专题06 数列全章11大常考题型汇总（期末复习专项训练）高二数学上学期沪教版

专题06 数列 题型1 等差数列及其通项公式（重点） 题型7 数学归纳法及其应用 题型2 等差数列的前n项和（重点） 题型8 求通项公式常用方法（难点） 题型3 等比数列及其通项公式（重点） 题型9 数列求和的常用方法 （难点） 题型4 等比数列的前n项和（重点） 题型10 等差数列与等比数列综合应用（难点） 题型5 数列的概念与性质（重点） 题型11 数列不等式 （难点） 题型6 利用递推公式表示数列（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列及其通项公式（共9小题） 1．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 2．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）在等差数列中，已知，，则 . 4．（22-23高二上·上海闵行·期末）若是，的等差中项，则 . 5．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 6．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，则公差 ; 7．（23-24高二上·上海·期末）数列的首项且对任意，恒成立，则 . 8．（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 9．（21-22高二上·上海徐汇·期末）现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. (1)求的表达式（用表示）； (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值. 题型二 等差数列的前n项和 （共11小题） 10．（23-24高二上·上海·期末）设是等差数列的前n项和，若对任意，恒成立，则这样的等差数列有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． 14．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 15．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 16．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 17．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 18．（23-24高二上·上海·期末）设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 19．（23-24高二上·上海·期末）已知在等差数列中，，公差. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值. 20．（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 题型三 等比数列及其通项公式（共6小题） 21．（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 23．（22-23高二上·上海浦东新·期末）在等比数列中，若，则 ; 24．（23-24高二上·上海·期末）在等比数列中，若，则公比 ． 25．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足，，则的通项公式 . 26．（24-25高二上·上海·期末）已知数列是递减的等比数列，若，则 . 题型四 等比数列的前n项和（共5小题） 27．（23-24高二上·上海·期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二上·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 29．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若等比数列的前项和，则 . 30．（22-23高二上·上海浦东新·期末）某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等分，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为 ; 31．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 题型五 数列的概念与性质（共8小题） 32．（22-23高二上·上海宝山·期末）设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，数列的前项和组成数列，则有（    ） A．数列递增，最大值为1 B．数列递减，最大值为1 C．数列递减，最小值为 D．数列递增，最小值为 33．（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 34．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若数列满足.若，则 . 35．（24-25高二上·上海·期末）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 36．（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 37．（22-23高二上·上海徐汇·期末）数列满足，求的通项公式 38．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为. (1)若，写出一个符合条件的的通项公式，并说明理由； (2)若，且数列在上严格单调递增，求实数的取值范围； (3)若，数列的前5项成等比数列，且，试求出所有满足条件的数列. 39．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 题型六 利用递推公式表示数列（共8小题） 40．（23-24高二上·上海·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 41．（23-24高二上·上海·期末）在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），其中表示不超过的最大整数，如，.已知，，（为正整数且），则等于（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 42．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列，满足，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列满足，若，则 ． 44．（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 45．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则 ; 46．（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 47．（23-24高二上·上海·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 题型七 数学归纳法及其应用（共5小题） 48．（22-23高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 49．（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 50．（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 51．（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 52．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列满足，. (1)写出数列的前四项； (2)判断数列的单调性； (3)求证：. 题型八 求通项公式常用方法（共7小题） 53．（24-25高二上·上海·期末）已知数列的前n项和，那么的值为 . 54．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和，则 . 55．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 56．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 57．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 58．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列、的通项公式； (2)若，求数列的最大项. 59．（24-25高二上·上海·期末）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 题型九 数列求和的常用方法 （共7小题） 60．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的通项公式为（n为正整数），其中表示不超过x的最大整数，则 . 61．（23-24高二上·上海·期末）已知数列是首项为，公差为d的等差数列，其前n项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和为 ． 62．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前n项和. 63．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 64．（23-24高二上·上海宝山·期末）数列中，是的前n项和，，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前n项和． 65．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 66．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 题型十 等差数列与等比数列综合应用（共5小题） 67．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且不是常数列，其中正确命题的个数为 . ①若数列为等差数列，则为等比数列； ②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列； ③若数列为等比数列，则恒成立； ④若数列为等差数列，，，则的最大值在为8或9时取到. 68．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 69．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 70．（24-25高二上·上海宝山·期末）某公司积极投入本市“五个新城”建设，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： (1)求2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计多少亿元？ (2)该公司在哪年哪季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 71．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 题型十一 数列不等式（共6小题） 72．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 73．（22-23高二下·上海·期末）数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 74．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前n项和， ①求数列的前n项和； ②若在，上恒成立，求的取值范围． 75．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 76．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”； (2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 77．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. $专题06 数列 题型1 等差数列及其通项公式（重点） 题型7 数学归纳法及其应用 题型2 等差数列的前n项和（重点） 题型8 求通项公式常用方法（难点） 题型3 等比数列及其通项公式（重点） 题型9 数列求和的常用方法 （难点） 题型4 等比数列的前n项和（重点） 题型10 等差数列与等比数列综合应用（难点） 题型5 数列的概念与性质（重点） 题型11 数列不等式 （难点） 题型6 利用递推公式表示数列（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 等差数列及其通项公式（共9小题） 1．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【知识点】等差数列的单调性、探求命题为真的充要条件、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用等差数列的通项公式结合函数的图像和性质判断即可. 【详解】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 2．（23-24高二上·上海宝山·期末）与的等差中项为 ． 【答案】3 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义求解． 【详解】与的等差中项为． 故答案为：3. 3．（23-24高二上·上海·期末）在等差数列中，已知，，则 . 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先求出等差数列的公差，再求. 【详解】设等差数列公差为d，则， 所以. 故答案为：. 4．（22-23高二上·上海闵行·期末）若是，的等差中项，则 . 【答案】 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的性质得到方程，解得即可. 【详解】解：因为是，的等差中项， 所以，所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设数列的公差为,由题设条件化简推出，利用等差数列通项公式可得. 【详解】设数列的公差为，则由可得：， 即，故. 故答案为：4. 6．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，则公差 ; 【答案】1 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得 故答案为：1 7．（23-24高二上·上海·期末）数列的首项且对任意，恒成立，则 . 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】根据题意，由条件可得数列是以为首项，为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，从而得到结果. 【详解】因为，且，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·上海·期末）在数列中，，且，则 . 【答案】15 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由可证明数列是等差数列，利用通项公式可得15. 【详解】将同时除以2，得出， 即数列是以为首项，公差的等差数列， 则. 故答案为：15 9．（21-22高二上·上海徐汇·期末）现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数. (1)求的表达式（用表示）； (2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值. 【答案】(1) (2)7 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）第行的第一个数为，第行的第个数为，得到答案. （2）计算，根据得到，验证得到答案. 【详解】（1）第一种填法中：第行的第一个数为， 第行的第个数为， 即 （2）第二种填法中：第列的第一个数为， 第列的第个数为， 故 当时，在同一小格里两次填的数相同，整理得. 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故. 题型二 等差数列的前n项和 （共11小题） 10．（23-24高二上·上海·期末）设是等差数列的前n项和，若对任意，恒成立，则这样的等差数列有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列求和公式基本量的计算，即可求解. 【详解】若公差为0，由可得对任意，恒成立， 所以解得，或， 故此时由两个符合条件的常数列， 当公差不为0时，由 ，可得，或， 若，则，由于，，， 所以，显然不为常数，故不符合要求， 若，则，由于，，， 所以，解得，此时，符合要求， 综上有3个符合条件的数列， 故选：D 11．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和，若当首项和公差变化时，是一个定值，则下列选项中为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列的下标和性质可知为定值，再由等差数列的前项和对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由等差数列的下标和性质可知， 因为是一个定值，所以为定值， 由，可知是个定值，故C正确； ，，，故ABD错误. 故选：C. 12．（23-24高二上·上海·期末）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（   ）个. A．499 B．500 C．501 D．502 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用、基本不等式求和的最小值 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：，其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第502个方程有解. 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个， 故选：D. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 13．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式为，设其前项和为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解得答案. 【详解】由数列的通项公式为，得数列是等差数列， 则，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（23-24高二上·上海·期末）等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解. 【详解】为等差数列，且， 则前项和，是关于的二次函数，且， 因为仅当时，最大，所以对称轴在区间， 即，解得：， 则公差的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若等差数列 的前n 项和为 ，且满足 > 0， < 0 ，对任意正整数n ，都有，则 的值为 . 【答案】2022 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前项和公式计算推理得. 【详解】因为，，所以，即， 则， 又，则， 又因为，且， 所以等差数列单调递减， 则 所以对于任意的正整数，都有， 则. 故答案为： 16．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足，则的最大值为 ． 【答案】50 【知识点】求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【详解】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【点睛】关键点睛：1.根据的符号性分析可得存在，使得或； 2.根据绝对值不等式分析可得，且. 17．（24-25高二上·上海·期末）某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计年产量为（单位：万件），但如果年产量超过60万件，将会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 年． 【答案】8 【知识点】等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】计算出，解不等式，则有，再利用二次函数的单调性即可得到答案． 【详解】解：第一年年产量为，以后各年年产量为（，为正整数），当时也符合上式， ∴（为正整数）． 令，得． 设，对称轴为， 则当时，严格增，又因为为正整数，，， 则最大生产期限应拟定为8年， 故答案为：8． 18．（23-24高二上·上海·期末）设为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)当为何值时，最大，并求出的最大值. 【答案】(1) (2)，最大值 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求解； （2）求出，然后利用二次函数的性质求最值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为， 即； （2）由（1）得， 由二次函数的性质可得， 当时，最大，且最大值为. 19．（23-24高二上·上海·期末）已知在等差数列中，，公差. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值. 【答案】(1) (2)289 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意求出数列的首项，即可求得答案； （2）结合（1）求出数列的前n项和的表达式，结合二次函数性质，即可求得最大值. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，公差， 故， 故； （2）由（1）可得， 故当时，的最大值为289. 20．（24-25高二上·上海嘉定·期末）设等差数列的前项和为，且. (1)若，求数列的通项公式； (2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的公差和首项，进而可求通项. （2）根据数列中的最大项列不等式，从而求得的所有可能取值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 ，解得， ∴. （2）由（1）得， 由于是数列中最大的项， ∴，则 ， 所以，即 即 解得， 由于是整数，所以的可能取值是. 题型三 等比数列及其通项公式（共6小题） 21．（22-23高二上·上海浦东新·期末）若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3），必成等比数列的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】等比数列的定义、由定义判定等比数列 【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子进行判断. 【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， ，故成等比数列，且公比为， 因此成等比数列，且公比为， ，当时，成等比数列，且公比为，但当时，不是等比数列， 故选：C 22．（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【知识点】等比数列的单调性、等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 23．（22-23高二上·上海浦东新·期末）在等比数列中，若，则 ; 【答案】 【知识点】等比中项的应用 【分析】由等比中项即可求解. 【详解】由等比中项可得， 故答案为： 24．（23-24高二上·上海·期末）在等比数列中，若，则公比 ． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，得. 故答案为： 25．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足，，则的通项公式 . 【答案】 【知识点】由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】构造等比数列，再求通项即可. 【详解】由得，， 又，则，由此， 则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 故，. 故答案为：. 26．（24-25高二上·上海·期末）已知数列是递减的等比数列，若，则 . 【答案】/0.015625 【知识点】判断数列的增减性、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由，求得的值，从而可得公比，利用等比数列的通项公式可得结果. 【详解】因为数列是递减的等比数列，所以，，所以是方程的两根，所以，所以公比，. 故答案为：. 题型四 等比数列的前n项和（共5小题） 27．（23-24高二上·上海·期末）在无穷等比数列中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数列的极限、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和 【分析】设等比数列的公比为，分、，结合等比数列的求和公式进行讨论，即可得答案. 【详解】解：设无穷等比数列公比为， 当时，，不满足题意； 当时，， 则， 若，则， 则有，此时； 若，则， 则有，此时； 综上，. 故选：C. 28．（24-25高二上·上海宝山·期末）设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，有结论：①可能为等差数列；②可能为等比数列．关于以上两个结论，正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【知识点】求等比数列前n项和、数列综合 【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取，则，满足题设，即可判断①；对是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②. 【详解】对于①，取，则，满足题设，①成立； 对于②；假设存在，，公比为， 当时，，，则，当时，对任意正整数，不存在正整数m，使得， 当时，，要使，则需， 即，由为常数，为确定的正整数，得是确定的数， 而为任意正整数，是变量，且当趋近于无穷大的正整数时， 趋近于）或趋近于无穷大（），因此②不成立. 故选：C 29．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若等比数列的前项和，则 . 【答案】/ 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列的前项和的理解即可解决. 【详解】由题知，， 因为， 所以由等比数列的性质，. 故答案为： 30．（22-23高二上·上海浦东新·期末）某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等分，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为 ; 【答案】 【知识点】图与形中的归纳推理、等比数列的简单应用 【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周长，从而可求出周长. 【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个图形的边长又是第2个图形边长的，……， 所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列， 所以第个图形的边长为， 由图可知，各个图形的边数,构成首项为3，公比为4的等比数列， 所以第个图形的边数为， 所以第个图形的周长为， 故答案为： 31．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【知识点】等比数列的简单应用、求等比数列前n项和、圆柱表面积的有关计算 【分析】根据已知第个圆柱的高，底面半径，应用等比数列前n项和公式求工艺品的表面积. 【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 题型五 数列的概念与性质（共8小题） 32．（22-23高二上·上海宝山·期末）设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，数列的前项和组成数列，则有（    ） A．数列递增，最大值为1 B．数列递减，最大值为1 C．数列递减，最小值为 D．数列递增，最小值为 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、判断数列的增减性 【详解】根据已知条件及等比数列的通项公式，利用等比数列的前项和公式及数列的单调性的定义即可求解. 【点睛】因为所以， 所以， ， 所以时，. 所以数列的前项和为. 所以， 所以数列递增，当时，取得最小值. 故选：D. 33．（23-24高二上·上海·期末）已知是离最近的整数，如，则无穷数列中共有 项的值等于100. 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、数列的概念及辨析 【分析】根据题意列式，然后确定的取值情况即可. 【详解】由已知得，此时不等式取等号和不取等号对结果没有影响， 所以， 又， 所以， 所以共有项的值等于100. 故答案为：. 34．（22-23高二上·上海徐汇·期末）若数列满足.若，则 . 【答案】 【知识点】数列周期性的应用 【分析】判断出数列周期为3的周期数列，即可求解. 【详解】因为数列满足， ， 所以， ， ， 所以， 同理可求：， ， …… 所以数列周期为3的周期数列. 所以. 故答案为：. 35．（24-25高二上·上海·期末）设为数列的前项和，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据求通项公式，验证的结果即可得到答案. 【详解】当时，， 当时，，满足上式， ∴. 故答案为：. 36．（24-25高二上·上海·期末）已知数列为等差数列，且，设，，，当的前n项和最小时，n的值组成的集合为 ． 【答案】 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】依题意得，从而判断数列是单调递增数列，进而可判断数列各项的符号，由此可得结果. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，则， 由可以判断数列是单调递增数列， 所以， ， 所以，且，且； 即数列，当时，；当时，；当时，. 所以， 即当的前项和最小时，的取值集合为. 故答案为：. 37．（22-23高二上·上海徐汇·期末）数列满足，求的通项公式 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】根据累加法求通项解决即可. 【详解】由题知，数列满足， 所以当时， 所以， 又因为符合上式， 所以. 38．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为. (1)若，写出一个符合条件的的通项公式，并说明理由； (2)若，且数列在上严格单调递增，求实数的取值范围； (3)若，数列的前5项成等比数列，且，试求出所有满足条件的数列. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】数列综合、根据数列的单调性求参数、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由得到方式知得数列的特征，写出符合条件的通项； （2）求出的通项公式，将在上严格单调递增转化为恒成立问题，求出的取值范围； （3）由，分析得仅最小的5项在内，对为数列中的第几项分类讨论，求出符合题意的的通项公式. 【详解】（1）， 当时，，所以，此时. （2），， 因为在上严格单调递增，所以恒成立， 即恒成立， 为奇数时，恒成立， 因为单调递减，所以当时，最大为-1，所以， 为偶数时，恒成立， 因为单调递增，所以当时，最小为，所以， 综上，. （3），，，， 所以仅最小的5项在内，的公差大于0， ①若，由的前5项成等比数列，则，不合题意，舍去； ②若，则，由的前5项成等比数列，则，， 此时，，，，，合题意， 是首项为，公差为的等差数列，； ③若，，，则，所以公差， ，与仅最小的5项在内矛盾，舍去； 综上所述，. 【点睛】（2）中对恒成立的计算，通过对是奇数和偶数分类讨论，再化简求解； （3）中，通过计算，，，，而中的项按从小到大的顺序排列，可得中前9项有5项是数列中的项. 39．（23-24高二上·上海·期末）按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：，即（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）.记第行所有的项的和为. (1)求； (2)试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式； (3)设，求. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据数表所给数据相加以及递推关系，求解得. （2）根据，判断数列为首项为1，公差为1的等差数列求解； （3）将通项裂项相消，然后求解； 【详解】（1）根据数表所给数据相加求解 . （2）由题意得，第行共有项. 因为从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出， 可得，即 等式两边同时除以，得. 所以数列为首项为1，公差为1的等差数列， 可得，即 （3）， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据所给数表得到递推式，结合裂项相消法即可得解. 题型六 利用递推公式表示数列（共8小题） 40．（23-24高二上·上海·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推式求出即可得到数列的周期，根据周期可得的值. 【详解】, 所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 故选：B. 41．（23-24高二上·上海·期末）在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），其中表示不超过的最大整数，如，.已知，，（为正整数且），则等于（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 【答案】A 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意写出数列前几项并找出其周期规律，进而求解即可. 【详解】因为，，（为正整数且）， 所以， ，所以， 同理可得，， 所以周期为，由，得. 故选：A 42．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列，满足，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】求得的值判断选项A；求得的范围判断选项B；求得与的关系判断选项C；求得的范围判断选项D. 【详解】选项A：，，则 又，则， 则.判断正确； 选项B： （当且仅当时等号成立） 则 .判断正确； 选项C：， 则 则， 则.判断正确； 选项D：， 则 则， 而， 则.判断错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：推导出化简求解出和是关键 43．（22-23高二上·上海奉贤·期末）数列满足，若，则 ． 【答案】2 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由递推公式即可求解 【详解】由，可得， 故答案为：2 44．（24-25高二上·上海嘉定·期末）无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 45．（22-23高二上·上海浦东新·期末）对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，的最大值为，最小值为，则 ; 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】先根据求，，观察规律可得，进而可得答案. 【详解】因为，所以，即， 所以； ，所以或，即或； ，所以或或或， 即或或或或； 以此类推，可得的最小值为，的最大值， 所以. 故答案为： 46．（24-25高二上·上海·期末）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、递推数列的实际应用 【分析】（1）根据递推公式写出数列前项的值，即可求出的值； （2）对为奇数和偶数两种情况讨论，结合递推公式求出、，结合可求得的值. 【详解】（1）在无穷数列中，均为正整数，且， 当时，则，，，， ，，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，满足题意； ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上， 47．（23-24高二上·上海·期末）已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3)且 【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、等比中项的应用、等比数列的定义 【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案； （2）由题意结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据求和公式求得数列的通项公式，结合等比数列的定义，可得数列的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. （2）证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. （3）设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 题型七 数学归纳法及其应用（共5小题） 48．（22-23高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 49．（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 50．（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 . 【答案】（1）（2） 【知识点】求等比数列前n项和、数学归纳法证明数列问题 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 51．（23-24高二上·上海·期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：. 【答案】证明见解析 【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可. 【详解】当时，，结论成立； 假设①当时，， ②则当时， ，结论成立； 综合由①②知，对于任意正整数都有：. 52．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列满足，. (1)写出数列的前四项； (2)判断数列的单调性； (3)求证：. 【答案】(1)，，， (2)严格增数列 (3)证明见解析 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）由递推公式直接求解；（2）利用作差法证明出的单调性；（3）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为数列满足，， 所以，，. （2）因为，所以，所以. 所以数列为严格增数列. （3）用数学归纳法证明： 当时，有显然成立； 假设时，命题成立，即. 所以当时，只需证明成立即可. 先证明左边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证，两边平方得：，化简得：，显然成立. 再证右边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证， 化简得：， 展开，整理得：， 再平方，左边， 右边， 所以左边<右边. 综上所述：原命题成立，即. 【点睛】数学归纳法适用于证明与正整数有关的命题.其步骤为： 第一步：验证取第一个自然数时成立； 第二步：假设时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将代入假设的原式中去； 最后一步总结表述. 题型八 求通项公式常用方法（共7小题） 53．（24-25高二上·上海·期末）已知数列的前n项和，那么的值为 . 【答案】 【知识点】对数的运算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据，结合对数运算即可求解. 【详解】， 故答案为：1. 54．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和，则 . 【答案】448 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】 直接利用计算即可. 【详解】 由题意可知. 故答案为：448 55．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可； （2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出； （3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式. 【详解】（1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即． （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有； （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解. 56．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【答案】(1)是等差数列，证明见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再由关系求； （3）应用放缩法及裂项相消即可证结论. 【详解】（1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 【点睛】易错点点睛：第三问，注意放缩位置为，需要单独说明也成立. 57．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知数列的前项和为 (1)求数列的通项公式; (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）先求得，然后利用求得. （2）利用错位相减法求得. 【详解】（1）由于，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 当时，， 所以， 也符合上式，所以. （2）， ，， 两式相减得 ， 所以. 58．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知数列为等差数列，，，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和. (1)求数列、的通项公式； (2)若，求数列的最大项. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求得数列的通项公式，由题意可得，令可求得的值，当时，由可得，作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式； （2）利用数列单调性的定义判断数列的单调性，可求得数列的最大项的值. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得， 所以，， 由题意可得，当时，则有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列为等比数列，且首项为，公比为，故. （2）解：，则. 当时，，即； 当时，； 当时，，即. 所以，数列中的最大项为. 59．（24-25高二上·上海·期末）在个数码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为.例如：对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为，则记. (1)计算； (2)设数列满足，，求的通项公式； (3)计算数列（）的逆序数. 【答案】(1)13 (2) (3)答案见解析 【知识点】求等差数列前n项和、构造法求数列通项、数列新定义 【分析】（1）根据逆序数的概念计算可得结果. （2）由（1）得，利用构造法可得数列是以为首项，以14为公比的的等比数列，由此可计算结果. （3）分析数列中奇数项、偶数项的取值范围及单调性，讨论为奇数和为偶数时的逆序数即可得到结果. 【详解】（1）. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以为首项，以14为公比的的等比数列， ∴，故. （3）当为奇数时，． 当为偶数时，，， ∴． 当为奇数时，逆序数为， 当为偶数时，逆序数为. 综上得，. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 题型九 数列求和的常用方法 （共7小题） 60．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的通项公式为（n为正整数），其中表示不超过x的最大整数，则 . 【答案】 【知识点】数列新定义、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】当时，，，每组共有个，代入数据利用错位相减计算得到答案. 【详解】当时，，，， 每组共有个，，， 故 设， 则， 相减得到：，整理得到， 故. 故答案为： 61．（23-24高二上·上海·期末）已知数列是首项为，公差为d的等差数列，其前n项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和为 ． 【答案】 【知识点】圆的对称性的应用、裂项相消法求和、求等差数列前n项和、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆的对称性得到经过，与垂直，得到，，得到，裂项相消求和，得到答案. 【详解】由对称性可知经过，故，解得， 且与垂直，其中的斜率为，故， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 62．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前n项和. 【答案】(1)， (2)， 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）利用公式法求出的通项公式；（2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，方程的两个根分别为－1和3， 则，解得. 故数列的通项公式为，. （2）由（1）得，故①， ②， 两式相减得， 整理得，. 63．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列基本量结合等比中项列式求解即可； （2）分组求和应用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列， 可得，即有，得． 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，． （2）由（1）得，则，递增， 由， 可得时，正整数n的最小值为7． 64．（23-24高二上·上海宝山·期末）数列中，是的前n项和，，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由定义判定等比数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由，根据和的关系，化简得到，然后利用等比数列的概念求得的通项公式，再设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得，进而求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列的前项和满足， 当时，，解得， 当时，， 可得，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数， 所以数列的通项公式为， 设等差数列的公差为， 因为且，可得，所以， 所以，则， 所以，解得， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，，可得， 所以， 所以数列的前n项和：. 65．（23-24高二上·上海·期末）已知数列满足. (1)求其通项公式; (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合递推公式进行求解即可； （2）根据等比数列的项和进行求解即可. 【详解】（1）由，得 又因为， 所以数列为首项为，公比为3的等比数列， 可得，即； （2） . 66．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设出公比，根据题目条件得到方程组，消元后得到方程，求出，，从而求出通项公式； （2）利用等差和等比数列求和公式进行分组求和 【详解】（1）由题意得，又， 设的公比为， 故，相加得，则①， 两式相除得②， 又，所以③， 由①③得④， 由②④得，解得， 解得或0（舍去）， 由得，， 所以，所以， 其中，故， （2）， 其中， ， 故 题型十 等差数列与等比数列综合应用（共5小题） 67．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且不是常数列，其中正确命题的个数为 . ①若数列为等差数列，则为等比数列； ②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列； ③若数列为等比数列，则恒成立； ④若数列为等差数列，，，则的最大值在为8或9时取到. 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、由定义判定等比数列、二次函数法求等差数列前n项和的最值、判断数列的增减性 【分析】定义法求出，即可说明①；反证法，证明不成立，即可说明②；设等比数列公比为，则，求解，讨论确定其符号，即可判断③；根据等差数列的性质可得，，进而结合已知可得．即可得出的符号，进而判断④． 【详解】对于①，设等差数列公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故①正确； 对于②，假设公差，已知恒成立，显然有． 有， 则当时，有，即， 有， 与已知恒成立，矛盾，所以，假设不成立，所以． 所以是严格增数列，故②正确； 对于③，数列为等比数列，设等比数列公比为，则， 所以， 当时，有，所以，则， 当时，有，所以，则， 当时，有，所以，则， 则恒成立，故③正确； 对于④，数列为等差数列，由可得，，所以． 又，所以， 且当时，；当时，． 所以，的最大值在为8或9时取到，故④正确． 综上可得正确命题的个数为个. 故答案为：． 68．（24-25高二上·上海·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据条件求数列的公差即可得到通项公式. （2）由（1）可得数列是以4为首项，4为公比的等比数列，利用公式即可求出. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴ ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴， ∴数列是以4为首项，4为公比的等比数列， ∴. 69．（24-25高二上·上海黄浦·期末）若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. (1)若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； (2)若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； (3)设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、数列新定义 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且，依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或； （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为. （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 70．（24-25高二上·上海宝山·期末）某公司积极投入本市“五个新城”建设，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： (1)求2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计多少亿元？ (2)该公司在哪年哪季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 【答案】(1) (2)年第4季度 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由已知，可知该公司营业收入组成首项为，公差为的等差数列，利用等差数列求和公式计算即可； （2）设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的，则得，利用计算器解得的最小值为，即可得到答案. 【详解】（1）由已知，该公司2021年第一季度起其营业收入组成首项为，公差为的等差数列， 则2021年至2026年，六年共24个季度营业收入共计， 即2021年至2026年，该公司六年共24个季度营业收入共计亿元. （2）设季度后的利润将首次超过该季度的营业收入的， 因为该公司2021年第一季度的利润为0.16亿元， 每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，利润比上一季度增长， 所以， 因为，所以利用计算器解得的最小值为，又， 所以该公司在年第4季度的利润将首次超过该季度的营业收入的. 71．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由； (2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且； (3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 【答案】(1)不具有性质P，理由见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、数列新定义、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）因为当数列具有“性质P”时，列举出前两项，需要满足，（不是正整数），所以不符合条件． （2）利用反证法，分且，且，且三种情况，证明这三种情况下数列均不具有“性质”，从而证明当数列具有“性质”时，需要满足且． （3）从这四个数中任选两个共有以下6种情况： .对于每组所在的等比数列{an}是否满足具有“性质P”，即可得出结论． 【详解】（1）解：若，公差，则数列不具有性质． 理由如下： 由题知， 对于和，假设存在正整数， 使得， 则有， 解得，（k不是正整数） 得出矛盾， 所以对任意的，． （2）证明：若数列具有“性质”， 则：①假设，， 则对任意的，． 设，则，矛盾！ ②假设，，则存在正整数， 使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项小于等于0，矛盾！ ③假设，， 则存在正整数，使得 设，，，，，，，2，，， 则：， 但数列中仅有项大于等于0，矛盾！ 综上，，． （3）从这四个数中任选两个共有以下6种情况： ． ①对于为正整数， 可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1． 下面说明此数列具有“性质P”： ，任取， 则为正整数，因此此数列具有“性质P”， ②对于为正整数，认为是等比数列中的项， ，首项的最小值为． 下面说明此数列不具有“性质P”： ，若不为等比数列{an}中的项， 因此此数列不具有“性质P”． 同理可得：每组所在等比数列{an}不具有“性质P． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、新定义数列、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 题型十一 数列不等式（共6小题） 72．（23-24高二上·上海闵行·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）求出等比数列的首项，可求得其通项公式，结合数列的单调性求解，即得答案. 【详解】（1）由题意设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 故； （2）由于等比数列的公比为，且满足， 而，则，故， 则， 又，则， 当时，显然成立， 由于随着n的增大而增大，随着n的增大而增大， 当时，，故时，无解， 故满足的所有正整数的值为. 73．（22-23高二下·上海·期末）数列中，，当时，数列的前项和为，满足． (1)求证：数列是等差数列，并求的表达式； (2)设，数列的前项和为，不等式对所有的恒成立，求正整数的最大值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由已知等式变形可得，推导可知，对任意的，，在将所得等式变形，结合等差数列的定义可证得结论成立，结合等差数列的通项公式可求得的表达式； （2）推导可知，数列单调递增，由此可得出，解出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）解：当时，数列的前项和为，满足， 即， 整理可得， 因为，则，即，可得， 由，即，可得，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边同时除以可得， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 所以，，因此，. （2）解：，对任意的，， 即，所以，数列单调递增， 不等式对所有的恒成立，则，即， 又因为，所以，，即，解得， 因此，满足条件的正整数的最大值为. 74．（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设数列满足，为数列的前n项和， ①求数列的前n项和； ②若在，上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2)①；② 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）法1：将已知同除以即可得证； 法2：由已知得，再证明为定值即可得证； （2）①先由（1）求得数列得通项，再利用裂项相消即可求得； ②在上恒成立，即，结合基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）法1：由 两边同除以得，，即， 数列为等差数列，首项，公差为1， 所以，所以； 法2：由得，， 故， 所以数列为等差数列，首项，公差为1， 所以，所以； （2）①由（1）可得， 则 ； ②因为若在上恒成立， 即， 所以， 又因为，当且仅当时，即时，等号成成立， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 75．（23-24高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的最大项； (3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）分析可知，数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再分析数列的单调性，即可求得数列的最大项的值； （3）求得，利用裂项相法可求得，可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有， 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，. （2）解：因为， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，，所以，， 所以，， 由可得，此时，数列单调递增，即， 由可得，即， 由可得，此时，数列单调递减，即， 所以，数列中的最大项为. （3）解：因为 ， 所以， ， 因为对任意的正整数，不等式恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 76．（23-24高二上·上海·期末）如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”． (1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”； (2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围； (3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)答案见解析，理由见解析 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算即可求解通项，根据指数运算即可求证， （2）根据对勾函数的单调性即可求解最值， （3）根据等比数列的通项特征，即可通过验证是否满足，逐一求解即可. 【详解】（1）由，可得，． 解得或（舍去）， 故. 因为中存在，即，所以存在，所以具有性质P （2），，， 因为对任意正整数成立，所以. 令 ，， 由于函数在单调递增，故.所以 （3）从、、、这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，；，; ，; ，; ，. ①对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1. 下面说明此数列具有性质P： =，=，任取，，则， 为正整数，因此此数列具有性质P， ②对于，.因为为正整数， 认为是等比数列中的项，， 首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P： ，， 若不为等比数列中的项， 因此此数列不具有性质P， 同理可得，；，；，；，每组所在等比数列不具有“性质P 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 含参的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理． 77．（22-23高二上·上海宝山·期末）已知等差数列和正项等比数列. (1)求； (2)设，记数列的前项和为，求的最小值： (3)设的前项和为，是否存在常数､，使恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，其中，. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和的最值、写出等比数列的通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由题干条件可求出等差数列公差与等比数列公比，后可得通项公式； （2）由（1）可得，后由数列单调性结合项的正负性可得的最小值； （3）可求得，后由可得 ，后比较相关系数可得答案. 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为. 则由题有：，. 故； （2）由（1）可得， 则是以为首项，公差为的递增等差数列，注意到， 则，即求的最小值为； （3） . 因，则若，可得 .注意到 ， 则恒成立，从而可得 ； . 则存在常数，，使恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题涉及求数列通项，前n项和，及数列中的恒成立问题. 本题难点在于第三问，关键需整理出关于，的等式，后通过比较系数可得关于，的方程. $