27.1 圆的认识 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

圆的认识 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 2．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 4．如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 6．如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 9．如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，内接于，，过点A作平行于，交的延长线于点D，则的度数（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 12．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 13．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 14．如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 15．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是 ． 16．如图，在中，若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 18．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 19．如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 20．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C C B D C B 1．B 【分析】本题考查了命题，圆中的有关概念，熟练掌握圆的概念和性质是解题的关键。 根据圆的概念和性质分析即可． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； B．圆中最长的弦是经过圆心的弦，说法正确，是真命题，符合题意； C．一条弦（非直径）把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，是伪命题，不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题重点考查了圆的基本性质、等腰三角形的性质，并且利用三角形的内角和定理求解角的度数，难度不大．根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 4．C 【分析】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质．连接，利用全等三角形的性质证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，设交于K．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 5．C 【分析】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 点O为所在圆的圆心，连接，根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，点O为所在圆的圆心，连接， 由题意得：，，， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：，（舍去）， 即米． 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查了垂径定理，求角的余弦值，根据圆的基本性质和垂径定理得到，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 8．D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 9．C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．分点A在优弧上和点A在劣弧上求解即可． 【详解】解：当点A在优弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴． 当点A在劣弧上做圆周运动时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，则的最大值为， 故选：C． 10．B 【分析】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是圆周角定理的性质． 连接，根据圆周角定理求出，再求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：连接，∵ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，圆的基本性质，连接，可证明，得到，由三角形外角的性质得到，再由得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．8 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，由垂径定理求出AD的长是解题的关键．根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的半径为10， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：8． 13．/45度 【分析】本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键． 利用垂径定理可得，由可得为等腰直角三角形，即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 14．2 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 先根据垂径定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：2． 15．124°/124度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆心角与圆周角的关系．解题的关键是先根据圆心角的度数求出对应的圆周角的度数，再利用圆内接四边形的对角互补求出的度数． 先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，由的度数求出弧所对的圆周角的度数；再依据圆内接四边形的对角互补，即与互补，求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于 又∵同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧所对的圆心角是，所对的圆周角是 ∴． ∵圆内接四边形的对角互补，即， ∴． 故答案为：． 16．/30度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵，与所对的弧相同， ∴， 故答案为：． 17．见解析 【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴． 18．证明见解析 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 19．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，作的平分线交于点D，即可作答． （2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出，因为等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答． 【详解】（1）解：的平分线交于点D，如图所示： （2）解：依题意，连接， ∵点C在以为直径的上， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， 即． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的认识 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（   ） A．长度相等的弧是等弧 B．圆中最长的弦是经过圆心的弦 C．一条弦把圆分成两条弧，分别是优弧和劣弧 D．平分弦的直径垂直于弦 2．如图，为的弦，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（   ）    A．5 B． C． D． 4．如图，是的弦，半径，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图是某地的石拱桥局部，其跨度为24米，所在圆的半径为米，则这个弧形石拱桥的拱高（的中点C到弦的距离）为（   ） A．8米 B．6米 C．4米 D．2米 6．如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 9．如图，点A在上做圆周运动，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，内接于，，过点A作平行于，交的延长线于点D，则的度数（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点E，已知， ，则 ． 12．如图，的半径为10，弦的长为12，，交于点D，交于点C，则 ． 13．如图，在中，弦的长为4，，则的度数为 ． 14．如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是 ． 15．如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是 ． 16．如图，在中，若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 18．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 19．如图，点C在以为直径的上． (1)实践与操作：用尺规作图法作 的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证： 20．如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $