27.1.2 圆的对称性 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

圆的对称性 一、单选题 1．如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，直径，弦，且于点，，，则的半径是（   ） A． B．2 C． D．3 4．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 5．如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（   ） A．6 B．16 C．8 D．12 6．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽为（   ） A．1.2 m B．1.4 m C．1.6 m D．1.8 m 7．如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 8．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，是的弦，于点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知弦尺，弓形高寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是（   ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 二、填空题 11．如图,是的直径,是的弦,，垂足为点，则 ． 12．如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ． 13．如图，内接于，若，，则的半径是 ． 14．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深是 ． 15．如图半径为6的中，弦，则圆心O到的距离为 ． 16．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ． 三、解答题 17．如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 18．如图，为的弦，为直线上两点，，求证：． 19．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为米，轮子的半径为米，求轮子的吃水深度． 20．已知一根排水管的截面圆直径为． (1)如图1所示，当水面宽时，求水面的最大深度； (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度时，求水面上升了多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B C B B C B 1．A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 2．C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，由垂径定理可得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：连接， ，， ， 在中，， 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．根据垂径定理得出，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理，得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵是的直径，且， ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】先根据垂径定理和勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF，即可得出结论. 【详解】如图 作OE⊥AB于点E，交CD于F ∵AB=1.2，OE⊥AB，OA=1 ∴OE=0.8m ∵水管水面上升了0.2米， ∴OF=OE-EF=0.8-0.2=0.6m ∴m ∴CD=1.6m 故选C 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键. 7．B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵是的直径与弦交于点，， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点， ∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 8．B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是（2，0）． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 9．C 【分析】本题主要考查了垂径定理，求角的余弦值，根据圆的基本性质和垂径定理得到，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理：由垂径定理，可知，设的半径为寸，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，尺寸； ∴寸， 设的半径为寸，则：寸， ∴寸， 在中，由勾股定理，得：， ∴；即：圆的半径为13寸； 故选：B． 11．/2厘米 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 结合题意，由垂径定理可得垂直平分，然后在中运用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意可知,垂直平分，， ∴， 在中,， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．设的半径为r，则，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 故答案为： 13． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，由题意可得，，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴水深为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 过点O作于点D，连接，根据垂径定理求出的长，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：过点O作于点D，连接， ， ， ， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 18．证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点作于，由垂径定理得，由等腰三角形三线合一得，进而即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴， 即． 19．轮子的吃水深度米 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意可得，米，则米，在中，运用勾股定理可得米，然后根据即可得解． 【详解】解：根据题意可得，，米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴轮子的吃水深度米． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）连接，过点作垂足为，交于．由垂径定理可得出的长，由即可得出结论； （2）分水面在水面平行的直径下方和水面在水面平行的直径上方，两种情况结合垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接，过点作垂足为，交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：水面的最大深度是． （2）解：①当水面在与水面平行的直径下方． 过点作于点， 且与交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴； 在中， ， 上升的距离为； ②当水面在水面平行的直径上方，过点作于点，过点作于点， 同理可得：，， ∴上升的距离为：． 答：排水管水面上升了或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $圆的对称性 一、单选题 1.如图，是⊙0的直径，CD是00的弦，且CE=DE,若⊙0的半径为5，CD=8,则BE的 长为() E B A.2 B.3 C.4 D.5 2.在直径为26cm的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示.已知水面的宽度AB= 24cm,则水的最大深度为() .O A.5cm B.7cm C.8cm D.10cm 3.如图，在O0中，直径AB,弦CD,且AB⊥CD于点E,CD=4,OE=1.5,则⊙0的 半径是() E B A.2.5 B.2 C.2.4 D.3 4.如图，已知AB是OO的弦，直径CD⊥AB,交AB于点H,连接OA,若∠A=45°， AB=3,则OA=() 答案第1页，共2页 D H B C A.3 2 C.32 D.35 2 5.如图，AB是OO的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为E.若0D=10,BE=4, 则CD的长为() E D A.6 B.16 C.8 D.12 6.一条排水管的截面如图所示，己知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后， 水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽为() B A.1.2m B.1.4m C.1.6m D.1.8m 7.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E,CE=DE,则下列说法错误的是() A 0 公 D B A.CB=BD B.OE=BE C.CA=DA D.AB⊥CD 答案第1页，共2页 8.如图在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，圆心坐标是() A B A.(1,0 B.(2,0 C.(0,0 D.(2,-1 9.如图，AB是O0的直径，CD是O0的弦，AB⊥CD于点E,若AB=10,CD=8,则 cosLOCE等于() E A. 5 B c D青 10.如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸（注：1尺=10寸），则圆柱形木材半径是() 墙体 A B A.12寸 B.13寸 C.24寸 D.26寸 二、填空题 11.如图，AB是O0的直径，CD是⊙0的弦，AB⊥CD,垂足为点E,CD=8cm,AB=10cm, 则AE= 答案第1页，共2页 A B E D 12.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,且AE=CD=6,则O0的半径为 。 B E A 13.如图，ABC内接于⊙0，若AB=AC=10,BC=12,则⊙0的半径是 A 0 14.如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线，弦CD是 水位线，已知拱桥的跨度AB=13m，若测得某时水面宽度CD=12m,求水深OE是 D O 15.如图半径为6的⊙0中，弦AB=8,则圆心O到AB的距离为 B 16.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接AD,若OE=3,CD=8,则AD的 长为 答案第1页，共2页 D 三、解答题 17.如图，AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB于点E,连接OC,若BE=2,CD=8. E D B (1)求CE的长度； (2)求0C的长度. 18.如图，CD为O0的弦，A、B为直线CD上两点，OA=OB,求证：AC=BD. D 答案第1页，共2页 19.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如 图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为8米，轮子的半径A0为5米，求轮子的吃水深 度CD. 0 ● 水面 D B 20.己知一根排水管的截面圆直径为100cm. 答案第1页，共2页 0 0 A 图1 备用图 (1)如图1所示，当水面宽AB=60cm时，求水面AB的最大深度： (2)在图1的情况下，如果排水量增大，当水面上升到宽度80cm时，求水面上升了多少厘米？ 答案第1页，共2页