26.2二次函数的图像与性质同步练习2025-2026学年华东师大版（2012）数学九年级下册

二次函数的图像与性质 一、单选题 1．二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．点，是所给函数图象上的点，下列能使成立的函数是（    ） A． B． C． D． 3．在二次函数的图象上有两点，，则的值是（   ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 6．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 8．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 9．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 10．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 12．如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是 ． 13．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 14．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ． 15．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 16．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    三、解答题 17．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 18．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 19．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 20．如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线经过点B、C． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B B A C B C A 1．A 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标是． 故选：A 2．D 【分析】本题主要考查反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质进行排除选项． 【详解】解：A、由可知：，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； B、由可知：，所以y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； C、由可知：开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； D、由可知：，所以y随x的增大而减小，因为点，在函数图象上，所以，故符合题意； 故选D． 3．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，包括图象上点的坐标特点，比较函数值的大小，熟悉并灵活运用二次函数的图象和性质是解题的关键．直接把各点坐标代入二次函数的解析式，求出、的值，即可得答案． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点，， ∴， ， ∴， ∴的值是负数． 故选：A． 4．B 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 5．B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查的是函数图象与轴的交点，分两种情况分析，求出的取值范围即可． 【详解】解： 当时，函数是二次函数， 函数的图象与轴有交点， 解得且． 当时，函数是一次函数，图象与轴有交点， 综上所述 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，y得值都等于3 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∴顶点坐标为 ∴设表达式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为， ∵ ∴函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 令，则， ∴ ∴方程无解， ∴函数图象与轴没有交点，故B错误，不符合题意； ∵顶点坐标为，开口向上 ∴函数的最小值为1，故C正确，符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，的值随值的增大而增大，故D错误，不符合题意． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵是抛物线的对称轴， ， ， ，故①错误， ∵过点， ∴，故②错误， 由图象可得抛物线与x轴交于两点， ∴，故③错误， 根据对称轴可得A点横坐标为 ， 由图象可得， 当时，，故④正确， 综上所述有1个正确， 故选：A． 11． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入，即可求出，然后令，则，进而可得点抛物线上． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， 令，则， ∴点抛物线上． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与解析式的求法，根据图示知，抛物线的图象经过，所以将点代入函数解析式，即可求出a的值． 【详解】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点， ∴， 解得； 又∵该函数图象的开口方向向下， ∴， ∴． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，时，和的值异号，根据函数图象与x轴交点分界选择合适范围即可． 【详解】解：当时，和的值异号， 观察图象可得，当的取值范围是或时，． 故答案为：或． 14．或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程．由可得，进而得到二次函数为，由二次函数的对称性可得二次函数的对称轴为直线，把方程转化为，即可得为二次函数图象上的点，得到是方程的一个解，利用对称性即可得到方程的另一个解，即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴二次函数为， ∵，在二次函数的图象上， ∴二次函数的对称轴为直线， 由方程可得，， ∵点为二次函数图象上的点， ∴是方程的一个解， 即为方程的一个解， 设方程的另一个解为， 由可得，， ∴方程的另一个解为， ∴方程的解为或， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得的抛物线为， 整理得； 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 17．(1)2 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点A、B坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可令进行求解即可； （3）由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：二次函数， ∴当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （3）解：由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 在时，随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴此时函数值的范围为； 在时，随的增大而减小， 当，则；当时，； 此时函数值的范围为； 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 19．(1) (2)原式的最小值为 【分析】本题考查了二次函数坐标特点，二次函数与x轴交点情况，二次函数对称轴，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点 代入函数解析式求解，即可解题； （2）根据题意先求出m的值，得到二次函数解析式，再结合二次函数对称轴推出，结合对式子 进行整理得到，最后利用二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：把代入 得， 解得 （2）解：令，则有， 解得或 ∵抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数， ∴， ∴抛物线为 ∵点 P，Q在抛物线上，且 即 ∴ ∴原式的最小值为． 20．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式，通过图象交点求不等式的解集等内容，解题的关键是掌握两个函数的图象和性质． （1）利用二次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）通过函数图象的交点得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由抛物线解析式得， 当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 将和代入得， ， 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：如图所示， 由图象可得，当时，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数的图像与性质 一、单选题 1．二次函数的图像的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．点，是所给函数图象上的点，下列能使成立的函数是（    ） A． B． C． D． 3．在二次函数的图象上有两点，，则的值是（   ） A．负数 B．零 C．正数 D．不能确定 4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 6．如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A． B．且 C． D．且 8．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 9．如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 10．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若点在抛物线上，写出一个在抛物线上的点（顶点除外）： ． 12．如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是 ． 13．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 14．已知点，，在二次函数（）的图象上，则方程的解为 ． 15．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线为 ． 16．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    三、解答题 17．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 18．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 19．已知关于x的二次函数 (1)若函数图象经过点 ，求m的值． (2)若抛物线与x轴交于两个不同的点，且这两个点的横坐标均为整数，m为负整数，点 与 在抛物线上（点P，Q不重合），且 求代数式 的最小值． 20．如图，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线经过点B、C． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，请直接写出x的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $