第2章 圆（湖南专用，单元测试·基础卷）数学湘教版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第2章 圆·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 7．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 12．一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是 ． 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形．若圆锥的底面半径r是5，则圆锥的母线长l是 ． 14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    15．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 17．如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ． 18．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．如图，石拱桥的桥拱是以O为圆心，为半径的圆弧，若石拱桥的高度为2米，跨度米，求桥拱的半径． 20．如图，的直径，，是圆上的两点，，求，两点的距离．    21．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 22．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 23．如图，在⊙O中，弦AC，BD 相交于点E,连接 AD，已知 (1)求证： (2)连接OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为 4，求 CD的长． 24．如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，求图中阴影部分面积． 25．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为点O，在通车前技术人员要做安全检查，以及安装人员还需安装照明灯，负责人小李记录如下工作表格： 记录简介 通车前工程记录 工程记录1    工程安全检查方式：如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），检查过程中未发现安全问题． 工程记录2    安装照明灯数据记录：如图2，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处C离地面的高度为，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为． 补充记录 …… 根据表格内容，完成下列问题． (1)如图1，若，则________． (2)如图2，求的长． (3)直接写出的长． 26．如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第2章 圆·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识是解题关键．根据确定圆的条件、圆内接四边形的性质、圆心角与弧的关系、垂径定理的推论逐项判断即可得． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，则此项错误，不符合题意； B、圆内接四边形对角互补，则此项正确，符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则此项错误，不符合题意； D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆锥的有关计算，设此圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的周长等于底面圆的周长，列方程求解即可．解题的关键是掌握弧长公式，理解扇形的周长等于底面圆的周长． 【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为， 根据扇形的周长等于底面圆的周长可得，， 解得， 圆锥底面圆的半径为， 故选：C． 3．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】略 4．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意可知，且过圆心， ∴． 设桥拱半径，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴桥拱半径为． 故选B． 5．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，结合可得． 【详解】解：四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 故选C． 6．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】通过连接，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出与的关系来求解． 【详解】解：连接， ， ∴， ．， ， ． 又， ． ∴是等边三角形， ∴ ，是等边三角形， ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、平行线的性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握垂径定理和利用角度、边的关系推导线段间的数量关系是解题的关键． 7．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握扇形面积公式是解题关键．先求出正六边形的内角度数，再设的半径为，根据扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：正六边形， ， 设的半径为， 则， 解得：， 即的半径为3 故选：A． 8．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，推出，根据垂径定理可得，推出，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， 交于点， ， ， ， ， 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了切线的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、平行线分线段成比例定理，根据一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，求出和的长，根据勾股定理求出，设与轴相切于点，连接，，设，根据列出关于的方程，求出，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ， 一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， ，， ，， 在中， ， 如图，设与直线轴相切于点，连接，， ，， 设， ． ， ， 解得， ． 故选：C． 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可． 【详解】解：连接、、，交于，如图，   ，与相切，切点分别为，， ，，平分， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在中，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，根据直线和圆的位置关系，即可解答． 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线没有公共点，所以太阳和海天边隙线看成的直线位置关系是相离． 故答案为：相离． 12．一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，利用扇形的面积公式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由扇形面积公式，得， 解得， 故答案为： 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形．若圆锥的底面半径r是5，则圆锥的母线长l是 ． 【答案】15 【解析】略 14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，三线合一，勾股定理，根据D是的中点，得到，三线合一，得到，，设半径为，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一部分，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设的半径为，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故答案为：13． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆周角定理，求余弦，熟练掌握以上知识是解题的关键．连接并延长交于点，连接，则，，利用勾股定理求解的长，再根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 18．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先连接作，可得，进而得，然后根据勾股定理求出，可得，再根据勾股定理求出即可得，最后根据得出答案. 【详解】解：连接过点C作，交延长线于点D， ∵点C是的中点， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， 即， 解得， 则. 在中，， 即， 解得， ∴. 根据勾股定理，得. 在中，， ， 解得. 故答案为：. 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．如图，石拱桥的桥拱是以O为圆心，为半径的圆弧，若石拱桥的高度为2米，跨度米，求桥拱的半径． 【答案】桥拱所在圆的半径长为4米． 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．设半径为r，则，跨度是米，根据垂径定理可得米，在中，根据勾股定理列方程，即可解得答案． 【详解】解：如图，作圆O的半径，使于点D， 设半径为r， ∵拱高为2米， ∴， ∵跨度是米，根据垂径定理可得米， 在中，根据勾股定理可得， ， 解得， ∴桥拱所在圆的半径长为4米． 20．如图，的直径，，是圆上的两点，，求，两点的距离．    【答案】5 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、含30度角的直角三角形的性质等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵的直径， ∴， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 【答案】(1)见解析， (2)相交 【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法； （1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求； （2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断； 【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示： 点坐标为： 故答案为：； （2）∵， 即：的半径， 点到轴的距离， ∵， ∴与轴相交， 故答案为：相交． 22．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）连接、，证明是等边三角形，得出即可求出结论； （2）过作于，求出，，再求出，即可求出结论； （3）求出，，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：连接、； 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长； （2）解：过作于， 是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ； （3）解：是等边三角形，， ， 于， ， 在中，由勾股定理， ， ． 23．如图，在⊙O中，弦AC，BD 相交于点E,连接 AD，已知 (1)求证： (2)连接OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为 4，求 CD的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧、线与圆周角之间的关系，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；（2）根据圆周角定理求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵； ∴； ∴； 即； ∴． （2）解：∵； ∴； ∴； ∴； ∵的半径为4， ∴． 24．如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，，则，即，结合切线的判定即可求解； （2）根据切线的性质得到是等边三角形，设，则，运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是圆的半径，点在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵是切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是是中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查垂径定理的判定和性质，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 25．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为点O，在通车前技术人员要做安全检查，以及安装人员还需安装照明灯，负责人小李记录如下工作表格： 记录简介 通车前工程记录 工程记录1    工程安全检查方式：如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），检查过程中未发现安全问题． 工程记录2    安装照明灯数据记录：如图2，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处C离地面的高度为，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为． 补充记录 …… 根据表格内容，完成下列问题． (1)如图1，若，则________． (2)如图2，求的长． (3)直接写出的长． 【答案】(1) (2)的长是 (3)的长为 【分析】本题考查了根据旋转的性质求解，利用垂径定理求值，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据旋转的性质直接得出； （2）先用表示出，再根据垂径定理、利用勾股定理得到关于的方程求解； （3）先求得，再根据垂径定理、利用勾股定理求得，从而可求得． 【详解】（1）解：∵如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， 设， ∵拱顶最高处C离地面的高度为， ∴， ∵离地面的高度， ∴， ∴， ∵隧道口的水平宽为， ∴， 又， ∴， ∴， 即； （3）解：连接， ∵且M，N离地面的高度均为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴(负值舍去)， ∴． 26．如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第2章 圆·基础通关 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（    ） A．任意三点可以确定一个圆 B．圆内接四边形对角互补 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 2．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则的长为（   ） A． B．3 C． D．4 7．如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（   ） A．3 B．4 C．2 D．6 10．如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 12．一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角的度数是 ． 13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形．若圆锥的底面半径r是5，则圆锥的母线长l是 ． 14．如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    15．“天下名瓷出醴陵”，湖南省醴陵是釉下五彩瓷的原产地，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图是醴陵生产的某种瓷碗的正面的形状示意图．是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接．已知，碗深，则的半径为 ． 16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点，，均在网格线的交点上，则的值是 ． 17．如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为 ． 18．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 三、解答题（第19，20题，每题6分；第21，22题，每题8分；第23，24题，每题9分；第25，26题，每题10分；共8小题，共66分） 19．如图，石拱桥的桥拱是以O为圆心，为半径的圆弧，若石拱桥的高度为2米，跨度米，求桥拱的半径． 20．如图，的直径，，是圆上的两点，，求，两点的距离．    21．如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点． (1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ； (2)判断与轴的位置关系： ． 22．如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形． (1)求该地基的周长； (2)求该地基的面积（结果保留根号形式）； (3)若正六边形的半径用表示，写出正六边形的面积与之间的函数关系式． 23．如图，在⊙O中，弦AC，BD 相交于点E,连接 AD，已知 (1)求证： (2)连接OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为 4，求 CD的长． 24．如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，求图中阴影部分面积． 25．某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为点O，在通车前技术人员要做安全检查，以及安装人员还需安装照明灯，负责人小李记录如下工作表格： 记录简介 通车前工程记录 工程记录1    工程安全检查方式：如图1，技术人员在点O处将手电光束（）绕点O旋转一定角度后停止（旋转至处停止），旋转过程中光线边沿的夹角不变（即的大小不变），检查过程中未发现安全问题． 工程记录2    安装照明灯数据记录：如图2，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处C离地面的高度为，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度均为． 补充记录 …… 根据表格内容，完成下列问题． (1)如图1，若，则________． (2)如图2，求的长． (3)直接写出的长． 26．如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷（湖南专用） 第2章圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A B B A B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.相离 12.70 13.15 14.55 15.13 16.5 17.24π 18.2V5+2 三、解答题（第19,20题，每题6分；第21,22题，每题8分；第23,24题，每题9分；第25,26题， 每题10分；共8小题，共66分) 19.解：如图，作圆O的半径0C,使OC⊥AB于点D, C A 设半径为， :拱高CD为2米， .0D=r-2,(2分) :跨度是AB=45米，根据垂径定理可得AD=BD=AB=2√5米， 在RtAAOD中，根据勾股定理可得， (23+(r-2)2=2, 解得r=4, 1/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :.桥拱所在圆的半径长为4米.(6分) 20.解：：∠ACD=30°， .∠ABD=∠ACD=30°， :⊙0的直径AB=10, ∠ADB=90°， :AD=4AB=5.(6分) 2 21.(1)解：连接AB、BC,分别作AB、BC的垂直平分线交于点M,以M为圆心，MA的长为半径的 圆即为所求，如图所示： 点M坐标为：(3,2) 故答案为：(3,2)；(4分) (2):MA=V3-2)2+(2-5)2=10, 即：⊙M的半径r=√10， 点M到y轴的距离d=3, :3<√0， .⊙M与y轴相交， 故答案为：相交.(8分) 22.(1)解：连接OB、0C; :六边形ABCDEF是正六边形， ∠B0C=360°=60,0B=0C, 6 aOBC是等边三角形， .BC=0B=6m, :正六边形ABCDEF的周长=6×6=36m;(2分) 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：过0作0G⊥BC于G, :△OBC是等边三角形，BC=6m, ∠0BC=60°， :0G⊥BC于G, 1 G2BC-x6=3m :在Rt△0BG中，由勾股定理0G=√0B2-BG2=V62-32=3√5m, 5m-8c.06-x6x35=95. .S六边形ARCDEF=6 SAOBC=6×9V5=54V3m2; 0 D(5分) Ga (3)解：：△OBC是等边三角形，BC=OB=R, ∠0BC=60°， :0G⊥BC于G, :BG-TBC-TR. 2 在△03G中，由的最定0G=08-8G-R-号8 2 .-BC.OG-xRxR 2 = 2 2 4 55mo=650=6x5R-35R.8分) 4 2 23.(1)证明：AC=BD: AC=BD: .AC-BC BD-BC; 即AB=CD; .∠A=∠ADB.(4分) (2)解：AC⊥BD; 3/8 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠AED=90°： .∠A=∠ADE=45°； .∠C0D=2∠A=90°： ⊙0的半径为4， CD=VOC2+0D2=4√2. (9分)》 24.(1)证明：如图所示，连接OE, D G B :点G是DE的中点， .∠DOF=LEOF, 又OD=OE,OF=OF, .△DOF≌△EOF(SAS), .DF=EF,∠OFD=∠OFE, ∠0FD+∠0FE=180°， ∴∠0FD=∠0FE=90°，即DE⊥OF, ∠F0E+LFE0=90°， ZBEF ZDOG ∴∠BEF=∠EOF, .∠BEF+∠FE0=90°，即OE⊥AB, OE是圆的半径，点E在圆上， .AB是⊙0的切线；(4分) (2)解：：AB是切线， ∴L0EB=∠0EG+LGEB=90°，∠B+∠B0E=90°， 4/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .GE=GB, ∠GEB=∠GBE, .∠GE0=∠G0E, .EG=GO, EG-GE-GO-10B, .点G是OB是中点，且OE=OG, .0G=GE=0E, ∴△OEG是等边三角形， ∠E0G=60°=∠D0G, 设0G=GE=0E=r(r>0),则0B=2r, 在RtaB0E中，BE2+OE2=OB2,即62+r2=(2r2, 解得，r=2√5（负值舍去）， 0E=0G=0D=25, 在Ra0DF中，0F=0D=)x25=5,DF=0D-0F=2-(5=3, 、) a5am0FDf-x5x33y5. 60°×23 2’S扇形oG -2π' 60° :阴影部分的面积为：S扇形o06-S,0r=2元- 9分 25.(1)解：：如图1，技术人员在点O处将手电光束(4P0Q)绕点O旋转一定角度后停止（旋转至 ∠POQ处停止)，旋转过程中光线边沿的夹角不变（即LP0Q的大小不变），∠POP=150°， .∠Q0g'=∠P0P'=150°， 故答案为：150°；(3分) (2)解：如图， M N G A ·O 地面 D 图2 5/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设0A=r, :拱顶最高处C离地面的高度CD为9m, ..OD =CD-OC=9-r(m), :AB离地面的高度AE=5m, .DF AE =5m .0F=DF-0D=5-(9-r)=r-4m, :隧道口的水平宽AB为12m, :.4F=T4B=6(m), 又AF2+OF2=OA2, .62+(r-42=2, 即o4m:7分】 (3)解：连接OM, :且M,W离地面的高度均为8.5m, .DG=8.5m, :0G=DG-0D=8.5-(9-)=2 _13-0.5=6m 又0G2+MG2=0M2, :MG=±（负值舍去）， .MN=2MG=5m.(10分) 26.(1)证明：如图1，延长BG交AC于点H,连接AD, 6/8 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 0 图1 :△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点， :.中线AD过点G,即A、G、D三点共线，∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC, :ADBC,DB=DC, .DO=DG, ∴.四边形BOCG是平行四边形， AD BC, 四边形B0CG为菱形；(4分) (2)①解：直线AB是OO的切线，理由如下：延长BG交AC于点H,连接AD, G B D 图2① :△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点， :中线AD过点G,即A、G、D三点共线，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC,AH=CH .BG为∠ABC的角平分线， ∠ABG=∠GB0=30°， :四边形BOCG是菱形， ∴.∠CB0=∠GBC=30°， ∴.∠AB0=∠ABG+∠GBC+∠CB0=90°， AB⊥OB, 7/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .直线AB是O0的切线： ②证明：在优弧BC上取一点N,连接BN、CN, A B M C 图2② 由①得∠0BC=30°， :0B=0C, .∠0BC=∠0CB=30°， .∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=120°， :∠N=5∠B0C=60, :四边形BNCM内接于OO, .∠BMC=180°-∠N=120°， ∴.∠CBE+∠BCM=180°-∠BMC=60°， :∠ACB=∠ACF+∠BCM=60°， .∠ACF+∠BCM=∠CBE+∠BCM, .∠ACF=∠CBE, :BC=AC,∠BCE=∠A=60°， .△BEC≌△CFA(ASA .AF=CE AE +CE=AC .AE+AF=AE+CE=AC,即AE+AF为定值.(I0分) 8/8