÷（1＋） ＝÷ ＝× ＝ 答：第二次用去全长的。 （2）80÷（1－－） ＝80÷（－） ＝80÷（－） ＝80÷ ＝80× ＝200（米） 答：这捆电线全长200米。 【变式】（25-26六年级上·山东青岛·期中）下面问题中，不能用算式解决的是（    ）。 A．食堂买来蔬菜60千克，瓜果比蔬菜多，买来瓜果多少千克？ B．学校种植园今年比去年扩大种植面积，去年种植面积60平方米，今年种植面积是多少平方米？ C．一箱油，用去，还剩60升，原来一箱油共多少升？ D．“京港澳”高速卢沟桥至六里桥早高峰进京方向车辆平均时速约60千米。同路段出京方向车辆平均速度提升，出京方向车辆的速度约是多少千米？ 【答案】C 【思路引导】A．将蔬菜的质量看作单位1，则买来的瓜果比蔬菜多了蔬菜的，所以买来瓜果的质量为60×（1＋）千克。 B．把去年种植面积60平方米看作单位1，今年比去年扩大去年种植面积的，相当于今年的种植面积是去年的（1＋），所以今年的种植面积为60×（1＋）平方米。 C．把一箱油的升数看作单位1，用去后还剩60升，说明剩下的1－是60升，用除法求出原来一箱油的容积。 D．把进京方向车辆平均时速60千米看作单位1，则出京方向车辆平均速度提升，出京方向的时速为60×（1＋）千米。 【完整解答】A．将蔬菜的质量看作单位1，买来的瓜果质量为60×（1＋）千克，不符合题意。 B．把去年种植面积60平方米看作单位1，可以用60×（1＋）计算，不符合题意。 C．把一箱油的升数看作单位1，60升是剩下的升数，所以不能用60×（1＋）计算，符合题意。 D．把进京方向车辆平均时速60千米看作单位1，所以出京方向时速为60×（1＋）千米，不符合题意。 故答案为：C 重点难点题型十六：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例16】（25-26六年级上·河南南阳·期中）在邓州市创卫活动中，环卫工人们辛勤地在劳动。他们周一清理了垃圾总数的，周二清理了垃圾总数的，周二清理的垃圾比周一多24吨。这批垃圾共有多少吨？ 【答案】80吨 【思路引导】把清理的垃圾总数看作单位“1”。用周二清理垃圾的减去周一清理垃圾的，算出24吨相当于垃圾总数的几分之几。根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量解决。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝80（吨） 答：这批垃圾共有80吨。 【变式】（24-25六年级上·河北邯郸·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。书中记载了这样一个数学问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税，过中关时用剩余米的纳税，过内关时再用剩余米的纳税，最后还剩6斗米。这个人一共背了多少斗米过关卡？ 【答案】9斗 【思路引导】将过内关时剩余米的斗数看作单位“1”，最后剩的斗数是过内关时的，最后剩的斗数÷对应分率＝过内关时剩余米的斗数；再将过中关时剩余米的斗数看作单位“1”，过内关时剩余米的斗数是过中关时的，过内关时剩余米的斗数÷对应分率＝过中关时剩余米的斗数；最后将全部米的斗数看作单位“1”，过中关时剩余米的斗数是全部米的，过中关时剩余米的斗数÷对应分率＝全部米的斗数，据此列式解答。 【完整解答】 （斗） 答：这个人一共背了9斗米过关卡。 【考点再现】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，从后往前倒推。 1．（25-26六年级上·广东汕头·期中）一列动车途经某站时，先下去车里人数的，又上来此时车上人数的，这时车里的人数（    ）。 A．比原来少 B．一样多 C．比原来多 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】假设车里原有的人数是a人，那么先下去的人数是a的，剩余a人，这时上来的人数是a的，用原有的人数减去先下去的人数再加上此时上来的人就是最后车里的人数。一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数，据此车上此时的人数与原有人数比较解答。 【完整解答】假设车里原有的人数是a人，最后车里的人数是 a－a×＋（a－a×）× ＝a－a＋（a－a）× ＝a＋a× ＝a＋a ＝a（人） 因为，所以a＜a，所以这时车里的人数比原来少。 故答案为：A 2．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列关于的计算过程，错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】A.  计算分数除法时，转化为同分母分数，也就是通分，把分子相除即可。 B．根据分数与除法的关系，，由此计算。 C．将分数化成小数，，分数除法转化为小数除法计算。 D．根据商不变性质，被除数和除数同时乘或除以同一个数，商不变，把被除数和除数同时乘计算。 【完整解答】A． 计算分数除法时，转化为同分母分数，因为，所以，正确。 B．根据分数与除法的关系，，所以2÷，并不是2÷2÷5，计算错误。 C．把分数转化为小数计算，，所以，正确。 D．根据商不变性质计算，被除数和除数同时乘，变为，正确。 故答案为：B 3．（25-26六年级上·福建莆田·期中）下面说法正确的有（    ）个。 ①水结成冰，体积会增加，当冰融化成水，冰的体积减少了。 ②一件商品先降价，再涨价，现价与原价相等。 ③乐乐计算时，想到了用＝的方法。 ④如果a、b互为倒数，那么。 A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【思路引导】①设水的体积为11，结成冰后体积增加，冰的体积为11＋11×＝12。冰融化成水，体积减少的量是12－11＝1，减少的比例是1÷12＝。 ②设原价为1，降价后价格：1×（1－）。再涨价后价格：1×（1－）× （1＋），把涨价后价格与原价1比较。 ③分数除法法则：除以一个数等于乘它的倒数。 ④倒数的定义是：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数。 【完整解答】①设水的体积为11。 冰的体积：11＋11× ＝11＋1 ＝12 冰融化成水，体积减少：12－11＝1，减少了：1÷12＝，不是，错误。 ②设原价为1。 降价后价格：1×（1－） ＝1× ＝ 再涨价后价格：× （1＋） ＝× ＝ ＜1，现价低于原价，错误。 ③ ＝×2 ＝ ＝ ＝ ≠，错误。 ④因为a、b互为倒数，所以ab＝1。 ＝ ＝ ＝ 所以，正确。 综上，只有1个说法正确。 故答案为：B 【考点再现】本题关键在于精准运用分数乘除法法则、单位“1”动态变化规律和倒数定义，对每个说法逐一推理验证：判断水冰体积变化、商品价格涨跌时，要明确两次比较的单位“1”不同，比例不能直接抵消；验证分数除法方法时，需紧扣“除以一个数等于乘它的倒数”；解决倒数相关问题时，利用“互为倒数的两数乘积为1”代入计算，以此得出正确结论。 4．（25-26六年级上·广东肇庆·期中）制作一批环保购物袋，甲小组单独做8天可以完成，乙小组每天做这批环保购物袋的。两组合作，( )天能全部做完。 【答案】/4.8 【思路引导】由题可知：把制作这批环保购物袋的工作量看作单位“1”，甲的工作效率为1÷8＝，乙的工作效率为，因此甲乙合作的工作效率和为＋，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”求出工作时间即可。 【完整解答】1÷8＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝ ＝4.8（天） 因此，制作一批环保购物袋，甲小组单独做8天可以完成，乙小组每天做这批环保购物袋的。两组合作，天能全部做完。 5．（25-26六年级上·湖南常德·期中）甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），甲数比乙数小。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】已知甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），则甲数×＝乙数×，乘积相等的算式中，一个乘数越大，对应的另一个数越小。据此判断。 【完整解答】由题意可得，甲数×＝乙数×（甲、乙均不为0）。 因为＞，所以甲数＜乙数，即甲数比乙数小，原题说法正确。 故答案为：√ 6．（25-26六年级上·河南南阳·期中）已知，其中，把a，b，c三个数按从大到小的顺序排列起来：。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】先根据除以一个数等于乘这个数的倒数，变式为；再根据乘积相等，一个因数越大，另一个因数就越小，通过判断其中一个因数的大小，从而判断出另一个因数的大小。据此解答。 【完整解答】； 因为＞＞； 所以。 所以，题目说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26六年级上·广东肇庆·期中）脱式计算，能用简便方法的要用简便方法计算。 ①     ②       ③ 【答案】；49；3 【思路引导】（1）根据除法的性质：一个数（0除外）连续除以两个数，等于除以这两个数的积，将算式转化成，进行简算。 （2）利用乘法分配律，将算式展开为，进行简算； （3）先将除法转化成乘法：一个数（0除外）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，将算式写成，提取相同因数后，利用乘法分配律的逆运算进行简算。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝40＋9 ＝49 （3） ＝ ＝ ＝5× ＝3 8．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）深度求索（DeepSeek）凭借低成本、高性能的大模型技术在全球AI竞争中异军突起，标志着国产AI基础设施已具备国际竞争力。甲、乙两位工程师测试DeepSeek的新功能，甲单独测试要18天，乙单独测试每天能完成，二人合作测试6天后，其余的由乙单独测试，还要几天做完？ 【答案】4天 【思路引导】将工作总量看作单位“1”，甲的效率是，二人效率和×合作天数＝已完成工作量，（工作总量－已完成工作量）÷乙的效率＝还需要的天数，据此列式解答。 【完整解答】 （天） 答：还要4天做完。 9．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）材料（一）：我国是一个缺水的国家，淡水资源总量为2.8万亿立方米，约占全球淡水资源总量的，仅次于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚，名列世界第六，但是，我国水资源的人均占有量较低，约为世界人均的，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。 材料（二）：据统计，我国660个城市中，约有的城市供水不足，其中供水不足的城市中有的城市严重缺水，城市年缺水总量达60亿立方米。 材料（三）：2023年，我国人口14.1亿人，人均水资源占有量只有2200立方米。预测，当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量将下降，接近国际公认的水资源紧张标准。 请根据以上信息，回答下面问题： （1）我国严重缺水的城市有多少个？ （2）当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量为多少立方米？ （3）请你再提出一个用分数除法解决的数学问题并解答。 【答案】（1）110个 （2）1750立方米 （3）全球淡水资源总量是多少万亿立方米？万亿立方米 【思路引导】（1）将我国城市总数看作单位“1”，城市总数×供水不足的对应分率＝供水不足的城市数量；再将供水不足的城市数量看作单位“1”，供水不足的城市数量×严重缺水的对应分率＝严重缺水的城市数量； （2）将2023年我国人均水资源占有量看作单位“1”，当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量是2023年我国人均水资源占有量的，2023年我国人均水资源占有量×人口增至16亿人时的对应分率＝人口增至16亿人时的人均水资源占有量； （3）答案不唯一，如全球淡水资源总量是多少万亿立方米？将全球淡水资源总量看作单位“1”，我国淡水资源总量÷对应分率＝全球淡水资源总量。 【完整解答】（1） （个） 答：我国严重缺水的城市有110个。 （2） （立方米） 答：当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量为1750立方米。 （3）全球淡水资源总量是多少万亿立方米？ （万亿立方米） 答：全球淡水资源总量是万亿立方米。 10．（25-26六年级上·湖南常德·期中）经过测量，李叔叔家客厅共需某种型号的地砖48块，这种型号的地砖有彩色和单色两种，彩色地砖每块80元，单色地砖每块的价格比彩色地砖少。经过对比，李叔叔决定全部购买单色地砖，则购买单色地砖共需多少钱？ 【答案】2400元 【思路引导】根据题意可得：将彩色地砖每块的价格看作单位“1”，则单色地砖每块的价格为，已知彩色地砖每块价格是80元，运用分数乘法可计算得到单色地砖每块的价格；再乘48块可计算得出答案。 【完整解答】将彩色地砖每块的价格看作单位“1”，则购买单色地砖需要： （元） 答：购买单色地砖共需2400元。 11．（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）幸福村一共有120公顷玉米地，今年在农民伯伯的辛勤照料下喜获丰收。农民伯伯利用收割机收玉米，上午收了，下午收了。农民伯伯全天收了多少公顷玉米地？（用两种方法解答） 【答案】50公顷 【思路引导】求一个数的几分之几用乘法，用120公顷分别乘和可算出上午和下午收了多少公顷玉米地，再相加可算出农民伯伯全天收了多少公顷玉米地；也可先将＋，算出上午和下午收的玉米地一共占全部玉米地的几分之几，再用120乘算出的分率，可算出农民伯伯全天收了多少公顷玉米地。 【完整解答】方法一： 120×＋120× ＝20＋30 ＝50（公顷） 方法二： 120×（＋） ＝120× ＝50（公顷） 答：农民伯伯全天收了50公顷玉米地。 12．（25-26六年级上·广东潮州·期中）箱子里装有红球和白球共40个，白球数量是红球数量的。白球有多少个？如果要使白球数量是红球数量的，要取出多少个红球？ 【答案】12个；7个 【思路引导】根据题意，把红球数量看作单位1，则白球数量是，红球和白球的和为（1＋），然后用（）即可得出红球的个数，40减红球的个数得出白球的个数。要使白球数量是红球数量的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用白球数量除以，即可求出红球的数量，用28减去此时红球的数量即可。 【完整解答】（） （个） 40－28＝12（个） 12÷ ＝12× ＝21（个） 28－21＝7（个） 答：白球有12个，要取出7个红球。 【点评】本题考查的是分数除法意义的运用，灵活运用所学的知识是解答本题的关键。 13．（2025·重庆渝北·小升初真题）水池有甲、乙、丙、丁、戊5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，甲、乙3小时注满。乙、丙12小时注满。丙、丁5小时注满。丁、戊4小时注满。戊、甲9小时注满。那么单开所有进水管，最快几小时注满？ 【答案】小时 【思路引导】把“一池水”看作单位“1”，根据“效率＝总量÷时间”，可知甲乙水管的工效和为，乙丙水管的工效和为，丙丁水管的工效和为，丁戊水管的工效和为，戊甲水管的工效和为，然后相加，即甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和的2倍，再除以2，求出甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和；先算出甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和，再用甲、乙、丙、丁、戊五条水管工效和减去甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和，求出戊出水管的工效，再分别求出甲、乙、丙、丁水管的工效，分别确定出水管和进水管；再把进水管的工效相加即可求出单开所有进水管的工效和，再根据“时间＝总量÷效率”求出时间。据此解答。 【完整解答】甲乙水管的工效和：1÷3＝ 乙丙水管的工效和：1÷12＝ 丙丁水管的工效和：1÷5＝ 丁戊水管的工效和：1÷4＝ 戊甲水管的工效和：1÷9＝ 甲、乙、丙、丁、戊五条水管合作工效和： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 甲、乙、丙、丁四条水管合作工效和：＝＝ ＞，戊出水管的工效：＝＝ ＞，甲进水管的工效：＝＝ ＞，乙进水管的工效：＝＝ ＞，丙出水管的工效：＝＝ ＞，丁进水管的工效：＝＝ 甲、乙、丁三条水管合作工效和： ＝ ＝ 1÷＝1×＝（小时） 答：那么单开所有进水管，最快小时注满。 【考点再现】工程问题，要找准单位“1”，通过效率找出进、出水管，再利用“时间＝总量÷效率”解答。 14．（25-26六年级上·广东江门·期中）万达董事长要秘书完成一份稿件打印，小牛单独做需要20小时，小马单独做需要30小时，现在两人合作这项工作，小牛中途请假5小时，完成任务时一共用了多少小时？ 【答案】15小时 【思路引导】将完成任务的工作总量看作单位1，小牛单独做需要20小时，小牛的工作效率为1÷20＝，小马单独做需要30小时，小马的工作效率为1÷30＝，小牛中途请假5小时，那么小马多做5小时，用工作总量减去小马多做的5小时的工作量，再除以两人工作效率和，即为两人合作完成任务的时间，加上小马单独做的5小时，为总的工作时间。 【完整解答】将完成任务的工作总量看作单位1。 1÷20＝ 1÷30＝ 5＋（1－）÷ ＝5＋ ＝5＋ ＝5＋ ＝5＋10 ＝15（小时） 答：完成任务一共用了15小时。 【考点再现】小牛请假5小时，小马就多做5小时，也就是多做的工作量。 15．（25-26六年级上·河南南阳·期中）青年志愿者参加植树活动，计划三天完成。他们第一天完成总植树任务的，第二天完成了剩下任务的，第三天比第一天少栽了18棵树，完成了任务。这个植树活动总任务是栽多少棵树？ 【答案】108棵 【思路引导】把总植树任务看作单位“1”，第一天完成，则剩余任务为（1－）；第二天完成了剩余任务的，因此第二天的任务分率是（1－）×。用单位“1”依次减去第一天、第二天的任务分率，得到第三天的任务分率。已知第三天比第一天少栽18棵树，先算出第一天与第三天的分率差；这个分率差对应具体数量18棵，根据“总数量＝具体数量÷对应分率”，可得总任务量。 【完整解答】第二天：（1－）× ＝× ＝ 第三天：1－－ ＝－－ ＝ 总任务：18÷（－） ＝18÷（－） ＝18÷ ＝18×6 ＝108（棵） 答：这个植树活动总任务是栽108棵树。 【考点再现】本题的关键在于将总植树任务看作单位“1”，逐步推导每天完成任务的分率，再结合“第三天比第一天少栽18棵”的数量差对应分率差，用“数量差÷分率差”求出单位“1”（总任务量）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分数乘除法 （知识回顾+十六大重点难点题型讲练+拔尖训练 共47题） 【原卷版】 知识回顾 2 知识点01：分数乘法的意义 2 知识点02：分数乘法的计算法则 2 知识点03：积与因数的关系 2 知识点04：分数乘法混合运算 3 知识点05：分数乘法的应用 3 知识点06：倒数的认识 3 知识点07：分数除法的意义和计算法则 3 知识点08：分数混合运算 4 题型讲练 4 重点难点题型一：因数和积的大小关系（分数乘法) 4 重点难点题型二：整数乘法运算定律推广到分数乘法 5 重点难点题型三：分数的连乘运算 5 重点难点题型四：连续求一个数的几分之几是多少的问题 5 重点难点题型五：已知总量及一部分分率，求另一部分量 6 重点难点题型六：求比一个数多/少几分之几的数是多少 6 重点难点题型七：倒数的认识与计算 6 重点难点题型八：被除数与商的大小关系（分数除法） 7 重点难点题型九：分数的连除运算 7 重点难点题型十：分数的乘、除法的混合运算 7 重点难点题型十一：分数的四则混合运算 8 重点难点题型十二：分数除法相关的简便计算 9 重点难点题型十三：解分数方程 9 重点难点题型十四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 10 重点难点题型十五：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 10 重点难点题型十六：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 11 拔尖冲刺 11 知识点01：分数乘法的意义 （1）分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。 （2）一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以） 知识点02：分数乘法的计算法则 （1）分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。 ①为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分） ②约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。 （2）分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母） ①如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。 ②分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。 ③在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。 ④分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。 （3）小数乘分数的运算法则是： ①把小数化成分数计算； ②如果所乘分数可以化成有限小数，也可以把分数化成小数计算； ③小数和分母能约分的，先约分在计算比较方便。 知识点03：积与因数的关系 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c<a (b≠0)。 一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。 注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。 知识点04：分数乘法混合运算 （1）分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。 乘法交换律：a×b=b×a   乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c 知识点05：分数乘法的应用 （1）连续求一个数的几分之几是多少？（用乘法） 已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。 （2）求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的数是多少的解题方法： ①单位“1”的量×=这个数量； ②单位“1”的量单位“1”的量=这个数量。 知识点06：倒数的认识 1.意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）例如：因为 ，所以 和 互为倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数： 交换分子和分母的位置。（若为带分数，先化成假分数再交换）例： 的倒数是 ；，其倒数是 。 （2）整数（0除外）： 看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置（即整数的倒数是几分之一）。例：5 的倒数是 ；1 的倒数是 1。 （3）小数： 先化成分数，再求倒数。例：0.25 = ，其倒数是 4。 3.特殊情况： （1）1的倒数是它本身（1）。 （2）0没有倒数。（因为0乘任何数都得0，不可能等于1） 知识点07：分数除法的意义和计算法则 1.分数除法的意义： （1）与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 （2）例如： 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是2，求另一个因数是多少。 （3） 表示已知两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，求另一个因数是多少。 2.分数除以整数的计算法则： （1）分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 3.一个数除以分数的计算法则： （1）一个数（可以是整数、分数）除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （2）字母表示： (a ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0) （3）例：①；② (能约分的先约分) 4.分数除法的统一计算法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 知识点08：分数混合运算 1.运算顺序： （1）与整数混合运算的顺序相同。 （2）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （3）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （4）有括号的：先算括号里面的，再算括号外面的。 2.简便运算：整数乘法的运算定律（交换律、结合律、分配律）对于分数乘法同样适用。在分数混合运算中，能运用运算定律进行简便计算的要简便计算。 重点难点题型一：因数和积的大小关系（分数乘法) 【例1】（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）甲数的等于乙数的（甲数、乙数均不为0），甲数与乙数相比，（    ）。 A．甲数大 B．乙数大 C．一样大 【变式】（24-25六年级上·山东济宁·期末）奇奇和妙妙分别从家出发去羊山古镇军事旅游区，当奇奇走完全程的时，妙妙已走了全程的，这时俩人剩余的路程一样长。根据上面的信息，可以确定（    ）。 A．奇奇家到羊山古镇军事旅游区的路程远 B．妙妙家到羊山古镇军事旅游区的路程远 C．奇奇的速度比妙妙快 D．妙妙的速度比奇奇快 重点难点题型二：整数乘法运算定律推广到分数乘法 【例2】（25-26六年级上·浙江杭州·期中）在计算时，琳琳把它错算成了。她的计算结果与正确的结果比较，（    ）。 A．小0.15 B．大0.15 C．没有变化 D．无法判断 【变式】（24-25六年级上·新疆吐鲁番·期末）计算下面各题，能简算的要简算。          重点难点题型三：分数的连乘运算 【例3】（25-26六年级上·河南三门峡·期中）A零件的使用寿命一般是20年，B零件的使用寿命是A零件的，C零件的使用寿命是B零件的。C零件的使用寿命一般是多少年？ 【变式】（25-26六年级上·河北邢台·期中）宣纸有“纸中之王”的美誉，自古就是创作书画的最佳材料。为练习毛笔字，小红购买了100张宣纸，第一个月用了一半，第二个月用的是第一个月的，第二个月用了( )张宣纸。 重点难点题型四：连续求一个数的几分之几是多少的问题 【例4】（25-26六年级上·江西南昌·月考）球从高处自由下落，每次接触地面后弹起的高度是前次下落高度的。如果球从35米高处落下，那么第三次弹起的高度是 米。 【变式】（25-26六年级上·湖南常德·期中）叔叔新房的总面积是120平方米，其中客厅的面积占新房总面积的，餐厅的面积是客厅面积的，餐厅的面积是多少平方米？ 重点难点题型五：已知总量及一部分分率，求另一部分量 【例5】（25-26六年级上·湖北省直辖县级单位·期中）一根铁丝长是米， ，还剩多少米？如果列式“”，那么需要补充的信息是（    ）。 A．用去剩下的 B．用去全长的 C．用去米 D．用去全长的 【变式】（25-26六年级上·山东菏泽·期中）《九章算术》是我国古代数学专著，内容十分丰富，共收录246个数学问题。李老师利用假期研究了其中的，还剩( )个问题没研究。 重点难点题型六：求比一个数多/少几分之几的数是多少 【例6】（25-26六年级上·广东潮州·期中）甲、乙两队从距离36千米的两地相向而行。甲的速度为每小时3千米，乙的速度比甲的速度快，若乙先出发2小时，甲才出发，则经过 小时后甲与乙相遇。 【变式】（25-26六年级上·四川成都·期中）一种商品原价400元，上半月涨价，下半月又降价，这种商品现价是多少元？ 重点难点题型七：倒数的认识与计算 【例7】（25-26六年级上·贵州铜仁·期中）如果数a和数b互为倒数，那么( )；( )。 【变式】（25-26六年级上·河南信阳·期中）求值：( )。 重点难点题型八：被除数与商的大小关系（分数除法） 【例8】（25-26六年级上·广东汕头·期中）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( )1    ( ) 【变式】（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）已知（a、b、c、d均大于0），那么在这四个数中，最大的数是（    ），最小的数是（    ）。 A．a，b B．b，a C．c，d D．d，c 重点难点题型九：分数的连除运算 【例9】（25-26六年级上·新疆伊犁·期中）下面各题，怎样简便怎样计算。               （）÷           【变式】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）计算下面各题。 （1）      （2）      （3）     （4） 重点难点题型十：分数的乘、除法的混合运算 【例10】（25-26六年级上·湖南常德·期中）计算下面各题，能简算的要简算。                          【变式】（25-26六年级上·湖北荆州·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                                       重点难点题型十一：分数的四则混合运算 【例11】（25-26六年级上·河北邢台·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                    【变式】．（25-26六年级上·广东汕头·期中）计算下面各题，怎样简便就怎样计算。                   重点难点题型十二：分数除法相关的简便计算 【例12】（24-25六年级上·湖南邵阳·期末）计算下面各题，能简算的要简算。 －＋－              0.375×3.4＋×6.6 （－＋）÷           498＋509＋489＋503＋497 【变式】（2025六年级上·广东广州·专题练习）计算下面各题，能用简便算法的就用简便算法。                        重点难点题型十三：解分数方程 【例13】（25-26六年级上·江西吉安·期中）解方程。              【变式】（25-26六年级上·湖南常德·期中）解方程。                  重点难点题型十四：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 【例14】（25-26六年级上·福建莆田·期中）学校举办数学竞赛，六年级共有120人参赛，其中获得三等奖的人数占参赛总人数的。获得二等奖的人数是获得三等奖人数的，又是一等奖人数的，获得一等奖的人数有多少人？ 【变式】（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）某工厂第一车间的人数比第二车间的多10人，如果从第一车间调走的工人到第二车间，那么两个车间的人数就相等，原来第二车间有( )人。 重点难点题型十五：已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 【例15】（25-26六年级上·广东汕头·期中）有一捆电线，第一次用去全长的，比第二次多，这时还剩80米。 （1）第二次用去全长的几分之几？     （2）这捆电线全长多少米？ 【变式】（25-26六年级上·山东青岛·期中）下面问题中，不能用算式解决的是（    ）。 A．食堂买来蔬菜60千克，瓜果比蔬菜多，买来瓜果多少千克？ B．学校种植园今年比去年扩大种植面积，去年种植面积60平方米，今年种植面积是多少平方米？ C．一箱油，用去，还剩60升，原来一箱油共多少升？ D．“京港澳”高速卢沟桥至六里桥早高峰进京方向车辆平均时速约60千米。同路段出京方向车辆平均速度提升，出京方向车辆的速度约是多少千米？ 重点难点题型十六：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 【例16】（25-26六年级上·河南南阳·期中）在邓州市创卫活动中，环卫工人们辛勤地在劳动。他们周一清理了垃圾总数的，周二清理了垃圾总数的，周二清理的垃圾比周一多24吨。这批垃圾共有多少吨？ 【变式】（24-25六年级上·河北邯郸·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。书中记载了这样一个数学问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税，过中关时用剩余米的纳税，过内关时再用剩余米的纳税，最后还剩6斗米。这个人一共背了多少斗米过关卡？ 1．（25-26六年级上·广东汕头·期中）一列动车途经某站时，先下去车里人数的，又上来此时车上人数的，这时车里的人数（    ）。 A．比原来少 B．一样多 C．比原来多 D．无法判断 2．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列关于的计算过程，错误的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·福建莆田·期中）下面说法正确的有（    ）个。 ①水结成冰，体积会增加，当冰融化成水，冰的体积减少了。 ②一件商品先降价，再涨价，现价与原价相等。 ③乐乐计算时，想到了用＝的方法。 ④如果a、b互为倒数，那么。 A．3 B．1 C．2 D．4 4．（25-26六年级上·广东肇庆·期中）制作一批环保购物袋，甲小组单独做8天可以完成，乙小组每天做这批环保购物袋的。两组合作，( )天能全部做完。 5．（25-26六年级上·湖南常德·期中）甲数的等于乙数的（甲、乙均不为0），甲数比乙数小。( )（判断对错） 6．（25-26六年级上·河南南阳·期中）已知，其中，把a，b，c三个数按从大到小的顺序排列起来：。( )（判断对错） 7．（25-26六年级上·广东肇庆·期中）脱式计算，能用简便方法的要用简便方法计算。 ①     ②       ③ 8．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）深度求索（DeepSeek）凭借低成本、高性能的大模型技术在全球AI竞争中异军突起，标志着国产AI基础设施已具备国际竞争力。甲、乙两位工程师测试DeepSeek的新功能，甲单独测试要18天，乙单独测试每天能完成，二人合作测试6天后，其余的由乙单独测试，还要几天做完？ 9．（25-26六年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）材料（一）：我国是一个缺水的国家，淡水资源总量为2.8万亿立方米，约占全球淡水资源总量的，仅次于巴西、俄罗斯、加拿大、美国和印度尼西亚，名列世界第六，但是，我国水资源的人均占有量较低，约为世界人均的，是全球人均水资源最贫乏的国家之一。 材料（二）：据统计，我国660个城市中，约有的城市供水不足，其中供水不足的城市中有的城市严重缺水，城市年缺水总量达60亿立方米。 材料（三）：2023年，我国人口14.1亿人，人均水资源占有量只有2200立方米。预测，当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量将下降，接近国际公认的水资源紧张标准。 请根据以上信息，回答下面问题： （1）我国严重缺水的城市有多少个？ （2）当我国人口增至16亿人时，人均水资源占有量为多少立方米？ （3）请你再提出一个用分数除法解决的数学问题并解答。 10．（25-26六年级上·湖南常德·期中）经过测量，李叔叔家客厅共需某种型号的地砖48块，这种型号的地砖有彩色和单色两种，彩色地砖每块80元，单色地砖每块的价格比彩色地砖少。经过对比，李叔叔决定全部购买单色地砖，则购买单色地砖共需多少钱？ 11．（25-26六年级上·浙江绍兴·期中）幸福村一共有120公顷玉米地，今年在农民伯伯的辛勤照料下喜获丰收。农民伯伯利用收割机收玉米，上午收了，下午收了。农民伯伯全天收了多少公顷玉米地？（用两种方法解答） 12．（25-26六年级上·广东潮州·期中）箱子里装有红球和白球共40个，白球数量是红球数量的。白球有多少个？如果要使白球数量是红球数量的，要取出多少个红球？ 13．（2025·重庆渝北·小升初真题）水池有甲、乙、丙、丁、戊5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，甲、乙3小时注满。乙、丙12小时注满。丙、丁5小时注满。丁、戊4小时注满。戊、甲9小时注满。那么单开所有进水管，最快几小时注满？ 14．（25-26六年级上·广东江门·期中）万达董事长要秘书完成一份稿件打印，小牛单独做需要20小时，小马单独做需要30小时，现在两人合作这项工作，小牛中途请假5小时，完成任务时一共用了多少小时？ 15．（25-26六年级上·河南南阳·期中）青年志愿者参加植树活动，计划三天完成。他们第一天完成总植树任务的，第二天完成了剩下任务的，第三天比第一天少栽了18棵树，完成了任务。这个植树活动总任务是栽多少棵树？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $