26.3实践与探索同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

实践与探索 一、单选题 1．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（   ） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 3．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为（   ）米 A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 4．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 8．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 9．在平面直角坐标系中，已知点，，下列函数图像中，与线段没有公共点的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 11．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 12．一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 13．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 14．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 米内，才能确保隧道内行车安全． 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 16．如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 三、解答题 17．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 19．校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 20．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实践与探索 一、单选题 1．如图，某公司的大门是一抛物线形建筑物，大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是，公司想在大门两侧距地面处各安装一盏壁灯，两盏壁灯之间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，价格需满足，那么一周可获得最大利润是（   ） A．758元 B．1508元 C．1556元 D．1558元 3．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，抛物线的表达式为，沿此抛物线篮球可准确落入篮圈．求篮圈中心到地面的距离为（   ）米 A．3.5 B．1.5 C． D．3.05 4．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）1米，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．1米 5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是．汽车刹车后到停下来前进的距离为（    ） A． B． C． D． 7．如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 8．定义：把二次函数与（，、是常数）称作互为“旋转函数”，如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C．当时， D．不论取何值， 9．在平面直角坐标系中，已知点，，下列函数图像中，与线段没有公共点的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 11．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 12．一般情况下，人体能够承受的安全电流为，电功率P（单位：）与电流I（单位：），电阻R（单位：）之间的公式为，已知人体电阻阻值约为，当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流 （填“已”或“未”）超过人体能承受的安全电流． 13．印刷厂10月份印刷一畅销小说书5万册，因购买此书人数激增，印刷厂需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书量y万册，写出y关于x的函数解析式 ． 14．某隧道的内拱横截面的轮廓线是一条抛物线，隧道地面宽为16米，顶端离地面的高度为8米，当车辆宽度为10米时，车辆应限高在 米内，才能确保隧道内行车安全． 15．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是 ． 16．如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 三、解答题 17．农户销售某农产品，经市场调查发现，若售价为6元/千克，日销售量为40千克；若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为y千克，售价为x元/千克（且为正整数）． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若政府将售价定为不超过18元/千克，设每日销售额为w元，求w与x之间的函数关系式，并求出w的最大值和最小值． 18．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 19．校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是，求该同学此次投掷实心球的成绩？ 20．明朝中期，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”（如图1），它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级．青松中学科技小组同学运用信息技术模拟火箭运行过程．如图2，以发射点为原点，地面为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．当火箭距离发射点的水平距离为时，距离地面，当火箭距离发射点水平距离为时，距离地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当火箭距离发射点的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，此时火箭距离地面多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B C C C C 1．A 【分析】本题主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．建立坐标系，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，又知抛物线过，可求出，把代入函数表达式即可解决问题．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过大门最高点垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 又知抛物线过， ， 解得：， ， 把代入， 解得：， 故两壁灯之间水平距离为． 故选：． 2．C 【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数关系式化为顶点式，找出对称轴，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，y随x的增大而增大， ， 时，y取最大值，此时， 即一周可获得最大利润是1556元， 故选C． 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意，将代入抛物线表达式求解即可． 【详解】（米） ∵抛物线的表达式为 ∴将代入得，． ∴篮圈中心到地面的距离为3.05米． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．用待定系数法求出二次函数解析式，再令，算出x的值，即可解答． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点为， 设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 ∴抛物线为 当时，， 解得（舍去）或， ∴水流喷射的最远水平距离是5米， 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，进而得出答案，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】∵每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， ∴该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为：， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．求出函数的最大值即可得求解． 【详解】解：∵， ∴当时，S取得最大值， 即汽车刹车后到停下来前进的距离是， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了新定义，二次函数的性质，理解旋转函数的定义时解答关键关键． 根据旋转函数的定义求出和的值，再来分别进行判定求解． 【详解】解：∵二次函数，它的“旋转函数”为， ∴如果二次函数（，，，是常数）与（，， ，是常数）是互为“旋转函数”，则满足，，， ∴， ∴如果二次函数与（、是常数）互为“旋转函数”，则， 解得， ∴， ∴当时，， 故A、B、D错误，不合题意，C正确符合题意． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想，画出图象，进行判断即可． 【详解】解：由题意，作图如下： 由图可知：只有反比例函数与线段没有交点， 故选C． 10．C 【分析】设，利用矩形的性质得到四边形周长，然后根据二次函数的性质解决问题． 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴四边形周长， ∴当时，四边形周长有最大值，最大值为， 故选：C． 11． 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 12．已 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意把代入到中求出I的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴或（舍去）， ∵， ∴当一充电器电功率为时，若发生触电，则此时通过人体的电流已超过人体能承受的安全电流． 故答案为：已． 13． 【分析】本题考查二次函数是应用，理解题意，根据10月份印刷小说书5万册，每月的增长率为x，则11月份印刷小说书万册，12月份印刷小说书万册，即可求解． 【详解】根据题意，得y关于x的函数解析式为：． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了二次函数的应用．正确的建立坐标系，利用待定系数法求得函数解析式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：建立如图所示的坐标系，虚线矩形为车辆最大通行时的位置， 设抛物线的顶点为D，由题意得，点顶点， 设抛物线的表达式为， 将点点入上式得：，解得， 故抛物线的表达式为， 设车辆的最右端为点， 将点A的横坐标代入抛物线的表达式得：（米）， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 16．1 【分析】本题考查了二次函数与图形面积的计算，理解题意，得到截取面板的面积为，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵截取的两块面板均为正方形，，则，设截取面板的面积为， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小为， 故答案为：1 ． 17．(1) (2)，w的最大值为338；最小值为240 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到答案； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，即可求得w；由二次函数的性质可求得w的最大值和最小值． 【详解】（1）根据题意，得． 与x之间的函数关系式为，其中且为正整数. （2）根据题意，得,其中且为正整数. ，抛物线的开口向下． 当时，w取最大值，． 抛物线的对称轴为直线，且， ∵， 当时，取最小值，． 与x之间的函数关系式为，w的最大值为338，最小值为240． 18．(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 19． 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程问题． 根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可． 【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离， ∴令，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴该同学此次投掷实心球的成绩为． 20．(1) (2)千米 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设抛物线解析式为，将代入即可求解； （2）将代入即可． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线经过， 设抛物线解析式为， 代入可得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：由（1）知，， 当时，， ∴此时火箭距离地面千米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $