专题05 空间向量及其应用全章8大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期沪教版

专题05 空间向量及其应用 题型1 空间向量及其运算 （常考点） 题型5 空间向量的坐标表示（重点） 题型2 向量共面的充要条件 题型6 判断空间直线、平面的位置关系（重点） 题型3 空间向量基本定理（常考点） 题型7 求空间距离的方法（难点） 题型4 空间直角坐标系（常考点） 题型8 求空间角的大小的方法（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量及其运算（共8小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 3．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】利用正方体的结构特征、性质，及空间向量加减、数乘的几何意义、数量积的运算律判断各项正误. 【详解】如下图示正方体，根据各向量对应线段的位置关系，各项判断如下， A：，则， 所以，对； B： ，， 所以向量与的夹角是，对； C： ，对； D：由正方体的结构易得，错. 故选：D 4．（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可. 【详解】 由 故答案为： 5．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】讨论当的起点和终点分别为正方体上相邻的两个顶点、正方体侧面上对角的两个顶点、正方体底面上对角的两个顶点、正方体体对角线的两端点时，的取值，即可得解. 【详解】 ①当的起点与终点为正方体上相邻的两个顶点，，与平行或垂直， 若，且与同向，即， ； 若，且与反向，即， ； 若，即，； ②当的起点与终点为正方体侧面上对角的两个顶点，，与的夹角为或， 若与的夹角为，即， ； 若与的夹角为，即， ； ③当的起点与终点为正方体底面上对角的两个顶点，，与的垂直， 即，; ④当的起点与终点为正方体体对角线的两端点，，或， 若，即， ； 若，即， . 综上：与向量的数量积共有3种结果，分别为-1，0，1. 故答案为：3. 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为 . 【答案】 【知识点】证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、空间向量加减运算的几何表示、求点面距离 【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值. 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 7．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 8．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 【答案】 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据条件，结合空间向量的运算，即可得到结果. 【详解】依题得， 。 故答案为：． 题型二 向量共面的充要条件（共2小题） 9．（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【知识点】判定空间向量共面、空间向量共线的判定 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 题型三 空间向量基本定理（共3小题） 11．（23-24高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据题意，可得存在实数使得成立，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，是空间中的三个向量， 因为共面，则存在实数使得成立， 可得，可得. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】将用基底，结合空间向量的数量积可求得的值. 【详解】在平行六面体中，， ， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得，且为中点， 则， 所以 ， 因此，. 故答案为：. 13．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 题型四 空间直角坐标系（共4小题） 14．（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 【答案】C 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间共面向量定理的推论及应用、判定空间向量共面 【分析】根据方向相反即可判定A，根据共线定理即可判断B，根据空间向量共面的推论即可判断C，利用基底向量的特征即可求解D. 【详解】对于A，当时，则，故A错误， 对于B，当为非零向量时，才存在唯一的实数，使，若均为零向量，则存在无数个实数，使，故B错误， 对于C，由于，所以P，A，B，C四点共面，C正确， 对于D，若不能构成空间的一组基底，则共面，故存在,使得， 由于是一组基底向量，所以无解，故能构成空间的一组基底，D错误， 故选：C 15．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、用空间基底表示向量 【分析】先判断出的最小值为四棱台的高，添加如图所示的辅助线后可求四棱台的高，从而可得所求的最小值. 【详解】如图，设，则平面， 故， 的最小值即为四棱台的高. 如下图，过作，垂足为，过作，垂足为， 过作平面，垂足为，连接， 则，， 因为，，故， 故，而，故，所以， 因为平面，故，而， 故平面，因平面，故， 故，故，即的最小值为， 故选：B.    16．（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用长方体的体对角线的计算方法可求解. 【详解】这条线段可看作一长方体的体对角线，这个长方体的同一个顶点外的三个表面的面对角线为， 设长方体的长、宽、高分别为，则， 所以这条线段的长为. 故答案为：. 17．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    【答案】 【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 题型五 空间向量的坐标表示（共11小题） 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可. 【详解】，又， 在方向上的投影向量为. 故答案为：. 19．（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度． 【详解】在方向上的数量投影的长度为：． 故答案为：． 20．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据向量投影的定义及数量积、模长的坐标表示求在方向上的数量投影. 【详解】由题设，， 所以. 故答案为： 21．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、求投影向量、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解即可. 【详解】∵，， ∴， 所以向量在向量上的投影向量为： . 故答案为：. 22．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 【答案】6 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值. 【详解】因为，所以设，故，解得：. 故答案为：6 23．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 【答案】14 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】由向量的数量积为0即可列方程求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故答案为：14. 24．（23-24高二上·上海·期末）已知向量，，，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的数量积表示求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得， 故答案为： 25．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 【答案】/ 【知识点】求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可. 【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 26．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则两向量的夹角是 . 【答案】 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标公式计算出两向量的夹角． 【详解】 则两向量的夹角是 故答案为： 27．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】由线面平行得到求解即可； 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 28．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，设、、、． (1)设，，求的坐标，并判断、是否平行； (2)求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 【答案】(1)，平行； (2)，. 【知识点】空间向量模长的坐标表示、三角形面积公式及其应用、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量共线的坐标表示判断即得. （2）利用向量夹角公式求出夹角，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由、、、，得， 所以，而，则， 所以、平行. （2）由（1）知，，，，， 因此，而，则， 所以、为相邻两边的三角形面积. 题型六 判断空间直线、平面的位置关系（共6小题） 29．（22-23高二上·上海静安·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，逐项计算即可. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 30．（24-25高二上·上海·期中）设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面关系有关命题的判断 【分析】由空间中线面的位置关系逐项判断即可. 【详解】两条平行线中有一条和平面垂直，那么另外一条也和该平面垂直，故A正确； 由于垂直于同一个平面的直线平行可知B正确； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 故选：C 31．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】以为坐标原点，分别以为坐标轴，建立空间直角坐标系，先利用向量找出截面与的交点，再在等直线上找点，即可判断截面形状. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系， 其中，，，，， 设平面截于，平面截于，， 设，则，且， 即，解得，即 ，，则， 其中，得，则， 设平面截于，平面截于， 设，，同理，得， 设，，同理，得， 则，， 故选：B. 32．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）存在点P，使得； （2）存在点P，使得平面； （3）的面积越来越小； （4）四面体的体积不变. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设正方体棱长为，求出，由解得，确定（1）正确，考虑到到平面的距离不变，从而易判断（4），以为轴建立空间直角坐标系，可证明不可能与垂直，故（2）不正确；设，，由空间向量法求得到的距离，由距离的变化规律判断（3）正确. 【详解】设正方体棱长为， 由平面平面得，同理， 所以， 由得，存在使得，（1）正确， 正方体中，平面，所以到平面的距离不变， 即到平面的距离不变，而面积不变，因此三棱锥，即四面体的体积不变，（4）正确; 以为轴建立空间直角坐标系，如下图，    正方体棱长为2，则， ，，所以不可能与垂直，故平面也不可能成立，故（2）错误； 设， 所以 设到直线的距离为，则 由二次函数性质知时，递减，所以递减，又不变， 所以的面积为递减，（3）正确， 综上：（1）（3）（4）正确 故选：D. 【点睛】方法点睛：立体几何中存在性或探究性问题涉及到的点具有运动性和不确定性属于动态几何问题,用纯几何的方法来解决对空间想像能力、作图能力和逻辑推理能力的要求很高，若用向量方法处理，尤其是通过建立空间直角坐标系求解问题则思路简洁明了，本题中用向量法解决点到直线的距离问题避免了抽象复杂找距离过程，而且将距离的变化情况转化为函数的单调性问题解决更简单明了. 33．（23-24高二上·上海·期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 【答案】平行或线在面上 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以直线与平面平行或直线在平面上， 故答案为：平行或线在面上. 34．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】/ 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的截面面积，找到符合题意的截面是解决问题的关键.本题借助空间直角坐标系，确定构成六边形UVWXYZ就是所求截面，进而求出面积.研究正方体截面问题的常用方法还有平行线法和相交线法. 题型七 求空间距离的方法（共7小题） 35．（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 36．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 37．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】因为底面是菱形，，连接，则为等边三角形， 取的中点，连接，则，又，所以， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取， 所以点到平面的距离. 故答案为： 38．（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求空间中两点间的距离、棱锥表面积的有关计算 【分析】（1）根据正四面体的表面积即可求解，利用割补法，结合体积公式即可求解； （2）建立空间坐标系，利用点点距离即可求解. 【详解】（1）因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为． 该几何体的体积为 （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 故PQ的最小值为. 39．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，. (1)求证：平面 (2)以为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. ①求平面的一个法向量； ②求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)①(答案不唯一)；② 【知识点】点到平面距离的向量求法、求平面的法向量、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）利用线面判定定理与垂直性质定理证明； （2）①利用向量垂直数量积为求解法向量；②利用法向量求解点面距，再求体积即可. 【详解】（1）如图，连接.    在正四棱柱中， 底面四边形为正方形，则， 又平面，平面，所以， 又平面，平面，， 所以平面， 又E、分别为、的中点，则, 所以平面； （2）   连接. ①在坐标系中，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为.(答案不唯一) ②连接.，则，且. ， 则点到平面的距离. 因为为等腰三角形，所以. 故三棱锥的体积. 40．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、点到平面距离的向量求法、多面体与球体内切外接问题 【分析】（1）根据两平面垂直法向量关系运算得解； （2）根据空间点到平面的距离向量公式运算得证； （3）联立可求得顶点，同理可求得其它顶点坐标，设外接球球心为，根据接球半径，求得球心的坐标，进而求得顶点的坐标，利用（2）的结论求出四面体的高，运算求得四面体的体积. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故. （2）不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为. （3）由，解得交点， 同理，可得其它交点，，， 又四面体外接球体积为，故外接球半径， 设球心为，则，即有 得或， 当球心坐标为时，，得（舍去）， 当球心坐标为时，， 得（舍去）或，故， 所以到平面即的距离为 ， 又是正三角形，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是理解新定义，求出四面体的各个顶点坐标运算得解. 41．（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 【答案】(1)D为中点 (2)答案见解析 (3) 【知识点】证明面面平行、平行平面距离的向量求法、锥体体积的有关计算、判断图形中的线面关系 【分析】（1）由已知结论即可得点D为中点； （2）根据面面平行判定定理以及性质定理可知取的三等分点的中点，的中点，分别作平面为平面，平面，可得结果； （3）根据正四面体性质建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，利用点到平面距离的向量求法得出棱长，即可求出此正四面体的体积. 【详解】（1）D为中点 根据已知结论可得直线即为，若为三条等距的平行线， 所以D为中点； （2）如图所示， 取的三等分点的中点，的中点， 过三点，，作平面，过三点作平面， 因为，又，所以； 又，且，所以； 又因为，且， 所以平面, 再过点分别作平面与平面平行， 那么四个平面依次相互平行， 由线段被平行平面截得的线段相等知，其中毎每相邻两个平面间的距离相等， 故即为所求平面（注：也可将正四面体放入正方体内说明） （3）设正四面体的棱长为，综合（2）有的中点， 再取的中点，连接交于， 则由等边三角形的性质可知为的中点，且， 则以为坐标原点，以平行于直线且过点的直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，，， 令为的三等分点，为的中点， 则，， 所以，，. 设平面的法向量， 则有，即，取，则， 即. 又相邻平面之间的距离为1， 所以点到平面的距离为， 解得. 由此可得，边长为的正四面体满足条件. 可知所求正四面体的体积. 【点睛】关键点点睛：解决第（3）问的关键在于利用（2）中的已知结论，建立空间直角坐标系，将平面间的距离转化为点到面的距离，求得正四面体的棱长即可计算出其体积. 题型八 求空间角的大小的方法（共15小题） 42．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用两个向量夹角的余弦公式即可求得结果. 【详解】，又因为夹角范围为：，故. 故答案为：. 43．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故所成角的大小为 故答案为：. 44．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）设边的中点为，结合面面垂直的性质定理可得平面，则四棱锥的高可求，再利用棱锥的体积公式求解可得答案； （2）法一：利用几何法，在中利用余弦定理求解即可； 法二：利用空间向量法，建立空间直角坐标系，结合线线所成角的向量解法即可得答案. 【详解】（1）等腰中，设边的中点为，易知， 因为平面底面，且底面， 则平面，在中，，所以， 则体积. （2）法一：因为， 所以即为异画直线和所成的角或其补角； 由（1）知平面底面，且平面底面 矩形中，， 因为平面底面，且底面， 所以面，又因为面，从而， 中，，所以 同理可得中，， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 法二：以的中点为为原点， 为轴建立空间坐标系，    则， 所以， ， 所以异面直线和所成角余弦值为. 45．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【知识点】证明线面平行、已知线线角求其他量、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）取中点，连接，结合三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得二面角的平面角为，则可求得，由已知可证得两两垂直，所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，    因为分别是棱的中点， 所以‖，， 因为四边形是平行四边形， 所以，‖， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为四边形为正方形，所以，，， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，. 所以二面角的平面角为， 所以，所以. 因为，，， 所以两两垂直， 所以以B为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 则，， 所以 ， 所以， 设，则， 因为，所以 所以 所以 所以当时，取到最小值.    46．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 47．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法 【分析】根据条件，直接利用圆锥的体积公式，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用线面角的向量法，即可求解. 【详解】（1）因为，则圆的面积为， 又，所以圆锥的体积为. （2）易知面圆，又点是弧的中点，则， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，又点是母线的中点，所以， 易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 则， 又，所以. 48．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、已知线面角求其他量、证明面面垂直 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先证明，再应用线面垂直判定定理证明平面，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）先设，再应用空间向量法计算二面角余弦值即可求参. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，，， 则，，，， 即，， 因为， 所以，即，又因为平面，平面，所以平面， 所以平面，平面，所以平面平面. （2） 如图，以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设时，则， 由图知，平面法向量为，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，因为平面与平面所成角为． 所以，解得或（舍）． 所以当为时，平面与平面所成角为． 49．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 【答案】(1) (2),证明见详解. 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）根据向量法先求出二面角的余弦值，然后即可求正切值； （2）利用向量法即可求出线面角的正弦值，然后根据直线与圆相切即可求解. 【详解】（1）设与OB的交点为,过点作的平行线交底面圆于， 因为点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点， 所以，又因为底面圆，底面圆， 所以 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，, 所以， , 因为底面圆，底面圆,所以又因为且，所以平面,所以平面的法向量为, 则,, 设平面的法向量， 则， 设二面角所成的平面角为， 所以 则，由图可知为锐角，所以， （2）由可得， 设平面的法向量， 则， , , 所以, 设， 因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为， 所以， 则，，， ， 令，则或， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以. 50．（24-25高二上·上海·期末）水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 【答案】(1)方案见解析，原理见解析 (2)方案见解析 【知识点】判断面面平行、面面角的向量求法、判断线面平行 【分析】（1）在桌面上找两条相交直线和，且，利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平，结合面面平行的判定定理可得出方案； （2）解法一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米，不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为，为了使得桌子平稳地放置在地面上，则，利用梯形的中位线的性质可求得的长，由此可求得三条桌腿、、分别锯掉的长度； 解法二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴， 以平面与水平面的交线为轴，以竖直方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设水平面，倾斜地面，利用空间向量法求出平面与平面的夹角，即可求得桌腿、分别锯掉的长度. 【详解】（1）在桌面上找两条相交直线和，且， 利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平， 若直线，且直线，，、平面， 由面面平行的判定定理，桌面， 若直线不平行，或直线不平行，则桌面不平行. （2）解法一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为. 假设不锯桌腿，要使得水平面，则桌腿需要锯掉, 即，同理， 此时对角线和的交点在线段上的投影为（如图所示）， 为了使得桌子平稳地放置在地面上，则， 由梯形的中位线定理可知，， 所以， ，， 所以三条桌腿、、分别锯掉米、米、米. （锯掉三条桌腿的答案不唯一，在不锯桌腿的假设下，只需要满足， ，， 其中即可） 解法二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离米和米， 以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴， 以平面与水平面的交线为轴，以竖直方向为轴的正方向建立空间直角坐标系. 设水平面，倾斜地面. 由题意可知，未锯腿时的桌面平行于地面，即，， 不妨设，， 设地面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为， 则， 令，则， 可以通过旋转桌面，使得，，此时只需要锯两条桌腿. 则平面与平面的夹角满足， 则 则桌腿、分别锯掉米. 51．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】圆锥表面积的有关计算、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）由已知条件求出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式求解即可； （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径， 经过旋转轴SO的截面是等边，可得， 所以圆锥的侧面积为. （2）以为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意可得，则，，，，， 则，， 所以，，， 所以， 设异面直线PQ与SO所成角的大小为，， 则， 故异面直线PQ与SO所成角的余弦值为. 52．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)①直线与平面所成角为；② 【知识点】证明线面平行、已知面面角求其他量、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面； （2）①以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据求出点坐标，再求出、平面的一个法向量，根据线面角的向量求法可得答案；②设，根据求出点坐标，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）因为底面是正方形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）①，如图，以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得 ， ，， 由得， 所以，，由四棱锥是正四棱锥， 可得平面，平面，所以， 由，平面， 所以平面， 因为平面，即平面， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， ， 由，得， 所以直线与平面所成角为； ②，同①以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，得 ， ， 由得， 所以，， 设为平面的一个法向量， 则得，令得， 所以，因为平面， 所以是平面的一个法向量， 设平面与平面所成锐二面角的大小为，得， 由， 解得，即. 53．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②； (3)证明见解析， 【知识点】线面角的向量求法、立体几何新定义、锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3） ， 由题意知点到平面的距离为， 54．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求空间图形上的点的坐标、点到平面距离的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）由题意可得，再根据，即可求得点的坐标； （2）由（为平面的法向量），求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 55．（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【知识点】棱柱表面积的有关计算、证明线面垂直、求线面角、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）分别求出平行六面体的底面积和侧面积，由即可求解； （2）数形结合，作出辅助线，利用，，即可求证，根据平面， ，可知即为所求的侧棱与底面的所成角，计算从而得解； （3）根据题意可得， ，根据数量积运算结合夹角公式求异面直线夹角. 【详解】（1）底面是边长为1的正方形，则,, ，， 所以， 所以该平行六面体的表面积. （2）过 作 平面，连接 AM, HM, AE, HE, AH， 此时平面 ，，，平面， 面， ，， ，得证. 因为，则, 则， 所以 , 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 所以侧棱与底面的所成角为. 所以，侧棱与底面的所成角为. （3）由题意，， ， ， 所以． 而，， 则 ， 所以， 所以直线与所成角为. 56．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小； (3)若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且为中点 【知识点】已知面面角求其他量、求线面角、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形可得，结合线面平行的判定定理可完成证明； （2）取中点，连接，先证明平面，然后判断出线面角为，最后结合线段长度求解出结果； （3）先证明平面，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值的结果求解出的值，则结果可知. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为的中点，所以， 又因为为的中点，所以， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面；    （2）取中点，连接， 因为四边形为矩形，且为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以 因为几何体为直三棱柱， 所以平面，所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 因为为中点， 所以，且， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的大小为；    （3）设存在满足条件， 连接，因为为正三角形，所以也是正三角形， 因为为中点，所以， 因为几何体为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 以为原点，以方向为轴正方向，在平面内过点垂直于方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系，    则，设， 所以，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 取平面的一个法向量， 所以, 解得或（舍去）， 此时由图可知，二面角的平面角为钝角， 所以当为中点时，二面角的大小为. $专题05 空间向量及其应用 题型1 空间向量及其运算 （常考点） 题型5 空间向量的坐标表示（重点） 题型2 向量共面的充要条件 题型6 判断空间直线、平面的位置关系（重点） 题型3 空间向量基本定理（常考点） 题型7 求空间距离的方法（难点） 题型4 空间直角坐标系（常考点） 题型8 求空间角的大小的方法（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量及其运算（共8小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期末）在正方体中，下列结论错误的是（    ） A． B．向量与的夹角是 C． D．这个正方体的体积为 4．（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 5．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知棱长为1的正方体，任选2个顶点作为起点和终点所成的向量，与向量的数量积共有 种结果． 6．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为 . 7．（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 8．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 题型二 向量共面的充要条件（共2小题） 9．（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 10．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 题型三 空间向量基本定理（共3小题） 11．（23-24高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 12．（24-25高二上·上海·期末）如图，在平行六面体中，，，若为中点，则 .    13．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型四 空间直角坐标系（共4小题） 14．（23-24高二上·上海·期末）在以下命题中，正确的命题其中真命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P、A、B、C四点共面 D．为空间一个基底，则不能构成空间的另一个基底 15．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，，，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 16．（24-25高二上·上海·期末）空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为 . 17．（24-25高二上·上海·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于 .    题型五 空间向量的坐标表示（共11小题） 18．（23-24高二下·上海宝山·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 19．（24-25高二上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为 . 20．（24-25高二上·上海黄浦·期末）给定点，则在方向上的数量投影为 . 21．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 . 22．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 23．（24-25高二上·上海·期末）若，，且，则 . 24．（23-24高二上·上海·期末）已知向量，，，则 . 25．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 26．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则两向量的夹角是 . 27．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 28．（23-24高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，设、、、． (1)设，，求的坐标，并判断、是否平行； (2)求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积． 题型六 判断空间直线、平面的位置关系（共6小题） 29．（22-23高二上·上海静安·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高二上·上海·期中）设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 31．（23-24高二上·上海·期末）如图，在棱长为10的正方体中，M为棱CD的中点，点P在侧面上，且到与的距离均为3，则过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 32．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正方体中，E为棱的中点.动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列四个结论中正确的个数是（   ） （1）存在点P，使得； （2）存在点P，使得平面； （3）的面积越来越小； （4）四面体的体积不变. A．0 B．1 C．2 D．3 33．（23-24高二上·上海·期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 ．（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 34．（24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 题型七 求空间距离的方法（共7小题） 35．（23-24高二上·上海·期末）已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 36．（24-25高二上·上海·期末）如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 37．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，，，则点到平面的距离为 . 38．（24-25高二上·上海·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 39．（23-24高二上·上海·期末）如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，、分别为、的中点，. (1)求证：平面 (2)以为原点，射线、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系. ①求平面的一个法向量； ②求三棱锥的体积. 40．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)若平面与平面互相垂直，求实数的值； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并用利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，利用（2）的结论求该四面体的体积． 41．（24-25高二上·上海·期末）我们知道，平面中的结论有不少可以向空间中进行推广，现有如下平面中的结论：如图，已知对任意三角形，都能找到三条等距的平行线，使得. (1)根据以上平面中的结论，若D为与边的交点，试判断D在线段上的位置； (2)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对任意给定的四面体，能否作出四个相互平行的平面，使，且相邻两个平面间的距离都相等.如能，说明作法并作图，如不能，说明理由. (3)根据以上平面中的结论，则在空间中，若对一个正四面体，能够作出第（2）小题中的四个平面，且四个平面间距离为1，求此正四面体的体积. 题型八 求空间角的大小的方法（共15小题） 42．（24-25高二上·上海·期末）向量，的夹角 . 43．（23-24高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 44．（24-25高二上·上海·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且平面底面.    (1)求该四棱锥的体积； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 45．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，分别是棱上.    (1)若分别是棱的中点，求证：平面； (2)设底面是边长为1的正方形，，，二面角的正切值为，若，求的最小值. 46．（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 47．（24-25高二上·上海·期末）如图所示，圆锥的底面半径，高，点是弧的中点，点是母线的中点． (1)求圆锥的体积； (2)求直线与平面所成角的大小． 48．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上移动． (1)当点在棱的中点时，证明：平面平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 49．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 50．（24-25高二上·上海·期末）水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性， 从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平， 水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态. (1)请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理; (2)现有一张边长为米的正方形四脚木桌 （四条桌腿的长度均为米）， 被放置在倾斜的地面上. 通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度. 为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案.（答案精确到米） 51．（24-25高二上·上海长宁·期末）如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.    (1)求此圆锥的侧面积； (2)求异面直线PQ与SO所成角的余弦值. 52．（24-25高二上·上海杨浦·期末）如下图所示正四棱锥，其中O为底面ABCD的中心. (1)求证：平面； (2)设E为上的一点，. ①若，求直线与平面所成角的大小. ②已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长. 53．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 54．（24-25高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 55．（24-25高二上·上海·期末）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． (1)求该平行六面体的表面积； (2)记在底面上的射影为，，，，求证：，并求侧棱与底面的所成角； (3)求异面直线与的所成角． 56．（23-24高二上·上海·期末）在如图所示的直三棱柱中，，分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)若为直角三角形，，，求直线与平面所成角的大小； (3)若为正三角形，，问：在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. $