26.2.3求二次函数的表达式 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

求二次函数的表达式 一、单选题 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 6．已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小値3 D．最大值3 7．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 8．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 2 4 … y … 12 0 5 21 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．点在该函数图象上 C．当时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为 9．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 12．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 13．二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 14．已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则 ．（填“”“”或“”） 15．如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是 （只需写出一个即可）． 16．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为 ． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 18．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 19．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 20．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A C B A B B A 1．C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 2．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可， 【详解】解：二次函数，化成顶点式为 ． ∵图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后的二次函数解析式为． ∵平移后的二次函数图象经过点， 将，代入平移后的函数解析式中，得 ． ． ． 解得或． ∵， ∴的值为． 故选：D 4．A 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，直接设抛物线为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点， ∴设二次函数为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； 故选：A 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次根式解析式，熟练掌握二次根式的图象与性质是解题的关键．先将，，代入抛物线解析式求出解析式，利用二次函数的性质即可判断选项A、B、C，画出草图即可判断选项D． 【详解】解：将，，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， 故选项A错误，选项C正确； ∵对称轴为直线，开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大；当时，的值随值的增大而减小， 故选项B错误； 根据题意画出草图如图： 故图象过第一、二、四象限， 故选项D错误； 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，关于坐标轴对称的点的特征， 先求出二次函数的关系式，再确定关于x轴对称的二次函数的关系式，则答案可得． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，顶点坐标为， ∴顶点坐标关于x轴对称点的坐标为， ∴新二次函数的关系式为， 当时，新二次函数有最小值． 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可． 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，利用待定系数法求出二次函数的解析式为，再由二次函数的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴图象的开口向上，当时，y的值随x的值增大而增大，函数的最小值为，故ACD错误， 当时，，即点在该函数图象上，故正确； 故选：B． 9．B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式： （1）根据抛物线与y轴的交点坐标，即可求解； （2）根据抛物线的顶点坐标，即可求解； （3）根据抛物线的最大值为6，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象经过点， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （2）∵抛物线的顶点坐标， ∴可设抛物线的表达式为； 故答案为：； （3）∵二次函数有最大值6， ∴可设抛物线的表达式为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤． 通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值． 【详解】解：将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 当时，， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象上点的坐标特征． 利用待定系数法求得系数的值，即可得到结论． 【详解】解：∵二次函数过点， ， 解得：， 过点， ， 解得：，   ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查抛物线的表达式；设抛物线为，根据题意求出的取值范围并对其取值即可求出． 【详解】解：设抛物线为 ∵抛物线不经过第二象限， ∴ 设， ∵对称轴在y轴右侧， ∴ ∴ 设 ∵抛物线为 ∴ ∵抛物线不经过第二象限， ∴当时， ∴ ∴设 ∴ 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解． 【详解】解：∵与x轴交于点和点， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴     ∴ 故答案为：． 17．(1)顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）二次函数图象经过点和利用待定系数法求解确定解析式，化为顶点式即可得； （2）将代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为， ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解： 将代入得， ． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点A、B坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可令进行求解即可； （3）由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：二次函数， ∴当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （3）解：由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 在时，随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴此时函数值的范围为； 在时，随的增大而减小， 当，则；当时，； 此时函数值的范围为； 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 19．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式； （1）采用待定系数法进行求解即可； （2）令，求出点A的坐标为及，根据当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 求二次函数的表达式 一、单选题 1．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 3．将二次函数为常数，且的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的二次函数图象经过点，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 4．若二次函数的图像开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的自变量与因变量的几组对应值如下表： … 1 … … … 则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象的对称轴是直线 D．图象经过第一、二、三象限 6．已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小値3 D．最大值3 7．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 8．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 2 4 … y … 12 0 5 21 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．点在该函数图象上 C．当时，y的值随x的值增大而减小 D．函数的最小值为 9．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．选择最优解法，设出下列二次函数的表达式： （1）已知抛物线的图象经过点，，，设抛物线的表达式为 ． （2）已知抛物线的顶点坐标，且经过点，设抛物线的表达式为 ． （3）已知二次函数有最大值6，且经过点，，设抛物线的表达式为 ． 12．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 13．二次函数中的和满足下表，则的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … m … 14．已知二次函数和中，函数，与自变量x的部分对应值分别如表1，表2： 表1                      表2 x 1 2 3 x 1 2 3 m n 则 ．（填“”“”或“”） 15．如果抛物线不经过第二象限，且它的对称轴在y轴右侧，那么这条抛物线的表达式可以是 （只需写出一个即可）． 16．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为 ． 三、解答题 17．已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求的值． 18．抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 19．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 20．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $